静电平衡条件电介质中的高斯定理
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大学物理第六章静电场中的导体习题课
第6章习题课
.
1
一、静电场中的导体
1.静电平衡条件： 导体内部场强为0。
2.静电平衡时导体为等势体，导体表面为 等势面。
3.静电平衡时导体内无净电荷，所有电荷分 布于导体表面。
4.孤立导体电荷面密度与导体表面的曲率 有关，曲率越大，面密度越大．
5.静电平衡时，场强方向与导体表面垂直。
.
2
本章小结与习题课
6.静电平衡时，导体表面的场强大小为
E 0
7. 空腔内无电荷：空腔内表面无电荷全部
电荷分布于外表面,空腔内场强 E = 0。空腔
导体具有静电屏蔽的作用。
8. 空腔原带有电荷 Q：将 q 电荷放入空腔
内，内表面带有 -q 电荷,外表面带有 Q + q
电荷。接地可屏蔽内部电场变化对外部电
场的影响。
.
S
.
x 14
5（08）、一平行板电容器，两板相距d，对它充电后断开，然 后把两板间距增大到2d，如果电容器内电场边缘效应忽略不计， 则 （A）电容器的电容增大一倍 （B）电容器所带的电量增大一倍 （C）电容器两极间的电场强度增大一倍 （D）储存在电容器中的电场能量增大一倍
we1 2E2或 we1 20E2
（1）球壳内外表面上的电荷 （2）球心O处，由球壳内表面上电荷产生的电势 （3）球心O处的总电势
qO a r
Q
b
.
11
解： （1）由静电感应，金属球壳内表面有感应电荷-q，外 表面上带电荷q+Q
(2)无论球壳内表面上的感应电荷-q是如何分布的，因
为任一电荷元离O点距离都是a，所以由这些电荷在O
点产生的电势为：
3
本章小结与习题课
二、电介质中的场强 1.介质中的场强 EE0E'
.
1
一、静电场中的导体
1.静电平衡条件： 导体内部场强为0。
2.静电平衡时导体为等势体，导体表面为 等势面。
3.静电平衡时导体内无净电荷，所有电荷分 布于导体表面。
4.孤立导体电荷面密度与导体表面的曲率 有关，曲率越大，面密度越大．
5.静电平衡时，场强方向与导体表面垂直。
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2
本章小结与习题课
6.静电平衡时，导体表面的场强大小为
E 0
7. 空腔内无电荷：空腔内表面无电荷全部
电荷分布于外表面,空腔内场强 E = 0。空腔
导体具有静电屏蔽的作用。
8. 空腔原带有电荷 Q：将 q 电荷放入空腔
内，内表面带有 -q 电荷,外表面带有 Q + q
电荷。接地可屏蔽内部电场变化对外部电
场的影响。
.
S
.
x 14
5（08）、一平行板电容器，两板相距d，对它充电后断开，然 后把两板间距增大到2d，如果电容器内电场边缘效应忽略不计， 则 （A）电容器的电容增大一倍 （B）电容器所带的电量增大一倍 （C）电容器两极间的电场强度增大一倍 （D）储存在电容器中的电场能量增大一倍
we1 2E2或 we1 20E2
（1）球壳内外表面上的电荷 （2）球心O处，由球壳内表面上电荷产生的电势 （3）球心O处的总电势
qO a r
Q
b
.
11
解： （1）由静电感应，金属球壳内表面有感应电荷-q，外 表面上带电荷q+Q
(2)无论球壳内表面上的感应电荷-q是如何分布的，因
为任一电荷元离O点距离都是a，所以由这些电荷在O
点产生的电势为：
3
本章小结与习题课
二、电介质中的场强 1.介质中的场强 EE0E'
第6章 静电场中导体和电介质 重点与知识点
理学院物理系 王 强
第六章 静电场中的导体和电介质
大学物理
第六章 重点与知识点
一、静电场中的导体
2、空腔导体(带电荷 、空腔导体 带电荷 带电荷Q)
1）、腔内无电荷，导体的净电荷只能分布在外表面。 腔内无电荷，导体的净电荷只能分布在外表面。 净电荷只能分布在外表面 Q
在静电平衡状态下,导体 在静电平衡状态下, 空腔内各点的场强等于零, 空腔内各点的场强等于零, 空腔的内表面上处处没有 空腔的内表面上处处没有 净电荷分布。 净电荷分布。
C2 U
Cn
2、电容器的并联
C = C1 + C2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Cn
= ∑ Ci
i =1
nq1C1来自q2C2qn U
Cn
2012年3月23日星期五
理学院物理系 王 强
第六章 静电场中的导体和电介质
大学物理
第六章 重点与知识点
四、 电场的能量
（一）、静电场的能量
电场能量密度: 电场能量密度
We 1 2 1 we = = εE = ED V 2 2
ε
电容率, : 电容率,决定于电介质种类的常数
2）、电介质中的高斯定理 ）
v r D ⋅ dS = ∑ Q0i ∫
S i (自由电荷)
2012年3月23日星期五
电介质中通过任 一闭合曲面的电位 一闭合曲面的电位 移通量等于该曲面 移通量等于该曲面 所包围的自由电荷 所包围的自由电荷 的代数和
第六章 静电场中的导体和电介质
一般电场所存储的能量: 一般电场所存储的能量
dWe = wedV
1 2 We = ∫ dWe = ∫ ε E dV V V 2
适用于所有电场） （适用于所有电场）
