《数学物理方法》第六章勒让德函数
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可见，x=0是方程的常点①．方程的解具有形 式
①为了讨论系数的解析性质，以判定z0=0是方程的 常点、正则奇点还是非正则奇点，必须将p(x)及q(x) 分别延拓为
但为叙述与书写方便，仍采用x⇔z的记号
12
2. 系数递推公式 由此得系数递推公式
13
3. 由递推公式求系数，得通解
14
勒让德多项式 微分表达式-罗德里格斯(Rodrigues)公式; 母函数; 积分表达式—施列夫利公式和拉普拉斯
积分 递推公式．
6.2.1 勒让德多项式的微分表达式—罗德里格 斯公式 证明 从罗德里格斯公式右边出发来证明．
二项式展开定理为
32
对(x2-1)l求l阶导数后除以(2ll!)得到
为何求和指标的最大值为[l/2]，因为对于指 数(2l-2s)＜l的项，在求l 阶导数后均为零，故： 只含(2l-2s)≥l的项，即：s≤ l/2的项．这样当 l 为偶数时，l/2为最大值； l为奇数时，(l-1)/2 为最大值。用简写符号表示就是 [l/2]
证明 (1)在|t|<1内，将w(x,t)展开为泰勒级数
其中al为泰勒系数, C为在|t|<1内包围t=0点的回路
①奇点
的|t12|<1
36
(2)为证明al =Pl(x)，作变换(u为复变数)
37
代入al ，便有
其中u平面的曲线Cʹ是在式(6.2.5)的变换下t平面曲线 C的像．当t=0时，由式 (6.2.6)得到u=x.既然t=0在 曲线C的内部，因此u=x在曲线Cʹ的内部．
式(6.1.17)乘以任意常数仍为勒让德方程的解 历史上为了让这个多项式与函数(1-2xt+t2)-1/2
的展开系数一致，选择最高次幂项的系数Cl 为
再利用系数递推公式(6. 1.9)求出低次幂项的 系数，得到的多项式称为勒让德多项式，记
22
将式(6. 1.9)以Ck表示Ck+2改为以Ck+2表示Ck
l=0
l=0
l=0
lPl (x)tl-1 - (2l +1)xPl (x)tl + (l +1)Pl (x)tl+1
l =0
l=0
l=0
= (l +1)Pl+1(x)tl - (2l +1)xPl (x)tl + lPl-1(x)tl
l =1
l =1
l =1
46
(2)由母函数关系式(6.2.18)两边对x求导， 再与式(6.2.19)联立，可得
3
级数解法对方程没有特殊的要求．它的 基本方法是：把方程的解表示为以z0为 中心、带有待定系数的幂级数，将这个 幂级数代入方程及定解条件，求出所有 待定系数即可．
方程(6.1.1)的解的形式由方程的系数p(z) 及q(z)的解析性决定．
4
常点、正则奇点、非正则奇点 如果p(z)和q(z)在z0点的邻域解析， z0称为方
正整数)，则级数y0(x) 将到x2n项为止．将 k=l=2n代入式(6.1.9)，易见x2n+2项的系数为
重复应用式(6. 1. 9)，可证C2n+4, C2n+6, …均为
零。 y0(x)的最高次幂为x2n= xl．
根据物理量是有限的，舍去不合物理意义的
解，取常数C1 =0，则勒让德方程的解为
6
定理2 在正则奇点z0的邻域|z-z|<R内，方程的 解为
C0≠0 ， D0≠0。 r1和r2称为方程的指标方程
7
指标方程的确定：将
代入方程(6.1.1)，由最低次幂项的系数和为 零得到r的方程(称为指标方程)，方程的两个 根就是r1和r2(取r1≥r2)．
w2(z) 含或不含对数项，取决 r1和r2是否为零 与整数；系数a是否为零而定
28
(2) Pl(0)的特殊值
鉴于勒让德多项式的级数表示过于复杂，不便使用， 人们常利用它的微分表达式和积分表达式．
29
作业- §6.1 第128页
Group C
Group B
1. 6.1.1
1. 6.1.2
Group A 1. 6.1.3
30
§6.2 勒让德多项式的微分与积分表 达式母函数与递推公式
8Leabharlann 定理1和定理2的证明见有关专著①．
本篇将用两个非常重要的例子说明二阶线 性齐次常微分方程的级数解法．
第6章以勒让德方程为例(在常点的邻域求解)， 第7章以贝塞尔方程为例(在正则奇点的邻域
内求解)．
若讨论的方程是实数方程，自变量可用x表 示，函数可用y表示，即方程(6. 1．1)可改 写为 y"(x)＋p(x)yʹ(x)＋q(x)y(x)＝0 (6. 1. 5)
(3)应用高阶导数公式计算式(6.2.7)的积分
(6.2.8)
最后的等式是罗德里格斯公式．将式(6.2.8)代入泰 勒级数，即得式(6.2.4).
