一、偏导数的定义及其计算法
10 第二节 偏导数
(3)
偏导数存在与连续的关系 连续, 连续 连续, 连续
一元函数中在某点可导
多元函数中在某点偏导数存在
xy x2 + y2 , 例如,函数 例如 函数 f ( x , y ) = 0,
x2 + y2 ≠ 0 x + y =0
2 2
,
依定义知在( 0,0)处， f x ( 0,0) = f y ( 0,0) = 0 .
若函数z=f(x,y)在点 0, y0)的某邻域内有定义 在点(x 的某邻域内有定义, 若函数 在点 的某邻域内有定义 为这邻域内的任意一点, 并设P(x 为这邻域内的任意一点 并设 0+∆x, y0+∆y)为这邻域内的任意一点 则称这两点的函数值之差 f(x0+∆x, y0+∆y)− f(x0, y0) − 为函数在点(x0, y0)对应于自变量增量∆x,∆y的全增量 的全增量, 为函数在点 对应于自变量增量 的全增量 记为∆z, 即 ∆z = f(x0+∆x, y0+∆y) − f(x0, y0).
2、二元函数在点(x0, y0)的偏导数 、二元函数在点 的偏导数
在点(x 设函数 z = f ( x , y ) 在点 0, y0)的某邻域内有定 的某邻域内有定 f ( x 0 + ∆ x , y0 ) − f ( x 0 , y0 ) 存在， 义，如果 lim 存在，称此极限 ∆x → 0 ∆x 在点(x 的偏导数. 记为： 为函数 z = f ( x , y ) 在点 0, y0)处对 x 的偏导数. 记为： 处 定义
但函数在该点处并不连续. 但函数在该点处并不连续 偏导数存在 连续. 连续.
多元函数中在某点连续
例如 函数 f ( x , y ) =
偏导数知识点公式总结
偏导数知识点公式总结一、偏导数的概念1.1 偏导数的定义偏导数是多元函数对其中一个自变量的导数。
对于一个函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，它的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 表示在$x_i$方向上的变化率。
偏导数的定义可以表示为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, x_2, ..., x_i + \Delta x_i, ..., x_n) - f(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n)}{\Delta x_i}$$1.2 偏导数的图示解释偏导数可以通过函数曲面的切线来解释。
对于函数 $z = f(x, y)$，在点$(x_0, y_0, z_0)$处的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$可以理解为曲面在$x$方向的斜率，即曲面在$x$方向上的变化率。
同样地，$\frac{\partial f}{\partial y}$表示曲面在$y$方向上的变化率。
这样的解释有助于我们更直观地理解偏导数的含义。
二、偏导数的性质2.1 对称性对于二元函数 $f(x, y)$，它的偏导数满足对称性，即$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$。
这一性质表明，在计算混合偏导数时，可以不必考虑自变量的顺序。
2.2 连续性在函数的定义域内，若偏导数存在且连续，则函数规定可微。
这一性质是偏导数与函数连续性的关系，对于函数的导数性质有着重要的影响。
2.3 性质总结：和与积对于函数 $u = u(x, y)$ 和 $v = v(x, y)$，它们的偏导数具有和与积的运算法则。
偏导数知识点总结
偏导数知识点总结一、偏导数的定义1.1 偏导数的定义在一元函数的导数中，我们知道函数在某一点上的导数是该点上切线的斜率，表示函数的变化速率。
而对于多元函数而言，其变量不再只有一个，而是有多个自变量。
因此，多元函数的变化速率也需要沿着各个自变量方向来进行分析。
这就引出了偏导数的概念。
设函数z=f(x,y)表示一个二元函数，如果z在点(x0,y0)处的偏导数存在，那么这个偏导数就表示函数z在点(x0,y0)处对自变量x或y的变化率。
