圆锥曲线综合测试题附答案

圆锥曲线综合测试题
班级________ 姓名________ 学号_______成绩________
一、选择题（本题每小题5分，共60分）
1．双曲线19
42
2=-y x 的渐近线方程是
（ ）
A ．x y 2
3
±
= B ．x y 32±
= C ．x y 4
9±
= D ．x y 9
4±
= 2．已知F 是抛物线24
1
x y ＝的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是（ ）
A ．122－＝y x
B ．161
22－＝y x C ．212－＝y x D ．222－＝y x
3．已知A(－1,0)，B(1,0)，点C(x,y)
1
2
=，则=+BC AC （ ）
A ．6
B ．4
C ．2
D ．不能确定
4．抛物线px y 22
=与直线04=-+y ax 交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（1，2），设抛物
线的焦点为F ，则|FA|+|FB|等于（ ）A ．7 B ．53 C ．6 D ．5 5．双曲线
)0,(12
2
2
2
>=-
b a b y a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过焦点F 2且垂直于x 轴的弦为AB ，
若︒=∠901B AF ，则双曲线的离心率为 （ ）
A ．
)22(2
1
- B ．12- C ．12+
D ．
)22(2
1+
6．若椭圆
)0(122>>=+
b a b
y a
x 和双曲线)0,(12
2
>=-n m n
y m
x 有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线
的交点，则21PF PF ⋅的值是（ ） A ．n b -
B ．
m a -
C ． n b -
D ． m a -
7．直线l 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右准线，以原点为圆心且过双曲线的顶点的圆，被
直线l 分成弧长为2 : 1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是 （ ）
A ．2
B ．2
C ．2
6
D ．5
8．直线143
x y
+=与椭圆
221169x y +=相交于A 、B 两点，该椭圆上点P ，使得△APB 的面积等于3，这样的点P 共有
（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．曲线)1(42≤--=x x y 的长度是 （ ）
A ．34π
B ．32π
C ．38π
D ．π3 10．方程22)1()1(-+-=
+y x y x 所表示的曲线是
（ ）
A ． 双曲线
B ． 抛物线
C ． 椭圆
D ．不能确定
11．已知曲线ax y =2
与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点A 和B ，如果过这两个交点的
直线的倾斜角是︒45，则实数a 的值是 （ ）
A ．1
B ．23
C ．2
D ．3
12．给出下列结论,其中正确的是 （ ）
A ．渐近线方程为()0,0>>±=b a x a b
y 的双曲线的标准方程一定是12222=-b
y a x
B ．抛物线221x y -
=的准线方程是2
1
=x C ．等轴双曲线的离心率是2 D ．椭圆()0,0122
22>>=+n m n
y m x 的焦点坐标是()()
,,0,22
2
221n m
F n m F ---
二、填空题（本题每小题4分，共16分） 13．如果正△ABC 中,D ∈AB,E ∈AC,向量1
2
DE BC =
,那么以B,C 为焦点且过点D,E 的双曲线的离心率是 .
14．已知椭圆()
x m y n x p y q
m n p q R 2222
1+=-∈+与双曲线,,,有共同的焦点F 1、F 2，P 是椭圆和双曲线的一个交点，则12PF PF ⋅=
.
15．有一系列椭圆，满足条件：①中心在原点；②以直线x=2为准线；③离心率)()(*
2
1
N n e n
n ∈=，则所有这些椭圆的长轴长之和为 .
16．沿向量a =(m, n)平移椭圆15
22
=+y x ,使它的左准线为平移后的右准线,且新椭圆中心在直线2x －y+6=0上, 则m= 、n= .
三、解答题（本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，
BC过椭圆中心O，如图，且AC·BC
=0，|BC|=2|AC|，（1）求椭圆的方程；
（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则是否存在实数λ,使PQ=λAB？
18．（本小题满分12分）已知一条曲线上的每个点到A（0,2）的距离减去它到x轴的距离差都是
2.（1）求曲线的方程;（2）讨论直线A(x－4)+B(y－2)=0(A，B∈R)与曲线的交点个数. 19．已知圆锥曲线C经过定点P（3，3
2），它的一个焦点为F（1，0），对应于该焦点的准线为x=－1，斜率为2的直线 交圆锥曲线C于A、B两点，且|AB|=5
3，求圆锥曲线C和直线 的方程。

20．（本小题满分12分）如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:2
2定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=轨迹为曲线E.（1）求曲线E 的方程； （2）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FH FG λ=，求λ的取值范围.