38
§6.2.3 勒让德多项式的积分表达式
勒让德多项式有两个积分表达式，分别称为 施列夫利(Schlfli)公式和拉普拉斯积分．
1.施列夫利公式 将al ＝ Pl(x)代入式(6.2.7)，即施列夫利公式
9
§6.1.2 勒让德方程的本征值问题
二阶线性齐次常微分方程
(1-x2)y"(x)-2xyʹ(x)-l(l+1)y(x)＝0
-1<x<1
(6.1.6)
称为勒让德方程．
方程中的 l(l+1)=l 是待定参数
y(x)是待求函数．
10
在x=0的邻域求勒让德方程的有界解． 在有界性条件下求解勒让德方程的问题又称
44
递推公式的证明方法： (1)母函数关系式为
对t求导得
两边乘以(1-2xt+t2)，再将母函数关系式代入
左边，即有
两边比较 t l 的系数(l≥1)，即得式(6.2.13)
45
x Pl (x)tl - Pl (x)tl+1
l=0
l =0
= lPl (x)t l-1 - 2x Pl (x)t l-1+1 + lPl (x)t l-1+2
(6.1.16) 19
同理，若l为奇数：l=2n+1(n为正整数)，则级 数y1(x)到x2n+1项为止．将k=l=2n+1代入式(6. 1. 9)，即得x2n+3项的系数为
重复应用式(6. 1. 9)，可证C2n+5, C2n+7, …均为 零。 y1(x)的最高次幂为x2n+1= xl ．类似地， 取常数C0=0，则勒让德方程的解为
程的常点； 如果z0最多是：ⅰ)p(z)的一阶极点，ⅱ)q(z) 的二
阶极点， z0称为方程的正则奇点； 注： [ⅰ)或ⅱ)]=[ ⅰ)和ⅱ)]
如果z0不满足上面两种条件，则 z0称为方程 配非正则奇点。
5
定理1 在常点z0的邻域|z- z0|<R内，方程(6. 1. 1) 有唯一满足初始条件初始条件w(z0) = C0 , wʹ(z0) = C1 的幂级数解 (6.1.2)
计算勒让德多项式的模, 导出勒让德多 项式的正交归一关系式；
在介绍“完备性”含义的基础上，给 出以{Pl(x)}为基将函数f (x)展开为广义 傅里叶级数的条件，以及计算广义傅 里叶系数的公式
§6.3.1 勒让德多项式的正交性与正交归一关系式
1．“正交性”与“正交归一关系式”浅析 (1)、三维欧几里得(Euclid)空间
为勒让德方程的本征值问题．方程中的参数 l(l+1)=l称为本征值，方程的解y(x)称为本征 函数． 理论和实例都可以证明(见11.4节)，不是l 取 任何值时方程都有非零解． 因此，求解勒让德方程的本征值问题可以归 结为求解本征值l = l(l+1) 与本征函数y(x).
11
1. 级数解的形式
20
因此，无论 l 为偶数还是奇数，勒让德
中断 方程的解都
为 l 次的多项式(6.1.