1.2 偏导数的符号表示一般来说，对于函数z=f(x,y)而言，其偏导数有以下表示方法：∂f/∂x 表示f对x的偏导数∂f/∂y 表示f对y的偏导数其中，∂代表“偏”，表示“对于某一变量的偏导数”。
1.3 偏导数的几何意义对于二元函数z=f(x,y)而言，其偏导数在点(x0,y0)处有着直观的几何意义。
对于∂f/∂x来说，其表示函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处，对于x的变化率。
换句话说，就是当x在点(x0,y0)处做微小的增量Δx时，函数z在这一点的斜率。
这也为我们理解偏导数提供了直观的图形化方式。
二、偏导数的计算方法2.1 偏导数的计算步骤在计算偏导数时，需要按照以下步骤进行：（1）首先确定函数的变量和导数所对应的自变量。
（2）对于多元函数z=f(x,y)来说，在计算偏导数时，只需将其他自变量视为常数进行计算。
（3）分别对每一个自变量进行求偏导数，从而得出偏导数的值。
2.2 偏导数的计算规则在计算偏导数时，有以下几个基本的计算规则：（1）常数求导规则：对于常数c，其偏导数为0，即∂c/∂x=0，∂c/∂y=0。
（2）一元函数求导规则：对于多元函数f(x,y)=g(x)h(y)，其偏导数可用一元函数求导法则计算。
（3）和差积商的偏导数计算：对于以上引用的复合函数，其偏导数的计算可利用和差积商的法则计算，具体可参考一元函数的求导法则。
（4）高阶偏导数的计算：与一元函数的高阶导数一样，多元函数的高阶偏导数也可以递归地计算，即先求一阶偏导数，然后再计算其偏导数的偏导数，直至得出所求的高阶偏导数。
一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结
一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结一、偏导数的定义及其计算法偏导数是多元函数在其中一点上关于其中一个自变量的导数，偏导数描述了函数在其中一点上沿着不同自变量方向的变化率。
对于二元函数（两个自变量的函数），偏导数可以分为两种类型：偏导数∂f/∂x表示函数关于x的偏导数；偏导数∂f/∂y表示函数关于y的偏导数。
在计算中，偏导数可以使用极限的定义进行求取，也可以通过求取对应变量的偏导数公式进行计算。
1.偏导数的计算法（1）使用极限的定义对于函数f(x,y)，若要求取关于x的偏导数，可以将y固定为常数，然后使用极限的定义计算：∂f/∂x = lim(h→0) (f(x + h, y) - f(x, y)) / h对于函数f(x,y)，若要求关于y的偏导数，可以将x固定为常数，然后使用极限的定义计算：∂f/∂y = lim(h→0) (f(x, y + h) - f(x, y)) / h（2）使用偏导数公式对于特定类型的函数，可以通过使用相应的偏导数公式来计算偏导数。
以下列举了几种常见的偏导数公式：a.对于幂函数f(x,y)=x^n，其中n为常数，偏导数公式为：∂f/∂x=n*x^(n-1)b.对于指数函数f(x,y)=e^x，其偏导数公式为：∂f/∂x=e^xc. 对于对数函数f(x, y) = log(x)，其偏导数公式为：∂f/∂x=1/xd. 对于三角函数f(x, y) = sin(x)，其偏导数公式为：∂f/∂x = cos(x)e.对于常数乘积规则，偏导数的计算法为：∂(c*f)/∂x=c*(∂f/∂x)二、高阶偏导数高阶偏导数是指对于多元函数的不同自变量求取多次偏导数的过程。
高阶偏导数描述了函数在其中一点上的更高阶导数信息，它可以对函数的多个变量进行多次的偏导运算。
1.二阶偏导数二阶偏导数是指对于二元函数，对其中一个变量求取一次偏导数后，再对另一个变量求取一次偏导数。
二阶偏导数可以通过求取一次偏导数的偏导数来计算，也可以通过直接求取函数的二阶导数来计算。
偏导数的定义和计算方法
偏导数的定义和计算方法偏导数是数学中的一个概念，用于描述标量函数关于一些变量的变化率。
当需要研究多元函数时，偏导数可以帮助我们更好地理解和运用函数。
下面将介绍偏导数的定义和计算方法。
一、偏导数的定义在多元函数中， x 和 y （或更多的变量）的取值可能会相互影响，这样导致的函数变化会比较复杂。
为了深入研究这种情况下的函数特性，我们需要使用偏导数。
