现代设计方法及其应用

耦合系数
Z0 =
µQ − µF
σ
2 Q
+σ
2 F
907200 − 544300 = 2.0494
136000 2 +113400 2
R = P (y > 0 ) = φ [2.0494 ] = 0.97982
PF = 1 − φ [2.0494 ] = 2.018 %
19
机械可靠性设计 力学性能统计处理
三者关系示意图
f(t)
f(t)
R(t) F(t)
t
F(t)、R(t)和f(t)的关系
t
4
二、失效率
失效率就是工作到某个时刻尚未失效的产品，在 该时刻后单位时间内失效的概率，记为 λ ( t )
n(t + ∆t) − n(t) dn(t)
λ(t) = lim ∆t →0
[N − n(t)]∆t
= [N − n(t)]dt
µ y = f (µ1, µ2 , µ3 ,⋅ ⋅ ⋅µn )
1
σy
=
⎡ ⎢( ⎣
∂y ∂x1
)2 xi
=µi
σ
2 1
+
(
∂y ∂x2
)2 xi
=µi
σ
2 2
+
⋅⋅⋅
+
∂y ( ∂xn
)2 xi
=µi
σ
2 n
⎤ ⎥ ⎦
2
23
例 已知一手拉圆杆承受的载荷P～N(μp,σp)，其中μ p=60000N， σp=2000N，拉杆的材料为某低合金钢，抗拉强度 为δ～N(μδ, σδ)，其中μδ =1076MPa， σδ=42.2MPa，要 求其可靠度达到R=0.999，试设计圆杆的半径(载荷、材料强度 和圆的半径等参量均服从正态分布)
N →∞
失效率 λ ( t ) 、失效概率密度函数f(t)和可靠度Ｒ(ｔ) 的关系可以表示为
λ(t) = f (t) = − dR(t) R(t) R(t)dt
5
三、平均寿命
MTTF：Mean Time to Failure，平均失效寿命； MTBF：Mean Time between Failure，平均无故障工作时间。 平均寿命θ等于可靠度函数R(t)曲线与时间轴所夹的面积
维修度是指对可能维修的产品，在发生故障或失效后在 规定的条件下和规定的时间内完成修复的概率，用Ｍ(ｔ)表 示。
平均的维修时间，系统或整机每次故障后所需维修时 间的平均值，MTTR(Ｍean Time To Repair)。
七、有效度（可用度）
有效度是反映产品维修性与可靠性的综合指标，是指 规定条件下，在某时刻t产品处于可使用状态的概率。有效 度是综合可靠度与维修度的广义可靠性尺度。
可靠性的先进性要以材料制造工艺的稳定性和 对载荷测定的准确性为前提的。
26
见教材P203 4.14 4.15 共两题
【作业】
27
∞
θ = ∫0 tf (t)dt
∞
θ = ∫0 R(t)dt
MTTF和MTBF都称为平均寿命
6
四、有效寿命
可靠性研究中把失效划分为早期失效期、随机失效 期和损耗失效期三个阶段。随机失效期的失效率为常 数，与时间t 无关，是产品在使用过程中的随机原因引 起的偶然失效，这种实效无法用强化实验来排除，即使 采用良好的维护措施也不能避免。随机失效期是系统的 主要工作时间，时间长，失效率恒定，是设备的最佳工 作状态时间，称为有效寿命。
7
λt
早 期 失 效 期
浴盆曲线
随机失效期
损 耗 失 效 期
因维修而下 降的失效期
有效寿命
典型寿命曲线
t
8
五、可靠寿命和中位寿命
使产品可靠度为定值r 时的寿命 称为可靠寿命，记作tr。
tr = R−1(r)
R=0.5时的可靠寿命t0.5称为中位 寿命，这是一个常用的寿命特征。
反求t
9
六、维修度
1
( ) ( ) ( ) σ s = πµr2 2
600002 ×
0.01πµr2
2
+
πµr2
2 × 20002
=