16)或式(6. 1.17)，因而在x=±1保持有
界．这表明本征值l=l(l+1)，l=0,1,2,…
本征函数y(x)如式(6.1.16)或式(6.1.17)所示
21
6.1.3 勒让德多项式 勒让德方程是线性齐次方程，将式(6. 1.16)，
6.2.11)
解 分别将x =±1代入拉普拉斯积分，得
42
【例6.2.2】试由拉普拉斯积分证明 |Pl(x)|1 (6.2.12)
证明 将x = cosq 代入拉普拉斯积分，并利用
复变积分的性质5，便有
43
6.2.4 勒让德多项式的递推公式
在积分过程中, 常用到以下几个递推公式(l 1):
《数学物理方法》第六章勒让 德函数
本章首先求出勒让德方程和关联勒让德 方程的有界解(称为相应方程的本征函 数)，进而给出它们的微分表达式，积分 表达式，母函数，递推公式，正交性、 正交归一关系式与完备性等．
§6.1 勒让德方程与勒让德多项式
本节首先介绍二阶线性齐次常微分方程 的级数解法，随后求出勒让德方程的通 解，舍去不符合有界性条件的特解，最 后规定最高次幂项系数，即得勒让德多 项式．
23
24
为了简洁地表示勒让德多项式，采用了我们在 1.1节已用过的简写记号
(6.1.20)
25
s = 0对应最高次幂 x = l,而s= [l/2] 对应最低次 幂：若 l 为偶数,对应 x 零次幂；若 l 为奇数， 则对应于 x 壹次幂。由式(6. 1.20)可求出头几 个勒让德多项式：
26
§6.1.1 二阶线性齐次常微分方程的级数解法 二阶线性齐次常微分方程的标准形式是
式中w(z)是待求的复变函数; p(z)和q(z)是已 知的复变函数，称为方程的系数．
一般来说，方程在复平面的不同区域的解可 以有不同的形式．通常的间题是：求方程在 某点z0的邻域内满足一定条件[如初始条件 w(z0) = C0 , wʹ(z0) = C1 ]的解．
33
在等式右边的分子分母中同乘以(l-2s)！，有
罗德里格斯公式得证．
34
§6.2.2 勒让德多项式的母函数
若函数w(x,t)的泰勒级数为
则w(x,t)称为Pl(x)的母函数(或生成函数)． 勒让德多项式的母函数为
式中规定多值函数的单值分支为.
35
将x看作参数,w(x,t)作为t的函数在|t|<1解析① 今在|t|<1 的圆内将它展开为泰勒级数，可证明 展开系数为
Pl-1 ( x)t l
47
48
其他证明方法？
49
50
作业- §6.2 第132页
Group A
Group B
1. 6.2.3 2. 6.2.4
1. 6.2.2 2. 6.2.4
Group C
1. 6.2.1 2. 6.2.4
51
§6.3 勒让德多项式的 正交性与完备性
在介绍“正交性”含义的基础上，证 明勒让德多项式的正交性；
比较等式两边t l的系数，即得式(6.2.14)
lPl (x)t l = xPl(x)t l -
Pl( x)t l +1
l =0
l =0
l =0
lPl (x)t l = xPl(x)t l -
l =1
l =1
l =1
lPl ( x) = xPl( x) - Pl-1( x)
勒让德多项式的函数曲线如图6. 1所示
27
由式(6. 1.20)可以直接得到关于Pl(x)的奇偶性 及若干特殊值： (1) 奇偶性
Pl(-x) ＝(-1)l Pl(x) (6.1.22) 这直接用-x替代式(6. 1.20)中的x，利用
(-x)l-2s =(-1)l (-x)l-2s 可得．
式中u=x在曲线Cʹ的内部． 2.拉普拉斯积分
39
拉普拉斯积分证明
在施列夫利公式中，取u平面的回路Cʹ为以x
为圆心 ，
为半径的圆周，则
40
将以上各式代人施列夫利公式，即 得拉普拉斯积分
41
【例6.2.1】试由拉普拉斯积分证明勒让 德多项式的特殊值
Pl(1) =1, Pl(-1) = (-1)l
因此，在求解勒让德方程时，要求解在 x=±1有界，并把“解在x=±1有界”的
条件称为勒让德方程的自然边界条 件．
为了得到在闭区间[-1,1]内有界的解，必 须研究在什么条件下，这两个无穷级数 才能中断为多项式.
