逆矩阵的几种求法与解析 很全很经典
第三章 矩阵的逆
唯一性： 是可逆矩阵， 的逆矩阵唯一. 唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵唯一 是可逆矩阵 的逆矩阵唯一 证明： 证明： 设B、C都是 的逆矩阵，则 都是A的逆矩阵 、 都是 的逆矩阵，
AB = BA = E ,
AC = CA = E
⇒ B = EB = (CA) B = C ( AB) = CE = C.
逆矩阵的求法二： 逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
A11 ∗ A12 A = M A1n A21 A22 M A2 n L L M L An1 An 2 , M Ann
(1)
A
−1
1 ∗ = A , A
其中 A * 为A的伴随矩阵。 的伴随矩阵。 的伴随矩阵
2a + c 2b + d 1 0 ⇒ = − b 0 1 −a
a = 0, 2a + c = 1, b = −1, 2b + d = 0, ⇒ ⇒ c = 1, − a = 0, d = 2. − b = 1,
又因为
BA AB 2 1 0 − 1 0 − 1 2 1 1 0 , = = − 1 0 1 2 1 2 − 1 0 0 1
所以
0 − 1 A = . 1 2
−1
0 A 例： 设n阶矩阵 及s阶矩阵 都可逆，求 阶矩阵A及 阶矩阵 都可逆， 阶矩阵B都可逆 阶矩阵 . B O X 11 X 12 解：设所求逆矩阵为 , X 21 X 22
∴ A 存在
−1
A
−1
A∗ = A
0 0 0 0 2⋅ 3⋅ 4⋅ 5 1⋅ 3⋅ 4⋅ 5 0 0 0 0 1 = 0 0 1⋅ 2⋅ 4⋅ 5 0 0 5! 0 0 1⋅ 2⋅ 3⋅ 5 0 0 0 0 0 0 1⋅ 2⋅ 3⋅ 4
逆矩阵的概念矩阵可逆的条件逆矩阵的求法-毕业论文-全文在线阅读-
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例10 设
求矩阵X使满足AXB= C。 分析：
若A-1，B -1存在，则由A-1左乘AXB=C，又
用B-1右乘AXB= C，
有
A-1AXBB-1= A-1CB-1，
即
X = A-1CB-1。
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解
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矩阵的运算小结
一、已定义过的运算：
★ 矩阵与矩阵的加、减法； ★ 矩阵与数的乘积； ★ 矩阵与矩阵的乘积； ★ 方阵的行列式； ★ 逆矩阵； ★ 矩阵的转置。
Ex.4
解
又
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于是
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也可以直接按定义来验证这一结论。
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Ex.5 解
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Ex.6 解
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上页 下页 返回上页Fra bibliotek返回设给定一个线性变换： 它的系数矩阵是一个 n 阶方阵A，
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记
则线性变换(7)可记为 Y =AX.
逆矩阵。
例如
因为AB= BA= E，所以B是A的逆矩阵，同样A也 是B的逆矩阵。
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如果方阵A是可逆的，则 A的逆阵一定是唯一 的。 这是因为：设 B、C都是 A的逆矩阵， 则有
B=BE =B（AC）=（BA）C =EC =C， 所以 A的逆阵是唯一的。
A的逆阵记作A-1。 即若AB=BA=E，则 B=A-1。
§3 逆 阵
★ 逆矩阵的概念 ★ 矩阵可逆的条件 ★ 逆矩阵的求法
矩阵之间没有定义除法，而数的运算有 除法，本节相对于实数中的除法运算，引入 逆矩阵的概念。
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逆阵的概念
(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
逆矩阵 算法-概述说明以及解释
逆矩阵算法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述逆矩阵是矩阵理论中一个非常重要的概念，它在线性代数、数值计算等领域中都有广泛的应用。
简单来说，对于一个可逆的方阵A，存在另一个方阵B，使得A与B的矩阵乘积等于单位矩阵I，那么我们称B为A的逆矩阵。
逆矩阵在很多实际问题中起到了至关重要的作用。
本文将主要介绍逆矩阵的定义、性质以及计算方法。
首先，我们将给出逆矩阵的定义，并讨论什么样的矩阵会存在逆矩阵以及如何判断一个矩阵是否可逆。
然后，我们将深入探讨逆矩阵的性质，比如逆矩阵的唯一性以及逆矩阵与矩阵的乘法规则等。
接下来，我们将介绍一些常见的逆矩阵计算方法，包括伴随矩阵法、初等变换法以及利用矩阵的特征值和特征向量来求逆矩阵等。
逆矩阵算法在数值计算中具有广泛的应用领域。
例如，在线性方程组的求解中，我们可以利用逆矩阵的性质来求解未知数向量。
此外，在图像处理、信号处理、网络优化等领域也都可以看到逆矩阵算法的应用。
逆矩阵算法的发展前景非常广阔，随着计算机计算能力的不断提升，逆矩阵算法将能够承担更加复杂和庞大的计算任务。
总之，逆矩阵算法是一项重要且充满潜力的计算方法，它在线性代数和数值计算领域具有重要的地位。
通过深入研究和应用逆矩阵算法，我们可以更好地理解矩阵的性质和应用，从而为实际问题的求解提供有效的数学工具。
在接下来的正文中，我们将详细介绍逆矩阵的定义、性质以及计算方法，以期帮助读者更好地理解和应用逆矩阵算法。
文章结构部分的内容如下所示：1.2 文章结构本文将按照以下结构组织内容：引言部分将首先概述逆矩阵算法的背景和重要性，介绍本文的目的，并对整篇文章进行总结。
正文部分将着重介绍逆矩阵的定义，包括数学上对逆矩阵的准确描述。
随后，我们将详细探讨逆矩阵的性质，包括逆矩阵与原矩阵之间的关系，以及逆矩阵的特点和作用。
最后，我们将介绍逆矩阵的计算方法，包括传统的高斯消元法和基于分解的LU分解法等。
结论部分将重点探讨逆矩阵算法的重要性，阐述逆矩阵算法在实际问题中的应用领域，如线性方程组的求解、图像处理和机器学习等。
高二 数学 选修 矩阵 第三讲 逆矩阵与逆变换的解题技巧
在二元一次方程组
ax cx
by dy
m n
中
Dx
m b n d
，
Dy
a m c n
，D
a b c d
，
x
y
Dx D Dy D
．
AX=B X= A-1B AXC=B X= A-1BC -1
对于二元一次方程组
A
x
y
m
n
，
A＝ac db
，
A1＝mn db
，
A2＝
a m c n
几何解释 映行射列代观式数点 解释
行列式 映射观点
逆矩阵的求法
d
b
a 矩阵 c
b
d
的逆矩阵为
ad
bc
c
ad
bc
a
ad bc ad bc
几何变换方法
逆矩阵的求解
待定系数方法 公式法
行列式方法
课本在本节中就通过证明命题“已知A，B，C 为二阶矩阵，(AB)－1=B－1A－1．且AB=AC，若矩阵 A存在逆矩阵，则B=C．”
逆矩阵与逆变换解题技巧
知识要点
变换的复 合和矩阵
的乘法
二阶矩阵 与向量的
关系
2
几种常见 的平面变
换
矩阵
特征值 特征向量
逆矩阵 逆变换
矩阵的应 用
逆矩阵存在条件
矩阵
a c
b d
的行列式为
a c
b d
ad
bc ，则如果
a c
b d
0
则矩阵
a c
b d
存在逆矩阵.
