粒子的波动性.ppt
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1.电子单缝衍射
播放动画
19
入射前电子在 x 方向无动量，
电子通过单缝时位置的不确定 x
范围为：a=x，
其第一级暗纹的衍射角满足：
Px
sin 1
a
x
a
x
o
y
电子通过单缝后，由于衍射的 作用，获得 x方向动量 Px，
0 px p sin 1
在x方向的动量的不确定量为：
Px
P sin 1
P
电子枪
U K
D
电子束
探测器
B
G
12
实验发现，电子束强度并不随 I
加速电压而单调变化，而是出 现一系列峰值。
当 U=54V, θ=500 时
电流有一峰值，此实验验证
了电子具有波动性，
54
U
电子加速
1 2
m
ev
2
eU
(m ev )2 2m eeU
h h
p 2meeU
电子束在两晶面反射加强条件：2d sin k 13
电子动量不确定度
Px P 0.01％ m ev 0.01%
9.11 10 31 200 0.01%
1.8 10 32 kg m s 1
x px
x Px
5.89103 m
23
（2）子弹位置的不确定度 子弹动量不确定度
Px P 0.01％ mv 0.01%
0.01 200 0.01% 2.0 10 4 kg m s 1
x 5.251031m
Px
子弹 x 10 30 m 很小，仪器测不出，
用经典坐标、动量完全能精确描写。对微观粒子不 能用经典力学来描写。
24
3.能量和时间的不确定关系
在量子力学中，对能量和时间的同时测量也存在 类似的不确定关系，即：
E t
E 表示粒子能量的不确定量，而t可表示粒子 处于该能态的平均时间。
一切实物粒子都有具有波粒二象性。 实物粒子：静止质量不为零的那些微观粒子。
3
实物粒子的波粒二象性的意思是：微观粒子既表现出 粒子的特性，又表现出波动的特性。
实物粒子的波称为德布罗意波或物质波，物质波的波 长称为德布罗意波长。
2.德布罗意关系式
德布罗意把爱因斯坦对光的波粒二象性描述应用 到实物粒子，
x
代入德布罗意关系： h
P
20
Px
h x
即 x px h
考虑到更高级的衍射图样，则应有：
Px
P sin
h x
即 x px h
量子力学严格证明给出： x px / 2
式中： h 1.05458871034 J S
2
由于公式通常只用于数量级的估计，所以它又常简写
为： x px
10
9
11
4.德布罗意波的实验验证
X 射线照在晶体上可以产 生衍射，电子打在晶体上也能 观察电子衍射。
1. 电子衍射实验1
1927年 C.J.戴维森与 G.P.革 末作电子衍射实验，验证电子 具有波动性。
戴维逊和革末的实验是 用电子束垂直投射到镍单 晶，电子束被散射。其强 度分布可用德布罗意关系 镍单晶 和衍射理论给以解释，从 而验证了物质波的存在。
上面的结果说明宏观物体的波动性是不显著的，对宏 观物体不必考虑其波动性，只考虑其粒子性即可。
8
3.从德布罗意波导出玻尔角动量量子化条件
电子在轨道运动时，当电子轨道周长恰为物质波
波长的整数倍时，可以形成稳定的驻波，这就对应 于原子的定态。
2rn n,
2rn
nh mv
h ,
mv
L
mvr n
nh
例1:某原子的第一激发态的能级宽度为 E=6 10-8电 子伏，试估算原子处于第一激发态的寿命t。
解:根据时间与能量的不确定关系，有:
t
E
1.05 10 34 6 10 8 1.6 10 19
1.09 108 (s)
25
定义：两个量的相乘积与h有相同量纲（J.S）的物理 量称为共轭量。 可以证明：凡是共轭的量都是满足不确定关系的。
1 2
mev
2 y
eU
vy
2eU
me
21.61019 9000 5.6107 m
3.11031
x
电子到达荧光屏上时：
x'
vxt
vx
y vy
1.2
0.5 5.6 107
1.2108 m
y
28
4. 不确定关系的物理意义
不确定关系是建立在波粒二象性基础上的一条基 本客观规律，它是波粒二象性的深刻反应，也是对波 粒二象性的进一步描述。
6
（1）当EK=100eV时，电子静能E0=m0c2=0.51MeV，有：
Ek m0c2 则：
hc
2m0c 2 Ek
6.631034 3108
1.231010 m
2100 0.51106 (1.61019 )2
以上结果与X射线的波长相当，
（4）当EK= 1MeV 时，有：
hc
8.731013(m)
学奖。
动画
13此后，人们相继证实了原子、分子、中子等都具有波动性。15
5.德布罗意波的统计解释
究竟怎样理解波和它所描写的粒子之间的关系?