高斯定理
电场强度E 在任意面积上的面积分
高斯定理
称为电场强度对该面积的通量。根据库仑定律可以证明电场强度对任意封闭曲面的通量正比于该封闭曲面内电荷的代数和，即
高斯定理
, (1)
这就是高斯定理。它表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。在真空的情况下,Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。当存在介质时,Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。
高斯定理
பைடு நூலகம்， (3)
在研究电介质中的静电场时，这两种形式的高斯定理特别重要。
高斯定理的微分形式为
高斯定理
。
即电位移的散度等于该点自由电荷的体密度。在均匀线性介质区内，则为
高斯定理
。
静电场的高斯定理可以推广到非静态场中去，不论对于随时间变化的电场还是静态电场，高斯定理都是成立的，它是麦克斯韦方程组的组成部分。
高斯定理反映了静电场是有源场这一特性。凡是有正电荷的地方，必有电力线发出；凡是有负电荷的地方，必有电力线会聚。正电荷是电力线的源头，负电荷是电力线的尾闾。
高斯定理是从库仑定律直接导出的，它完全依赖于电荷间作用力的二次方反比律。把高斯定理应用于处在静电平衡条件下的金属导体，就得到导体内部无净电荷的结论，因而测定导体内部是否有净电荷是检验库仑定律的重要方法。
矢量分析的重要定理之一。穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的电荷量成正比。换一种说法：电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为0。这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理
高斯定理
高斯定理陈述报告班级：电气121班姓名：徐鹏学号：2012230106 姓名：邵辉学号：2012230158 姓名：王天宇学号：2012230102高斯定理高斯定律（Gauss' law）表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系由曲面向外定义为其方向，为闭合曲面内的电荷，为真空电容率，为此处电介质的介电常数（如果是真空的话，其数值为1）。
其微分形式；其中，为电荷密度(单位 C/m3)。
在线性材料中，等式变为。
其中为材料的电容率。
基本定义：高斯定理（Gauss Law）也称为高斯公式（Gauss Formula），或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。
设空间有界闭合区域Ω，其边界∂Ω为分片光滑闭曲面。
函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)及其一阶偏导数在Ω上连续，那么[1]：图一（高数上的高斯公式）（由于百科不支持很多格式及字符，故本词条使用一些截图，本公式请见右侧图一）（如图一）其中∂Ω的正侧为外侧，cos α、cos β、cos γ为∂Ω的外法向量的方向余弦。
高斯投影称向量场的散度(divergence)。
[1]即矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分。
它给出了闭曲面积分和相应体积分的积分变换关系，是矢量分析中的重要恒等式，也是研究场的重要公式之一。
其他高斯定理：高斯定理2定理：凡有理整方程至少有一个根。
推论：一元n次方程有且只有n个根（包括虚根和重根）。
高斯定理3正整数n可被表示为两整数平方和的充要条件为n的一切形如4k+3形状的质因子的幂次均为偶数。
适用条件：任何电场静电场（见电场）的基本方程之一，它给出了电场强度在任意封闭曲面上的面积分和包围在封闭曲面内的总电量之间的关系。
根据库仑定律可以证明电场强度对任意封闭曲面的通量正比于该封闭曲面内电荷的代数和，即公式这就是高斯定理。
静电场 高斯定理
q q Ua U U ( ) 4 0 r1 r2 q r2 r1 4 0 r1r2
当a点很远时r>>L，则r1≈r2≈r，
1
q L cos 1 P cos Ua 2 4 0 r 4 0 r 2
r2 r1 r cos
电偶极子轴线上的场强（电势梯度法） 电偶极子电场中的电势： 轴线延长线上的电势：
有电介质存在时的高斯定理的应用
（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面 ，求出电位移矢量。 （2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。 （3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。 （4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。
非极性分子
E0
极性分子
E0
电极化强度（偶极矩密度）
1、电极化强度：
其中 pei 是第i个分子的电偶极矩
单位是[库仑/米2]、[C/m2].