18
5. 本征值与本征函数 从系数递推公式(6.1.9), 若l为偶数：l =2n(n为
勒让德方程的通解可表示为
它们是勒让德方程的两个线性无关的特解．
15
4. 有界解的要求，自然边界条件 现在以y0(x)为例，求级数的收敛半径． 令u=x2，则
级数Y0(u)相邻两项的系数分别为Cn和Cn-2．由 式(6. 1. 10)可得
16
这表明，在x=±1处，两级数是发散的．
17
物理量总是有界的
①为了讨论系数的解析性质，以判定z0=0是方程的 常点、正则奇点还是非正则奇点，必须将p(x)及q(x) 分别延拓为
但为叙述与书写方便，仍采用x⇔z的记号
12
2. 系数递推公式 由此得系数递推公式
13
3. 由递推公式求系数，得通解
14
勒让德多项式 微分表达式-罗德里格斯(Rodrigues)公式; 母函数; 积分表达式—施列夫利公式和拉普拉斯
积分 递推公式．
6.2.1 勒让德多项式的微分表达式—罗德里格 斯公式 证明 从罗德里格斯公式右边出发来证明．
二项式展开定理为
32
对(x2-1)l求l阶导数后除以(2ll!)得到
为何求和指标的最大值为[l/2]，因为对于指 数(2l-2s)＜l的项，在求l 阶导数后均为零，故： 只含(2l-2s)≥l的项，即：s≤ l/2的项．这样当 l 为偶数时，l/2为最大值； l为奇数时，(l-1)/2 为最大值。用简写符号表示就是 [l/2]
证明 (1)在|t|<1内，将w(x,t)展开为泰勒级数
其中al为泰勒系数, C为在|t|<1内包围t=0点的回路
①奇点
的|t12|<1
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(2)为证明al =Pl(x)，作变换(u为复变数)
37
代入al ，便有
其中u平面的曲线Cʹ是在式(6.2.5)的变换下t平面曲线 C的像．当t=0时，由式 (6.2.6)得到u=x.既然t=0在 曲线C的内部，因此u=x在曲线Cʹ的内部．
式(6.1.17)乘以任意常数仍为勒让德方程的解 历史上为了让这个多项式与函数(1-2xt+t2)-1/2
的展开系数一致，选择最高次幂项的系数Cl 为
再利用系数递推公式(6. 1.9)求出低次幂项的 系数，得到的多项式称为勒让德多项式，记
22
将式(6. 1.9)以Ck表示Ck+2改为以Ck+2表示Ck
l=0
l=0
l=0
lPl (x)tl-1 - (2l +1)xPl (x)tl + (l +1)Pl (x)tl+1
l =0
l=0
l=0
= (l +1)Pl+1(x)tl - (2l +1)xPl (x)tl + lPl-1(x)tl
l =1
l =1
l =1
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(2)由母函数关系式(6.2.18)两边对x求导， 再与式(6.2.19)联立，可得
3
级数解法对方程没有特殊的要求．它的 基本方法是：把方程的解表示为以z0为 中心、带有待定系数的幂级数，将这个 幂级数代入方程及定解条件，求出所有 待定系数即可．
方程(6.1.1)的解的形式由方程的系数p(z) 及q(z)的解析性决定．
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常点、正则奇点、非正则奇点 如果p(z)和q(z)在z0点的邻域解析， z0称为方
正整数)，则级数y0(x) 将到x2n项为止．将 k=l=2n代入式(6.1.9)，易见x2n+2项的系数为
重复应用式(6. 1. 9)，可证C2n+4, C2n+6, …均为
零。 y0(x)的最高次幂为x2n= xl．
根据物理量是有限的，舍去不合物理意义的
解，取常数C1 =0，则勒让德方程的解为
6
定理2 在正则奇点z0的邻域|z-z|<R内，方程的 解为
C0≠0 ， D0≠0。 r1和r2称为方程的指标方程
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指标方程的确定：将
