基本初等函数与初等函数

点a的去心的邻域, 记作U ( a, ).

2.函数概念 定义 设数集X、Y为两个非空实数集合，对任意X中的元 素x，按照某一对应规则f ，Y中都有唯一的一个数y与之 对应，则称规则f : X Y为定义在X上的函数, 通常简记 为 yf(x), 其中x称为自变量, y称为因变量, X称为定义域, 记作 Df, 即DfX.
D : ( , )
奇函数,
x
x
有界函数,
双曲函数常用公式
sh( x y ) shx chy chx shy; ch( x y ) chxchy shx shy; 2 2 ch x sh x 1; sh2 x 2shx chx; 2 2 ch2 x ch x sh x.
说明: 函数的记号还可用“ g”、“F”、“”等 , 此时函数就 记号f和f(x)的区别: 前者表示自变量 x和因变量 y之间的 记作 yg(x 、 yF(x)、y(x)等. 对应法则 , )而后者表示与自变量 x对应的函数值. 同一题中, 不同的函数应用不同的记号.
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几个特殊的函数举例
函数的有界性
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函数的性质:单调性、奇偶性、周期性、有界性
例、判断函数的奇偶性
1 1 x 1. y ln . 2 1 x
2. y ln(x x 2 1 )
e x e x 3. y 2
e x e x 4. y 2
5. y x 3 sinx
6. y (| x | x 2 ) cos x 1、奇，2、奇，3、偶，
反双曲正切 y
1 1Leabharlann Baidux ln . 2 1 x
D : ( 1,1)
奇函数,
arth x
y
y arthx
arthx
在 (1,1) 内单调增加.
1 例1 已知函数 f ( x 2) x 1,求 f ( ) .
解
f ( x 2) x 1 x 2 3
2、反双曲函数
反双曲正弦
y arshx
y arshx 2 ln( x x 1)
D : ( , )
奇函数,
在 (,) 内单调增加 .
反双曲余弦 y archx
y archx 2 ln( x x 1).
D : [1, )
y
archx
在 [1,) 内单调增加.
双曲函数与反双曲函数
1、双曲函数
e e 双曲正弦 shx 2
x
x
y chx
1 x y e 2 1 x y e 2
D : ( , ), 奇函数.
e e 双曲余弦 chx 2
x
x
D : ( , ), 偶函数.
y shx
shx e e 双曲正切thx x x chx e e
当x 0时, ( x) x 2 0 不成立
(1) ( x ) 0时：
当x 0时, ( x ) 0 0 x 0
当x 0时, ( x) x 2 0 x 0
(2) ( x ) 0时：
当x 0时, ( x ) 0 0 不成立
0, x 0 f [ ( x)] 2 x , x 0
3.函数的性质:单调性、奇偶性、周期性、有界性
若存在数K1, 使对任一xX, 有f(x)K1, 则称函数f(x)在
X上有上界. 若存在数K2, 使对任一xX, 有f(x)K2, 则称函数f(x)在 X上有下界.
若存在正数M, 使对任一xX, 有
|f(x)|M, 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在, 则称函数f(x) 在X上无界.
o
1
x
3）对数函数
y loga x (a 0, a
4）三角函数 与反三角函数 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
2）指数函数
ya
x
(a 0, a 1)
1 x y( ) a
y ax
(a 1)
3）对数函数
y loga x (a 0, a 1)
双曲函数 双曲正弦sh x
,
shx e x e x chx e x e x x x , 双曲余切cth x 双曲正切th x x shx e e x chx e e
e e 2
x
x
,
e x e x 双曲余弦ch x 2
等都是初等函数.
x e , x1 x 2, 例1 设 f ( x ) , ( x ) 2 x 1, x, x 1 求 f [( x )]. e ( x ) , ( x ) 1 f [( x )] 解 ( x ), ( x ) 1
y 因变量,
例：分析下列复合函数的结构
x (1) y cot 2
(2) y e sin
2
( 3 x 1)
x y u , u cot v , v . 2 y e u， u v 2 , v sin w, w 3 x 1
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函 数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函 数. **分段函数不是初等函数**
，
1, f ( x ) 例3 0, 1,
| x | 1,
x | x | 1, g ( x) e ，求 f ( g ( x))和g ( f ( x)) x0 1, | x | 1, 1 x 1 e,
g ( f ( x)) 1, x 1 1 e , x 1, 或x 1
x0 , x0
10
当( x ) 1时,
或 x 0, ( x ) x 2 1, 或 x 0, ( x ) x 2 1 1,
x 1;
0 x 2;
e x , 例1 设 f ( x ) x, 求 f [( x )].
20 当( x ) 1时,
4、奇，5、偶，6、偶
例、 求函数y=
x —， x－6
2
+arcsin 2 x－1
7
的定义域.。
3 x 2或3 x 4
3.基本初等函数
1）幂函数 y x
2）指数函数

y
(是常数)
y x2
1
(1,1)
y x
y x
y ax
(a 0, a 1)
1 y 1) x
定义域x (,), 值域0 y

y arccot x
4.复合函数与初等函数 定义: 设函数 y f ( u)的定义域 D f , 而函数
x 自变量,
u 中间变量,
u ( x ) 的值域为 Z , 若 D f Z , 则称
函数 y f [( x )]为 x 的复合函数.
x
f ( x) x 3
1 1 f( ) 3 x x
例2 已知函数
解
1 1 f 1 1 2 x x
2
,求 f x .
2
1 1 2 1 1 1 f 1 1 2 1 1 21 2 x x x x x x
y log a x
(a 1)
y log 1 x
a
4）三角函数 与反三角函数
正弦函数 y sin x
定义域： R，值域： [-1,1]
求y sin x , x [

, ]的反函数: 2 2
x arcsin y
y arcsin x
反正弦函数

2
定义域x [1,1], 值域
y
(1) 符号函数 1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过x 的最大整数
1 o -1 y 4321 -4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 阶梯曲线 x
x sgn x x
y arctan x

2
, )的反函数: 2 2
反正切函数
定义域x (,), 值域 y 2 2


2
余切函数 y cot x
定义域： x k，值域： R
求y cot x , x (0, )的反函数: y arc cot x 反余切函数
第一节
数 开学
启 科 学 大 门 的 钥 匙
映射与函数
a
一些概念
1.邻域: 设a与是两个实数, 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
记
U ( a, ) {x a x a }.

a

a
x a 点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
x1 x 2, , ( x ) 2 x1 x 1,
x0 , x0
或 x 0, ( x ) x 2 1, 或 x 0, ( x ) x 2 1 1,
综上所述
1 x 0;
x 2;
e x2 , x 1 x 2, 1 x 0 f [ ( x )] 2 . x 1 e , 0 x 2 2 x x 2 1,
y

2
余弦函数 y cos x
求y cos x , x [0, ]的反函数:
y arccos x
反余弦函数
定义域x [1,1], 值域0 y
正切函数 y tan x
定义域： x
求y tan x , x (


2
k， 值 域 ： R
f ( g ( x)) 0, 1,
x0 x0
x, x 0 0, x 0 例、f ( x ) , ( x) 2 , 则f [ ( x )] ________ . 0, x 0 x , x 0
( x ), ( x ) 0 解：f [ ( x )] 0, ( x ) 0