对这个问题曾经有过各种不同的看法。例如，有人认为波是 由它所描写的粒子组成的。这种看法与实验不符。我们知道， 衍射现象是由波的干涉而产生的，如果波真是由它所描写的粒 子所组成，则粒子流的衍射现象应当是由于组成波的这些粒子 相互作用而形成的。但事实证明，在粒子流衍射实验中，照象 片上所显示出来的衍射图样和入射粒子流强度无关，也就是说 和单位体积中粒子的数目无关。如果减小入射粒子流强度，同 时延长实验的时间，使投射到照象片上粒子的总数保持不变， 则得到的衍射图样将完全相同。即使把粒子流强度减小到使得 粒子一个一个地被衍射，照片上一次出现一个孤立的点，体现 了电子的粒子性。只要经过足够长的时间，所得到的衍射图样 也还是一样。这说明每一个粒子被衍射的现象和其他粒子无关， 衍射图样不是由粒于之间的相互作用而产生的。
2
n 1,2,3
电子波动反映到原子中，为驻波。
9
例：求静止电子经 15000V 电压加速后的德波
波长。
解：静止电子经电压U加速后的动能 1 mv 2 eU 由 P mv 代入 P 2meU 2
h h
P 2meU
6.63 10 34
2 9.1 10 31 1.6 10 19 15000
1 10 11 m
29
5. 不确定关系的应用
在原子尺度内， 是个良好的近似。
y py ,
E t
•• 估算氢原子可能具有的最低能量
电子束缚在半径为r 的球内，所以x r
按不确定关系 p ~ / r p p / r
当不计核的运动，氢原子的能量就是电子的能量：
p2
e2
E
2me 4 or
代入上式得：
2
e2
E 2mer2 4 or
30
处于基态的原子能量是稳定的应满足：
dE 0 dt
(
2 me r 3
e2
4 or 2
)
dr dt
由此得出基态氢原子半径：ro
0
oh2 e2me
0.531010 m
基态氢原子的能量： Emin
与波尔理论结果一致。
e4me
8 o 2 h 2
13.6eV
本例还说明：量子体系有所谓的零点能。
粒子的波动性
1
实物粒子的波粒二象性、 不确定关系
2
一、德布罗意物质波的假设
1.物质波的引入
光具有粒子性，又具有波动性。
光子能量和动量为 E h
P h
m h
c
上面两式左边是描写粒子性的 E、P；右边是描写
波动性的 、。 将光的粒子性与波动性联系起来。
1923年，德布罗意最早想到了这个问题，并且大胆地设想，对于光子的波粒 二象性会不会也适用于实物粒子。
因为若束缚态动能为零，即速度的不确定
范围为零，则粒子在空间范围趋于无穷大，
即不被束缚。这与事实相左。
31
•• 解释谱线的自然宽度
原子中某激发态的平均寿命为 t 108 s
普朗克 能量子假说
E h
不确定关系
t E
2
h
2
谱线的 自然宽度
它能解释谱线的自然宽度
32
不确定关系是物质的波粒二象性引起的。
对于微观粒子，我们不能用经典的来描述。 22
例1：若电子与质量 m = 0.01 Kg 的子弹，都以 200 m/s 的速度沿 x 方向运动，速率测量相对 误差在 0.01% 内。求在测量二者速率的同时测
量位置所能达到的最小不确定度 x 。
解：（1）电子位置的不确定度
不确定关系是由物质本身固有的特性所决定的， 而不是由于仪器或测量方法的缺陷所造成的。不论测 量仪器的精度有多高，我们认识一个物理体系的精确 度也要受到限制。
不确定关系说明经典描述手段对微观粒子不再适用。
不确定关系指明了宏观物理与微观物理的分界线。 在某个具体问题中，粒子是否可作为经典粒子来处理， 起关健作用的是普朗克恒量h的大小。
2E0
Ek
Ek 2
1 c
Ek 2 2Ek mec2
代入德布罗意公式， h ，有：
hc
P
Ek 2 2Ek mec2
若：Ek<<m0c2 则：
hc h
h
h
2Ek mec2
2meEk 2me (mev2 ) / 2 mev
5
若： Ek>>m0c2 则：
hc hc
Ek 2 Ek
Ek 2 2Ek m0c2
7
（4）当EK= 1GeV 时， Ek m0，c2有：
