由一道课本例题带来的教学思考

由一道课本例题带来的教学思考

综观近几年高考试题，可以发现，源于课本例题、练习题、习题的考题占了一定的份量。有些高考试题是对课本例题、练习题、习题的改编或重组而成的。“重基础、考能力”，“源于课本、高于课本”，是高考命题的原则。因此，对课本进行合理的利用，特别是对课本例题进行挖掘、引申、改造与重组，显得尤为重要。下面就课本的一道例题进行加工改造，引伸拓宽，揭示有价值的新结论，以开阔学生的思路，培养学生的创造能力。

【例题】．如图：ab是⊙o的直径，pa⊥面⊙o，c是圆周上任意一点，

求证：面pac⊥面pbc。

本题是新课标必修二页的例

题2，如果就题论题，本题丝毫显不

出其特别之处，因而也不会吸引学生

对知识的追求与探索，还会使他们感

到枯燥无趣，这时，如果教师向学生

揭示该题有价值的新结论，学生会兴

味无穷，探求不止。

应用层面

教学中教师有意识地对数学例题作多层面、多角度的变式与探究,引导学生从“变”的现象中发现不变的本质,从“不变”中探求

规律,将教学活动营造为开放、宽松、愉悦、和谐的师生探究与合作交流的过程.逐步培养学生灵活多变的创新思维品质,完善学生

的认知结构,提高学生发现问题、解决问题和探索创新的能力。

引申1、四面体各面中最多含有多

教师在讲解例题时，不要局限于一题一解，就题论题，而要不断启发学生从问题的不同层面、不同的角度去思考，寻找多种解决问题的途径，并从中分析、比较、筛选出最佳方案，达到多中求快、求巧、求优的目的，即“一题多解”；同时还要进行“一题多变”，即将原题“变一变”、“扩一扩”、“改一改”的变式训练。只有这样才能充分激活学生封闭的思维，真正达到提高学生思维品质的效果。

变式1、原题中，a在pc、pb上的射影为m、n

又已知de⊥pb,所以∠edb＝60°,即所求的二面角等于60°。

三、深化层面

对例题的纵、横多方位的研究引申，不仅可获得一些重要结论，更重要的是通过变换、引申等手段，充分发挥了该题的智能价值，从而可以调动学生学习的积极性，激励学生思维的创造性。

深化1．在四棱锥中，底面是矩形(改原题底面直角三角为矩形)，平面，，.以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.

（1）求证：平面⊥平

面；

（2）求直线与平面

所成的角的大小；

（3）求点到平面的

距离. （09江西）

解：方法一：（1）依题设知，ac是所作球面的直径，则am⊥mc。

又因为p a⊥平面abcd，则pa⊥cd，又cd⊥ad，

所以cd⊥平面ｐａｄ，则cd⊥am，所以a m⊥平面pcd，

所以平面abm⊥平面pcd。

（2）由（1）知，，又，则是的中点可得，则

设d到平面acm的距离为，由即，可求得，

设所求角为，则，。

（1）可求得pc=6。因为an⊥nc，由，得pn。所以。

故n点到平面acm的距离等于p点到平面acm距离的。

又因为m是pd的中点，则p、d到平面acm的距离相等，由（2）可知所求距离为。

方法二：

（1）同方法一；

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，；设平面的一个法向量，由可得：，令，则。设所求角为，则，

所以所求角的大小为。

（3）由条件可得，.在中，,所以,则, ，所以所求距离等于点

到平面距离的，设点到平面距离为则，所以所求距离为。

深化2.如图，在四棱锥中(改原题底面直角三角为梯形)，

,且db平分，e为pc的中点，,

（ⅰ）证明∥

（ⅱ）证明

（ⅲ）求直线bc与平面pbd

所成的角的正切值

【答案】（1）略（2）略（3）

【解析】（ⅰ）证明：设，连结eh，在中，因为ad=cd，且db 平分，所以h为ac的中点，又有题设，e为pc的中点，故∥,又,所以∥

（ⅱ）证明：因为，所以

由（ⅰ）知，,故

（ⅲ）解：由可知，bh为bc在平面pbd内的射影，所以为直线与平面pbd所成的角。

由

在中，,所以直线bc与平面pbd所成的角的正切值为。

一般讲，课本上的例题都显露出他们的形式训练价值，而其实际功能都是隐含的，需要教育者加强发掘，使所学的理论知识与实践技能相结合。这样，可以增强学生学习兴趣，坚定学习信念，形成完整的认识结构和数学观念意识，真正品尝到知识清泉甘醇。当

然发掘例题背后的功能，应该把学生的认识，规律和接受程度，跨度不能太大。否则会禁锢学生认识结构的发展，因此，讲完例题之后，应该循序渐近地进行总结提炼，充分发掘其例题的作用。努力提高学生素养，这些无疑上升为例题教学中的数学知识结构的最高层次。