最新A题车灯线光源的最优设计4数学建模汇总

A题车灯线光源的最优设计4数学建模

A题车灯线光源的最优设计

参赛队员：王之元谷德峰饶彬

指导老师：毛紫阳

学校：湖南长沙国防科技大学

A题车灯线光源的最优设计

摘要

车灯线光源的设计具有很强的实际应用意义。该问题属于单目标规划中的非线性规划问题。本文通过已知条件求出了灯光焦点，以及任一条反射光线的空间解析表达式和对应屏上的坐标位置表达式。然后建立光子跟踪模型进行求解。光子跟踪模型的原理是把光线粒子化，及时跟踪光子的运行方向，最后以单位面积打到屏上的光子数来衡量光照度大小，进而反映光强度在屏上的分布规律。这是一种离散型处理方法，其本质是计算机模拟。这个模型中基于不同原理又提出了好几种算法：等间距光子跟踪算法，改进的等间距跟踪算法，等效立体角跟踪算法和随机方向跟踪算法。每一种算法的原理都不一样，层层递增，一步比一步深入，并分别作图进行比较。另外还结合边界条件讨论了线光源长度的临界值以及B、C两点光强随线光源长度变化的规律。在进一步讨论中，我们分析了光线直射到屏上时的情况，对二次反射的影响也做了分析，进而证明了问题的合理性。

本文我们得出的结论是：

满足功率最小时的灯丝长度为4.337mm，第二问的答案见下图，图的大概形状是一个心形。

关键词：光子跟踪模型计算机模拟

一、问题重述与分析：

1、问题重述

车灯线光源的设计是一个非常实际的问题。已知车灯的形状为一旋转抛物面，其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定使光源功率最小的线光源长度（规范化要求略，见原题）；并对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区和讨论该设计规范的合理性。

2、问题分析

显然在线光源单位长度光通量一定的情况时，要使光源功率最小，线光源的长度也应该较小。但线光源的长度太小了，有可能出现C点的光强度小于额定值；线光源的长度过大，虽然能同时满足B、C两点光强度的要求，但线光源的功率也增大了。我们的目的就是在B、C两点光强度满足题目要求的情况下，求出最小的线光源长度。

另外还要特别注意对“光强度”这一概念的理解，我们认为它和物理学上的“发光强度”是一致的。按光度学中的定义，发光强度是某一方向上单位立体角内所辐射的光通量大小。一般不是用肉眼可以观察到的，主要的测量仪器是前照灯检测仪（参看中国汽车检测网—前照灯检测）。其构件一般是采用具有把吸收的光能变成电流的光电池元件，按照前照灯主光轴照射光电池产生电流的比例，来测量前照灯的发光强度。由于本题中的光源不是点光源，直接求光强度比较困难，我们通过对光照度的测量来近似反映B、C两点光强度的大小。光照度是单位面积上所接受的光通量的大小，用来衡量被照明表面明暗程度的物理量。

二、模型假设：

1、基本假设

（1）光线通过车灯的前玻璃时能量无损失。

（2）光线在抛物面进行一次反射时，能量考虑成无损失。

（3）不考虑二次反射。

（4）不考虑光的干涉和衍射现象。

（5）截取线光源上很小的一段dl，可以看成是在空间呈均匀辐射的点光源。于是线光源可以看成是无穷多个点光源的叠加。

（6）不考虑线光源对反射光能量的阻挡和吸收，即是说线光源不考虑厚度，反射光线可以毫无影响地穿过线光源区域。

2、符号说明

h ----------------车灯的深度，h=21.6mm

f ---------------车灯的焦距

l ----------------线光源的长度

Q ---------------单位长度上线光源的光通量，一个点光源的光

通量可以近似记为Qdl

F ------------- 一个点光源的光通量大小F =Qdl

I ----------- 一个点光源的发光强度 ，I

F 4

三、 模型建立及求解：

定理1：灯泡的焦距f =15mm

证明：我们以光轴的正方向为x 轴，竖直 方向为z 轴，水平方向(AC 方向)为y 轴，抛物面的顶点为原点建立空间直角坐标系。如图是抛物面在z=0时的函数图象，设函 数为px y 22

= 则焦距f =

2

p

，由抛物线的定义MN MF =，得

6.212

)26.21(26.212+=-

+⨯p

p p 解得p=30,所以f =15mm 。 #

因此曲面方程：x y 602

=， ]6.21,0[∈x

作出的图象见右图。

该模型是一个单目标非线性规划问题

Min )(l P

其中K 是某一要求的额定光强度,

E B

,E

C

分别表示线光源在B,C 两点的光强度

我们的目的就是求出满足P 最小的 l

光子跟踪模型：

本题中线光源可以看成是许多个点光源的叠加，只有焦点处的那个点光源通过抛物面后的反射光线是平行光束。其它点光源的反射光线都不是平行光束，因此射到屏上的总光线分布比较复杂，难以求出解析表达式。但并不是无

规律所寻，给定了空间的一个点光源G(15,y1,0) ，（其中]2,2[1l

l y -∈ ），

再给定抛物面T:x z y 602

2

=+ （)6.210≤≤x 上的一任点P(x0,y0,z0),则

反射光线就可以根据y1,x0,y0,z0这四个参数唯一确定了。下面我们就根据光

的微观粒子性结合反射光线的曲线分布建立光子跟踪模型。

这一模型的主要思想是把光能粒子化，及时纪录每一个“光子”的运动轨迹，判断最终到达屏上的具体位置。最后把每个小面积区域内的“光子”总数

{

k

E k E B C 2≥≥