高数第九章 偏导数讲解

y
x4
? 4x2 (x2 ?
y2 ? y2 )2
y4
,
0,
x2 ? y2 ? 0 x2 ? y2 ? 0
f y (x, y) ?
x
x4
? 4x2y2 ? (x2 ? y2)2
y4
,
0,
x2 ? y2 ? 0 x2 ? y2 ? 0
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注意： 函数在某点各偏导数都存在 , 但在该点不一定连续 .
例如 ,
z?
f
(x,
பைடு நூலகம்
y)
?
? ? ?
xy x2 ? y2
,
?? 0 ,
x2 ? y2 ? 0 x2 ? y2 ? 0
显然
?0
?0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续 !
上节例 目录 上页 下页 返回 结束
例5. 求函数
解 : ?z ?
z ? ex? 2 y 的二阶偏导数及
ex? 2 y
?z ? 2ex?2y
?
?3 y?
z x
2
.
?x
?y
?2z ?x2
?
ex? 2 y
? 2z ? 2ex?2y
? x? y
? 2z ? 2ex?2y ? y?x
?2z ? y2
?
4ex? 2 y
?3z ? y? x2
?
定义1. 设函数 z ? f (x, y)在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内
极限
x0 ? ? x
x0
?x
存在,则称此极限为函数 z ? f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 对 x
的偏导数，记为
? ?
f x
( x0 ,
y0
)
;
zx ( x0 , y0 ) ;
f1?(x0, y0 ) .
? y? 0
?y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数 , 也简称为
偏导数 , 记为
?z , ? f , ?y ?y
zy ,
f y (x, y) ,
f2?(x, y)
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偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
?
?2z ? y2
?
f y y (x, y)
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类似可以定义更高阶的偏导数 .
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
?( ?y
)
?
?nz ? xn?1? y
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?z ? y (1, 2)
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例2. 设
z ? x y ( x ? 0, 且 x ? 1），求证 x ?z ? 1 ? z ? 2z y ? x ln x ? y
证:
? x ?z ? 1 ?z
? 2z
y ?x ln x ? y
例3. 求
的偏导数 .
解:
?r ? ?x 2
2x x2 ? y2 ?
注意: f x (x0 , y0 ) ? lim f (x0 ? ? x,
f
?(
x0
)
? lim
?x? 0
f (x?0 x?? ?0x) ?
?x
f (x0 )
y0 ) ?
? ?
dx
y
dx
f (x0 , y0 ) x ? x0
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同样可定义对 y 的偏导数
f y (x0, y0 ) ? lim f (x0 , y0 ? ? y) ? f (x0 , y0 )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同 , 有下列四个二阶偏导
数:
? (?z) ? ?x ?x
? ?
2
x
z
2
?
f xx (x, y);
? ?y
(? ?
z) x
?
?2z ?
?x? y
f x y (x, y)
? (?z) ? ?2z ? ?x ? y ? y?x
f y x (x, y);
? ?y
(?z) ?y
第二节
偏导数
第九章
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
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一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是
将振幅
中的 x 固定于 x0 处, 求
关于 t 的
一阶导数与二阶导数 .
u u(x0 , t ) u(x, t)
O x0
x
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例1 . 求 z ? x2 ? 3xy ? y 2在点(1 , 2) 处的偏导数 .
解法 1
?z ?x
?
2x
?
3y
,
?
?z ? x (1, 2)
?z ?y
?
3x ?
2y
?z
? y (1, 2)
先求后代
解法2 z y? 2 ? x2 ? 6x ? 4
先代后求
?z ? x (1, 2)
z x?1 ? 1? 3y ? y2
? ?x
(
?2z ) ? y? x
? 2ex?2y
注意:此处 ? 2z ? ? 2 z , 但这一结论并不总成立 . ? x? y ? y? x
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例如, f (x, y) ?
xy
x2 x2
? ?
y2 y2
,
0,
x2 ? y2 ? 0 x2 ? y2 ? 0
f x (x, y) ?
?
d dx
f (x, y0 )
x?
x0
M0
Tx
Ty
是曲线
???
z
? y
f (x, ? y0
y)在点
M0
处的切线
M 0Tx 对 x 轴的斜率.
?f ?y
d
x? x0 y? y0
?
dy
f (x0 , y)
y?
y0
O
x0
x
y0 y
(x0 , y0 )
是曲线 斜率 .
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
?
? p ??V ?V ?T
??T ?p
?
?
RT pV
?
?1
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二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
?z ? ?x
fx (x, y) ,
?z ? ?y
f y (x, y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是 z = f ( x , y )
z2
?
x r
?r ? z ?z r
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例4. 已知理想气体的状态方程
求证: ? p ??V ??T ? ? 1 ?V ?T ? p
证: p ? RT , V
?p ?V
?
?
RT V2
V ? RT , p
?V ? R ?T p
(R 为常数) ,
说明: 此例表明 , 偏导数记号是一个 整体记号 , 不能看作 分子与分母的商 !
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为
x? ?x
x
?x
f y (x, y, z) ? ? fz (x, y, z) ? ?
(请自己写出)
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二元函数偏导数的几何意义 :
z
?f ?x
x? x0 y? y0