代入方程(6.1.1)，由最低次幂项的系数和为 零得到r的方程(称为指标方程)，方程的两个 根就是r1和r2(取r1≥r2)．
w2(z) 含或不含对数项，取决 r1和r2是否为零 与整数；系数a是否为零而定
28
(2) Pl(0)的特殊值
鉴于勒让德多项式的级数表示过于复杂，不便使用， 人们常利用它的微分表达式和积分表达式．
29
作业- §6.1 第128页
Group C
Group B
1. 6.1.1
1. 6.1.2
Group A 1. 6.1.3
30
§6.2 勒让德多项式的微分与积分表 达式母函数与递推公式
8Leabharlann 定理1和定理2的证明见有关专著①．
本篇将用两个非常重要的例子说明二阶线 性齐次常微分方程的级数解法．
第6章以勒让德方程为例(在常点的邻域求解)， 第7章以贝塞尔方程为例(在正则奇点的邻域
内求解)．
若讨论的方程是实数方程，自变量可用x表 示，函数可用y表示，即方程(6. 1．1)可改 写为 y"(x)＋p(x)yʹ(x)＋q(x)y(x)＝0 (6. 1. 5)
(3)应用高阶导数公式计算式(6.2.7)的积分
(6.2.8)
最后的等式是罗德里格斯公式．将式(6.2.8)代入泰 勒级数，即得式(6.2.4).
38
§6.2.3 勒让德多项式的积分表达式
勒让德多项式有两个积分表达式，分别称为 施列夫利(Schlfli)公式和拉普拉斯积分．
1.施列夫利公式 将al ＝ Pl(x)代入式(6.2.7)，即施列夫利公式
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§6.1.2 勒让德方程的本征值问题
二阶线性齐次常微分方程
(1-x2)y"(x)-2xyʹ(x)-l(l+1)y(x)＝0
-1<x<1
(6.1.6)
称为勒让德方程．
方程中的 l(l+1)=l 是待定参数
y(x)是待求函数．
10
在x=0的邻域求勒让德方程的有界解． 在有界性条件下求解勒让德方程的问题又称
44
递推公式的证明方法： (1)母函数关系式为
对t求导得
两边乘以(1-2xt+t2)，再将母函数关系式代入
左边，即有
两边比较 t l 的系数(l≥1)，即得式(6.2.13)
45
x Pl (x)tl - Pl (x)tl+1
l=0
l =0
= lPl (x)t l-1 - 2x Pl (x)t l-1+1 + lPl (x)t l-1+2
(6.1.16) 19
同理，若l为奇数：l=2n+1(n为正整数)，则级 数y1(x)到x2n+1项为止．将k=l=2n+1代入式(6. 1. 9)，即得x2n+3项的系数为
重复应用式(6. 1. 9)，可证C2n+5, C2n+7, …均为 零。 y1(x)的最高次幂为x2n+1= xl ．类似地， 取常数C0=0，则勒让德方程的解为
程的常点； 如果z0最多是：ⅰ)p(z)的一阶极点，ⅱ)q(z) 的二
阶极点， z0称为方程的正则奇点； 注： [ⅰ)或ⅱ)]=[ ⅰ)和ⅱ)]
如果z0不满足上面两种条件，则 z0称为方程 配非正则奇点。
5
定理1 在常点z0的邻域|z- z0|<R内，方程(6. 1. 1) 有唯一满足初始条件初始条件w(z0) = C0 , wʹ(z0) = C1 的幂级数解 (6.1.2)
计算勒让德多项式的模, 导出勒让德多 项式的正交归一关系式；
在介绍“完备性”含义的基础上，给 出以{Pl(x)}为基将函数f (x)展开为广义 傅里叶级数的条件，以及计算广义傅 里叶系数的公式
§6.3.1 勒让德多项式的正交性与正交归一关系式
1．“正交性”与“正交归一关系式”浅析 (1)、三维欧几里得(Euclid)空间
为勒让德方程的本征值问题．方程中的参数 l(l+1)=l称为本征值，方程的解y(x)称为本征 函数． 理论和实例都可以证明(见11.4节)，不是l 取 任何值时方程都有非零解． 因此，求解勒让德方程的本征值问题可以归 结为求解本征值l = l(l+1) 与本征函数y(x).