def P lim
V
pei
i
V
以下将电极化强度矢量简称为极化强度 束缚电荷就是指极化电荷。
电介质的极化规律
在外电场 E0中，介质极化产生的束缚 电荷，在其周围无论介质内部还是外 部都产生附加电场 E ' 称为退极化场。
i
②极性分子 在无外场作用下存在固有电矩 因无序排列对外不呈现电性。 当有电场作用时，极性分子发 生偏转。
在外电场中的电介质
E0
E0
l
无外场下，所具有的电偶极矩称为固有电偶极矩。 在外电场中产生感应电偶极矩。
极化电荷
在外电场中，均匀介质内部各处仍呈电中性， 但在介质表面要出现电荷，这种电荷不能离开电 介质到其它带电体，也不能在电介质内部自由移 动。我们称它为束缚电荷或极化电荷。
静电场 高斯定理
静电场的高斯定理是静电学中的一个重要定理，它反映了静电场的一个基本性质，即静电场是有源场，其源即是电荷。
高斯定理也称为高斯通量理论，或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯定理都是指这个定理，也有其它同名定理）。
静电学上表示闭曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭曲面上的电通量积分的关系，高斯定律表明了在闭合曲面中电荷分布与产生的电场之间的关系，高斯定律在静电场的情况下，类似于应用于磁场学的安培定律，两者都集中在麦克斯韦方程组中，由于数学上的相似性，高斯定律也适用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。
高斯定理直接由库仑定律导出，完全依赖于电荷间作用力的平方反比定律，当高斯定理应用于静电平衡条件下的金属导体时，可以得出导体内部没有净电荷的结论，因此测量导体内部是否有净电荷是验证库仑定律的重要方法。
拓展：静电场，指的是观察者与电荷量不随时间发生变化的电荷相对静止时所观察到的电场。
它是电荷周围空间存在的一种特殊形态的物质，其基本特征是对置于其中的静止电荷有力的作用，库仑定律描述了这个力。
大学物理——静电场中的导体和电介质
v E
二、导体上电荷的分布 由导体的静电平衡条件和静电场的基本性 dV 质，可以得出导体上的电荷分布。 1.导体内部无静电荷 证明：在导体内任取体积元 dV
E内 = 0
r r 由高斯定理 E dS ⋅ = 0 ∫
S
∑q = ∫ ρ dV = 0
i i V
Q体积元任取 导体带电只能在表面！
ρ =0
证毕
A B σ1 σ 2σ 3
场 两板之间 强 分 布 两板之外
Q E = ε0S
r E
E=0
练习
已知: 两金属板带电分别为q1、q2 求：σ1 、σ2 、σ3 、σ4
q1
q2
q1 + q2 σ1 = σ 4 = 2S
σ1
σ2
σ3
σ4
q1 − q2 σ 2 = −σ 3 = 2S
2.导体表面电荷 表面附近作圆柱形高斯面
r r σΔS 0 ∫ E • dS = E ⋅ ΔS ⋅ cos 0 =
σ
r E
ΔS
ε0
σ ∴E = ε0
r σ ^ ^ E表 = n n ：外法线方向
ε0
3.孤立带电导体表面电荷分布 一般情况较复杂；孤立的带电导体，电荷 分布的实验的定性的分布： 曲率较大，表面尖而凸出部分，电荷面密度较大 曲率较小，表面比较平坦部分，电荷面密度较小 曲率为负，表面凹进去的部分，电荷面密度最小
例3.已知：导体板A，面积为S、带电量Q，在其旁边 放入导体板B。 求：(1)A、B上的电荷分布及空间的电场分布 (2)将B板接地，求电荷分布
σ1 σ 2 σ 3 σ4 − − − =0 a点 2ε 0 2ε 0 2ε 0 2ε 0
A B σ1 σ 2σ 3 σ 4
静电平衡条件
R3 R2 r
o q1
R1
4
q1
π0
1 R1
1 R2
4
q3
π 0 R3
接地
0
q2 q3
S
所以
q1
1 R1
1 R2
q3 R3
0
3
解（1）（2）（3）联立，可得 q1 , q2 ,q3:
q1
R2 R3
R1 R2 R1 R3
1、体内处处无电荷
E内 0
SP
★静电平衡的导体，感应电荷只分布于导体的表面
2、导体表面上各处的面电荷密度
PE
E内 0
由高斯定理
E表
σ ε0
,
E表
σ ε0
nˆ
★导体表面上各处的面电荷密度与当地 表面紧邻处的电场强度的大小成正比
3、孤立导体表面各处的面电荷密度 与各处表面的曲率有关，曲率越大 的地方，面电荷密度也越大。
而
0 0q
0q
q
4 π0a
d q
q' 4 π0R
q
4 π0a
q
代入（*）式得，
4 π0a
Pq
Pq
感应电荷的电势 P q
q
4 π0a
Pq
q
4π0
1 ( a
1 )
r
若r >a：Pq’>0; 若r <a：Pq’<0
带电量为q（设q>0）半径为R1的导体球， 球外同心地放置一个不带电的金属球壳， 球壳内、外半径为 R2 ,R3
工程电磁场高斯定律2
导体等势是导体体内电场强 静电平衡条件
度处处为零的必然结果
的另一种表述
二、电介质及其极化 polarization
1.极化介质所产生的电位
无外场时： +-
有电场时: +
-
p ql
电偶极子排列的有序程度反映了介质被极化的程度,排列愈 有序说明极化愈烈
单个电偶极子电位：
j
p=
qd cos q =
单位
c m2
实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中
P e0E e —电介质的极化率
体积 V 内电偶极子产生的电位
矢量恒等式：
ò j = 1
4πe0
V
'
P(r')×eR R2
dV
'
(uF ) u F F u
3.极化强度 P与极化电荷的关系
极化电介质所产生的电位等于电荷面密度为 p 的
定义式
d
dS1 r12
dS0 r02
dS
d r 2 cos
单位 球面度
计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角
d dl cos dl0 2 弧度
l
lr
r l0 0
平面
r0 r
l0
l
计算闭合曲面对面内一点所张的立体角
d
S
S
dS0 r02
ln 3
2pe1
r 1
习题：真空中无限大的带电平
面，面密度为s ，求距平面x
处的电场强度。P5，例1-2
解: 真空中的高斯定律
P
òÑE ?ds
Q e0
电容器、电介质、介质中的高斯定理
i
E总 E0 E 0
被约束在分子内
不一定与表面垂直
9
有极分子电介质
H
H
104
o
F
+ - pi
E0 F
+
+
+
E
无外场
pi 0
pi
0
i