矩阵是否可逆的判断
几何解释 代数解释
，
矩阵求逆矩阵的方法
矩阵求逆矩阵的方法矩阵求逆矩阵是线性代数中的一个重要问题，对于矩阵的逆的求解方法有多种，下面我们将介绍几种常见的方法。
1. 初等变换法。
对于一个可逆矩阵A，我们可以通过初等变换将其变为单位矩阵I，这时候A经过一系列的初等变换得到I，而I经过同样的一系列初等变换得到A的逆矩阵。
这种方法的优点是简单直观，容易理解，但对于大型矩阵来说计算量较大。
2. 克拉默法则。
对于n阶方阵A，如果A是可逆的，那么它的逆矩阵可以通过克拉默法则来求解。
克拉默法则利用矩阵的行列式和代数余子式的概念，将矩阵A的逆矩阵表示为A的伴随矩阵的转置除以A的行列式。
这种方法的优点是不需要对矩阵进行初等变换，但计算量也比较大。
3. 初等行变换法。
初等行变换法是通过对矩阵进行一系列的初等行变换，将矩阵A变为单位矩阵I，然后将I变为A的逆矩阵。
这种方法与初等变换法类似，但是更加注重矩阵的行变换，适合于对行变换较为熟悉的人来说。
4. 矩阵的分块法。
对于特定结构的矩阵，我们可以通过矩阵的分块来求解逆矩阵。
例如对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵等，通过分块的方法可以简化逆矩阵的求解过程。
5. LU分解法。
LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，然后通过LU分解可以求解矩阵的逆。
这种方法适用于对矩阵分解比较熟悉的人来说，可以简化逆矩阵的求解过程。
总结：矩阵求逆矩阵的方法有多种，每种方法都有其适用的场景和计算复杂度。
在实际应用中，我们可以根据矩阵的特点和问题的需求来选择合适的方法。
希望本文介绍的方法可以帮助读者更好地理解矩阵求逆矩阵的过程，提高解决实际问题的能力。
逆矩阵的求法及逆矩阵的应用
逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用摘要：在现代数学中，矩阵是一个非常有效而且应用广泛的工具，而逆矩阵则是矩阵理论中一个非常重要的概念。
关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有非常重要的意义。
目前，对于逆矩阵的求法及其应用领域的研究已比较成熟。
本文将对逆矩阵的定义、性质、判定方法及求法进行总结，并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方面的应用。
关键词：矩阵逆矩阵逆矩阵的求法逆矩阵的应用The methods for identifying inverse matrix and application of inverse matrix Abstract: In modern mathematics，matrix is an effective tool with extensive application，and inverse matrix is a significant concept in matrix theory. The disduss about the way to evaluating inverse matrix and its application is of an important meaning with mature development at present. This paper will summarize the definition and properties of inverse matrix and disscuss the methods evaluating inverse matrix.We will also talk about the application of inverse matrix, especially its application in encoding and decoding. Keywords: Matrix Inverse matrix The way to evaluating inverse matrix Application of inverse matrix一：引言在现代数学中，矩阵是一个有效而应用广泛的工具。
关于几种特殊矩阵的逆矩阵求法探讨
关于几种特殊矩阵的逆矩阵求法探讨逆矩阵是矩阵论中非常重要的概念，它在线性代数及应用数学中都有广泛的应用。
通常情况下，我们可以使用伴随矩阵或者高斯消元法来求解逆矩阵。
但是对于一些特殊矩阵，我们可以利用它们的特殊性质来求解逆矩阵，从而简化计算过程。
一、对角矩阵的逆矩阵求法对角矩阵是指所有非主对角线元素都为零的方阵。
对于对角矩阵，逆矩阵的求解非常简单。
设A为n阶对角矩阵，其中对角线上的元素为a1,a2,...,an。
由于对角矩阵非常特殊，可以直接取每个元素的倒数作为逆矩阵的对角线元素，即A^(-1)的对角线上的元素为1/a1,1/a2,...,1/an。
其余元素仍然为零。
这是因为矩阵乘法满足交换律，任何数与零相乘都为零。
二、上三角矩阵的逆矩阵求法上三角矩阵是指所有主对角线上方的元素都为零的方阵。
对于上三角矩阵，逆矩阵的求解也相对简单。
设A为n阶上三角矩阵，其中主对角线上的元素为a1,a2,...,an。
逆矩阵A^(-1)也是一个上三角矩阵，其主对角线上的元素为1/a1,1/a2,...,1/an。
通过数学归纳法可以证明这个结论。