21．（本小题满分12分）已知定点(1,0)F ，动点P （异于原点）在y 轴上运动，连接PF ，过点P
作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，||||PN PM =.
（1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）若直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ⋅=-且46||430AB ≤≤，求直线l 的斜率k 的取值范围．
22．（本小题满分14分）如图,在Rt △ABC 中，∠CAB=
90，AB=2，AC=
2
2
. 一曲线E 过点C ，动点P 在曲线E 上运动，且保持+PA PB 的值不变，直线m ⊥AB 于O ，AO=BO. （1）建立适当的坐标系,求曲线E 的方程;
（2）设D 为直线m 上一点,AC OD =,过点D 引
直线l 交曲线E 于M 、N 两点,且保持直线l 与 AB 成
45角,求四边形MANB 的面积.
A
B
C
O m
参 考 答 案
一、选择题（每小题5分，共60分）：
(1).A (2).A (3). B (4).A (5).C (6). D (7).A (8).B (9).A (10).A (11). C (12).C 二、填空题（每小题4分，共16分） (13).
31+ (14).m-p (15). 4 (16). －5、－4
三、解答题（共74分，按步骤得分）
17. 解（1）以O 为原点，OA 所在的直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系
则A （2，0），设所求椭圆的方程为：2
24b y x 2
+
=1(0<b <2), 由椭圆的对称性知|OC |=|OB |,由AC ·BC =0得AC ⊥BC ， ∵|BC |=2|AC |，∴|OC |=|AC |，
∴△AOC 是等腰直角三角形，∴C 的坐标为（1，1）， ∵C 点在椭圆上
∴22141b +=1,∴b 2=3
4,所求的椭圆方程为43422y x +=1 ……………5分 （2）由于∠PCQ 的平分线垂直OA （即垂直于x 轴），不妨设直线PC 的斜率为k ，则直线QC 的斜率为-k ，直线PC 的方程为：y =k (x -1)+1,直线QC 的方程为y =-k (x -1)+1,
由⎩⎨⎧=-++-=0431)1(2
2y x x k y 得：(1+3k 2)x 2-6k (k -1)x +3k 2-6k -1=0（*） ……………8分 ∵点C （1，1）在椭圆上，∴x =1是方程（*）的一个根，则其另一根为2
2311
63k
k k +--,设P （x P ,y P ）,Q (x Q ,y Q ),x P =2231163k k k +--, 同理x Q =2
2311
63k
k k +-+, k PQ =31311
63311632)311
6331163(2)(2
2222222=+-+-
+---+-+++--⋅=--+=--k k k k k k k k k k k k k k x x k x x k x x y y Q P Q P Q P Q P ………10分
而由对称性知B (-1,-1),又A （2，0） ∴k AB =3
1
∴k PQ =k AB ，∴AB 与PQ 共线，且AB ≠0,即存在实数λ，使PQ =λAB . ……12分 18. 解：（1）设点M(x,y)是曲线上任意一点,则22)2(-+y x -|y |=2， 整理22)2(-+y x =|y |+2，
所求曲线的方程. C 1：当y ≥0时， x 2
=8y ；
C 2：当y<0时，x=0. ……………5分 （2）直线A(x-4)+B(y-2)=0过定点(4,2)且A 、B 不同时为零，
（数形结合）当B=0时，A ≠0，直线x=4与曲线有1个的交点； ……………7分
当B ≠0时，令k=-B
A ，则y=k(x-4)+2，与x 2=8y 联列：x 2
-8kx+32k-16=0 当∆=0时，k=1，即A=-B 时，直线与C 1和C 2各一个交点；
当k>1时，B
A
<-1时，直线与C 1两个交点，和C 2一个交点；
当21<k<1时，-1<B A <-2
1
时，直线与C 1两个交点，和C 2一个交点； 当k ≤21
时，B
A ≥-21时，直线与C 1和C 2各一个交点. ……………10分
∴直线与曲线有1个的交点,当B=0时，A ≠0；
直线与曲线有2个的交点, A=-B 和B A ≥-21
；
直线与曲线有3个的交点, -1<B A <-21和B
A
<-1. ……………12分
19．解：设圆锥曲线C 的离心率为e, P 到 的距离为d ，则e=14
4
==d PF …………(1分) ∴圆锥曲线C 是抛物线………………………（2分） ∵
12
=P
∴P=2 ∴抛物线方程为y 2=4x ………………………………(3分)
设 的方程为y=2x+b,A(x 1y 1),B(x 2,y 2) 由y=2x+b