hc 1.24 1015 (m)
Ek
例2：质量 m= 50Kg的人，以 v=15 m/s 的速度运 动，试求人的德布罗意波波长。
解： h h P mv
6.63 10 34 50 15
8.8 10 37 m
26
例2:电子在原子大小范围( x=10-10米)内运动，试求 电子所能有的最小动能。
解:根据时间与能量的不确定关系，有:
px
x
Baidu Nhomakorabea
1.05 10 10 10
34
1.05 1024 (kg m / s)
E
(p)2 2m
(1.05 10 24 )2 2 9.1110 31
6.05 10 19 (J )
推广到三维空间，则还应有：
y py , z pz ,
21
2.海森伯不确定关系
1927年海森伯提出：粒子在某方向上的坐标不 确定量与该方向上的动量不确定量的乘积必不小于普 朗克常数。
海森伯不确定关系告诉我们：微观粒子坐标和动量 不能同时确定。粒子位置若是测得极为准确，我们将 无法知道它将要朝什么方向运动；若是动量测得极为 准确，我们就不可能确切地测准此时此刻粒子究竟处 于什么位置。
动量为 P 的粒子波长： h h h P mv mev
德布罗意公式
德布罗意是第一个由于博士论文（提出的物质波的假 设）获得了诺贝尔奖。
4
例1：试计算动能分别为100eV、1MeV、1GeV的
电子的德布罗意波长。 解：由相对论公式： E E0 Ek , E2 E02 C2P2
得： P 1 c
与实验值相差很小。
这表明电子具有波动性，实物粒子具有波动性是正确 的。
14
2. 电子衍射实验2
电子束在穿过细晶体粉末 或薄金属片后，也象X射线 一样产生衍射现象。
阴极 栅极
多晶 薄膜
K
G
Cs
1927年 G.P.汤姆逊（J.J.
U
汤姆逊之子） 也独立完成了
高压
屏P
电子衍射实验。与 C.J.戴维
森共获 1937 年诺贝尔物理
3.78eV
27
例3：电视机显像管中的电子枪的枪口约0.1mm，电子 的加速电压为9kV，求电子束的纵向速度的不确定量。 若电子枪到显示屏的距离为50cm,电子达到显示屏时的 位置偏差为多少？
解：
vx
mex
6.63 10 34 9.110 31 0.110 3
1.2m/ s
电子沿y方向的速度由：
16
17
物质波振幅的平方与粒子在该处邻近出现的概率成 正比。
电子出现的概率反映该处的波强。
粒子观点
波动观点 波强
电子密处，概率大。 电子疏处，概率小。
电子密处，波强大。
电子疏处，波强小。
振幅A2
粒子密度
概率
机械波是机械振动在空间传播，德布罗意波是对微 观粒子运动的统计。
18
二、不确定关系
经典力学中，物体初始位置、动量以及粒子所在 力场的性质确定后，物体以后的运动位置就可确定。 但对微观粒子，因具有的波动性，其坐标和动量不能 同时确定。我们不能用经典的方法来描述它的粒子性。
h h
2d sin k
P 2m eeU
再由： U 54V, m e 9.11 10 31 Kg
6.631034
0.167nm
29.11031 1.61019 54
电子衍射掠射角： 180 50 650
2
镍单晶 d 0.911010m, 650
k 1,
2d sin 2 0.911010 sin 65 0.165nm
播放动画
19
入射前电子在 x 方向无动量，
电子通过单缝时位置的不确定 x
范围为：a=x，
其第一级暗纹的衍射角满足：
Px
sin 1
a
x
a
x
o
y
电子通过单缝后，由于衍射的 作用，获得 x方向动量 Px，
0 px p sin 1
在x方向的动量的不确定量为：
Px
P sin 1
P
电子枪
U K
D
电子束
探测器
B
G
12
实验发现，电子束强度并不随 I
加速电压而单调变化，而是出 现一系列峰值。
当 U=54V, θ=500 时
电流有一峰值，此实验验证
了电子具有波动性，
54
U
电子加速
1 2
m
ev
2
eU
(m ev )2 2m eeU
h h
p 2meeU