因为对角线以下的元素都是零，而矩阵乘法中对角线以下的元素与对应位置的元素相乘后都为零，因此A×A^(-1)的对角线以下的元素也都是零。
三、单位矩阵的逆矩阵求法单位矩阵是指主对角线上的元素全为1，其余元素全为零的方阵。
单位矩阵非常特殊，其逆矩阵就是它本身。
也就是说，单位矩阵的逆矩阵就是单位矩阵本身。
这是因为单位矩阵对于矩阵乘法是一个单位元，与任何矩阵相乘得到的结果仍然是原矩阵。
综上所述，对于一些特殊的矩阵，我们可以利用它们的特殊性质来求解逆矩阵，从而简化计算。
对角矩阵、上三角矩阵和单位矩阵都是常见的特殊矩阵，它们的逆矩阵都可以通过简单的规则来求解。
这些特殊矩阵的逆矩阵求解方法也为我们在解决实际问题中的数学建模提供了便利，可以节约计算时间，提高求解效率。
逆矩阵的求法
第六节逆矩阵一、逆矩阵的概念利用矩阵的乘法和矩阵相等的含义，可以把线性方程组写成矩阵形式。
对于线性方程组令A＝X＝B＝则方程组可写成AX=B.方程A X=B是线性方程组的矩阵表达形式，称为矩阵方程。
其中A称为方程组的系数矩阵，X称为未知矩阵，B称为常数项矩阵。
这样，解线性方程组的问题就变成求矩阵方程中未知矩阵X的问题。
类似于一元一次方程ax=b（a≠0）的解可以写成x=a-1b，矩阵方程A X=B的解是否也可以表示为X=A-1B的形式？如果可以，则X可求出，但A-1的含义和存在的条件是什么呢？下面来讨论这些问题。
定义11 对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵C，使得AC=CA=E（E为n阶单位矩阵），则把方阵C称为A的逆矩阵（简称逆阵）记作A-1，即C=A-1。
例如因为AC==CA==所以C是的A逆矩阵，即C=A-1。
由定义可知，AC=CA=E，C是A的逆矩阵，也可以称A是C的逆矩阵，即A=C-1。
因此，A与C称为互逆矩阵。
可以证明，逆矩阵有如下性质：（1）若A是可逆的，则逆矩阵唯一。
（2）若A可逆，则(A-1)-1=A.（3）若A、B为同阶方阵且均可逆，则AB可逆，且(AB)-1=B-1A-1（4）若A可逆，则det A≠0。
反之，若det A≠0，则A是可逆的。
证（1）如果B、C都是A的逆矩阵，则C=CE=C(AB)=(CA)=EB=B即逆矩阵唯一。
其它证明略。
二、逆矩阵的求法1、用伴随矩阵求逆矩阵定义12 设矩阵A=所对应的行列式det A中元素aij的代数余子式矩阵称为A的伴随矩阵，记为A*。
显然，AA＊=仍是一个n阶方阵，其中第i行第j列的元素为由行列式按一行（列）展开式可知=所以AA＊==det AE （1）同理AA＊=det AE=A＊A定理3n阶方阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵，而且A-1=A＊=证必要性：如果A可逆，则A-1存在使AA-1=E，两边取行列式det(AA-1)= det E,即det A det A-1=1,因而det A≠0,即A为非奇异矩阵。
求逆矩阵的几种方法
求逆矩阵的几种方法
作者：俞美华
来源：《科技视界》 2015年第31期
俞美华
（东南大学成贤学院基础部，江苏南京 210088）
【摘要】矩阵是线性代数中的主要研究对象与研究工具，而逆矩阵是矩阵理论中的一个非常重要的概念，如何判断一个矩阵是否可逆以及如何求矩阵的逆矩阵就显得非常重要。
求逆矩阵方法很多，本文归纳了如下几种：定义法；利用伴随矩阵求逆法；利用伴随矩阵求逆法的推论求逆；利用逆矩阵的性质求逆法；利用矩阵的初等变换求逆；分块对角阵求逆法。
【关键词】逆矩阵；伴随矩阵；初等变换；分块对角阵
由此可见，利用初等行变换或者初等列变换都可以求逆矩阵，并且计算的结果是一样的，但是习惯上我们还是利用初等行变换来求逆矩阵，因为初等行变换更常用。
6 分块对角阵求逆矩阵
对矩阵进行分块是矩阵运算中常用的一种方法，有时可以简化运算，如果矩阵分块以后是分块对角阵，则计算就相当简便。
由此可见，如果直接利用伴随矩阵求矩阵的逆矩阵，就要计算9个代数余子式，计算量比较大，而利用分块的方法将其化为分块对角阵，只需要计算一个二阶方阵的逆，从而简化了计算。
【参考文献】
［１］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组,王萼芳,石生明.高等代数[M].3版.北京:高等教育出版社,2003:177-193.
［２］高明.逆矩阵的求法[J].阴山学刊(自然科学版),2006,20(2):14-16. ［３］王丽霞.逆矩阵的几种求法[J].雁北师范学院学报,2007,23(2):82-84. ［４］俞南雁.线性代数简明教程[M].2版.北京:机械工业出版社,2013:26-90. ［５］同济大学数学系.线性代数[M].6版.北京:高等教育出版社,2014：39-66. ［责任编辑：杨玉洁］。
逆矩阵的几种求法与解析 很全很经典
解
1
故
é- 1 / 6 - 13 / 6 4 / 3ù A = ê 1/ 2 3/ 2 -1 ú . ê ú ê 1 / 6 1 / 6 1 / 3 ú ë û
-1
在事先不知道n阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变 换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0， 则意味着A不可逆， 因为此时表明 A =0， 则A -1 不存在.
