完整word版,《线性代数》中的证明题集

1．利用行列式展开定理证明：当βα≠时，有
11
000100010
00000
1n n n D αβαβαβαβαβαβαβ
αβαβαβ
+++++-=
=
-++L L L
M M M O M
M
L L
． 证：将行列式按第一行展开，得12()n n n D D D αβαβ--=+-，则
211223()()n n n n n n D D D D D D βαβαβ------=-=-
22221()[()()]n n n D D αβααβαββαβα--==-=+--+=L ，
所以1n n n D D βα--=． （1）
由n D 关于α与β对称，得1n n n D D αβ--=． （2）
由（1）与（2）解得11
n n n D αβαβ
++-=-．
2．已知1326、2743、5005、3874都能被13整除，不计算行列式的值，证明
4
7835
0053
4726
231能被13整除．
证：
414
2
43
1000100101326
132132627432742743
500550050053874
3873874
c c c c
c c +++=
．
由已知，得后行列式的第4列具有公因子13，所以原行列式能被13整除．
3．证明:
22224
4
4
4
1
111()()()()()()()a b c d a b a c a d b c b d c d a b c d a b c d a b c d =------+++．
证： 构造5阶行列式
2
22225333334
4
4
4
4
11111a b c d x D a b c d x a b c d x a b c d x =， 则5()()()()()()()()()()D b a c a d a c b d b d c x a x b x c x d =----------． （1）
将5D 按第5列展开，得
4
352
2
2
2
2
2
2
2
333
34444
1
1111
111()a b c d a b c d D x x a
b
c
d
a
b
c
d
a b c d a b c d =
+-
+L ． （2）
比较（1）与（2）右边3
x 的系数，知结论成立．
4．证明：当b a 4)1(2
=-时，齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=+-+=+++=+
++0
)(,03,02,04321432143214321x b a x a x x x x x x x x x x ax x x x 有非零解．
证：方程组的系数行列式
21111211(1)4113
111
a D a
b a
a b
=
=---+，
当0D =，即b a 4)1(2
=-时，方程组有非零解．
5．若A 为n 阶对称矩阵，P 为n 阶矩阵，证明T
P AP 为对称矩阵． 证： 因为()()T A A
T
T
T
T
T T
T P AP P A P P AP ===，所以T P AP 为对称矩阵．
6．设,,A B C 都是n 阶矩阵，证明：ABC 可逆的充分必要条件是,,A B C 都可逆． 证：ABC 可逆000,0,0ABC A B C A B C ⇔≠⇔⋅⋅≠⇔≠≠≠⇔,,A B C 都可逆．
7．设n 阶方阵A 满足2
3A
A O -=，证明2A E -可逆，并求()
1
2A E --．
证： 由2
3A A O -=，得(2)()2A E A E E --=，即
(2)
2
A E
A E E --=， 所以2A E -可逆，且()1
2A E --=2
E A -．
8．设A 为n 阶矩阵，且O A =3
，证明A E -及A E +都是可逆矩阵．
证： 由2
A O =，得2()()E A E A A E -++=及2
()()E A E A A E +-+=，所以A E -及
A E +都是可逆矩阵．
9．（1）设1
P AP B -=，证明1
k
k
B P A P -=．
（2）设PB AP =，且100100210,000211001P B ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
，求A 与2011A ．
证： （1）1
1
1
1
1
1
()()()()k
k
k
B P AP P A PP A PP PP AP P A P ------===L ．
（2）由PB AP =，得1
A PBP -=，且2011
20111A
PB P -=．又
12011100100210,000411001P B B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
，
所以2011110020
0,611A A PBP A -⎛⎫
⎪
=== ⎪ ⎪--⎝⎭
．
10．（1）设O B A C O ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且m 阶矩阵B 和n 阶矩阵C 均可逆，试证明11
1
O C A B
O ---⎛⎫= ⎪⎝⎭． （2）设矩阵1210
000
0000000
0n n
a a A a a -⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
L L M
M M M L L
，其中12,,,n a a a L 为非零常数，求1A -．
证： （1）因为11
11O B E O O C BB O E C O O E B
O O CC ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以A 可逆，且 11
1O C A B
O ---⎛⎫
= ⎪⎝⎭．
（2）将矩阵进行如下分块：
1
2100000000000
0n n a a O B A a C O a
-⎛⎫
⎪ ⎪
⎪⎛⎫==
⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
M
L
M L M M M M M L L L L L L L M
L
， 则11
1O C A B
O ---⎛⎫= ⎪⎝⎭．又111111
121(,,,),()n n B diag a a a C a -------==L ，所以
1A -=⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛-----000
00000000
01
1
1
2
1
1
1n n a a a a Λ
M M M M ΛΛΛ
．
11．设A 为n 阶矩阵，满足2
56A A E O ++=，证明：(2)(3)R A E R A E n +++=． 证： 由2
56A A E O ++=，得(2)(3)A E A E O ++=，所以
(2)(3)R A E R A E n +++≤.