1 665.3 µr2
25
已知R = 0.999,查表得z0 = 3.091,代入联结方程
3.091 =
µδ − µs ⇒ Leabharlann Baidu.091 =
σ
2 δ
+
σ
2 s
1076
−19098.5
1 µ2
MTBF=2500h，
故平均失效率 λ = 1 = 1 = 0.0004次/小时 MTBF 2500
可靠度 R(t = 500) = e−λt = e−0.0004×500 = 0.8187
R(t = 1000) = e−λt = e−0.0004×1000 = 0.6703
15
解：根据题意，平均故障间隔时间为：
6
当某一性能数据为定值时 σ = V × µ
20
几何尺寸的分布与统计偏差
由于加工误差的原因，零件几何尺寸也随机变化。 加工尺寸是多个随机因素综合影响的结果，一般也符 合正态分布。一般尺寸都给出规定的公差，可按照3σ 法则处理。若尺寸D的实际尺寸为
T σ=
3
若尺寸的极限偏差对公称尺寸不是对称的，例如
在可靠性设计中，设计变量应以统计特征值的形式给 定，这就需要将其转化为我们所需要的均值和标准差。
由正态分布函数的性质可知，± 3σ 对正态随机变量取值 范围的覆盖度高达99.73%，有足够的精度。设max、min 为某一性能数据的上下限，则其统计特征值为
1 µ = (max + min)
2
1 σ = (max − min)
可靠性设计的基本方法在于，如何把合成的应力 分布和合成的强度分布在概率的意义下结合起来，变 成设计计算可靠性的一种依据。
22
随机变量的统计特征
设随机变量函数y是相互独立的随机变量x1, x2, x3, … xn 的函数，即
y=f(x1,x2,x3,….xn) 已知各随机变量xi(i=1,2,3,…n)服从正态分布，其均 值和标准离差分别为 µi和σ i (i = 1,2,3...., n)，则随机变量函数 y也服从正态分布，且
MTBF=2500h，
故平均失效率
λ = 1 = 1 = 0.0004次/小时 MTBF 2500
可靠度
R(t = 500) = e−λt = e−0.0004×500 = 0.8187
R(t = 1000) = e−λt = e−0.0004×1000 = 0.6703
16
应力-强度干涉模型
当强度r大于应力 s零件就是可靠的
i=1
统计学参数
∑ s =
1 n
n i=1
( xi
_2
− x)
12
正态分布的标准差与百分位
P(
x
≤
b)
=
Φ⎜⎛
b
−
µ
⎞ ⎟
=
Φ(z)
⎝σ ⎠
P(a ≤ x ≤ b)
=
Φ⎜⎛
b
−
µ
⎞ ⎟
−
Φ⎜⎛
a
−
µ
⎞ ⎟
⎝σ ⎠ ⎝σ ⎠
= Φ(z2 )− Φ(z1 )
13
指数分布
适合失效率为常数的情况。
f (t) = dF (t ) = λe−λt
10
常用概率分布 正态分布
正态分布的概率密度为
f (x) =
1
( x−µ )2
e− 2σ 2
σ 2π
μ—位置参数，μ大小决定了曲线的位置，代表分布 的中心倾向，均值μ σ—形态参数，σ大小决定正态分布的形状，表征分 布的离散程度，标准差σ
11
累积分布函数为
F (x) = P(X ≤ x) =
∫ 1
可靠度就是“强度” 大于“应力”作用效果的概率
∞
∞
R = P(r > s) = ∫ fs (s)[∫ fr (r)dr]ds
−∞
s
17
假设应力与强度随机变量均服从正态分布，则
fr (r) = σr
1 2π
e−
(
r−µr
2σ
2 r
)2
fs(s) = σs
1 2π
e−
(
s−µs
2σ
2 s
)2
∫∞
R = P(r − s > 0) = P( y > 0) =