其中A ij 是 A 中元素a ij 的代数余子式.
A21 A22 ... A2 n
... An1 ù ú ... An 2 ú ... ... ú ú ... Ann û
é A11 ê A 矩阵 ê 12 ê ... ê ë A1n
证明
A21 A22 ... A2 n
... An1 ù ú ... An 2 ú 1 称为矩阵A的伴随矩阵，记作A 3 ，于是有A -1 = A3. A ... ... ú ú ... Ann û
é A11-1 A = ê ë 0
21
-1 -1 -1
-1
0 ù ú A22 -1 û
-1 ù é A1 ú ê ú =ê ú ê ú ê Ak û ê ë -1
把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：
é A1 ê ê ê ê ë A2 ... A2
-1
...
ù ú ú ú -1 ú Ak û ú
0 ù é 1 0 ... 0 ù ú 0 ú ê 0 1 ... 0 ú ú =I =ê ... ú ê... ... 1 ...ú ú ê ú A û ë 0 0 ... 1 û
同理可证BA=I. 由此可知，若A可逆，则A -1 =
1 A3. A
逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
E-A) 1= E + A + 2 K1 + … +A(E- A )(E+A + A 2+…+ AK 1)= E-A K(E-A) (E+A+A 2 + …+A K 1)=E，逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容 ,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷 .逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容 , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一 .本文将给出几种求逆矩阵的方法 .1. 利用定义求逆矩阵定义：设A、B都是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB= BA = E,则称A为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证：如果方阵A满足A k= 0,那么EA是可逆矩阵,且证明因为E与A可以交换，所以因A K= 0 ,于是得同理可得( E + A + A 2 + … +A K 1 )(E-A)=E ，因此E-A是可逆矩阵，且(E-A) 1 = E + A + A 2 +…+A K 1同理可以证明 (E+ A) 也可逆,且E-A 的逆矩阵.(E+ A) 1 = E -A + A 2+…+ (-1 ) K1A K1.由此可知，只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E A 的逆矩阵.例2 设 A =00 20 00 03,求0003 0000分析 由于A 中有许多元素为零，考虑A K是否为零矩阵，若为零矩阵，则可以 采用例2的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证00 2 00 0 0 6200 0 630 0 0 04A 2=■A 3=， A 4 =000 0 00 00 0000 00 0 0 0而 (E-A)(E+A+ A2+ A 3 )=E , 所以1 12 61230 12 6 (E-A)E+A+ A2+ A.0 0 1 30 00 12. 初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法 •如果A 可逆，则A 可通过 初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵R,P 2 , P S 使（1） p 1 p 2 p s A=I ，用 A 1右乘上式两端，得：（2） p 1 p 2 p s I= A 1比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单 位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1.用矩阵表示（ A I ）为（ I A 1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法 .需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初 等变换 .同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵 .2 3 1例1 求矩阵A的逆矩阵•已知A= 0 1 31 2 52 3 1 1 0 0 1 2 5 0 0 1解[A I] 0 1 3 0 1 0 0 1 3 0 1 01 2 5 0 0 1 2 3 1 1 0 01 2 5 0 0 1 1 0 0 1/6 13/6 4/30 1 3 0 1 0 0 1 0 1/2 3/2 10 0 1 1/6 1/6 1/3 0 0 1 1/6 1/6 1/31/6 13/6 4/3故 A 1 = 1/2 3/2 11/6 1/6 1/3在事先不知道n阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法•如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为 0，则意味着A不可逆，因为此时表明A =0，则A 1不存在.1 2 3例 2 求 A= 4 5 6.7 8 91 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0解[A E]= 4 5 6 0 1 0 0 3 6 4 1 07 8 9 0 0 1 0 6 12 7 0 11 2 3 1 0 00 3 6 4 1 0 .0 0 0 1 2 1由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A不可逆.3. 伴随阵法定理 n阶矩阵A=[a j ]为可逆的充分必要条件是A非奇异.且A n1A n2矩阵A 21.A n1A 22...A 12称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1=-A A 3'' ''' )A 2n.A nnB=A n A 2n 由此可知，若A 可逆，则AA 3.其中A j 是A 中元素a j 的代数余子式.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1=I ，有AA 1 = l |，则A A 1 =|l |，所以A 0 , 即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩其中a11 a12 ...a 1nA 11 A21...A n1 a 21a22...a2 n1 A 12A22A n2 AB=... ... ...A・・・an1an2...a nnA 1nA2n...A nnA 0...0 1 0=丄oA ...0 =010 = -1=A ... ... A ...1T0 0...A0 01同理可证BA=I.