偏导数可以理解为，将其它变量视为常数，只从一个变量的角度来观察函数的变化率。
比如，对于一个函数 f(x,y)，f 对 x 的偏导数，记作∂f/∂x，表示当 y 固定， x 发生小量变化时， f 的变化率。
偏导数的定义如下：偏导数的计算方法就是对变量求偏导数，即把其它变量视为常数，只对一个变量进行求导。
下面我们将介绍一些具体的计算方法。
二、偏导数的计算方法1. 常数的偏导数为 0如果一个变量是常数，那么它的偏导数就为 0。
因为在求偏导数时，我们只考虑其它变量的变化对函数的影响，而常数固定不变，因此偏导数为 0。
示例：对于函数 f(x,y) = 3x + 5，∂f/∂y = 0，因为常数 5 对函数没有影响。
2. 求导法则对于多元函数，我们可以运用求导法则来求偏导数。
下面是一些求导法则：（1）加减法则：偏导数的加减顺序可以交换。
（2）乘法法则：f(x,y) = u(x,y) * v(x,y)，则有∂f/∂x = ∂u/∂x * v+ u * ∂v/∂x。
（3）除法法则：f(x,y) = u(x,y) / v(x,y)，则有（4）复合函数法则：如果 z = f(x,y)，x = g(t) 且 y = h(t)，则3. 链式法则链式法则是求导法则的一个重要应用，用于求解复合函数的偏导数。
下面是链式法则的公式：偏导数计算方法较为简单，但是需要注意的是，当变量较多时，求解偏导数可能需要耗费较多的时间和劳动。
因此，在实际问题中可以运用各种数学工具，如微积分软件等，来简化计算。
一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结
一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结一、偏导数的定义及其计算方法偏导数是多变量函数的导数的一种特殊形式，它描述了函数在其中一给定点沿着坐标轴的变化率。
在多变量函数中，每个自变量的变化都可能对函数的整体形态产生影响。
因此，偏导数的计算方法就是在保持其他自变量不变的情况下，对其中一自变量求导。
偏导数的定义：设有函数 f(x₁, x₂, ..., xn)，如果函数在点 P(x₁₀, x₂₀, ..., xn₀) 的其中一邻域内对自变量 xi(i=1,2,...,n)的偏分之存在极限，那么称函数 f 在点 P 对 xi 的偏导数为 f 在点 P 对 xi 的偏导数。
记作∂f/∂xi 或 fxi'(x₁₀, x₂₀, ..., xn₀)，即∂f/∂xi = fxi'(x₁₀, x₂₀, ..., xn₀) = lim[h→0] (f(x₁₀, ...,xi₀+h, ..., xn₀) - f(x₁₀, ..., xi₀, ..., xn₀))/h其中 xi₀是点 P 在第 i 个坐标轴上的对应坐标。
偏导数的计算方法：计算偏导数涉及多个自变量，按照求导的规则进行计算，只对关心的自变量求导，其它自变量视为常数，然后再将结果代入原函数。
二、高阶偏导数高阶偏导数是指对多变量函数连续求导的过程。
一般我们首先计算一阶偏导数，然后继续对一阶偏导数进行求导，得到二阶偏导数，以此类推。
高阶偏导数的求导规则与一阶偏导数相同，只需要按照规则连续求导即可。
高阶偏导数可以提供更多的信息，用于描述函数的曲率、凸凹性等性质。
例如，对于函数f(x,y)，首先计算一阶偏导数：∂f/∂x = fx'(x, y) = ...∂f/∂y = fy'(x, y) = ...然后对一阶偏导数继续求导，得到二阶偏导数：∂²f/(∂x)² = (fx')' = ...∂²f/(∂y)² = (fy')' = ...∂²f/∂x∂y = (fx')'(y) = ...∂²f/∂y∂x = (fy')'(x) = ...其中，∂²f/∂x²表示对x进行两次求导，即x的二阶偏导数。
2偏导数一、偏导数的定义及其计算
证
p
=
RT V
⇒
∂p ∂V
=
−
RT V2 ;
V = RT ⇒ ∂V = R; p ∂T p
T
=
pV R
⇒
∂T ∂p
=V; R
∂p ∂V
⋅
∂V ∂T
⋅
∂T ∂p
=
−
RT V2
⋅ R ⋅V = − RT p R pV
= −1.
注： 请同学们把上述结果与一元函数导数的 相应结果作一个比较.
=
3×1+ 2×2 =
7.