y 2=4x 消去y ，整理得：4x 2+4(b －1)x+b 2=0………………………………(4分) 则 x 1+x 2=－(b －1)
x 1x 2=4
2
b …………………………(5分)
∴|AB|=)21(5]4))[(1(212
212
b x x x x k -=-++………………………（6分） 又∵|AB|=53
∴1－2b=9, ∴b=－4 …………………………(7分)
故直线 的方程为y=2x －4……………………………………(8分) 综上所述：圆锥曲线C 的方程为y 2=4x ，直线 的方程为y=2x －4 20．（本小题满分12分） 解：（1）.0,2=⋅=AM NP AP AM
∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.…………………………2分 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN
x
y
∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22
===
∴b c a ……………5分
∴曲线E 的方程为.12
22
=+y x ………………6分 （2）当直线GH 斜率存在时，
设直线GH 方程为,12
,222
=++=y x kx y 代入椭圆方程 得.2
3
0.
034)2
1
(22
2
>>∆=+++k kx x k 得由
设22122122112
13
,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=
+-=+则……………………8分 )2,()2,(,
2211-=-∴=y x y x λλ 又
λ
λλλλ212
22212
22122121)1(
.
,)1(,
x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴， λλλλ2
22
2
22)1()121(316,213
)
1()214(+=++=++-∴k
k k k 整理得……………………10分
.33
1
.31621
4.
316
323164,232
2<<<
++
<∴<+<∴>
λλ
λ解得k k .131,
10<<∴<<λλ 又又当直线GH 斜率不存在，方程为.3
1,31,0===λx )1,3
1[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴……………………………………12分 21．解 (1)设动点N 的的坐标为(,)N x y ，则(,0),(0,),(0)2y
M x P x ->，
(,),(1,)22
y y
PM x PF =--=-，由0PM PF ⋅=得，204y x -+=， 因此，动点N 的轨迹C 的方程为2
4(0)y x x =>. …………5分 (2)设直线l 的方程为y kx b =+，l 与抛物线交于点
1122(,),(,)A x y B x y ，则由
4OA OB ⋅=-，得12124x x y y +=-，又2211224,4y x y x ==，故128y y =-.
又224440(0)y x ky y b k y kx b
⎧=⇒-+=≠⎨=+⎩， ∴216(12)0
48
k b k
⎧∆=+>⎪⎨=-⎪⎩，22
22116||(32)k AB k k +∴
=+，
∴||AB ≤≤22
2116
96(32)480k k k
+≤+≤ 解得直线l 的斜率k 的取值范围是11
[1,][,1]22
--. ……………………12分
22.解：（1）以AB 、m 所在直线分别为x 轴、y 轴，O 为原点建立直角坐标系.
2222322222222
2
=+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=+=+CB CA PB PA ∴动点的轨迹是椭圆，设其半长轴、半短轴长分别为a 、b ，半焦距为c ，则
1,1,222=-===c a b c a
∴曲线E 方程为12
22
=+y x （2）由题设知，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛22,0D ， 由直线l 与AB 成
45角，可设直线方程为2
2+
=x y ，代入椭圆方程整理得012232
=-+x x 设()()2211,,,y x N y x M ， 则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=⋅-=+31,3222121x x x x 所以，四边形
MANB
的面积212
1
y y AB S -⋅=
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=
222222121x x ()21221214x x x x x x -+=
-=
=35
23143222
=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
- x。