用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有A|2nAiA2 A inAI2A 22A nn证明 因为A =A ii0 0A22其中X A ii A 11A ii0 A 22=A 1i | |A22An 0 0A 22 i0,所以A 可逆.YW ，于是有X Y A ii ZWA22I n 00 I m n， 丫 A22 =0， ZA ii =0，W A 22 I m .又因为A ii 、A 22都可逆，用22 i 分别右乘上面左右两组等式得:规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对 角线的元素变号即可•若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过 AA 1=I 来检验.一 旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4 .分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A il 、A 22都是非奇异矩阵，且A il 为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵iiX= A ii ，Y=0，Z=0，W= A 22A 2i =Aii0 A 22 i把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即:iA i iA2 A2i42准三角形矩阵求逆命题设A11、A 22都是非奇异矩阵，则有A11 1 1A12 A111A11 A12 A22 10 A22 0 A22 1证明因为A11 A12 I 1A11 A12 =An 0 0 A22 0 I 0 A22两边求逆得I A11 1 1A12 A1 1 A12 1= A11 100 I 0 A22 0 A22 所以A11A12 1 _ I A11 A12 A1 100 A22 0 I 0 A22 1=A11 11 1 A11 A12 A220 A22 1 同理可证A1110 A11 10A21 A221 1A11 A21 A22 A22 1此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵•是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用•5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用 AA 1=E，把题目中的逆矩阵化简掉。
(完整word版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使（1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p Λ21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
逆矩阵的求法[1]
![逆矩阵的求法[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/a557cd19a300a6c30c229f40.png)
2006年6月第20卷 第2期阴山学刊YI NSHAN ACADE MIC JOURNA L Jun.2006Vo1.20 No.2逆矩阵的求法Ξ高 明(包头师范学院数学科学学院,内蒙古包头014030) 摘 要:矩阵的逆问题是矩阵论的重要问题,本文给出了逆矩阵的几种求法。
关键词:初等变换;伴随矩阵;分块矩阵;特征多项式中图分类号:151121 文献标识码:A 文章编号:1004-1869(2006)02-0014-031 伴随矩阵法定理:n 阶矩阵A 可逆ΖdetA ≠0且在A 可逆时A -1=1detA·A 3,其中A 3是A 的伴随矩阵。
例1:A =a b cd,ad -bc =1,求A -1解:∵|A |=a b cd=ad -bc =1≠0∴A 可逆,且A -1=1|A |·A 3=d -b -ca注:此方法适合于二、三阶方阵。
2 初等变换法如果A 可逆,则A 可通过初等行变换化为单位矩阵E ,即存在相应的初等矩阵E 1、E 2……E S 使E S …E 2E 1A =E (1)用A -1右乘上式两端,得E S …E 2E 1E =A-1 (2)比较(1)、(2)两式,可知当A 通过行初等变换化为E 的同时,对单位矩阵E 作同样的行初等变换,就化为A 的逆矩阵A -1。
同样,只用列的初等变换也可以求逆矩阵。
3 分块矩阵求逆法有些阶数较多的矩阵,用分块矩阵求逆较方便,在一般的高等代数教材上,都给出了用待定法或利用分块初等矩阵来求一个可逆分块阵的逆矩阵的方法,但这些方法都比较复杂,文[3]给出了较简便的方法,即(1)对(A ,En )中的子块En 必须进行分块,使En 是一个分块单位矩阵;(2)把“子块作为元素”处理时,必须遵守“左行右列”的规则,即变行必须从左乘,变列必须从右乘。
例3:设下列各方阵的逆矩阵都存在,证明:A B CD-1=A-1+A-1B (D -C A-1B )-1-A-1B (D -C A-1B )-1-(D -C A -1B )-1C A -1(D -C A -1B )-1证:设A 、D 分别是γ阶,S 阶的方阵,则:A B Er O C D O Es→A B ErOOD -C A -1B-C A -1Es→E r O A -1+A -1B (D -C A -1B )-1C A -1-A -1B (D -C A -1B )-1OE s-(D -C A -1B )-1C A-1(D -C A -1B )-1∴A B CD-1=A -1+A -1B (D -C A -1B )-1C A -1-A -1B (D -C A -1B )-1-(D -C A -1B )-1C A-1(D -C A -1B )-1但是,直接运用该方法求分块矩阵的逆,由于这个公式很难记忆,所以使用起来也不很方便,下面给出另一种分块矩阵求逆法,本文暂且称之为化上(下)三角分块求逆法。
矩阵求逆的几种方法总结（C++）
矩阵求逆的⼏种⽅法总结（C++）矩阵求逆运算有多种算法：1. 伴随矩阵的思想，分别算出其伴随矩阵和⾏列式，再算出逆矩阵；2. LU分解法（若选主元即为LUP分解法: Ax = b ==> PAx = Pb ==>LUx = Pb ==> Ly = Pb ==> Ux = y，每步重新选主元），它有两种不同的实现；A-1=(LU)-1=U-1L-1，将A分解为LU后，对L和U分别求逆，再相乘；通过解线程⽅程组Ax=b的⽅式求逆矩阵。
b分别取单位阵的各个列向量，所得到的解向量x就是逆矩阵的各个列向量，拼成逆矩阵即可。
下⾯是这两种⽅法的c++代码实现，所有代码均利⽤常规数据集验证过。
⽂内程序旨在实现求逆运算核⼼思想，某些异常检测的功能就未实现（如矩阵维数检测、矩阵奇异等）。
注意：⽂中A阵均为⽅阵。