例 2 设z = x y ( x > 0, x ≠ 1)， 求证 x ∂z + 1 ∂z = 2z . y ∂x ln x ∂y
证
∂z = yx y−1,
∂x
∂z = x y ln x, ∂y
x ∂z + 1 ∂z = x yx y−1 + 1 x y ln x
y ∂x ln x ∂y y
∂x
∂y
∂2z ∂x 2
=
6 xy2 ,
∂2z ∂y∂x = 6x2 y − 9 y2 − 1.
∂2z ∂x∂y = 6 x2 y − 9 y2 − 1,
∂2z ∂y 2
=
2x3
−
18 xy;
∂3z ∂x 3
=
6
y2,
例 7 设u = eax cos by ，求二阶偏导数.
解
∂u ∂x
=
ae ax
y)
=
⎪ ⎨
(
x
2
+
y2 )2
⎪⎩0
( x, y) ≠ (0,0) .
偏导数的定义和计算方法
偏导数的定义和计算方法偏导数是微积分中一个重要的概念，它用于描述多元函数在某一点上沿着特定方向变化的速率。
在这篇文章中，我们将详细讨论偏导数的定义以及计算方法。
一、偏导数的定义偏导数是多元函数在某一点上对某个独立变量的导数。
与普通导数不同的是，它只考虑一个变量的变化对函数的影响，而将其他变量视为常数。
对于具有两个自变量的函数 f(x, y)，我们可以计算关于 x 的偏导数∂f/∂x 和关于 y 的偏导数∂f/∂y。
偏导数可以用以下形式表示：∂f/∂x = lim(h→0) [f(x + h, y) - f(x, y)] / h∂f/∂y = lim(h→0) [f(x, y + h) - f(x, y)] / h其中 h 表示一个无限趋近于零的小量，表示自变量的微小变化。
二、偏导数的计算方法1. 针对单变量求导法则在计算偏导数时，我们可以运用单变量求导法则。
当一个函数关于变量 x 进行偏导时，将其他自变量视为常数进行求导。
2. 一阶偏导数若函数 f(x, y) 可以依照以下简化的方式进行求偏导数：∂f/∂x = ∂z/∂x = fx，其中 fx 表示关于 x 的导函数∂f/∂y = ∂z/∂y = fy，其中 fy 表示关于 y 的导函数3. 二阶偏导数二阶偏导数可以通过在一阶偏导数的结果上再求一次偏导数得到。
例如：∂²f/∂x² = ∂(∂f/∂x)/∂x = ∂²z/∂x² = fxx，其中 fxx 表示关于 x 的二阶导函数∂²f/∂y² = ∂(∂f/∂y)/∂y = ∂²z/∂y² = fyy，其中 fyy 表示关于 y 的二阶导函数4. 混合偏导数在具有更多自变量的函数中，我们还可以计算混合偏导数。
混合偏导数涉及对多个变量同时求导的情况。
∂²f/(∂x∂y) = ∂(∂f/∂x)/∂y = ∂(∂z/∂x)/∂y = fxy，表示关于 x 和 y 的混合偏导数5. 链式法则当函数存在多个自变量时，我们可以利用链式法则来计算偏导数。
一,偏导数的定义及其计算法
*例 9 试证函数
f
(
x,
y)
xy
sin
0,
1 , ( x, y) (0,0)
x2 y2
在
( x, y) (0,0)
点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在点(0,0)
不连续，而 f 在点(0,0)可微.
思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分
( x, y) (0,0)，( x, y) (0,0)讨论.
x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处对x 的
偏导数，记为
z x
，f x x0 x
z ，
x x0
x
x x0 y y0
或
f x ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处对y
的偏导数， 为
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
lim
x0
f (x,0) x
f (0,0)
00 lim x0 x
0,
同理 f y (0,0) 0.
当( x, y) (0,0)时，
fx ( x, y) y sin
1 x2 y2
x2 y cos ( x2 y2 )3
1, x2 y2
当点P( x, y)沿直线y x 趋于(0,0) 时,
2z xy
f
xy
(
x,
y),
x
z y
2z yx
f yx ( x, y)
混合偏导
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数.