外场中(转向极化)
pi 0
pi
0
i
出现束缚电荷和附加电场
位移极化和转向极化微观机 制不同，宏观效果相同。10
统一描述
pi
0
i
出现束缚电荷(面电荷、体电荷)
实验发现:
A
插入前： U 0
C0
q U0
插入后：U AB
C q U AB
U0 U AB
r,
C C0
r
r 1,常量 由电介质的种类和状态决定
0
真空介电常数
r
相对介电常数(电容率)
= 0 r 介电常数
13
E0
0 0
, U0
E0d ,
E
0
内部的场由自由电荷和
+
+
+
+
E0 E
+
+
极化电荷共同产生
静电感应
无极分子电介质: 位移极化 有极分子电介质: 转向极化
宏观 效果
静电平衡 导体内 E 0, 0 导体表面 E表面 感应电荷 0 E
内为部零：分子pi偶极0 矩矢量和不
i
出现束缚电荷（极化电荷）
12
二、电介质对电场的影响
+ + + + +
B
电介质中高斯定理
1
r r 1 Q Q r 0 0
)
Q Q0 (1
1
)
⑤极化电荷密度 与
E 0 rE
1 0 P ( 1 ) ( r 1 ) 0 0 0E 0 ( r 1 ) 0E 0E
r
r
R2
R1
r
R2
解（1）
R1
d S l D
S
D 2 π rl l
D
E ( R r R ) 1 2 r 2 π rr 0 0
D 2π r
r
R2
R1
( R r R ) （2）由（１）可知 E 1 2 2π 0r r R R d r 2 U E d r ln R 2 π r 2 π 0r R 0 r 1
2.极化电荷与电极化强度之间的关系 （以位移极化为例） 电场中每个分子产生电矩：
++++-
++++-
++++-
++++-
均匀介质
E
++++-
pe ql
单位体积中分子电矩 的矢量和为：
p P V
nql
e
npe
式中 n 为介质中单位体积的分子数。
电极化强度和极化电荷面密度的关系
6 2 P ( ε 1 ) ε E 5 . 89 10 C m r 0 6 2 σ ε E 8 . 85 10 C m 0 00 6 2 σ ' P 5 . 89 10 C m 6 2 D ε ε E ε E σ 8 . 85 10 C m 0 r 0 0 0
电场中的导体和电介质
二、电容器
1、电容器的定义
两个带有等值而异号电荷的导体 所组成的系统，叫做电容器。
+Q
-Q
2、电容器的电容
如图所示的两个导体放在真空中，它们所 带的电量为+Q、-Q，它们的电势分别为 V1、V2，定义电容器的电容为： 计算电容的一般步骤为： •设电容器的两极板带有等量异号电荷； •求出两极板之间的电场强度的分布； •计算两极板之间的电势差； •根据电容器电容的定义求得电容。
3-4 物质中的电场
在静电场中总是有导体或电介质存在的，而且静电场 的一些应用都要涉及静电场中导体和电介质的行为， 以及它们对静电场的影响。
一、静电场中的导体
1、静电感应及静电平衡
若把导体放在静电场中，导体中的自由电子将在电场力的 作用下作宏观定向运动，引起导体中电荷重新分布而呈现 出带电的现象，叫作静电感应。 开始时， E’< E0 ，金属内部的场强不零， 自由电子继续运动，使得E’增大。这个过 程一直延续到E’= E0即导体内部的场强为零 时为止。此时导体内没有电荷作定向运动， 导体处于静电平衡状态。
根据静电平衡条件，空腔 由静电平衡条件，腔内壁非均匀 分布的负电荷对外效应等效于： 导体内表面总的感应电荷为 -q， 非均匀分布；外表面，总的感 在与 q 同位置处置 q 。 应电荷为 q，非均匀分布。
9
R
q q q U U U U U 0 q 壳 地 内壁 外壁 q q O o d q外壁 0
C Q V
Q C＝ 4 0 R V
大学物理-第18章静电场中的导体与电介质
1）无极分子---正负电荷作用中心重合的分子。如H2、 N2、O2、CO2 2）有极分子---正负电荷作用中心不重合的分子。如H2O、 CO、SO2、NH3…..
+
O
+- H+ - H+
++
-
++
+
He
H2O
有极分子对外影响等效为一个电偶极子，电矩 Pe ql
事只实不上过lq所在为中为有无从心分分电负 的子子 场电 有中均 时荷 向所可 ，作 线有等 无用 段正效 极中电为 分心荷电 子指的偶 的向代极电正数子偶电和的极作；模矩用型为
综 1）不管是位移极化还是取向极化，其最后的 述：宏观效果都是产生了极化电荷。
2）两种极化都是外场越强，极化越厉害 所产生的分子电矩的矢量和也越大。
三、电介质内的场强、有介质时的高斯定理
1、电介质内的场强
EE0E'
c
E0
E'
a
b
EE0E'
实验发现，在均匀介质中
E
2 3 0 ……(3)
在板内任选一点P,其场强是四个面的场强的叠加，有
EP210220230240
又 EP 0 12340 Q
联立四式得：
……(4) 1 2 3 4
12432Q S
I
II III
P
由于静电平衡时表面面电荷密度与表面附近场强大小成
E0
E
E0
r
r 1
0
++
E0
+ +-
E
+ +-
+
O
+- H+ - H+
++
-
++
+
He
H2O
有极分子对外影响等效为一个电偶极子，电矩 Pe ql
事只实不上过lq所在为中为有无从心分分电负 的子子 场电 有中均 时荷 向所可 ，作 线有等 无用 段正效 极中电为 分心荷电 子指的偶 的向代极电正数子偶电和的极作；模矩用型为
综 1）不管是位移极化还是取向极化，其最后的 述：宏观效果都是产生了极化电荷。
2）两种极化都是外场越强，极化越厉害 所产生的分子电矩的矢量和也越大。
三、电介质内的场强、有介质时的高斯定理
1、电介质内的场强
EE0E'
c
E0
E'
a
b
EE0E'
实验发现，在均匀介质中
E
2 3 0 ……(3)
在板内任选一点P,其场强是四个面的场强的叠加，有
EP210220230240
又 EP 0 12340 Q
联立四式得：
……(4) 1 2 3 4
12432Q S
I
II III
P
由于静电平衡时表面面电荷密度与表面附近场强大小成
E0
E
E0
r
r 1
0
++
E0
+ +-
E
+ +-
静电场中的电介质
故，可用介质中的高斯定理求解
SD dS Q0
选半径为r，长度为L的高斯圆柱 面
r
R2 R1
SD dS l
D2 π rl l D
2πr
E D
ε0εr 2 π ε0εrr
(R1 r R2 )
P
0 E
( r
1) 0 E
r 1 2 πrr
r
R2 R1
(2) E
2π
0
r
r
E1 2 π 0 r R1 (r R1)
q0 有关.