伴随矩阵法C++程序：1 #include <iostream>2 #include <ctime> //⽤于产⽣随机数据的种⼦34#define N 3 //测试矩阵维数定义56//按第⼀⾏展开计算|A|7double getA(double arcs[N][N],int n)8 {9if(n==1)10 {11return arcs[0][0];12 }13double ans = 0;14double temp[N][N]={0.0};15int i,j,k;16for(i=0;i<n;i++)17 {18for(j=0;j<n-1;j++)19 {20for(k=0;k<n-1;k++)21 {22 temp[j][k] = arcs[j+1][(k>=i)?k+1:k];2324 }25 }26double t = getA(temp,n-1);27if(i%2==0)28 {29 ans += arcs[0][i]*t;30 }31else32 {33 ans -= arcs[0][i]*t;34 }35 }36return ans;37 }3839//计算每⼀⾏每⼀列的每个元素所对应的余⼦式，组成A*40void getAStart(double arcs[N][N],int n,double ans[N][N])41 {42if(n==1)43 {44 ans[0][0] = 1;45return;46 }47int i,j,k,t;48double temp[N][N];49for(i=0;i<n;i++)50 {51for(j=0;j<n;j++)52 {53for(k=0;k<n-1;k++)54 {55for(t=0;t<n-1;t++)56 {57 temp[k][t] = arcs[k>=i?k+1:k][t>=j?t+1:t];58 }59 }606162 ans[j][i] = getA(temp,n-1); //此处顺便进⾏了转置63if((i+j)%2 == 1)64 {65 ans[j][i] = - ans[j][i];66 }67 }68 }69 }7071//得到给定矩阵src的逆矩阵保存到des中。
关于几种特殊矩阵的逆矩阵求法探讨
关于几种特殊矩阵的逆矩阵求法探讨逆矩阵是一个重要的概念，在线性代数中扮演着重要的角色。
它是指矩阵A的逆矩阵（简称A的逆）是一个矩阵B，满足AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
当矩阵存在逆矩阵时，称该矩阵是可逆的，也称为非奇异矩阵。
对于特殊的矩阵，其逆矩阵的求法有相应的特点和方法。
以下将讨论几种特殊矩阵的逆矩阵求法。
1.对角矩阵的逆矩阵求法:对角矩阵是指只有主对角线上有非零元素，其余元素都为零的矩阵。
对角矩阵的逆矩阵也是一个对角矩阵，其中每个对角元素都是原矩阵对应位置的倒数。
因此，若矩阵A是对角矩阵，则其逆矩阵A⁻¹也是一个对角矩阵，其中每个对角元素是A对应位置的倒数。
2.上三角矩阵的逆矩阵求法:上三角矩阵是指主对角线以下的元素全为零的矩阵。
上三角矩阵的逆矩阵也是一个上三角矩阵。
求上三角矩阵的逆矩阵的方法是通过不断地使用回代法求解。
假设矩阵A是一个n x n的上三角矩阵，其逆矩阵可表示为B=(b_ij)，其中b_ij是i≤j时对应位置的元素。
则通过回代法求解可得到逆矩阵B的各个元素。
具体求解过程如下：- 对于B的对角线上的元素b_ii，将A方程组的第i行的b_ii设为1，将剩下的未知数设为0，并求解该方程组。
- 对于B的第i行除去对角线上的元素b_ij，i<j≤n，将A方程组中的第i行的b_ij设为1，将剩下的未知数设为0，并求解该方程组。
-重复以上过程，直到求解出矩阵B的所有元素为止。
3.下三角矩阵的逆矩阵求法:下三角矩阵是指主对角线以上的元素全为零的矩阵。
下三角矩阵的逆矩阵也是一个下三角矩阵。
求下三角矩阵的逆矩阵的方法是通过不断地使用回代法求解。
假设矩阵A是一个n x n的下三角矩阵，其逆矩阵可表示为B=(b_ij)，其中b_ij是i≥j时对应位置的元素。
具体求解过程与上三角矩阵类似，只是方程组的解法不同。
4.奇异矩阵的逆矩阵求法:奇异矩阵是指行列式为零的方阵，即不可逆的矩阵。
因此，奇异矩阵不存在逆矩阵。
关于矩阵求逆的几种方法
关于矩阵求逆的⼏种⽅法2019-09-19摘要：矩阵求逆是⾼等代数中很重要的内容之⼀，本⽂介绍了矩阵求逆的⼏种⽅法。
关键词：逆矩阵初等变换伴随矩阵级数特征多项式1.定义法定义：设A为n阶矩阵，如果存n在阶矩阵B使得AB=BA=I。
则称矩阵A是可逆的，称B是A的逆矩阵。
例1：求矩阵A=2231-10-121的逆矩阵。
解：因为|A|≠0，所以A存在。
2.公式法定理1：n阶矩阵可逆的充要条件是|A|≠0，⽽且当n（≥2）阶矩阵A为可逆矩阵时，A=A，其中A为矩阵A的伴随矩阵。
⽤公式法求逆，当阶数较⾼时，计算量很⼤，所以该⽅法主要⽤于理论推导。
3.初等变换法设n阶矩阵A，作n×2n矩阵，然后对此矩阵施以初等⾏变换，若把⼦块A变为I，则⼦块I将变为A，即初等⾏变换［I，A］。
4.Gauss-Jordan（⾼斯―约当）法由定义AA=I，设Y=AX（Y，X均为n维向量），则X=AY。
若将Y=AX改写成X=BY，则A=B。
具体⽅法如下：写出Y=AX的矩阵形式yy...y=aa…aaa…a…………aa…axx...x，由矩阵乘法写成⽅程形式y=ax+ax+…+axy=ax+ax+…+ax……………y=ax+ax+…+ax，经消元后将上式转化为如下形式：y=bx+bx+…+bxy=bx+bx+…+bx……………y=bx+bx+…+bx，即X=BY，所以A=B。
5.⼴义的⾏列初等变换法此⽅法可将阶数较⾼的矩阵化为阶数较低的矩阵再求其逆，使计算简化。
例4：设r+s阶矩阵A=BDOC，其中B，C是r，s阶可逆矩阵，则A=B-BDCOC。
证明：（I）⽤⼴义的初等⾏变换。
［Ａ，Ｉn］=BDI00C0I初等变换IO-B-BDCOIOC由此得证。
（II）⽤⼴义的初等列变换法。
AI=BDOCIOOI初等变换 IDCOIBOOC初等变换 IOOIB-BDCOC，由此得证。
6.和化积法有的问题要判断⽅阵之和A+B的⾮奇异性并求其逆矩阵，此时可将A+B直接化为（A+B）C=I，由此有A+B⾮奇异，且（A+B）=C；或将矩阵之和A+B表⽰为若⼲已知的⾮奇异阵之积，并可得其逆矩阵。
总结求矩阵的逆矩阵方法
华北水利水电学院总结求矩阵的逆矩阵方法课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式：浅析求矩阵的逆矩阵方法摘要：矩阵理论在《线性代数》课程中有着重要的地位,矩阵和数相仿可以运算,特别是乘法和数一样有逆运算,其定义为:对于 n 阶方阵 A,如果存在 n 个阶段 B 使得 AB=BA=E,则 n 个阶方阵 A 为可逆的,B 为 A 的逆矩阵。
下面对求逆矩阵方法进行全面论述,并做一步探讨。
关键字 矩阵 逆矩阵 可逆1矩阵求逆常见的几种方法 1.1 用伴随矩阵法求逆矩定理1.1.1：n 阶矩阵)(ij a A =可逆的充要条件0≠A ，而且当)2(≥n 阶矩阵A 有逆矩阵，*-=A AA11，其中*A 伴随矩阵。
例1 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=412112013A 是否可逆？若可逆，求1-A 解：A A ∴≠=05可逆又511=A ，421=A ，3131=A ，1012=A ，1222=A ，332-=A ，013=A ，123=A ，133=A∴*-=A AA11例 2 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，求()1-*A解：1-*=A A A ，又()kB kB 11--=，所以()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡====---*5430220011011011111A A A AA A且有规律可循。