例 5 设z x3 y2 3xy3 xy 1，
偏导
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偏导数的几何意义 fx(x0, y0)=[ f(x, y0)]x′ 是截线z=f(x, y0)在点(x0, y0)处的切线Tx 对x轴的斜率. fy(x0, y0)=[ f(x0, y)]y′ 是截线z=f(x0, y)在点(x0, y0)处的切线Ty 对y轴的斜率.
§8.2 偏 导 数
一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数
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一、偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某一邻域内有定义, 若极限
f (x0 +∆x, y0)− f (x0, y0) lim ∆x ∆x→0 存在, 则称此极限为函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对x的偏导数, 记作
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一、偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义
f (x0 +∆x, y0)− f (x0, y0) . fx(x0, y0)= lim ∆x ∆x→0 偏导数的符号
偏导函数
∂f ∂z x=x0 , x=x0 , zx ∂x y=y0 ∂x y=y0
x=x0 , y=y0
fx(x0, y0) .
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1 满足方程∂2u + ∂2u + ∂2u =0 , 例8 证明函数u = r ∂x2 ∂y2 ∂z2
其中r = x2 + y2 +z2 .
证
∂u = − 1 ⋅ ∂r = − 1 ⋅ x = − x , ∂x r3 r2 ∂x r2 r ∂2u =− 1 +3x ⋅ ∂r =− 1 + 3x2 . ∂x2 r3 r4 ∂x r3 r5
偏导数的定义及其计算法
= x cos(xy) − 2 cos(xy) ⋅[− sin(xy)]⋅ x
= x cos(xy) + 2x cos(xy) ⋅sin(xy)
∂z
∴
∂x
|x=0
y= π
= [ y cos(xy)
2
+ 2 y cos(xy) ⋅sin(xy)] |x=0
y=π 2
=π +0=π
2
2
∂z ∂y
|x=0
(1)
同样，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为
lim f (x0, y0 + Δy) − f (x0, y0 )
Δy →0
Δy
记作 即
∂z ∂y
|x= x0
y=y0
,
∂f ∂y
|x= x0
y= y0
,
z y|x= x0
y= y0
或
f y (x0,y0 )
f y (x0, y0 )
∂V ∂T ∂p
证: ∵ ∵ ∵
p = RT V
V = RT p
T = pV R
∴ ∂p = − RT
∂V V 2
∴ ∂V = R
∂T p
∴ ∂T = V
∂p R
∴
∂p ⋅ ∂V ⋅ ∂T = − RT ⋅ R ⋅ V ∂V ∂T ∂p V 2 p R
= − RT pV
= −1
例6 求下列各函数在指定点的偏导数：
保证当P(x,y)以任意方式趋近P0(x0 ,y0)时，f(x,y)都趋 近于f (x0 ,y0).
反例 ： 例6 (1)
偏导数的几何意义 复习一元函数导数
z = f (x, y)
偏导数的定义与计算
偏导数的定义与计算偏导数是微分学中的一个重要概念，它用于描述一个多变量函数在某一点上对特定变量的变化率。
在实际问题中，往往会遇到有多个自变量的函数，而偏导数的概念和计算方法可以帮助我们深入理解函数的变化规律。
本文将详细介绍偏导数的定义与计算方法。
一、偏导数的定义对于一个多变量函数，例如f(x, y)，我们可以对其中的某个自变量进行变化，并观察函数在某一点上的变化率。
因为多个自变量的存在，我们需要分别计算函数对不同自变量的变化率，这就是偏导数的含义。
形式上，偏导数可以用以下符号来表示：∂f/∂x 或 df/dx 表示对f(x, y)对x的偏导数∂f/∂y 或 df/dy 表示对f(x, y)对y的偏导数二、偏导数的计算方法1. 对于单变量函数的偏导数计算对于一个只有一个自变量的函数，例如f(x)，偏导数的计算就相当于普通的导数计算，即计算函数在某一点上的切线斜率。
例如，对于函数f(x) = x^2，我们需要计算其关于x的偏导数。
根据导数的定义：df(x)/dx = lim(h→0) [(f(x+h) - f(x))/h]对于f(x) = x^2，可以得到：df(x)/dx = l im(h→0) [(x+h)^2 - x^2]/h= lim(h→0) (x^2 + 2xh + h^2 - x^2)/h= lim(h→0) (2xh + h^2)/h= lim(h→0) (2x + h)= 2x因此，对于函数f(x) = x^2，它的偏导数关于x的结果为2x。
2. 对于多变量函数的偏导数计算对于一个有多个自变量的函数，例如f(x, y)，我们需要分别计算其对不同自变量的偏导数。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + y^2，我们需要计算其对x和y的偏导数。