又
(2)(3)(2)(3)()R A E R A E R A E R A E R E n +++=--++≥=，
所以(2)(3)R A E R A E n +++=.
12．证明：（1）设,A B 为矩阵，则AB BA -有意义的充分必要条件是,A B 为同阶矩阵．
（2）对任意n 阶矩阵,A B ，都有AB BA E -≠，其中E 为单位矩阵． 证：（1）设A 为m n ⨯矩阵，B 为s t ⨯矩阵，则
AB BA -有意义,,,.
n s t m m n s t m s t n =⎧⎪=⎪
⇔⇔===⎨
=⎪⎪=⎩， 即,A B 为同阶矩阵．
（2）设(),()ij n n ij n n A a B b ⨯⨯==，则BA AB -的主对角线上元素之和为
11
11
11
11
0n n
n n n n n n
ik ki
st ts ik ki ts st i k s t i k t s a
b b a a b a b ========-=-=∑∑∑∑∑∑∑∑，
而E 的主对角线上元素之和为n ，所以AB BA E -≠．
13．证明：任意n 阶矩阵都可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和． 证： 设A 为任意n 阶矩阵，则
22
T T
A A A A A +-=+，
其中为2T A A +对称矩阵，2
T
A A -为反对称矩阵．（你是否能联系到函数可以表示为奇函数
与偶函数之和）
14．已知n 阶矩阵B A ,满足B A AB +=，试证E A -可逆，并求1
()A E --． 证： 由B A AB +=，得
()()A E B E E --=，
所以E A -可逆，且E B E A -=--1
)(．
15．设A 为元素全为1的)1(>n n 阶方阵，证明：()A n E A E 1
1
1
--
=--． 证： ()211()111
n E A E A E A A n n n --=-+---．又2A nA =，故 ()
1
()1
E A E A E n --=-， 所以()A n E A E 1
11
--
=--．
16．设n 阶矩阵A 与B 等价，且0A ≠，证明0B ≠．
证： A 与B 等价，则存在n 阶可逆矩阵P 与Q ，使得B PAQ =，有
0B PAQ P A Q ==⋅⋅≠．
注：此结论告诉我们初等变换不改变矩阵的可逆性．
17．设A 为n 阶方阵，且A A =2
，证明()()n E A R A R =-+．
证： 因为2
()A A E A A O -=-=，所以()()R A R A E n +-≤．又
()()()()()R A R A E R A R A E R E n +-=+-+≥=，
所以()()n E A R A R =-+．
18．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵，其中n m <．若AB E =，其中E 为n 阶单位矩阵．证明方程组BX O =只有零解．
证： 由AB E =，得()R AB n =．又()()n R B R AB n ≥≥=，得()R B n =，所以方程组
BX O =只有零解．
19．（1）设n
R ∈α，证明：α线性相关当且仅当0α=．
（2）设n R ∈21,αα，证明：21,αα线性相关当且仅当它们对应的分量成比例． 证：(１) α线性相关0,0k k α⇔=≠⇔0α=．
（2）21,αα线性相关11220k k αα⇔+=，其中12,k k 不全为零．不妨设10k ≠，则
21,αα线性相关2
1221
()k l k ααα⇔=-
=，即21,αα对应的分量成比例．
20．任取n
R ∈4321,,,αααα，又记,,,433322211ααβααβααβ+=+=+=
144ααβ+=，证明4321,,,ββββ必线性相关．
