第12讲3力学量确定和不确定性原理5-6

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实际事例：衍射和聚焦
公式为
d sin / 2
p p x p sin 2d d x p xp x 2 2
返回
d

D
发射天线
天线尺度：
R x
xp x 2
p x xp Rk p 2
返回
x
R p
px
4R
不确定性原理的公式
1 ˆ ˆ 2 2 1/ 2 ˆ ˆ [ (A) (B) ] [ A, B] 2
返回
常用的不确定关系式
坐标和动量，令 [ x, px ] i ˆ x, B ˆp 由 A x
得到： 时间和能量，令 由 得到
2
ˆx x p
2
2
ˆ ˆ t A E i , B t ˆ , t ] [i , t ] i [E t
n 0 n 0
重写上面的公式
ˆ F F n n n ˆF ˆF F G ˆ F ˆ ˆ G ˆG G n n n n n n ˆ F G ˆ F G G ˆF ˆG ˆ F n n n n 0 n n
ˆ 实际上，应理解为，在 n 状态，算符 G
ˆ C C G G G a na a n na n n
a 1 a 1 f f
ˆ C Baidu Nhomakorabea G G G a na a na na n Ca na
a 1 a 1 a1
f
f
f
Gn 可以由归一化常数求出：
C
a 1
f
a
ˆ G na G na n Ca aa
脉冲能量是：
E
量子力学
主讲：林洁丽
alishalin@163.com
电子与信息工程学院光信息工程系
2012年9月
第三章 矩阵力学
提纲
§3.1 力学量的平均值 §3.2 算符的运算规则 §3.3 厄米算符的本征值和本征函数 §3.4 连续谱本征函数（简介） §3.5 量子力学中力学量的测量值 §3.6 不确定性原理
ˆ C
1 ˆ , B ˆ] [A 2 2
ˆ , B ˆ, B ˆ] [A ˆ] 作替换 [A
1 2 2 1/ 2 ˆ ˆ , B ˆ ˆ] [ (A) (B) ] [A 2
ˆ ) (B ˆ) ] [ (A
2 2
1/ 2
1 ˆ ˆ [ A, B] 2
返回
在非本征态中的测量
利用本征函数的正交归一化性质：
Cn n
n
ˆ ˆ F Fdr CmCn m F n dr n,m

C
n ,m
m
Cn Fn n dr
m
C
n ,m
m
Cn Fn mn
C
n
2 n
Fn
所以，在非该算符的本征态中测量它所代 表的力学量，无确定值，但是有各种可 能值，结果测量得到的是平均值。 而且，该平均值是由该算符的本征值统计 平均得到的。 就是说，测量的是概率，是该本征值出现 的概率，由概率幅的平方表示，得到一 个分布函数，可以是连续谱或分立谱。 返回
第12讲 第三章 矩阵力学基础(I) ——力学量和算符
• • • • • §3.5 §3.6 小结 思考 作业 量子力学中力学量的测量值 不确定性原理
结束
§3.5
量子力学中力学量的测量值
力学量有确定值的条件 在非本征态中测量力学量的结果 不同力学量同时有确定值的条件
返回
力学量有确定值的条件
确定值的定义：在量子力学中，在某一状态测 量力学量具有确定值的充要条件：该态中力 学量的平方平均差为零。
a 1 f
ˆ G ˆ C C G ˆ G a na a na n
a 1 a 1
f
f
ˆ 也是有相同的简并，立刻可以 如果 n 对 G
得到
ˆ C C G G G a na a n na n n
a 1 a 1
f
f
但是，一般情况对两个不同的力学量，尽管 是本征函数，它们却有不同的简并度。于 是：
即要求：
ˆ ˆ [ F , G] 0
但是不能由此得到逆定理， 说有相同本征函数的两个算 符一定是可对易的
下面研究有多个共同本征函数的情况
这些共同的本征函数组成一个本征函数系， 表示为：
n n
任意函数 可由 n 展开：
Cn n
n
在这个函数集合中， 是否对于每一个函数， 力学量同时测量的要求，也是该 力学量算符是可以对易的呢？
不确定性原理 uncertainty principle
不确定性原理曾称为测不准关系，表示在一个 既非
ˆ A
又非
ˆ 的本征态中测量 A ˆ B
和
ˆ B
时
得到的结果。 返回
不确定性原理的推导
设
ˆ, B ˆ] 0 [A
ˆ iB ˆ dr 0 I ( ) A
2
构造一个积分
1 ˆ ˆ [ A, B] 2 2
2 2 1/ 2 ˆ ˆ [ A B ]
ˆ C
1 ˆ ˆ [ A, B] 2 2
上式对任意厄米算符成立。现在考虑算符：
ˆA ˆ A ˆ , B ˆB ˆ B ˆ A
也是厄米算符，代入上式：
2 2 1/ 2 ˆ ˆ [ (A) (B) ]
有本征值 G0
对易算符有共同的本征函数证明2（略）
证明2：简并情况，若简并度f ˆ F , a 1,2, f F na n na
相同的运算得到
ˆ F G ˆ , a 1,2, f ˆG F na n na
ˆ 与 na 只差一个常数的结论。 此时不能得到 G na ˆ 不过 G 也只能是 na 的线性组合 na
证明
返回
对易算符有共同的本征函数证明1
证明1，非简并情况 ˆ F F n n n
ˆ] 0 ˆ,G 若 [F
则
ˆF ˆF F G ˆ F ˆ ˆ G ˆG G n n n n n n
ˆ 也是 F ˆ 的本征函数。 表明 G n
对应于本征值为 Fn 的本征函数应该只有 ˆ G 一个，所以 G , G 是常数。
力学量作用于这个本征函数时：
ˆ G ˆF ˆ G ˆF ˆG ˆ ˆG ˆ F C F
n n n
0
由于波函数不为零，方程成立的条件仍是
ˆ G ˆF ˆG ˆ F , G 0 F
就是说，对于每一个 n 这个对易关系都
必须满足。
逆定理：
若线性厄米算符对易， 则它们必有共同的本征函数， 并构成正交完备系。
隧道效应 衍射和聚焦 发射天线 零点能 通信带宽
返回
隧道效应
在势垒内找到粒子的同时，粒子的动量无法确定， 从而粒子的动能T=p2/2u有一定的变化范围。设势 垒宽度为a，坐标范围为(0，a)，则粒子在势垒内 的坐标的不确定范围为Δx=a，根据测不准关系
• Δx2•Δpx2≥ћ2/4 • 得到粒子的动量的不确定程度大小为： • Δpx2≥ћ2/(4a2)， • 所以粒子动能的不确定范围为：
2 ˆ I ( ) A dr 2 ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ i ( AB BA)dr B dr
继续运算
2 ˆ I ( ) A dr 2 ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ i ( AB BA)dr B dr
F
F
2
2
0