∂f/∂x = 2x∂f/∂y = 2y函数f(x, y) = x^2 + y^2 对x求偏导数的结果是2x，对y求偏导数的结果是2y。
三、应用举例偏导数在实际问题中有着广泛的应用。
偏导数的定义与计算方法
偏导数的定义与计算方法偏导数是微积分中的一个重要概念，用于计算多元函数在某一点上的变化率。
它是指在多元函数中，对某一变量求导时，将其他变量视为常数进行求导的过程。
一、偏导数的定义对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn为自变量，f为因变量，偏导数表示函数f对其中一个自变量的变化率。
用∂表示偏导数，∂f/∂xi表示f对第i个自变量的偏导数。
在一元函数中，偏导数即为常见的导数。
二、偏导数的计算方法1. 一元函数的偏导数对于只含有一个自变量的函数f(x)，其偏导数即为一元函数的导数，计算方法为：∂f/∂x = lim(Δx->0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx在计算过程中，将除数Δx趋近于0，求出极限值即可得到偏导数的值。
2. 多元函数的偏导数对于含有多个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，计算偏导数时需要分别对每个自变量进行求导。
以两个自变量的情况为例，对于f(x, y)，分别求取偏导数时，将另一个自变量视为常数。
具体计算方法为：∂f/∂x = lim(Δx->0) [f(x+Δx, y) - f(x, y)] / Δx∂f/∂y = lim(Δy->0) [f(x, y+Δy) - f(x, y)] / Δy同理，对于包含更多自变量的函数，按照类似的方法分别对每个自变量求取偏导数。
需要注意的是，在计算偏导数时，需要注意函数的可导性、连续性等数学性质，以保证计算的准确性。
三、偏导数的几何意义偏导数具有一定的几何意义，可以用来描述函数在某一点上的变化率和切线斜率。
对于二元函数f(x, y)，若其中两个偏导数∂f/∂x和∂f/∂y均存在，则可得到函数在某一点上的切平面方程，该切平面的法向量为<∂f/∂x,∂f/∂y, -1>。
四、应用举例偏导数在许多领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学中的运动学和力学：偏导数可以用于描述物体在空间中的运动轨迹和力学性质。
偏导数的定义与计算
偏导数的定义与计算偏导数是高等数学中一个重要的概念，用于研究多元函数的变化率。
在本文中，我们将介绍偏导数的定义以及如何计算它。
一、偏导数的定义对于一个多元函数，它可能是一个变量的函数，也可能是多个变量的函数。
当我们固定其他变量，只考虑其中一个变量的变化时，所得到的导数称为偏导数。
对于一个二元函数 f(x, y)，我们可以定义其关于 x 的偏导数为∂f/∂x，关于 y 的偏导数为∂f/∂y。
偏导数表示了函数在某一变量上的变化率。
二、计算偏导数的方法1. 对于只含有一个变量的函数，例如 f(x)，其偏导数就是普通的导数，可以使用常规的求导法则来计算。
2. 对于含有多个变量的函数，例如 f(x, y)，可以逐个对各个变量求偏导数，其他变量视作常数。
具体计算方法如下：- 对于关于 x 的偏导数，将 f(x, y) 视为只是 x 的函数，即固定 y 不变，求 f(x, y) 对 x 的导数。
- 对于关于 y 的偏导数，将 f(x, y) 视为只是 y 的函数，即固定 x 不变，求 f(x, y) 对 y 的导数。
注：对于更多变量的函数，也可以使用类似的方法逐个求偏导数。
三、举例说明让我们通过一个例子来具体说明偏导数的计算过程。
例：考虑一个二元函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2。
我们首先计算关于 x 的偏导数：∂f/∂x = 2x + 2y接下来计算关于 y 的偏导数：∂f/∂y = 2x + 2y如此，我们就得到了 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2 的偏导数。
四、应用与意义偏导数在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在数学中，偏导数用于研究多元函数的变化规律，帮助建立基础的微分方程。
在物理学中，偏导数则被用于描述各种物理量之间的关系，例如速度的导数就是加速度。
偏导数的计算也为我们提供了一种评估函数的斜率变化的方法，帮助我们更好地理解函数的行为模式和特点。
总结：本文介绍了偏导数的定义与计算方法，通过对多元函数中单个变量的变化率的研究，帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
一_偏导数的定义及其计算法
一_偏导数的定义及其计算法一偏导数的定义及其计算法在数学的广袤天地中，偏导数是一个重要且实用的概念。
它不仅在理论研究中发挥着关键作用，还在实际应用中有着广泛的用途，比如物理学、工程学、经济学等众多领域。
让我们先来理解一下偏导数的定义。
假设有一个多元函数，比如说z ＝ f(x, y) ，如果我们把 y 看作是固定的常量，而仅仅让 x 发生变化，这时函数 z 对于 x 的变化率就称为函数 z 对 x 的偏导数。
同样，如果把 x 固定，只让 y 变化，那么函数 z 对于 y 的变化率就是函数 z 对 y 的偏导数。
举个简单的例子，假设我们有一个函数 f(x, y) ＝ x^2 ＋ y^2 。
要计算它对 x 的偏导数，就把 y 当作常数，对 x 求导。
因为 y 是常数，所以 y^2 求导就是 0 ，而 x^2 对 x 的导数是 2x ，所以 f(x, y) 对 x 的偏导数就是 2x 。