电子束在两晶面反射加强条件：2d sin k 13
电子动量不确定度
Px P 0.01％ m ev 0.01%
9.11 10 31 200 0.01%
1.8 10 32 kg m s 1
x px
x Px
5.89103 m
23
（2）子弹位置的不确定度 子弹动量不确定度
Px P 0.01％ mv 0.01%
0.01 200 0.01% 2.0 10 4 kg m s 1
x 5.251031m
Px
子弹 x 10 30 m 很小，仪器测不出，
用经典坐标、动量完全能精确描写。对微观粒子不 能用经典力学来描写。
24
3.能量和时间的不确定关系
在量子力学中，对能量和时间的同时测量也存在 类似的不确定关系，即：
E t
E 表示粒子能量的不确定量，而t可表示粒子 处于该能态的平均时间。
一切实物粒子都有具有波粒二象性。 实物粒子：静止质量不为零的那些微观粒子。
3
实物粒子的波粒二象性的意思是：微观粒子既表现出 粒子的特性，又表现出波动的特性。
实物粒子的波称为德布罗意波或物质波，物质波的波 长称为德布罗意波长。
2.德布罗意关系式
德布罗意把爱因斯坦对光的波粒二象性描述应用 到实物粒子，
x
代入德布罗意关系： h
P
20
Px
h x
即 x px h
考虑到更高级的衍射图样，则应有：
Px
P sin
h x
即 x px h
量子力学严格证明给出： x px / 2
式中： h 1.05458871034 J S
2
由于公式通常只用于数量级的估计，所以它又常简写
为： x px
10
9
11
4.德布罗意波的实验验证
X 射线照在晶体上可以产 生衍射，电子打在晶体上也能 观察电子衍射。
1. 电子衍射实验1
1927年 C.J.戴维森与 G.P.革 末作电子衍射实验，验证电子 具有波动性。
戴维逊和革末的实验是 用电子束垂直投射到镍单 晶，电子束被散射。其强 度分布可用德布罗意关系 镍单晶 和衍射理论给以解释，从 而验证了物质波的存在。
上面的结果说明宏观物体的波动性是不显著的，对宏 观物体不必考虑其波动性，只考虑其粒子性即可。
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3.从德布罗意波导出玻尔角动量量子化条件
电子在轨道运动时，当电子轨道周长恰为物质波
波长的整数倍时，可以形成稳定的驻波，这就对应 于原子的定态。
2rn n,
2rn
nh mv
h ,
mv
L
mvr n
nh
例1:某原子的第一激发态的能级宽度为 E=6 10-8电 子伏，试估算原子处于第一激发态的寿命t。
解:根据时间与能量的不确定关系，有:
t
E
1.05 10 34 6 10 8 1.6 10 19
1.09 108 (s)
25
定义：两个量的相乘积与h有相同量纲（J.S）的物理 量称为共轭量。 可以证明：凡是共轭的量都是满足不确定关系的。
1 2
mev
2 y
eU
vy
2eU
me
21.61019 9000 5.6107 m
3.11031
x
电子到达荧光屏上时：
x'
vxt
vx
y vy
1.2
0.5 5.6 107
1.2108 m
y
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4. 不确定关系的物理意义
不确定关系是建立在波粒二象性基础上的一条基 本客观规律，它是波粒二象性的深刻反应，也是对波 粒二象性的进一步描述。
6
（1）当EK=100eV时，电子静能E0=m0c2=0.51MeV，有：
Ek m0c2 则：
hc
2m0c 2 Ek
6.631034 3108
1.231010 m
2100 0.51106 (1.61019 )2
以上结果与X射线的波长相当，
（4）当EK= 1MeV 时，有：
hc
8.731013(m)
学奖。
动画
13此后，人们相继证实了原子、分子、中子等都具有波动性。15
5.德布罗意波的统计解释
究竟怎样理解波和它所描写的粒子之间的关系?