s内
特例： 真空——特别介质
特例： 真空——特别介质
q' 0 , P 0 , D 0E P 0E
回到：
1
E
s
dS
0
(
q0
S内 )
3. 如何求解介质中电场？
本课程只要 求特殊情况
各向同性电介质 q0 ,q' 分布具有某些对称性
（1）各向同性电介质：
P
0E
为常数
D 0E P 0E 0E 0(1 )E
模型 “电子气”
与电场的 相互作用
静电感应
电偶极子
无极分子电介质: 位移极化 有极分子电介质: 转向极化
宏观 效果
静电平衡
导体内 E 导体表面
0, 0 E表面
内部：分子偶极矩矢量
和不为零
pi 0
i
感应电荷 0E 出现束缚电荷（极化电荷）
4.极化现象的描述
1） 从分子偶极矩角度
单位体积内分子偶极矩矢量和——极化强度.
R2的薄导体圆筒组成，其间充
以相对电容率为r的电介质. 设
直导体和圆筒单位长度上的电
荷分别为+和- . 求(1)电介 质中的电场强度、电位移矢量
SD dS Q0
选半径为r，长度为L的高斯圆柱 面
r
R2 R1
SD dS l
D2 π rl l D
2πr
E D
ε0εr 2 π ε0εrr
(R1 r R2 )
P
0 E
( r
1) 0 E
r 1 2 πrr
r
R2 R1
(2) E
2π
0
r
r
E1 2 π 0 r R1 (r R1)
q0 有关.
s内
特例： 真空——特别介质
特例： 真空——特别介质
q' 0 , P 0 , D 0E P 0E
回到：
1
E
s
dS
0
(
q0
S内 )
3. 如何求解介质中电场？
本课程只要 求特殊情况
各向同性电介质 q0 ,q' 分布具有某些对称性
（1）各向同性电介质：
P
0E
为常数
D 0E P 0E 0E 0(1 )E
模型 “电子气”
与电场的 相互作用
静电感应
电偶极子
无极分子电介质: 位移极化 有极分子电介质: 转向极化
宏观 效果
静电平衡
导体内 E 导体表面
0, 0 E表面
内部：分子偶极矩矢量
和不为零
pi 0
i
感应电荷 0E 出现束缚电荷（极化电荷）
4.极化现象的描述
1） 从分子偶极矩角度
单位体积内分子偶极矩矢量和——极化强度.
R2的薄导体圆筒组成，其间充
以相对电容率为r的电介质. 设
直导体和圆筒单位长度上的电
荷分别为+和- . 求(1)电介 质中的电场强度、电位移矢量
9.5静电场中的介质大学物理
S
自由电荷分布对称情况下求D 电介质均匀线性情况下求E=D/ε
例1: 如图
已知：金属球半径 R，带正电量q，
r
R
D
浸在相对介电常数为r的油中，求球外的电场分布以及
贴近金属球表面油面上的束缚电荷总量。
解： 由
D d S q
2
2 ' '
D d S 4r 2 D q
第五节 静电场中的 电介质
理想电介质：内无自由电荷，完全不导电 电介质→电场 ⇔ 电极化 各向同性的材料
本节主要内容：
5-1 电介质的极化 5-2 介质中的高斯定理和电位移矢量 5-3 电容 电容器 5-4 静电场的能量
5-1
电介质的极化
一.极性分子和非极性分子电介质
(1)、极性分子： 分子的正、负电荷中心在无外场时不重 合，分子存在固有电偶极矩(p=ql)。
Bq由电容定义来自q 4 0 RB RA C RB RA U AB
C只与几何尺寸有关，而与 q 无关。
电容的计算方法：
1.设电容器的带电量为 q。 2.确定极板间的场强。 B 3.计算 U AB E d l
A
4.由电容定义
q C U AB
计算电容。
三、电介质电容器的电容
B R2
1
q 电容 C U AB
2 0 l R2 R2 ln ln 2 0 R1 R1
l 越大，C 越大。
l
(3)球形电容器的电容
设极板带电量为 q ， 板间场强为
E
RB
q
2
RA RB q
4 0r
q
q
极板间的电势差
U AB 1 1 Edr dr 2 R R 4 0 r 4 0 A B A RA
自由电荷分布对称情况下求D 电介质均匀线性情况下求E=D/ε
例1: 如图
已知：金属球半径 R，带正电量q，
r
R
D
浸在相对介电常数为r的油中，求球外的电场分布以及
贴近金属球表面油面上的束缚电荷总量。
解： 由
D d S q
2
2 ' '
D d S 4r 2 D q
第五节 静电场中的 电介质
理想电介质：内无自由电荷，完全不导电 电介质→电场 ⇔ 电极化 各向同性的材料
本节主要内容：
5-1 电介质的极化 5-2 介质中的高斯定理和电位移矢量 5-3 电容 电容器 5-4 静电场的能量
5-1
电介质的极化
一.极性分子和非极性分子电介质
(1)、极性分子： 分子的正、负电荷中心在无外场时不重 合，分子存在固有电偶极矩(p=ql)。
Bq由电容定义来自q 4 0 RB RA C RB RA U AB
C只与几何尺寸有关，而与 q 无关。
电容的计算方法：
1.设电容器的带电量为 q。 2.确定极板间的场强。 B 3.计算 U AB E d l
A
4.由电容定义
q C U AB
计算电容。
三、电介质电容器的电容