同理，计算 f(x, y) 对 y 的偏导数时，把 x 当作常数，y^2 对 y 的导数是 2y ，x^2 求导是 0 ，所以 f(x, y) 对 y 的偏导数就是 2y 。
那偏导数到底怎么计算呢？其实有一些基本的规则和方法。
首先，如果函数是由一些基本函数通过四则运算组合而成的，那么就可以使用相应的求导法则来计算偏导数。
比如，对于两个函数的和或差的偏导数，就等于它们各自的偏导数的和或差。
其次，如果函数是由两个函数的乘积构成，那就可以使用乘积法则来求偏导数。
假设我们有函数 u(x, y) 和 v(x, y) ，那么它们乘积的偏导数就有特定的计算公式。
再来说说复合函数的偏导数计算。
如果函数是复合函数，那就需要运用链式法则。
比如说，有函数 z ＝ f(u(x, y)， v(x, y)），那么计算 z 对 x 的偏导数时，就要先对 u 和 v 分别求对 x 的偏导数，然后再根据链式法则进行综合计算。
在实际计算偏导数的过程中，还需要特别注意一些细节。
偏导数概念及其计算方法
偏导数概念及其计算方法偏导数是微积分中的一个重要概念，用于描述多元函数在某一点上变化的快慢和方向。
在实际问题中，很多函数是由多个变量组成的，因此对于这样的函数，我们需要使用偏导数来计算其变化率。
本文将介绍偏导数的概念以及常见的计算方法。
一、偏导数的概念偏导数是多元函数在某一点上沿各个坐标轴方向的导数。
对于两个变量的函数，偏导数就表示函数在x 轴和y 轴方向的变化率。
一般地，如果一个函数由 n 个变量组成，那么它就有 n 个偏导数。
在计算偏导数时，我们将函数中的其他变量视为常数，仅关注一个变量的变化对函数的影响。
二、偏导数的计算方法1. 求偏导数时，首先确定要关注的变量，其他变量视为常数。
2. 对于函数 f(x, y)，以 x 为例，将函数对 x 进行求导，即对 x 进行求偏导数。
计算时将 y 视为常数。
3. 使用基本的求导法则进行计算，如常数法则、幂法则和求和法则等。
4. 将求导后的结果作为偏导数。
三、示例我们以一个简单的二元函数为例子来说明偏导数的计算方法。
假设有函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，我们来计算函数在点 (1, 2) 处关于 x 和 y 的偏导数。
首先计算关于 x 的偏导数，将 y 视为常数。
根据求导法则，对于x^2，其导数为2x；对于2xy，则有2y；对于y^2，其导数为0。
因此，关于 x 的偏导数为 2x + 2y。
接下来计算关于 y 的偏导数，将 x 视为常数。
根据求导法则，对于x^2，其导数为0；对于2xy，则有2x；对于y^2，其导数为2y。
因此，关于 y 的偏导数为 2x + 2y。
所以，函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2 在点 (1, 2) 处的关于 x 和 y 的偏导数分别为 6 和 6。
四、结论偏导数是多元函数中的重要概念，通过偏导数的计算，可以帮助我们了解函数在某一点上的变化情况。
求偏导数的方法主要是通过使用基本的求导法则来进行计算。
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D 内任一点 如果函数z f ( x , y ) 在区域 ( x , y ) 处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是x 、y 的函数，它就称为函数z f ( x , y ) 对 自变量x 的偏导数，
z f 记作 ， ，z x 或 f x ( x , y ) . x x
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例1
解
例2
2 2 z x 3 xy y 求 在点(1, 2) 处的偏导数．
y ( x 0 , x 1) ， z x 设 x z 1 z 2z . 求证 y x ln x y
x z z 例 3 设 z arcsin ，求 ， . 2 2 x y x y
( x , y ) ( 0,0 ) ( x , y ) ( 0,0 )
解
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３、偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导 连续， 连续，
多元函数中在某点偏导数存在
xy x2 y2 , 例如,函数 f ( x , y ) 0,
x2 y2 0 x2 y2 0
,
依定义知在(0,0) 处， f x (0,0) f y (0,0) 0 .
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
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连续.
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4、偏导数的几何意义
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y ) 上一点,
如图
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y 的偏导 同理可以定义函数z f ( x , y ) 对自变量
z f z y 或 f y ( x, y) . 数，记作 ， ， y y