证： 显然13123424ββααααββ+=+++=+，即
1234(1)(1)0ββββ+-++-=，
所以4321,,,ββββ必线性相关．
21．设12,,,n
s R ααα∈L 为一组非零向量，按所给的顺序，每一(1,2,,)i i s α=L 都不能由
它前面的1-i 个向量线性表示，证明向量组12,,,s αααL 线性无关．
证： 用数学归纳法证明．1s =时，10α≠，则1α线性无关．设s m =时成立，即12,,,m αααL 线性无关．当1s m =+时，若121,,,,m m αααα+L 线性相关，则1m α+可由12,,,m αααL 线性表示，矛盾，所以向量组12,,,s αααL 线性无关．
22．设非零向量β可由向量组12,,,s αααL 线性表示，证明：表示法唯一当且仅当向量组
12,,,s αααL 线性无关．
证： β可由向量组12,,,s αααL 线性表示1212(,,,)(,,,|)s s R R ααααααβ⇔=L L ． 则表示法唯一1122s s x x x αααβ⇔+++=L 有唯一解 1212(,,,)(,,,|)s s R R s ααααααβ⇔==L L 12(,,,)s R s ααα⇔=⇔L 12,,,s αααL 线性无关．
23．设12,,,n
n R ααα∈L ，证明：向量组12,,,n αααL 线性无关当且仅当任一n 维向量均
可由12,,,n αααL 线性表示．
证： 必要性：12,,,n αααL 线性无关，任取n R β∈，则12,,,,n αααβL 线性相关，所以β可由12,,,n αααL 线性表示．
充分性：任一n 维向量均可由12,,,n αααL 线性表示，则单位坐标向量12,,,n e e e L 可
由12,,,n αααL 线性表示，有
1212(,,,)(,,,)n n n R e e e R n ααα=≤≤L L ，
所以12(,,,)n R n ααα=L ，即12,,,n αααL 线性无关．
24. 设A ：1,,s ααL 和B ：1,,t ββL 为两个同维向量组，秩分别为1r 和2r ；向量组C A B =U
的秩为3r ．证明：{}21321,m ax r r r r r +≤≤．
证： 先证{}123max ,r r r ≤．显然A 组与B 组分别可由C 组线性表示，则13r r ≤，且23r r ≤，所以{}123max ,r r r ≤．
次证312r r r ≤+．设11,,i ir ααL 为A 组的一个极大无关组，21,,i ir ββL 为B 组的一个极
大无关组，则C 组可由12
11,,,,,i ir i ir ααββL L 线性表示，有
1231112(,,,,,)i ir i ir r R r r ααββ≤≤+L L ．
25．设B 为n 阶可逆阵，A 与C 均为n m ⨯矩阵，且C AB =．试证明)()(C R A R =． 证： 由C AB =，知C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示，则()()R C R A ≤．
因为B 可逆，则1
A C
B -=，知A 的列向量组可由
C 的列向量组线性表示，则
()()R A R C ≤．所以)()(C R A R =．
26．设A 为n m ⨯矩阵，证明：O A =当且仅当0)(=A R ． 证： 必要性显然，
下证充分性：()0R A A O =⇒=．
设α为A 的任一列向量，则()()0R R A α≤=，所以()00R αα=⇒=．由α的任
意性知O A =．
27．设T T T )1,5,2(,)1,0,1(,)3,1,2(321---=-=-=ααα．证明向量组123,,ααα是3
R 的一
组基，并求向量T
)3,6,2(=β在这组基下的坐标．