B R2
1
q 电容 C U AB
2 0 l R2 R2 ln ln 2 0 R1 R1
l 越大，C 越大。
l
(3)球形电容器的电容
设极板带电量为 q ， 板间场强为
E
RB
q
2
RA RB q
4 0r
q
q
极板间的电势差
U AB 1 1 Edr dr 2 R R 4 0 r 4 0 A B A RA
第12章之静电场高斯定理环路定理
三
高斯定理
在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量, 等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 0 . （与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）
Φe
S
1 E dS
0
q
i 1
n
i
高定理的导出
库仑定律
电场强度叠加原理
高斯 定理
证明
•通过一个与点电荷q 同心的球面S的电通量
E 具有球对称性
E dS 0
rR （2） Q S E d S Q E 0 2 4 π 0r Q 2 4π r E 0
2
S1
E 0
r
s2
+ + + O + + + R + + + +
+
S1 +
r
均匀带电球面内外空间的电场
E
1
Q 4 0 R
4π
dq
0r
（利用了点电荷电势 V q / 4 π 0 r ， 这一结果已选无限远处为电势零点，即使 用此公式的前提条件为有限大带电体且选 无限远处为电势零点.）
若已知在积分路径上 E 的函数表达式，
则
V 0点
VA
A
E dl
练习题:
如图已知+q 、-q、R。求：①单位正电荷 沿odc 移至c ，电场力所作的功。 ②将单位负 电荷由∞移到 o 点电场力所作的功。
R3
r R3
球心的电势
Uo
0
E dr
R1
R2
R3
14、电场中的电介质
V
W =∫
V
1 2 ε E dV 2
大学物理教研室
面积为S 的平行平板(空气中 空气中)。 例3 面积为 ，带电量为 ±Q 的平行平板 空气中 。忽略边缘效 外力需要作多少功？ 应， 问：将两板从相距 d1 拉到 d2 外力需要作多少功？ 解：分析，外力作功= 电场能量的增量 分析，外力作功
2 σ Q ∆V = S(d2 − d1 ), E = = ε0 Sε0
4πε0 RARB Q C球 = = UA −UB ( RB − RA )
C柱 = 2πε0l Q = RB UA −UB ln RA
大学物理教研室
§6.6 静电场中的电介质（P231） ）
一、电介质的极化
电介质：绝缘体，无自由电荷。 电介质：绝缘体，无自由电荷。 重心模型： 重心模型：分子中所有正电荷和负电荷分别集 中于两个几何点上，称为正、 中于两个几何点上，称为正、负电 荷中心。 荷中心。 中性分子可用等效偶极子替代。 中性分子可用等效偶极子替代。
大学物理教研室
1.电介质的分类： 1.电介质的分类：有极分子和无极分子电介质 电介质的分类 有极分子： 有极分子：分子的正电荷中心 与负电荷中心不重合。 与负电荷中心不重合。
O
v v pe = ql
无极分子： 无极分子：分子的正电荷中心 与负电荷中心重合。 与负电荷中心重合。
r l
+H
负电荷 中心
+
+
+
−σ0
∫
S
r r ε0εr E ⋅ dS =
∑q
i
i0 ( 由 荷) 自 电
电场中充满均匀各向同性电介质的情况下
r 1. 定义： 电位移矢量 D 定义：
W =∫
V
1 2 ε E dV 2
大学物理教研室
面积为S 的平行平板(空气中 空气中)。 例3 面积为 ，带电量为 ±Q 的平行平板 空气中 。忽略边缘效 外力需要作多少功？ 应， 问：将两板从相距 d1 拉到 d2 外力需要作多少功？ 解：分析，外力作功= 电场能量的增量 分析，外力作功
2 σ Q ∆V = S(d2 − d1 ), E = = ε0 Sε0
4πε0 RARB Q C球 = = UA −UB ( RB − RA )
C柱 = 2πε0l Q = RB UA −UB ln RA
大学物理教研室
§6.6 静电场中的电介质（P231） ）
一、电介质的极化
电介质：绝缘体，无自由电荷。 电介质：绝缘体，无自由电荷。 重心模型： 重心模型：分子中所有正电荷和负电荷分别集 中于两个几何点上，称为正、 中于两个几何点上，称为正、负电 荷中心。 荷中心。 中性分子可用等效偶极子替代。 中性分子可用等效偶极子替代。
大学物理教研室
1.电介质的分类： 1.电介质的分类：有极分子和无极分子电介质 电介质的分类 有极分子： 有极分子：分子的正电荷中心 与负电荷中心不重合。 与负电荷中心不重合。
O
v v pe = ql
无极分子： 无极分子：分子的正电荷中心 与负电荷中心重合。 与负电荷中心重合。
r l
+H
负电荷 中心
+
+
+
−σ0
∫
S
r r ε0εr E ⋅ dS =
∑q
i
i0 ( 由 荷) 自 电
电场中充满均匀各向同性电介质的情况下
r 1. 定义： 电位移矢量 D 定义：
