28现代数学及其发展

现代数学及其发展

1 概率论

概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。

随机现象是指这样的客观现象，当人们观察它时，所得的结果不能预先确定，而只是多种可能结果中的一种。在自然界和人类社会中，存在着大量的随机现象。例如，掷一硬币，可能出现正面或反面；测量一物体长度，由于仪器及观察受到环境的影响，每次测量结果可能有差异；在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐；等等。这些都是随机现象。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件又通称随机事件，或简称事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中发生某个事件是带有偶然性的，但那些可以在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律性。人们在长期实践中已逐步觉察到某些这样的规律性，并在实际中应用它。大数定律及中心极限定理就是描述和论证这些规律的。在实际中，人们往往还需要研究在时间推进中某一特定随机现象的演变情况，描述这种演变的就是概率论中的随机过程。研究随机过程的统计特性，计算与过程有关的某些事件的概率，特别是研究与过程样本轨道(即过程的一次实现)有关的问题，是现代概率论的主要课题。总之，概率论与实际有着密切的联系，它在自然科学、技术科学、社会科学、军事和工农业生产中都有广泛的应用。概率论还是数理统计学的理论基础。

发展简史。概率论有悠久的历史，它的起源与博奔问题有关。16世纪，意大利的的一些学者开始研究掷银子等赌博中的一些简单问题，例如：比较掷两个银子出现总点数为9或10的可能性大小。17世纪中叶，法国数学家B．帕斯卡、P．de费马及荷兰数学家C．惠更斯基于排列组合的方法研究了一些较复杂的赌博问题，他们解决了“合理分配赌注问题”(即“得分问题”)、“输光问题”等等。其方法不是直接计算赌徒赢局的概率，而是计算期望的赢值，从而导致了现今称之为数学期望的概念。使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人则是瑞士数学家雅各布第一·伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数律。拉普拉斯对概率论的发展贡献很大。他在系统总结前人工作的基础上，写出了《概率的分析理论》(1812年出版)。在这一著作中，他首次明确规定了概率的古典定义(通常称为古典概率)，并在概率论中引入了更有力的分析工具，如差分方程、母函数等，将概率论推向一个新的发展阶段。到20世纪30年代，有关独立随机变量序列的极限理论日臻完备。在这期间，由于实际问题的需要，人们开始研究随机过程。1905年A．爱因斯坦和R．斯莫卢霍夫斯基各自独立地研究了布朗运动。1907年马尔可夫提出了现今称之马尔可夫链的概念；而马尔可夫过程的理论基础则由柯尔莫哥洛夫在1931年所确定。莱维建立了独立增量过程的一般理论。他的著作《随机过程与布朗运动》(1948)至今仍是随机过程理论的一本经典著作。现代概率论的另外两个代表人物是J．L．杜布和伊藤清，前者创立了鞅论，后者创立了布朗运动和随机积分理论。

应用。在物理学方面，高能电子或核子穿过吸收体时产生级联(或倍增)现象，在研究电子一光子级联过程的起伏问题时，要用到随机过程，常以泊松过程、弗瑞过程或波伊亚过程作为实际级联的近似，有时还要用到最新过程的概念。湍流理论以及天文学中的星云密度起伏、辐射传递等研究要用到随机场的理论。

化学反应动力学中，研究化学反应的时变率及影响这些时变率的因素问题，自动催化反应，单分子反应，双分子反应及一些连锁反应的动力学模型等，都要以生灭过程来描述。

随机过程理论所提供的方法对于生物数学具有很大的重要性，许多研究工作者以此来构造生物现象的模型。研究群体的增长问题时，提出了生灭型随机模型，两性增长模型，群体间竞争与生勉模型，群体迁移模型，增长过程的扩散模型等。

许多服务系统，如电话通信，船舶装卸，机器损修，病人候诊，红绿灯交换，存货控制，水库调度，购货排队，等等，都可用一类概率模型来描述。这类概率模型涉及的过程叫排队过程，它是点过程的特例。

概率论进入其他科学领域的趋势还在不断发展。值得指出的是，在纯数学领域内用概率论方法研究数论问题已有很好的结果。在社会科学领域，特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，也大量采用概率论方法。

2 计算数学

计算数学是数学科学的一个分支。它研究数值计算方法的设计、

分析和有关的理论基础与软件实现问题。另外，有一个较常用的名词“数值分析”，其包含的内容属于计算数学的一部分。

计算数学几乎与数学科学的一切分支有联系，它利用数学领域的成果发展了新的、更有效的算法及其理论基础；反过来，在许多数学分支的研究中开始探索运用计算的方法。近年来，由于计算机的发展及其在各种科学技术领域的应用的推广与深化，计算性的学科新分支纷纷兴起，如：计算力学、计算物理、计算化学、计算生物学、计算地质学、计算经济学以及众多工程科学的计算分支。计算数学是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，因此，计算数学是一门兼具基础性、应用性和边缘性的数学学科。

历史沿革。在每个人生活中的数学活动总是以记数和计算开始的，而且终其一生。计算即便不一定是数学活动的全部，但总也是与生活联系最直接、最密切的一环。在人类的数学发展历史上，计算也占有类似的地位。数学最初源于计算，计算曾经是古代数学的最重要的组成部分。

中国古代数学曾有辉煌的成就，而尤以计算性和实用性见胜。中国在公元前14世纪的商代就基本形成了十进的位值记数制，而在印度则直到公元6世纪才出现，流传到西方则更晚。中国春秋战国时期就形成并发展了算筹，作为通用、有效的计算工具。以后又改进演化成算盘，相应发展了珠算方法。中式算盘及其变种在世界上许多国家一直沿用至今。

公元前2世纪中叶希腊阿基米德提出曲直转化极限趋近的方法，

并据此算出有一定精确度的圆周率π值。中国北魏的刘徽也独立地提出类似的思想，发展了“割圆术”，计算出π≈3．1416。5世纪中国南北朝时代的祖冲之发展了缀术，据此算出更为精确的π值，领先世界1000多年。

在代数方程解法方面，中国古代有很高的成就，公元前1世纪汉代《九章算术》一书记载了开平方和开立方的算法，书中所述的解一元二次方程的盈不足法就是13世纪后在欧洲出现的“试位法”。关于高次代数方程的近似解法在《九章算术》中已具雏形，宋代秦九韶(1247)和元代朱世杰(1303)给以发展完善，相当于近代的霍纳算法(1819)。

15世纪欧洲资本主义工商业兴起，科学技术有了新发展，数学发展的主要舞台移至欧洲。以解析几何学及微积分学为标志，近代数学开始形成发展，数值计算方法也有相应的进步。

到了20世纪40年代，电子计算机诞生了，这是人类计算工具的一项革命性进展。使得以前不能设想的、难度和规模都十分大的问题，在技术上成为可行的，也使原来分散在数学各分支的计算方法组合成一门新的数学科学——计算数学。

研究内客。概括地说，整个计算数学研究的内容大致可分为两个大的方面：离散型方程的数值求解；连续系统的离散化。计算数学理论的基本概念有：误差、稳定性、收敛性、计算量、存贮量、自适应性等。这些概念是用来刻画计算方法的可靠性、准确性、效率以及使用的方便性。从数学问题的来源或类型看，计算数学则可包括数值代