证： 由123710021222(,,|)10560108311310012r αααβ⎛
⎫ ⎪---⎛⎫
⎪ ⎪=-−−→- ⎪
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭- ⎪⎝⎭
M M M M M M
，
得123,,ααα是3
R 的一组基，且β在这组基下的坐标为71(,8,)22
--．
28．设m ξξξ,,,21Λ是齐次线性方程组0=AX 的基础解系，求证122,,,m ξξξξ+L 也是
0=AX 的基础解系．
证： 显然122,,,m ξξξξ+L 是0=AX 的解，只需证明它们线性无关．
12212121001
10(,,,)(,,,)(,,,)0
01m m m m m K ξξξξξξξξξξ⨯⎛⎫ ⎪
⎪
+== ⎪ ⎪⎝⎭
L L L L L M M M L
．
由10K =≠，得 12212(,,,)(,,,)m m R R m ξξξξξξξ+==L L ，所以122,,,m
ξξξξ+L 线性无关．
29．设A 是n 阶方阵．证明：存在一个n 阶非零矩阵B ，使AB O =的充要条件是0=Α． 证： 存在B O ≠，使得0AB O AX =⇔=有非零解0A ⇔=．
30．设A 是n 阶方阵，B 为s n ⨯矩阵，且n B R =)(．证明： （1）若AB O =，则A O =； （2）若B AB =，则n E A =．
证： （1）AB O =，则()()R A R B n +≤．又()()0R B n R A A O =⇒=⇒=． （2）()AB B A E B O =⇒-=．由（１）得A E O A E -=⇒=．
31．设s ααα,,,21Λ为n 维非零向量，A 为n 阶方阵，若
,,,3221Λαααα==A A s s A αα=-1,Λ，0=s A α，
试证明s ααα,,,21Λ线性无关．
证： 设1122110s s s s x x x x αααα--++++=L ． 该式两边左乘以A ，得
122310s s x x x ααα-+++=L
依此类推，得10s x α=．由0s α≠，得10x =．
同理可证20,,0s x x ==L ．所以s ααα,,,21Λ线性无关．
32．设32321211,,αααααααα+=+==A A A ，其中A 为3阶方阵，321,,ααα为3维 向量，且01≠α，证明321,,ααα线性无关．
证： 设1122330x x x ααα++=． （1） （1）式两边左乘以A ，得12123233()()0x x x x x ααα++++=． （2） （2）减去（1），得21320x x αα+=． （3） （3）式两边左乘以A ，得23132()0x x x αα++=． （4） （4）减去（3），得310x α=．因为10α≠，所以30x =．
代入（３），得210x α=，所以20x =．代入（1），得110x α=，所以10x =． 所以321,,ααα线性无关．
33．设A 为n 阶方阵，α为n 维列向量．
证明：若存在正整数m ，使0=αm A ，而01
≠-αm A ，
则1
,,,m A A ααα-L 线性无关．
证： 设10110m m x x A x A ααα--+++=L ，该式两边左乘以1
m A -，得
100m x A α-=．
因为01
≠-αm A
，所以00x =．
同理可证110m x x -===L ．所以1
,,,m A A ααα-L 线性无关．
34．设向量组A 的秩与向量组B 相同，且A 组可由B 组线性表示，证明A 组与B 组等价． 证： 设r B R A R ==)()(，r ααα,,,21Λ为A 组的一个极大无关组，r βββ,,,21Λ为B 组的一个极大无关组．由A 组可由B 组线性表示，得
r r r r K ⨯=),,,(),,,(2121βββαααΛΛ.
