CH3 插值法与最小二乘法—3.2 插值多项式中的误差

但对于区间 [ a ,b ] 上插值节点 x ( i 0 , 1 ,..., n ) 以外的任意一 x ， i 不能保证 L ( x )f ( x ) 处处成立 . n
3
这就意味着插值多项式存在着截断误差,而通常情况
下f(x)的准确值都是未知的，那么我们该怎样估计这
个截断误差呢？ 定理：设 f ( x ) 在含节点 次可微，P
n
( )
(n 1)!
n1 ( x)
其中 : (x ) (xx ), (a, b) , 且依赖于 n 1 i x.
i 0
4
证:
R ( x ) f( x ) P ( x ) n n
设在区间 [ a ,b ] 上用插值多项式 P ( x ) 近似 f( x ) 时的插值余 n

(n1)
( ) 0
( n 1 )
( t ) f ( t ) P ( t ) K ( x ) ( t )
n n 1
由于

( n 1)
f (t )
( n 1 )
( t ) P ( t ) K ( x )n ( t ) n 1
( n 1 ) ( n 1 ) n 1
5

f ( x ) P ( x ) K ( x ) ( x ) 0 n n 1
引入辅助函数（为了确 定 K (x) ）
n n 1
(3)
( t ) f ( t ) P ( t ) K ( x ) ( t )
那么 x 和 x ( i 0 , 1 ,..., n ) 代入上式有： i

由图可知，插值多项式 L n ( x ) 与原函数 f ( x ) 之间 有一定的误差。那么，如何估计这个误差？ 根据上节的例题，是否可以得出结论：插值多项 式次数越高，计算结果越精确？ 插值余项公式和对高次插值多项式问题的分析 给出了上述两个问题的答案。
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Ax b
b l 第三章 插值法和最小二乘法
(2) R ( x ) K ( x )( x x )( x x ) ( x x ) K ( x ) ( x ) n 0 1 n n 1
待定函数
( x x )( x x ) ( x x ) 0 1 n

R ( x ) f ( x ) P ( x ) K ( x )n ( x ) n n 1
0K (x )0 0
( x x )( x x ) ( x x ) 0 1 n

（ i 0 , 1 , ,n ）
因此 x , x , x , , x 是 ( t ) 的 n 2 个零点 . 0 1 n
由 于 P ( t ) 和 ( t ) 为 多 项 式 , 因 此 若 f ( t ) 可 微 , 则 ( t ) 也 可 微 n n 1
i
a 11 a 21 A an1
Hale Waihona Puke Baidu
a 12 a 22

§ 3.2
an2

a1n a2n a nn
i 1
ij
x
j
xi
j1
插值多项式中的误差
l ii
i 2 , 3 , , n
2
§3.2 插值多项式中的误差
一、插值余项
由上一节可知，若已知 函数 f (x ) 在区间 [ a ,b ] 上的 n 1 个插值节点 x ,x ,..., x 及其相应的函数值 y ,y ,..., y ，可构 0 1 n 0 1 n 造一个次数不超过 n 次的 Lagrange 插值多项式 L ( x ): n
(5)
(5)式代入(2)式，得：
n
x ( i 0 , 1 ,..., n )的区间[a,b]上n+1 i
(x)
是关于给定的n+1个节点的n次插值多项
R n ( x ) 为： ( x ) 的余项（即截断误差）
f
( n 1)
式，则对于 x[a,b]，存在与x有关的 (a, b)，使得
n次插值多项式 P
n
Rn ( x )
(1)
由于在插值节点 x ( i 0 , 1 , , n ) 上 P ( x ) f ( x ), 故 i n i i
R ( x ) f( x ) P ( x ) 0 , ( i 0 , 1 , , n ) n i i n i
这说明 R (x )在 [a ,b ] 上至少有 n 1 个零点，构造至少含有 n 1 n 个零点的 R (x ) 如下： n

( n 1 )
因此
( ) f ( ) P ( ) K ( x ) ( )
( n 1 ) ( n 1 ) n
f
( n 1 )
0 ( ) K ( x ) ( n 1 )!
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所以
K ( x) f
( n 1)
( )
( n 1)!
n (xx ) i L (x ) yjlj (x ) yj n ( x x ) j 0 j 0 j i i0 i j
n n
满足插值条件：
L ( x ) f ( x ) y ( i 0 , 1 , , n ) ni i i
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( t ) 在区间 ( a , b ) 上有至少 n 1 个零点 根据Rolle定理,
( t ) 在区间 ( a ,b ) 上有至少 n 个零点 再由Rolle定理,
依此类推
( n ) ( t ) 在区间 ( a ,b ) 上有至少 2 个零点
最后可推出在区间 ( a ,b ) 内至少存在一个点 ,使得 ( t) 的 n 1 阶导数为零，即 :
(4)
注意
t与 x
若 x 为 (a ,b )上的一个固定的点，且 xx ( i 0 , 1 ,..., n ). i
的区分
(x) 0 f ( x ) P ( x ) K ( x ) ( x ) n n 1
( xi ) f ( x ) P ( x ) K ( x ) ( x ) i n i n 1 i