对这个问题曾经有过各种不同的看法。例如，有人认为波是 由它所描写的粒子组成的。这种看法与实验不符。我们知道， 衍射现象是由波的干涉而产生的，如果波真是由它所描写的粒 子所组成，则粒子流的衍射现象应当是由于组成波的这些粒子 相互作用而形成的。但事实证明，在粒子流衍射实验中，照象 片上所显示出来的衍射图样和入射粒子流强度无关，也就是说 和单位体积中粒子的数目无关。如果减小入射粒子流强度，同 时延长实验的时间，使投射到照象片上粒子的总数保持不变， 则得到的衍射图样将完全相同。即使把粒子流强度减小到使得 粒子一个一个地被衍射，照片上一次出现一个孤立的点，体现 了电子的粒子性。只要经过足够长的时间，所得到的衍射图样 也还是一样。这说明每一个粒子被衍射的现象和其他粒子无关， 衍射图样不是由粒于之间的相互作用而产生的。
2
n 1,2,3
电子波动反映到原子中，为驻波。
9
例：求静止电子经 15000V 电压加速后的德波
波长。
解：静止电子经电压U加速后的动能 1 mv 2 eU 由 P mv 代入 P 2meU 2
h h
P 2meU
6.63 10 34
2 9.1 10 31 1.6 10 19 15000
1 10 11 m
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5. 不确定关系的应用
在原子尺度内， 是个良好的近似。
y py ,
E t
•• 估算氢原子可能具有的最低能量
电子束缚在半径为r 的球内，所以x r
按不确定关系 p ~ / r p p / r
当不计核的运动，氢原子的能量就是电子的能量：
p2
e2
E
2me 4 or
代入上式得：
2
e2
E 2mer2 4 or
30
处于基态的原子能量是稳定的应满足：
dE 0 dt
(
2 me r 3
e2
4 or 2
)
dr dt
由此得出基态氢原子半径：ro
0
oh2 e2me
0.531010 m
基态氢原子的能量： Emin
与波尔理论结果一致。
e4me
8 o 2 h 2
13.6eV
本例还说明：量子体系有所谓的零点能。
粒子的波动性
1
实物粒子的波粒二象性、 不确定关系
2
一、德布罗意物质波的假设
1.物质波的引入
光具有粒子性，又具有波动性。
光子能量和动量为 E h
P h
m h
c
上面两式左边是描写粒子性的 E、P；右边是描写
波动性的 、。 将光的粒子性与波动性联系起来。
1923年，德布罗意最早想到了这个问题，并且大胆地设想，对于光子的波粒 二象性会不会也适用于实物粒子。
因为若束缚态动能为零，即速度的不确定
范围为零，则粒子在空间范围趋于无穷大，
即不被束缚。这与事实相左。
31
•• 解释谱线的自然宽度
原子中某激发态的平均寿命为 t 108 s
普朗克 能量子假说
E h
不确定关系
t E
2
h
2
谱线的 自然宽度
它能解释谱线的自然宽度
32
不确定关系是物质的波粒二象性引起的。
对于微观粒子，我们不能用经典的来描述。 22
例1：若电子与质量 m = 0.01 Kg 的子弹，都以 200 m/s 的速度沿 x 方向运动，速率测量相对 误差在 0.01% 内。求在测量二者速率的同时测
量位置所能达到的最小不确定度 x 。
解：（1）电子位置的不确定度
不确定关系是由物质本身固有的特性所决定的， 而不是由于仪器或测量方法的缺陷所造成的。不论测 量仪器的精度有多高，我们认识一个物理体系的精确 度也要受到限制。
不确定关系说明经典描述手段对微观粒子不再适用。
不确定关系指明了宏观物理与微观物理的分界线。 在某个具体问题中，粒子是否可作为经典粒子来处理， 起关健作用的是普朗克恒量h的大小。
2E0
Ek
Ek 2