又12,,,()()r r R K R r ααα≥≥=L ，则r K R =)(，即K 为可逆矩阵，有
11212(,,,)(,,,)r r K βββααα-=L L ，
即r βββ,,,21Λ可由r ααα,,,21Λ线性表示，所以B 组可由A 组线性表示.故A 组与B 组等
价．
35．设向量组A ：s ααα,,,21Λ线性无关，向量组B ：12,,,r βββL 能由A 线性表示为
1212(,,,)(,,,)r s s r K βββααα⨯=L L ，
其中s r ≤，证明：向量组B 线性无关当且仅当K 的秩r K R =)(． 证： 向量组B 线性无关121,,,)(0r r X βββ⨯⇔=L 只有零解 121(,,,)()0s s r r K X ααα⨯⨯⇔=L 只有零解 12,,,10s s r r K X ααα⨯⨯=⇔
L 线性无关
只有零解()R K r ⇔=．
36．设B A ,都是n m ⨯矩阵，试证明：)()()|()(B R A R B A R B A R +≤≤+．
证： 先证()(|)R A B R A B +≤．显然A B +的列向量组可由A 的列向量组和B 的列向量组线性表示，则()(|)R A B R A B +≤．
此证(|)()()R A B R A R B ≤+．设(),()R A r R B s ==，ˆA 与ˆB 分别为A 与B 的列向量组的一个极大无关组，则(|)A B 的列向量组可由ˆA
与ˆB 线性表示，有 (|)()()R A B r s R A R B ≤+=+，
即(|)()()R A B R A R B ≤+．
37．设321,,ααα是3
R 的一组基，211ααβ+=，322ααβ+=，133ααβ+=．
（1）证明123,,βββ是3
R 的一组基；
（2）求由基321,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵；
（3）若向量γ在基321,,ααα下的坐标为)0,0,1(，求向量γ在基123,,βββ下的坐标．
证： 123123101,,)(,,)110011(βββααα⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
． （１）
（１）由101
110011
20=≠，得123123,,),)3((,R R βββααα==，则123,,βββ线性无关，
所以123,,βββ是3
R 的一组基．
（2）由（１）式，得由基321,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵101110011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
． （3）γ在基123,,βββ下的坐标
11
10111111111001110201101110Y P X ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎪
=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪
-⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭
=⎭=111(,,)222T -．
38．设A 为r m ⨯矩阵，B 为n r ⨯矩阵，且AB O =．求证： （1）B 的各列向量是齐次线性方程组0AX =的解； （2）若r A R =)(，则B O =；
（3）若B O ≠，则A 的各列向量线性相关． 证： （1）令12(,,,)n B βββ=L ．由AB O =，得
12(,,,)(0,0,,0)n A A A βββ=L L ，
即0,1,2,,j A j n β==L ，所以B 的各列向量是齐次线性方程组0AX =的解． （2）若r A R =)(，则0AX =只有零解，所以B O =．
（3）若B O ≠，则0AX =有非零解，所以A 的各列向量线性相关．
39．设A 为n 阶方阵（2≥n ），证明：
（1）当n A R =)(时，n A R =*)(； （2）当1)(-=n A R 时，1)(=*
A R ；
（3）当1)(-<n A R 时，0)(=*
A R ．
证： （1）当n A R =)(时，1
*
00n A A A
-≠⇒=≠，所以()R A n *=．
（2）当1)(-=n A R 时，由*AA A E O ==，得*
()()R A R A n +≤有*
()1R A ≤．又A 中
至少有一个1n -阶子式不为零，则**
()1A O R A ≠⇒≥，所以()1R A *
=．
（3）当1)(-<n A R 时，则A 中所有一个1n -阶子式全为零，有**
()0A O R A =⇒=．
40．设矩阵A 满足等式2
340A A E --=，试证明A 的特征值只能取值1-或4． 证： 设λ为A 的特征值．由2
340A A E --=，得λ满足2
340λλ--=，解得
1λ=-或4λ=．
41．设方阵A 满足T A A E =，其中T
A 是A 的转置矩阵，E 为单位阵．试证明A 的实特征向量所对应的特征值的模等于1．
证： 设X 为A 的实特征向量，对应的特征值为λ，则AX X λ=．由T