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偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f ( x, y, z ) 在 ( x , y, z ) 处
f ( x x , y , z ) f ( x , y , z ) f x ( x , y , z ) lim , x 0 x
f ( x , y y , z ) f ( x , y , z ) f y ( x , y , z ) lim , y 0 y
f ( x , y , z z ) f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) lim . z 0 z
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( x , y ) (0,0) ( x , y ) (0,0)
求 f ( x , y )的二阶混合偏导数 .
解
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问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？
定理 如果函数z f ( x , y ) 的两个二阶混合偏导数
z z 及 在区域 D 内连续，那末在该区域内这 yx xy
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二、高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
z 2 z z 2 z 2 f xx ( x , y ), 2 f yy ( x , y ) x x x y y y目录上页Fra bibliotek下页返回
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几何意义:
偏导数 f x ( x 0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0
x 轴的 所截得的曲线在点M 0 处的切线M 0Tx 对
斜率.
偏导数 f y ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 x x 0
y 轴的 所截得的曲线在点M 0 处的切线M 0T y 对
斜率.
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一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某一邻 x 在x0 处有增量 域内有定义，当y 固定在y0 而 x 时，相应地函数有增量 f ( x 0 x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) ，
f ( x 0 x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 x 0 x x 的 此极限为函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 偏导数，记为
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z f ， ，z x x0 x x0 x x x y y y y
0 0
x x0 或 y y0
f x ( x 0 , y0 ) .
y 同理可定义函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 的偏导数， 为
f ( x 0 , y0 y ) f ( x 0 , y0 ) lim y 0 y z f 记为 ， ， z y x x0 或 f y ( x 0 , y 0 ) . y y0 x0 x x0 y x y y y y y
设 z x 3 y 2 3 xy 3 xy 1 ，
2z 2z 2z 2z 3z 求 2、 、 、 2 及 3. x x yx xy y
例7 设 u e ax cos by ，求二阶偏导数.
问题： 混合偏导数都相等吗？
例 8
x3 y 2 设 f ( x, y) x y 2 0
2 z 2 z z z f xy ( x , y ), f yx ( x , y ) y x xy x y yx
纯偏导
混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
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例6
2 2
两个二阶混合偏导数必相等．
验证函数 u( x , y ) ln x 2 y 2 满足拉普拉 2u 2u 斯方程 2 2 0. x y 例 9
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解
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有关偏导数的几点说明：
u １、 偏导数 是一个整体记号，不能拆分; x
２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用 定义求；
例如, 设z f ( x , y ) xy , 求f x (0, 0), f y (0, 0).
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xy 2 2 x y 设 f ( x , y ) 例 5 0 求 f ( x , y )的偏导数.