dt
λ为常数时
指数分布的性质
R(t ) = e−λt F (t ) = 1− e−λt
1.指数分布的失效率λ等于常数。
2.指数分布的平均寿命与失效率λ互
∫ ∫ 为倒数
θ(t) =
∞
R(t)dt=
∞e−λtdt= 1
0
0
λ
3.分布具有“无记忆性”。
14
【例】某设备的平均故障间隔时间为2500h，已知设备的失 效时间服从指数分布，试求设备运转500h和1000h时的可靠 度各是多少？ 解：根据题意，平均故障间隔时间为：
单边的
D
+ 0
T
σ = T −0 = T 66
21
机械强度的计算，可应用应力-强度干涉理论进行 计算，必须做出下述假设：
1. 零部件的设计参量均为随机变量，分别服从某一概 率分布，通过计算可以求得合成的应力分布。
2. 零部件的强度与材料的力学性能、尺寸因子、表面 系数等因素有关，它们也分别服从某一概率分布， 也可以求得合成的应力分布。
2
42.22
+
⎜⎜⎝⎛
665.3
1 µ2
⎟⎟⎠⎞
µr4 − 36.0285µr2 + 316.0352 = 0 解得µr = 4.57mm或µr = 3.89mm 取µr = 4.57mm,则σ r = 0.005µr = 0.023mm r = µr ± 0.015µr = 4.57 ± 0.069mm
24
解
S
=
P ,圆杆的横截面积A A
=
πr 2，σ A
=
2πµrσ r ,
假设半径公差r = µr ± 0.015µr
则σ r
=
0.015µr 3
= 0.005µr
故σ A = 2πµrσ r = 0.01πµr2, µA = πµr2
工作应力均值和标准差
µs
=
µp µA
=
60000 πµr2
1 = 19098.5 µr2
1
e dy −
(
y−µ 2σ
y
2 y
)2
0 σ y 2π
“联合方程”或“耦合方程”—将r,s,R三者联系起来
∫ R = 1
z2 ∞−
e 2 dz
2π −z0
Z0 =
µr − µs
σ
2 r
+
σ
2 s
根据Z0查表可得
⎡
R = P(y > 0)= φ ⎢
µr − µs
⎤ ⎥
⎢⎣
σ
2 r
+
σ
2 s
⎥⎦
18
例 钢丝绳受拉伸载荷，已知承载能力Q～N(μq ,σq)，其中 μq=907200MPa， σq=136000MPa，承受的载荷F～N(μF, σF)，其中μF =544300N， σF=113400N，求失效概率
2
可靠性评定的度量指标
1.可靠度
可靠度是指产品、系统在规定的条件下和规定的时间 内完成规定功能的概率。产品的可靠度是时间的函数，用 Ｒ(ｔ)表示，称为可靠度函数。
失效概率密度函数f(ｔ)、累计失效概率F(t)和可靠 度Ｒ(ｔ)的关系可以表示为
f (t) = dF(t) = − dR(t)
dt
dt
3
机械可靠性设计 复习
1
可靠性的概念
可靠性(Reliability)：产品在规定的条件下和规 定的时间内完成规定功能的能力。
规定时间—— 核心
讨论产品的可靠性时，时间应该是一个广义的概念。 时间一般是以小时、年为单位，但根据产品的不同， 广义的时间还可以是车辆行驶的里程数、回转零件的转数、 工作循环次数、机械装置的动作次数等。
2π σ
(x−µ )2
x
e
2σ 2
dx
−∞
标准正态分布
N (0,12)
ϕ(z) =
1
− z2
e2
2π
∫ ∫ Φ(z) = z ϕ(z)dz = 1
z2 z−
e 2 dz
−∞
2π −∞
均值 方差 标准差
∑ −
x=
x1 + x2 + ... + xn n
=
1 n
n
xi
i =1
s ∑ 2 =
1 n
n
_
( xi − x)2