第四讲行列式计算及克莱姆法则

对称及反对称行列式
定义 在行列式Dn=(aij)中，若aij=aji,称为对称行列 ： 式；若aij=-aji，称为反对称行列式
问题：反对称行列式主对角线上的元素有什么特点？
试证：奇数阶反对称行列式等于零
证明 由 ：
及行列式性质，有：
n为奇数，故D=-D 有D=0
证毕
练习：判断下列结果是否正确。
齐次线性方程组
对于齐次线性方程组
x1 = x2 = … = xn = 0 一定是它的解,这个解叫做齐 次线性方程组的零解.
如果一组不全为零的数是 方程组的解,则它叫做齐 次线性方程组的非零解.齐次线性方程组
一定有零解,但不一定有非零解.
回顾
当系数行列式
有唯一解
克莱姆法则的二阶形式
定理1 若方程组（1.17）的系数行列式
证明：（递推法）把Dn，Cn，按第一行展开有：
故 即：Dn=Cn
注 归纳法和递推法适用于原行列式能转化为 ： 结构相同的低阶行列式的情况。 例 计算行列式 P18
分析行列式结构和规律 我们把这个行列式称作n阶范德蒙行列式
该行列式的值为： 即：
j=1 j=2
j=n-1
解：（归纳法）
当k=2时，有： 公式成立. 假设当k=n-1时，公式成立，即
或
四、行列式的计算
1）. 直接用定义计算; 2）. 利用性质（化简或化为三角形行列式） 3）. 利用展开式定理降阶.
技巧：归纳、递推 特殊行列式：范德蒙行列式、反对称行列式
五、行列式应用——克莱姆法则
如果线性方程组
的系数行列式 D 0 , 那么它有唯一解
则方程组（1.17）有唯一解
其中 解的表达式
证法一：对原方程组
A1j A2j
Anj
作如下变换：任取1≤j≤n，用代数余子式A1j， A2j，…Anj分别乘以方程组的第1,2，…n个方程， 再相加有：
而 可看作如下行列式按第j列的展开
故
由D≠0,有：
即上式满足方程组（1.17），为原方程组的 唯一解
下证k=n时，公式成立
从最后一行开始，每一行减去它相邻的前 一行乘以a1,即作线性运算
按第一列展开，有：
每一列均可提取公因子，则： n-1阶范德蒙行列式
故有： 即：
证毕
例 计算行列式
解 由范德蒙行列式的计算公式有： ：
练习 计算行列式
解 由范德蒙行列式的计算公式有： ：
关于范德蒙行列式主要掌握两点： 1、能识别范德蒙行列式 2、会利用范德蒙行列式的公式进行计算
证法二：先证
作线性变换：ri+xjrj(j≠i),得： 由原方程组有：
即当D≠0时，有 故方程组（1.17）的有解且解唯一.
证毕
练习1：复述克莱姆法则
若n元线性方程组的系数行列式 则该方程组有唯一解，表示为：
练习2：求解方程
组
解：由
故
例 要使此方程组有唯一解，求k的取值范围
解 系数行列式为 ：：
第四讲行列式计算及克 莱姆法则
2020年4月19日星期日
复习
1、 n阶行列式的展开定理
2、行列式的计算方法（三类 ）
1. 定义 2. 性质 3. 展开（降阶）.
练习4 计算行列式
解 根据行列式性质 ：
练习5 计算行列式
行和相同
解 ：
例6 计算行列式
镶边法
解 根据行列式展开定理，可作变换 ：
答案：错误
答案：正确
练习：计算行列式 答案：D=0
§1.4 行列式的应用 ——克莱姆法则
1、n元线性方程组
（1.17）
定义1 若bi(i=1,2,…，n)不全为0，则称（1.17）
式为非齐次线性方程组， 其系数aij(i,j=1,2,…，n)构成如下行列式
称为方程组（1.17）的系数行列式.
定义2 若bi=0(i=1,2,…，n) ，则称（1.17）式为
镶边法适用于相同元素较多的行列式
练习7 计算行列式
化零降阶法
解 根据行列式性质 ：
练习8 求证Cn=Dn
证明 当n=1,2时，D1=2=C1, ： 假设当k≤n-1时，等式成立，即Dk=Ck
当k=n时，把Dn，Cn，按第一行展开有 归纳假设：
归纳法 由归纳假设Dn-1=Cn-1， Dn-2=Cn-2，故Dn=Cn
由克莱姆法则，要使D≠0,即k≠1 故k的取值范围为：{R|k≠1}
克莱姆法可以用于判断方程组解的唯一性
对于齐次线性方程组，克莱姆法则有什么变化？
定理2 对齐次线性方程组
若系数行列式D≠0，则方程组只有零解 你能证明吗？
由定理2可得逆否命题：
定理3 若齐次线性方程组有非零解，则D=0
小结
❖ 行列式的计算 ❖ 范德蒙行列式、对称行列式 ❖ 克莱姆法则
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第一章回顾
一、n阶行列式的定义
1）、对角线法则 2）、排列和逆序数 3）、一般项的另一表示方式
二、行列式的性质
1）、七个性质（转置相等，数乘运算，拆 分，相同行为0，成比例为0，线性运算， 互换运算）
2）、数乘运算、线性运算、互换运算 称为行列式初等运算
三、行列式的展开法则 1）、余子式和代数余子式 （实际上是一个比原行列式低阶的行列式 ）2）、展开法则和性质