高等代数二次型ppt课件

二次型（1）定义了一个函数 型也叫n 个变量的二次型.
q 所: F以n n元F二. 次
在（1）中令 aij a ji (1 i, j n因) . 为 xi x j 所x 以j xi , （1）式可以写成以下形式：
nn
（2） q( x1, x2 ,, xn )
aij xi x j , aij a ji
定义2 设A，B是数域F上的两个n 阶矩阵。如果存
在F上的一个非异矩阵P，使得 PAP B
那么称B与A合同。
矩阵的合同关系的性质：
① 自反性：任意矩阵A都与自身合同，因为IAI=A ② 对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同，因 为由PAP B 可以得出
(P 1 )BP1 (P)1BP1 A
矩阵分别为A 和 B. 如果可以通过变量的非奇异线
性变换将 q 变为 q，则B与A 合同. 反之，设B与A 合同. 于是存在F上非奇异矩阵P 使得 B PAP. 通过以P为矩阵的非奇异线性变换就将 q 变为 q.
F上两个二次型叫等价，如果可以通过变量的 非奇异线性变换将其中一个变成另一个.
定理9.1.3 数域F上两个二次型等价的必要且充分条 件是它们的矩阵合同。
i1 j1
令A (aij ) 是（2）式右端的系数所构成的矩阵,称
为二次型 q( x1, x2 ,, xn ) 的矩阵。因为 aij a ji ,
所以A是F上的一个n 阶对称矩阵，利用矩阵的乘
法，（2）式可以写成
（3）
x1
q(
x1
,
x2
,,
xn
)

(
x1
,
x2
,,
xn
)
Pi j , Di (k)和Tij (k) 容易看出，
Pij Pi j; Di (k) Di (k); Tij (k) Tij (k)
现在对矩阵A的阶n作数学归纳法，n = 1时定
理显然成立。设n > 1，并且假设对于n – 1阶对
称矩阵来说，定理成立。设A (aij ) 是一个n阶
A
x2
xn

二次型（3）的秩指的就是矩阵A的秩。
9.1.2 线性变换
如果对二次型（3）的变量施行如下的一个变换：
n
（4） xi pi j y j , i 1,2,, n, pij F (1 i, j n)
i 1
那么就得到一个关于 y1, y2 ,, yn 的二次型
矩阵.如果A = O，这时A本身就是对角形式。A O
设
,我们分两种Leabharlann Baidu形来考虑.
(a) 设A的主对角线上元素不全为零，例
如，aii 0.如果i ≠ 1，那么交换A的第1列与第I 列，
再交换第1行与第i行，就可以把 换到aii左上角。这
样就相当于初等矩阵
P1i ,右再乘用A
不AP的1等i 第于1P零列1i.左加因乘到此第A.，于j我列是们，不再P妨1用i A设P的1aiaa1左1111j乘上0，第角用1的行元加素aa到11乘1j第
aij xi x j 是数域F上的一个以A为
i1 j1
矩阵的n元二次型。对它的变量施行一次以P为矩
阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是 PAP 。
推论9.1.2 一个二次型的秩在变量的非奇异线性变 换之下保持不变。
注意: 如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论 9.1.2不成立
9.1.3 矩阵的合同
等价的二次型具有相同的秩。
定理9.1.4 令A (aij是) 数域F上的一个n阶对称矩阵。
总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得
c1
0
PAP


0
c2


cn
即F上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合
同。
证 我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定
理。回忆一下5.2里所定义的三种初等矩阵
定义1 设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式 （1） q( x1, x2 ,, xn ) a11x12 a22x22 ann xn2
2a12x1 x2 2a13x1 x3 2an1,n xn1 xn
叫做F上的一个n 元二次型。
F 上n 元多项式总可以看成 F 上的n 个变量的函数，
j 行，就可以把第一行第 j 列和第 j 行第1列位置的
9.1 二次型和对称矩阵
一.内容分布 9.1.1 二次型及矩阵 9.1.2 线性变换 9.1.3 矩阵的合同 9.1.4 二次型的标准形
二.教学目的 1.掌握二次型及其矩阵的定义 以及矩阵的合同 2.理解关于二次型的线性变换 3.了解二次型的标准形
三.重点难点: 合同、线性变换、二次型的标准形
9.1.1 二次型及矩阵
③ 传递性：如果 B 与 A 合同，C 与 B 合同，那么C 与 A 合同。
事实上，由 PAP B 和 QBQ C 可得
(PQ) A(PQ) QPAPQ QBQ C 合同的矩阵显然有相同的秩，并且与一个对 称矩阵合同的矩阵仍是对称的.
设q 和 q 是数域F上两个n 元二次型，它们的
第九章 二次型
9.1 二次型和对称矩阵 9.2 复数域和实数域上的二次型 9.3 正定二次型 9.4 主轴问题 9.5 双线性函数
1
我思故我在。
-----笛卡儿(Rene Descartes， 1596-1650)
如果我能够看的更远，那是因为我站在巨人 的肩上。
--- 牛顿（Newton,1642－1727）
q( y1, y2 ,, yn )
（4）式称为变量的线性变换，令 P ( pij ) 是（4） 的系数据构成的矩阵，则（4）可以写成
（5）
x1 y1

x2
xn


P
y2
yn

将（5）代入（3）就得到
y1
（6）
q(
y1
,
y2
,,
yn
)

(
y1
,
y2
,,
yn
)PAP
y2
yn

矩阵P称为线性变换（4）的矩阵。如果P是非奇异
的，就称（4）是一个非奇异线性变换。因为A是
对称矩阵，所以 (PAP) PAP PAP. PAP
也是对称矩阵。
nn
定理9.1.1 设