一、偏导数的定义及其计算法

设 z x 3 y 2 3 xy 3 xy 1 ，
2z 2z 2z 2z 3z 求 2、 、 、 2 及 3. x x yx xy y
例7 设 u e ax cos by ，求二阶偏导数.
问题： 混合偏导数都相等吗？
例 8
x3 y 2 设 f ( x, y) x y 2 0
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二、高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
z 2 z z 2 z 2 f xx ( x , y ), 2 f yy ( x , y ) x x x y y y
2 z 2 z z z f xy ( x , y ), f yx ( x , y ) y x xy x y yx
纯偏导
混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
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例6
,
依定义知在(0,0) 处， f x (0,0) f y (0,0) 0 .
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
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连续.
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4、偏导数的几何意义
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y ) 上一点,
如图
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一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某一邻 x 在x0 处有增量 域内有定义，当y 固定在y0 而 x 时，相应地函数有增量 f ( x 0 x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) ，
f ( x 0 x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 x 0 x x 的 此极限为函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 偏导数，记为
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几何意义:
偏导数 f x ( x 0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0
x 轴的 所截得的曲线在点M 0 处的切线M 0Tx 对
斜率.
偏导数 f y ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 x x 0
y 轴的 所截得的曲线在点M 0 处的切线M 0T y 对
斜率.
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z f ， ，z x x0 x x0 x x x y y y y
0 0
x x0 或 y y0
f x ( x 0 , y0 ) .
y 同理可定义函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 的偏导数， 为
f ( x 0 , y0 y ) f ( x 0 , y0 ) lim y 0 y z f 记为 ， ， z y x x0 或 f y ( x 0 , y 0 ) . y y0 x0 x x0 y x y y y y y
0 0
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D 内任一点 如果函数z f ( x , y ) 在区域 ( x , y ) 处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是x 、y 的函数，它就称为函数z f ( x , y ) 对 自变量x 的偏导数，
z f 记作 ， ，z x 或 f x ( x , y ) . x x
( x , y ) ( 0,0 ) ( x , y ) ( 0,0 )
解
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３、偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导 连续， 连续，
多元函数中在某点偏导数存在
xy x2 y2 , 例如,函数 f ( x , y ) 0,
x2 y2 0 x2 y2 0
y 的偏导 同理可以定义函数z f ( x , y ) 对自变量
z f z y 或 f y ( x, y) . 数，记作 ， ， y y
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偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f ( x, y, z ) 在 ( x , y, z ) 处
f ( x x , y , z ) f ( x , y , z ) f x ( x , y , z ) lim , x 0 x
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例1
解
例2
2 2 z x 3 xy y 求 在点(1, 2) 处的偏导数．
y ( x 0 , x 1) ， z x 设 x z 1 z 2z . 求证 y x ln x y
x z z 例 3 设 z arcsin ，求 ， . 2 2 x y x y
( x , y ) (0,0) ( x , y ) (0,0)
求 f ( x , y )的二阶混合偏导数 .
解
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问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？
定理 如果函数z f ( x , y ) 的两个二阶混合偏导数
z z 及 在区域 D 内连续，那末在该区域内这 yx xy
f ( x , y y , z ) f ( x , y , z ) f y ( x , y , z ) lim , y 0 y
f ( x , y , z z ) f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) lim . z 0 z
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解
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有关偏导数的几点说明：
u １、 偏导数 是一个整体记号，不能拆分; x
２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用 定义求；
例如, 设z f ( x , y ) xy , 求f x (0, 0), f y (0, 0).
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xy 2 2 x y 设 f ( x , y ) 例 5 0 求 f ( x , y )的偏导数.
2 2
两个二阶混合偏导数必相等．
验证函数 u( x , y ) ln x 2 y 2 满足拉普拉 2u 2u 斯方程 2 2 0. x y 例 9
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