对于三阶以上方阵用该方法逆矩阵,不仅计算量大且易出错,一般不用此种方法。
对求出逆矩阵正确与否,一般用E AA A A ==--11来检验是否正确。
1.2 用初等变换法求逆矩阵定理 1.2.1 如果n 阶方阵A 可逆，则存在有限个初等矩阵，l P P P 21,使得l P P P A 21=。
如果A 可逆，则1-A 也可逆，由上述定理， 存在初等矩阵l Q Q Q ,,,21 使得l Q Q Q A 211=-那么A A AAE 11--==即A Q Q Q E l 21= E Q Q Q Al 211=-于是我们得到一个求逆矩阵的方法如下：如果n 阶方阵A 可逆，作一个n n 2⨯的矩阵E A ，然后对此矩阵施以初等行换，使A 化为单位矩阵E 同时化为1-A ，即：E A 1-−−−→−A E 初等行变换例1 用初等行变换求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=521310132A 的逆矩阵解：=E A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100132310521100010001521310132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--201010100910310521211010100600310521⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→316161100123210103461361001316161100010310100521 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=-3161611232134613611A 同理，如果n 阶矩阵A 可逆，作一个n n ⨯2的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡E A ，然后此矩阵施以初等变换，使矩阵A 化为单位阵E ，则同时E 化为1-A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1A E E A 初等列变换。
浅谈逆矩阵的多种求解方法
例2：已知 ，求A-1.
解：∵| A | = 2≠0
∴A可逆.由已知得
A-1=A* =
4.3初等变换法：
注意：
①对于阶数较高（n≥3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.
②也可以利用 求得A的逆矩阵.
例1：设A为n阶矩阵，且满足 ，求A-1.
解：
4.2伴随矩阵法：A-1=A*
定理n阶矩阵A=aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且
其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.矩阵 称为矩阵A的伴随矩阵，记作A*，于是有A-1=A*.
注意：
①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A* =（Aji）n×n元素的位置及符号.特别对于2阶方阵 ，其伴随矩阵 ,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.
且A-1= B.
3、逆矩阵的性质
设A，B是n阶可逆矩阵，则
（1）（A-1）-1= A；
（2）若k≠0，则kA可逆，且（kA）-1=A-1；
（3）AB可逆，且（AB）-1= B-1A-1；
（4）AT可逆，且（AT）-1=（A-1）T；
（5）Ak可逆，且（Ak）-1=（A-1）k；
（6）| A-1| = | A |-1；
解：
构造矩阵 有：
将第一行依次乘以-2，-3和1，分别加到第二行、第三行和第五行，得;
将第二行依次乘以-1和1，分别加到第三行和第四行，得：
再将第三行依次乘以-3、2和-1，分别加到第四行、第五行、第六行，得：
故：
参考文献
[1]杜汉玲.求逆矩阵的方法与解析[J].高等函授学报(自然科学版), 2004, (04) .
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0 ù é 1 0 ... 0 ù ú 0 ú ê 0 1 ... 0 ú ú =I =ê ... ú ê... ... 1 ...ú ú ê ú A û ë 0 0 ... 1 û
同理可证BA=I. 由此可知，若A可逆，则A -1 =
1 A3. A
用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有 规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对 角线的元素变号即可. 若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以 上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA -1 =I来检验.一 旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.
T -1 2
解
令
( A + 4 E ) T (4 E - A) -1 (16 E - A 2 ) =D
D= ( A + 4 E ) T (4 E - A) -1 (16 E - A 2 ) = (4 E + A) T (4 E - A) -1 (4 E - A)(4 E + A) = (4 E + A)(4 E + A) T = (4 E + A) . 虽然题目中出现了（4E-A） -1 .但是经过化简之后不再出现此式，因此得 D= 4 E - A =22500. 例2 证明 已知 n阶矩阵A满足A 2 +2A-3E=0.求证：A+4E可逆并求出A+4E的逆.
解
1
故
é- 1 / 6 - 13 / 6 4 / 3ù A = ê 1/ 2 3/ 2 -1 ú . ê ú ê 1 / 6 1 / 6 1 / 3 ú ë û
-1
在事先不知道n阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变 换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0， 则意味着A不可逆， 因为此时表明 A =0， 则A -1 不存在.
必要性：设A可逆，由A A -1 =I，有 AA -1 = I ，则 A A -1 = I ，所以 A ¹ 0，
即A为非奇异. 充分性： 设A为非奇异，存在矩阵
2
é A11 ê 1 ê A12 B= A ê ... ê ë A1n
其中
A21 A22 ... A2 n
... An1 ù ú ... An 2 ú ， ... ... ú ú ... Ann û A21 A22 ... A2 n ... An1 ù ú ... An 2 ú ... ... ú ú ... Ann û
逆矩阵的几种求法与解析
矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆 矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主 要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.