A A E =，得
T T T T X A AX X EX X X ==，
即()()T
T
AX AX X X =，有2T T X X X X λ=．又0T
X X >，则21λ=，所以
1λ=．
42．设矩阵A 与B 相似，试证：
（1）T A 与T B 相似； （2）当A 可逆时，1-A 与1
-B 相似． 证： A 与B 相似，则存在可逆矩阵P ，使得1
B P AP -=．
（1）1
11
)(()()T
T
T
T
T
T
T T
P AP P A P P B A P ---===． 因为T P 也可逆，所以T A 与T
B 相似．
（2）111111111)()(P AP P A P B P A P ---------===，所以1-A 与1-B 相似．
43．设B A ,都是n 阶实对称矩阵，证明A 与B 相似的充要条件是A 与B 有相同的特征值． 证： 必要性：A 与B 相似，则存在可逆阵P ，使得1
P AP B -=．有
111|||||()|||||||||B E P AP E P A E P P A E P A E λλλλλ----=-=-=⋅-⋅=-，
所以A 与B 有相同的特征多项式，即有相同的特征值．
充分性：若实对称矩阵A 与B 有相同的特征值，设n λλλΛ
,,21为它们的特征值．令
12(,,,)n diag λλλΛ=L ．
则A 与Λ相似，B 与Λ相似，所以A 与B 相似．
44．设A 为3阶矩阵，21,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足
323ααα+=A ．
（1）证明321,,ααα线性无关； （2）令),,(321ααα=P ，求AP P 1
-．
证： （1）设1122330x x x ααα++=， （1） （1）式两边左乘以A ，得1123233()0x x x x ααα-+++=． （2） （1）-（2），得113220x x αα-=．显然21,αα线性无关，则130,0x x ==．代入（１），得220x α=，有20x =，所以321,,ααα线性无关．
（2）1231231223(,,)(,,)(,,)AP A A A A αααααααααα===-+
123100100(,,)011011001001P ααα--⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
即100011001AP P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．由第一部分知P 可逆，所以1
100011001P AP --⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
．
45．设B A ,均为n 阶方阵，且n B R A R <+)()(．试证：B A ,有公共的特征向量．
证： 考虑方程组10n A X B ⨯⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，其系数矩阵的秩
()()A R R A R B n B ⎛⎫
≤+< ⎪⎝⎭
， 则方程组有非零解ξ，即0A B ξ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，故
0,0A B ξξ==，
即0λ=是,A B 的公共特征值，ξ是,A B 属于特征值0λ=的公共的特征向量．
46．设A 是n 阶方阵，且满足n A E R A E R =-++)()(．试证:E A =2
． 证： 设()R E A r +
=．
（1） 若0r =，则0=+A E ，即A E =-，有E A =2．
（2）若r n =，则()0R E A -=，即A E =，有E A =2
．
（3）若n r
<<0，则()0A E X +=的基础解系12,,,n r ααα-L 就是A 的属于特征值
1-的线性无关特征向量；又()R E A n r -=-，则()0A E X -=的基础解系
12,,,r βββL 就是A 的属于特征值
1的线性无关特征向量；从而A 有n 个线性无关特征
向量：1212,,,,,,,n r r αααβββ-L
L ，所以A 能相似对角化．
令()1212,,,,,,,n r r P αααβββ-=
L L ，有
1
n r
r E O P AP O
E ---⎛⎫=Λ=
⎪⎝⎭
， 则1
n r
n r E O A P P O E ----⎛⎫=
⎪⎝⎭
，所以E A =2
．
47．n 阶矩阵B A ,满足B A AB +=，证明1=λ不是A 的特征值．
证： 由B A AB +=，得()()A E B E E --=，所以A E -可逆，有0≠-E A ，所以1=λ不是A 的特征值．
48．证明：若矩阵A 正定，则矩阵A 的主对角线元素全大于零． 证： 设实对称矩阵()ij n n A a ⨯=正定，则二次型11
n n
T
ij i
j
i j f X AX a x x
====
∑∑正定．取
1110,,0,1,0,,0i i i n x x x x x -+=====L L ，
则0ii f a =>．由i 的任意性，所以A 的主对角线元素全大于零．。