2013年高考理科数学浙江卷试题及答案解析

2013年浙江高考理科数学试题及答案解析

选择题部分（共50分）

一、选择题：每小题5分，共50分． 1．已知i 是虚数单位，则(−1+i)(2−i)=

A ．−3+i

B ．−1+3i

C ．−3+3i

D ．−1+i

【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题

【答案解析】B

2．设集合S ={x |x >−2}，T ={x |x 2+3x −4≤0}，则( R S )∪T =

A ．(−2，1]

B ．(−∞，−4]

C ．(−∞，1]

D ．[1，+∞) 【命题意图】本题考查集合的运算，属于容易题

【答案解析】C 因为( R S )={x |x ≤−2}，T ={x |−4≤x ≤1}，所以( R S )∪T =(−∞，1]. 3．已知x ，y 为正实数，则

A ．2lg x +lg y =2lg x +2lg y

B ．2lg(x +y )=2lg x ∙ 2lg y

C ．2lg x ∙ lg y =2lg x +2lg y

D ．2lg(xy )=2lg x ∙ 2lg y

【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质，属于容易题 【答案解析】D 由指数和对数的运算法则，易知选项D 正确

4．已知函数f (x )=A cos(ωx +φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ=π

2

”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题

【答案解析】B 由f (x )是奇函数可知f (0)=0，即cos φ=0，解出φ=

π

2

+k π，k ∈Z ，所以选项B 正确

5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是9

5

，则

A ．a =4

B ．a =5

C ．a =6

D ．a =7

【命题意图】本题考查算法程序框图，属于容易题

【答案解析】A 6．已知α∈R ，sin α+2cos α=

10

2，则tan2α= A ．43

B ．34

C ．−34

D ．−43

【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样，属于中档题

（第5题图）

【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2

=⎝⎛⎭⎫1022

可得

sin 2α+4cos 2α+4sin αcos α sin 2α+cos 2α=104，进一步整理可

得3tan 2α−8tan α−3=0，解得tan α=3或tan α=−13，于是tan2α=2tan α1−tan 2α=−3

4

.

7．设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14

AB ，且对于AB 上任一点P ，恒有→PB ∙→PC ≥→

P 0B

∙→

P 0C ，则

A ．∠ABC =90︒

B ．∠BA

C =90︒ C ．AB =AC

D ．AC =BC 【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题

【答案解析】D 由题意，设|→AB |=4，则|→

P 0B |=1，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设HP 0=a ，则由

数量积的几何意义可得，→PB ∙→PC =|→PH ||→PB |=(|→

PB |

−(a +1))|→PB |，→P 0B ∙→P 0C =−|→P 0H ||→P 0B |=−a ，于是→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→

P 0C

恒成立，相当于(|→PB |−(a +1))|→PB |≥−a 恒成立，整理得|→PB

|2−(a +1)|→

PB |+a ≥0恒成立，只需∆=(a +1)2−4a =(a −1)2≤0即可，于是a =1，因此我们得到HB =2，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC =BC 8．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )=(e x −1)(x −1)k (k =1，2)，则 A ．当k =1时，f (x )在x =1处取到极小值 B ．当k =1时，f (x )在x =1处取到极大值

C ．当k =2时，f (x )在x =1处取到极小值

D ．当k =2时，f (x )在x =1处取到极大值 【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题

【答案解析】C 当k =1时，方程f (x )=0有两个解，x 1=0，x 2=1，由标根法可得f (x )的大致图象，于是选项A ，B 错误；当k =2时，方程f (x )=0有三个解，x 1=0，x 2=x 3=1，其中1是二重根，由标根法可得f (x )的大致图象，易知选项C 正确。

9．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24

+y 2

=1与双曲线C 2的公共焦

点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率为 A ． 2 B ． 3

C ．32

D ．62

【命题意图】本题考查椭圆和双曲线的定义和几何性质，

属于中档题

【答案解析】D 由题意，c =3，|AF 2|+|AF 1|=4……①，|AF 2|−|AF 1|=2a ……②，①+②得|AF 2|=2+

a ，