大学物理---静电场中的导体和电介质
, E ; E
+
+ + + +
++ ++
E 0
注意 导体表面电荷分布与导体形状以及周围环境有关. 导体凸出部分的表面曲率越大处, 电荷面密度越大, 附近 电场也越强。孤立导体表面的电荷密度与曲率之间不存 在单一的函数关系。
尖端放电现象
E
带电导体尖端附近电场最强
B A
Q RB （4）电容 C 2 π 0 r l ln U RA
2 π 0 r lRA 0 r S d RB RA RA , C d d 2
en
+
+
E
d+ l
+
eτ
导体内部电势相等
U AB
AB
E dl 0
A
B
二
静电平衡时导体上电荷的分布
1 实心导体
E 0
2
q E dS 0
S
+
+ + + +
+
S
+
q 0
有空腔导体
空腔内无电荷
0
+
+ +
结论 导体内部无电荷
结论 电荷分布在外表面上（内表面无电荷）
空腔内有电荷
E dS 0， qi 0
S1
电荷分布在表面上
E d S 0 ， q 0 i
S2
内表面上有电荷吗？
S2
q
q
S1
q内 q
结论 当空腔内有电荷 q 时,内表面因静电感应出 现等值异号的电荷 q ，外表面有感应电荷 q （电荷 守恒）
大学物理第九章导体和介质中的静电场
第九章导体与介质中的静电场Electrostatic field in conductor and dielectric §9-1,2静电场中的导体§9-3电容器的电容§9-6电介质中的高斯定理§9-8 静电场的能量§9-1,2静电场中的导体一、导体的静电平衡( electrostatic equilibrium )1.导体绝缘体半导体1)导体(conductor)导电能力极强的物体(存在大量可自由移动的电荷)2)绝缘体（电介质,dielectric）导电能力极弱或不能导电的物体3)半导体(semiconductor)导电能力介于上述两者之间的物体EE E E iii E e E q F 导体静电平衡条件：导体内任一点的电场强度都等于零Ei E E2. 导体的静电平衡条件导体的内部和表面都没有电荷作任何宏观定向运动的状态.导体的静电平衡状态：静电感应E* 推论(静电平衡状态)证：在导体上任取两点p , ql d E V V i qpq pqp V V 0i Epq导体静电平衡条件：2)导体表面任一点场强方向垂直于表面1）导体为等势体，导体表面为等势面否则其切向分量将引起导体表面自由电子的运动，与静电平衡相矛盾。
3.导体上电荷的分布1)当带电导体处于静电平衡状态时,导体内部处处没有净电荷存在, 电荷只能分布于导体的表面上.qdV iiV证明：在导体内任取体积元dV由高斯定理体积元d v 任取导体带电只能在表面！iiqS d E 01 ,0 i E dVn e En e E E S d e E S d E nS E 0S2).导体表面附近的场强方向与表面垂直，大小与该处电荷的面密度成正比.ne ES结论：孤立的带电导体，外表面各处的电荷面密度与该处曲率半径成反比,410R Q V RRrr R ,44,22rRr R rR q Q r R R rQq1）导体表面凸出而尖锐的地方（曲率较大）电荷面密度较大2）导体表面平坦的地方（曲率较小）电荷面密度较小3）导体表面凹进去的地方（曲率为负）电荷面密度更小rq V r 041rq R Q V V R r 004141l d E 导体内,0l d E 腔沿电场线l d E (违反环路定理)在静电平衡状态下,导体空腔内各点的场强等于零,空腔的内表面上处处没有电荷分布.ld E l d E l d E导体内腔沿电场线二、空腔导体(带电荷Q )1 腔内无电荷，导体的电荷只能分布在外表面。
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场
q
q q
第10章 导体和电介质中的静电场
·接地的空腔导体: 屏蔽内, 外电 场
2. 静电屏蔽: 一个接地的空腔导 体可以隔离内外电场的影响.
法拉第笼
P.8/21
3. 有导体存在时的 E 和 U 思路:
静电平衡条件 导体上的电荷分布
第10章 导体和电介质中的静电场
E3 0 (r R3)
q
E2 4 π 0r 2 (R3 r R2 )
3) 空心导体, 空腔内有电荷q
E 0 qi 0
内表面感应出 q q
结论: 电荷分布在导体内外两个 表面, 内表面带电荷－q. 根据电 荷守恒定律, 外表面带电为:
q Q q
Q是导体原来所带电量.
P.5/21
2. 带电导体表面附近的场强
E
第10章 导体和电介质中的静电场
dS 导体
静电感应现象的过程
第10章 导体和电介质中的静电场
导体(带电 或不带电)
外电场作用下
静电平衡状态
自由电子 作宏观定 向运动
新电 分荷 布重
导体内 其他自 由电子 宏观定 向运动 停止.
导体表面一端 带负电,另一 端带正电,出 现感应电荷.
E内 E E0 0
附加电场
E
静电平衡时, 导体的内部和 表面上都不再有电荷的宏观 定向运动.