1.利用定义求逆矩阵
定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A为 可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且 （E-A） -1 = E + A + A 2 +…+A K -1 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2 +…+ A K -1 )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2 +…+A K -1 ）=E， 同理可得（E + A + A 2 +…+A K -1 ）(E-A)=E， 因此E-A是可逆矩阵,且 (E-A) -1 = E + A + A 2 +…+A K -1 . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A) -1 = E -A + A 2 +…+（-1） K -1 A K -1 . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ± A的逆矩阵.
-1
-1 -1 - A11 A12 A22 ù ú A22 -1 û
同理可证
é A11 êA ë 21
-1 0 ù é A11 = ê -1 -1 A22 ú û ë- A11 A21 A22 -1
0 ù ú A22 -1 û
此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的 一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.
é0 ê0 A =ê ê0 ê ë0 1 0 0ù 2 0 0ú ú ,求 0 0 3ú ú 0 0 0û
例2
设
E-A的逆矩阵.
分析
由于A中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以
采用例2 的方法求E-A的逆矩阵. 解 容易验证
é0 ê0 A2 =ê ê0 ê ë0
0 2 0ù 0 0 6ú ú， 0 0 0ú ú 0 0 0û
®
解
3 1 0 0ù é1 2 ê0 - 3 - 6 - 4 1 0ú . ê ú ê 0 0 0 1 2 1 ú ë û
由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A不可逆.
3.伴随阵法
定理 n阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A非奇异.且
é A11 ê 1 ê A12 A -1 = A ê ... ê ë A1n
4．分块矩阵求逆法
4.1.准对角形矩阵的求逆 命题 设A 11 、A 22 都是非奇异矩阵，且A 11 为n阶方阵，A 22 为m阶方阵
é A11 ê0 ë
证明 因为 A =
0 ù é A11-1 ê A22 ú û ë 0
0 ù ú A22 -1 û
A11 0
0 = A11 A22 ¹ 0, 所以A可逆. A22 Y ù é A11 ê Wú ûë0 0 ù éIn =ê A22 ú û ë0 0ù , Im ú û
初等行变换 用矩阵表示（A I） ¾¾ ¾¾® 为（I A -1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法，
它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是， 在作初等变换时只允许作行初 等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1
é2 3 1ù 求矩阵A的逆矩阵.已知A= ê0 1 3ú . ê ú ê 1 2 5 ú ë û é2 3 1 1 0 0ù é1 2 5 0 0 1 ù ê ú [A I] ® 0 1 3 0 1 0 ® ê0 1 3 0 1 0ú ê ú ê ú ê 1 2 5 0 0 1 ú ê 2 3 1 1 0 0 ú ë û ë û 0 0 1 ù é1 2 5 é1 0 0 - 1 / 6 - 13 / 6 4 / 3ù ® ê0 1 3 0 1 0 ú ® ê0 1 0 1 / 2 3/ 2 -1 ú ê ú ê ú ê 0 0 1 1 / 6 1 / 6 1 / 3 ú ê 0 0 1 1 / 6 1 / 6 1 / 3 ú ë û ë û
é0 ê0 A3=ê ê0 ê ë0
0 0 6ù 0 0 0ú ú ， A 4 =0 0 0 0ú ú 0 0 0û
而
(E-A)(E+A+ A 2 + A 3 )=E,所以
é1 ê0 -1 2 3 ê (E-A) = E+A+ A + A = ê0 ê ë0 1 2 6ù 1 2 6ú ú. 0 1 3ú ú 0 0 1û
4.2.准三角形矩阵求逆 命题 设A 11 、A 22 都是非奇异矩阵，则有
é A11 ê0 ë A12 ù é A11 -1 =ê A22 ú û ë 0
-1 -1 -1 - A11 A12 A22 ù ú A22 -1 û
证明
éA 因为 ê 11 ë0
A12 ù A22 ú û
é I - A11-1 A12 ù é A11 ê ú=ê I ë0 û ë0
2 2
把A 2 +2A-3E=0变形为A 2 +2A-8E=5E，即 （A+4E）（A-2E）=-5E，可得（A+4E）（-A/5+2E/5）=E，
所以存在一个矩阵B=-A/5+2E/5，使（A+4E）B=E，由定义得A+4E可逆，且 （A+4E） -1 =B=-A/5+2E/5. 另外，有些计算命题中虽出现逆矩阵，但通过适当的矩阵运算可消去，因而不 必急于求出逆矩阵.
5.恒等变形法
4
恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论 推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用 AA -1 =E，把题目中的逆矩阵化简掉。
例1
é 1 0 0ù ú 计算（A+4E） （4E-A） （16E-A ）的行列式，其中 A= ê ê- 1 2 0ú ê ë 1 4 1ú û
3
éX 设A -1 = ê ëZ
Y ù éX ，于是有 ê ú Wû ëZ
其中 X A 11 =I n ， Y A 22 =0，Z A 11 =0，W A 22 =I m .又因为A 11 、A 22 都可逆，用A 11 、 A 22 分别右乘上面左右两组等式得： X= A 11 ，Y=0，Z=0，W= A 22 故
例2
é1 2 3ù 求A= ê4 5 6ú . ê ú ê 7 8 9 ú ë û 3 1 0 0ù é1 2 3 1 0 0ù é1 2 [A E]= ê4 5 6 0 1 0ú ® ê0 - 3 - 6 - 4 1 0ú ê ú ê ú ê 7 8 9 0 0 1 ú ê 0 6 12 7 0 1 ú ë û ë û
-1
-1
0 ù A22 ú û