ˆ F F

2


ˆ F F
dr
2
利用厄米算符的性质
F
2
ˆ F ) 2dr ( F
2
ˆ ˆ [(F F ) ] ( F F )dr
ˆ F ) dr 0 ( F
精确测量要求： ˆ F F 即要求在本征态测量，而且测量值就是平均值。 返回
2 1 1 2 2 E m ( x ) 8m (x) 2 2 2 (x) min 求能量最小值时得 2m
2 2m 1 1 2 E m 最小能量： 8m 2 2m 2
返回
通信带宽
由时间和动量不确定原理
E t 2
设代表比特的脉冲宽度： t
ˆ ˆ iB ˆ ˆ )dr I ( ) (A iB )(A 2 ˆ ˆ ( A ) Adr
ˆ )(B ˆ ) (B ˆ i [( A ˆ )(B ˆ )dr (B

应用事例：零点能
对于一维谐振子
有
px 0 ,
2
x 0
x px
2
2
x x
2
x2
2
px
2
px
px
2
能量平均值
E
(px ) 2 2m
1 2 2 m (x) 2
利用不确定性原理将能量方程写为坐标函数
E (px ) 2 2m 1 2 2 m (x) 2

ˆ )]dr )( A
ˆ, B ˆ 是厄米算符 考虑到 A
ˆ ) A ˆ dr I ( ) 2 ( A
ˆ ˆ )]dr ˆ ˆ i [( A )(B ) ( B )( A ˆ ˆ )dr ( B )(B
a 1
f
C (G
a 1 a
f
aa
Gn aa ) 0
构成新的本征函数以后，得到新的完备的本征函 ˆ 共有。 ˆ 和 G 数系。属 F
返回
§3.6
不确定性原理
定义——解决的问题 不确定性原理的推导过程 不确定性原理的公式 不确定性原理公式得到的几个不确定性关系 不确定性原理的物理意义 不确定性原理的应用 返回
I ( )
2
2 2 ˆ ˆ ˆ A C B 0
ˆ 满足： 式中算符C
ˆ, B ˆ ˆ ] iC [A
现在，求解二次式
ˆ2 C ˆ B ˆ2 0 I ( ) 2 A
不等式成立的条件是
2 2 ˆ ˆ A B
ˆ C 4 ˆ C
2
即
2 2 1/ 2 ˆ ˆ [ A B ]
返回
不确定性原理的物理意义
波粒二象性和波函数统计解释的直接结果。 特别应值得注意的是，这个不确定性原理是 微观系统的性质，它的存在是与测量无关 的。所以原来的名称《测不准关系》实在 不妥。 不确定性原理表示一个实际的物理状态是由 互相制约的物理过程形成的典型状态。
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不确定原理的应用（简略或自学）
4
t
2

ˆ E
2
4
2
常用的不确定关系式 ——简化的表示
通式 坐标和动量
1 ˆ ˆ A B [ A, B] 2 x p x 2 t E 2
能量和时间
其它不确定关系
方位角和角动量
z Lz 2
量子数和相位
n 1
2 p x 2 2 • ΔT 2u 8a u
隧道效应
• 结论：在量子力学里，粒子的动能T(px)和势能 V(x)不能同时确定。
• E=T+V 是没有意义的； • 有意义的是平均值关系式：E T V • 无意义的：在某一点或某一区域内粒子的能量等 于动能和势能之和的； • 有意义的：在一个态中平均总能量等于平均动能 和平均势能之和（平均意味着对自变量的整个区 域积分，从而包括了不确定量）。
不同力学量同时有确定值的条件
考虑两个力学量，如果
ˆ f F ˆ g G 必须是 F ˆ 共同的本征函数。 ˆ,G
可以得到：
ˆ ˆ ˆ GF Gf fg ˆ ˆ ˆ FG Fg gf
两式相减：
ˆF ˆ ) ( fg gf ) 0 ˆ F ˆG (G
这个线性组合，一般地表示为：
n Ca na , a 1,2, f
a 1
f
选择 Ca 使得
ˆ G G n 0 n
式中G0 为一常数，于是
f f
ˆ C G G a na 0 Ca na
a 1 a 1
首先
ˆ C F F , a 1,2, f F n a n na n n