P.2/21
第10章 导体和电介质中的静电场
E0
+ +
E＇
+ + + +
E0
E 0 +
+
E E0 E 0
导体内电场强度 外电场强度
感应电荷电场强度
P.3/21
3. 静电平衡时导体中的电场特性
场强:
• 导体内部场强处处为零 E内 0
• 表面场强垂直于导体表面
电势:
E表面 // dS
R1
10-8C的正电荷. 问: (1) 两球电荷
分布; (2) 球心的电势; (3) 球壳电
势. +
+
-
+
解: (1) 电荷
+ - + - + 分布如图所
+
+ - R2+
+
+-
R3 + +
- + 示球面q, 壳
++
R1
-+
内表面－q, 壳外表面2q.
+
-
+
+
0
R2 R3
E2
dr
0
R1 E0dr
电荷守恒定律
E1 0 (R2 r R1)
计算E, U分布(方法同前)
例10-1. 有一外半径R1, 内半径R2 的金属球壳, 其中放一半径为R3 的金属球, 球壳和球均带有电量
2q
E0 4 π 0r 2 (r R1)
(2) U0
E dl
0
R3 R2 R1
0
R3
R2
小成正比.
2) 静电平衡时, 导体表面曲率越
大, 面电荷密度越大, 电场也越强.
P.6/21
尖端放电演示
+ +
-- ++++++
+ ++
静电吹烛
第10章 导体和电介质中的静电场
避雷针
P.7/21
10.1.3 空腔导体和静电屏蔽 1. 空腔导体 • 腔内没有电荷: 屏蔽外电场
E0
E'
0
• 腔内存在电荷: 间断内外电
P.0/21
2. 导体的静电平衡条件
+++++++
E
导体球放入电场后的电场线.
静电感应: 导体在外电场中时, 其表面不同位置出现正负电 荷重新分布的现象叫做静电 感应. 发生静电感应时, 集中 出现在导体表面的电荷叫做 感应电荷.
第10章 导体和电介质中的静电场
+ +++
感应电荷
++
+++ +
P.1/21
第10章 导体和电介质中的静电场
第10章 导体和电介质中的静电场
相互作用
1. 金属导体的电结构
静电场
导体、电介质
相互影响
电
感应电荷 极化电荷
场
重 影响
新
电荷重新分布
分 原有电场
布
§10-1 静电场中的导体 10.1.1 导体的静电平衡
热平衡特征: 任意微小体积 元内, 自由电子的负电荷和晶 体点阵上正电荷的数目相等, 整个导体或其任何一部分对 外都显现电中性.
2
3
q1 q2 2S
q1
q2
++++++++++
A
B 3S 4S q2 (2)
考虑 A 板中一点 a, 由静电平衡 条件, 导体板内 Ea=0.
q-q -
如 q1=－q2 , 结 果如何?
Ea
1 2 0
2 2 0
3 2 0
4 2 0
0 (3)
-
A
B
P.10/21
§10.3 静电场中的电介质 10.3.1 电介质的极化 1. 电介质的电结构
第10章 导体和电介质中的静电场
两类电介质分子结构: 非极性分子: 正负电荷中心重叠.
H+
+-
H+
C--
H+
导体: 导电的原因是自由电子. 半导体: 导电原因是空穴-电子对. 绝缘体: 常态下不能导电的物体.
R2 qdr
2qdr
R3 4π 0r 2 R1 4π 0r 2
q (1 1 2)
4π 0 R3 R2 R1
(3)
U1
2q
R1 4π 0r 2 dr
2q
4 π 0R1
P.9/21
例10-2. 两块导体平板, 面积为S, 分别带电 q1 和 q2, 两极板间距远 小于平板的线度. 求平板各表面 的电荷密度.
第10章 导体和电介质中的静电场
同理, B板中一点b : Eb=0.
Eb
1 2 0
2 2 0
3 2 0
4 2ห้องสมุดไป่ตู้0
0
(4)
q1
q2 解: 设四板面密
度如图示.
1 2 3 4
E4 E3 E2
. E1
a
. b
由电荷守恒得:
1S 2S q1 (1)
联立(1) (2) (3) (4)解得:
1
4
q1 q2 2S
1
S
E dS
0
qi
E 0 qi 0
结论: 导体内部没有净电荷, 净电荷只能分布在导体外表 面.
P.4/21
2) 空心导体, 空腔内无电荷
E 0 qi 0
- - q-
-
•
+q
-
- E= 0 S -
结论: 电荷分布在导体外表 面, 导体内部和内表面没净 电荷.
第10章 导体和电介质中的静电场
取高斯面, 电场方向如图, 设导体
表面电荷面密度为σ, 由高斯定理: 尖端放电: 对于有尖端的带电导
EdS dS 得 E
0
0
体, 尖端处电荷面密度极大, 则导 体表面邻近处场强也特别大. 当 电场强度达到一定程度时, 附近
1) 静电平衡时, 导体表面上各点 的空气就会被电离而产生放电现
的电荷密度与其邻近处场强的大 象, 称为尖端放电.
• 导体为一等势体 U 常量
• 导体表面是一个等势面
问题: 达到静电平衡时导体上的 电荷怎样分布?
第10章 导体和电介质中的静电场
10.1.2 静电平衡时导体上 的电荷分布
1. 电荷分布
1) 实心导体
净电荷: 未能被中和 的电荷.
+ +
+ +
+ +
+ + + +++
+
E= 0
S+
+
+ + + ++