1 c
Ek 2 2Ek mec2
代入德布罗意公式， h ，有：
hc
P
Ek 2 2Ek mec2
若：Ek<<m0c2 则：
hc h
h
h
2Ek mec2
2meEk 2me (mev2 ) / 2 mev
5
若： Ek>>m0c2 则：
hc hc
Ek 2 Ek
Ek 2 2Ek m0c2
7
（4）当EK= 1GeV 时， Ek m0，c2有：
hc 1.24 1015 (m)
Ek
例2：质量 m= 50Kg的人，以 v=15 m/s 的速度运 动，试求人的德布罗意波波长。
解： h h P mv
6.63 10 34 50 15
8.8 10 37 m
26
例2:电子在原子大小范围( x=10-10米)内运动，试求 电子所能有的最小动能。
解:根据时间与能量的不确定关系，有:
px
x
Baidu Nhomakorabea
1.05 10 10 10
34
1.05 1024 (kg m / s)
E
(p)2 2m
(1.05 10 24 )2 2 9.1110 31
6.05 10 19 (J )
推广到三维空间，则还应有：
y py , z pz ,
21
2.海森伯不确定关系
1927年海森伯提出：粒子在某方向上的坐标不 确定量与该方向上的动量不确定量的乘积必不小于普 朗克常数。
海森伯不确定关系告诉我们：微观粒子坐标和动量 不能同时确定。粒子位置若是测得极为准确，我们将 无法知道它将要朝什么方向运动；若是动量测得极为 准确，我们就不可能确切地测准此时此刻粒子究竟处 于什么位置。
动量为 P 的粒子波长： h h h P mv mev
德布罗意公式
德布罗意是第一个由于博士论文（提出的物质波的假 设）获得了诺贝尔奖。
4
例1：试计算动能分别为100eV、1MeV、1GeV的
电子的德布罗意波长。 解：由相对论公式： E E0 Ek , E2 E02 C2P2
得： P 1 c
与实验值相差很小。
这表明电子具有波动性，实物粒子具有波动性是正确 的。
14
2. 电子衍射实验2
电子束在穿过细晶体粉末 或薄金属片后，也象X射线 一样产生衍射现象。
阴极 栅极
多晶 薄膜
K
G
Cs
1927年 G.P.汤姆逊（J.J.
U
汤姆逊之子） 也独立完成了
高压
屏P
电子衍射实验。与 C.J.戴维
森共获 1937 年诺贝尔物理
3.78eV
27
例3：电视机显像管中的电子枪的枪口约0.1mm，电子 的加速电压为9kV，求电子束的纵向速度的不确定量。 若电子枪到显示屏的距离为50cm,电子达到显示屏时的 位置偏差为多少？
解：
vx
mex
6.63 10 34 9.110 31 0.110 3
1.2m/ s
电子沿y方向的速度由：
16
17
物质波振幅的平方与粒子在该处邻近出现的概率成 正比。
电子出现的概率反映该处的波强。
粒子观点
波动观点 波强
电子密处，概率大。 电子疏处，概率小。
电子密处，波强大。
电子疏处，波强小。
振幅A2
粒子密度
概率
机械波是机械振动在空间传播，德布罗意波是对微 观粒子运动的统计。
18
二、不确定关系
经典力学中，物体初始位置、动量以及粒子所在 力场的性质确定后，物体以后的运动位置就可确定。 但对微观粒子，因具有的波动性，其坐标和动量不能 同时确定。我们不能用经典的方法来描述它的粒子性。
h h
2d sin k
P 2m eeU
再由： U 54V, m e 9.11 10 31 Kg
6.631034
0.167nm
29.11031 1.61019 54
电子衍射掠射角： 180 50 650
2
镍单晶 d 0.911010m, 650
k 1,
2d sin 2 0.911010 sin 65 0.165nm