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1. 级数解的形式
20
因此，无论 l 为偶数还是奇数，勒让德
中断 方程的解都
为 l 次的多项式(6.1.
16)或式(6. 1.17)，因而在x=±1保持有
界．这表明本征值l=l(l+1)，l=0,1,2,…
本征函数y(x)如式(6.1.16)或式(6.1.17)所示
21
6.1.3 勒让德多项式 勒让德方程是线性齐次方程，将式(6. 1.16)，
6.2.11)
解 分别将x =±1代入拉普拉斯积分，得
42
【例6.2.2】试由拉普拉斯积分证明 |Pl(x)|1 (6.2.12)
证明 将x = cosq 代入拉普拉斯积分，并利用
复变积分的性质5，便有
43
6.2.4 勒让德多项式的递推公式
在积分过程中, 常用到以下几个递推公式(l 1):
《数学物理方法》第六章勒让 德函数
本章首先求出勒让德方程和关联勒让德 方程的有界解(称为相应方程的本征函 数)，进而给出它们的微分表达式，积分 表达式，母函数，递推公式，正交性、 正交归一关系式与完备性等．
§6.1 勒让德方程与勒让德多项式
本节首先介绍二阶线性齐次常微分方程 的级数解法，随后求出勒让德方程的通 解，舍去不符合有界性条件的特解，最 后规定最高次幂项系数，即得勒让德多 项式．
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24
为了简洁地表示勒让德多项式，采用了我们在 1.1节已用过的简写记号
(6.1.20)
25
s = 0对应最高次幂 x = l,而s= [l/2] 对应最低次 幂：若 l 为偶数,对应 x 零次幂；若 l 为奇数， 则对应于 x 壹次幂。由式(6. 1.20)可求出头几 个勒让德多项式：
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§6.1.1 二阶线性齐次常微分方程的级数解法 二阶线性齐次常微分方程的标准形式是
式中w(z)是待求的复变函数; p(z)和q(z)是已 知的复变函数，称为方程的系数．
一般来说，方程在复平面的不同区域的解可 以有不同的形式．通常的间题是：求方程在 某点z0的邻域内满足一定条件[如初始条件 w(z0) = C0 , wʹ(z0) = C1 ]的解．
33
在等式右边的分子分母中同乘以(l-2s)！，有
罗德里格斯公式得证．
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§6.2.2 勒让德多项式的母函数
若函数w(x,t)的泰勒级数为
则w(x,t)称为Pl(x)的母函数(或生成函数)． 勒让德多项式的母函数为
式中规定多值函数的单值分支为.
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将x看作参数,w(x,t)作为t的函数在|t|<1解析① 今在|t|<1 的圆内将它展开为泰勒级数，可证明 展开系数为
Pl-1 ( x)t l
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其他证明方法？
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Group A
Group B
1. 6.2.3 2. 6.2.4
1. 6.2.2 2. 6.2.4
Group C
1. 6.2.1 2. 6.2.4
51
§6.3 勒让德多项式的 正交性与完备性
在介绍“正交性”含义的基础上，证 明勒让德多项式的正交性；
比较等式两边t l的系数，即得式(6.2.14)
lPl (x)t l = xPl(x)t l -
Pl( x)t l +1
l =0
l =0
l =0
lPl (x)t l = xPl(x)t l -
l =1
l =1
l =1
lPl ( x) = xPl( x) - Pl-1( x)
勒让德多项式的函数曲线如图6. 1所示
27
由式(6. 1.20)可以直接得到关于Pl(x)的奇偶性 及若干特殊值： (1) 奇偶性
Pl(-x) ＝(-1)l Pl(x) (6.1.22) 这直接用-x替代式(6. 1.20)中的x，利用
(-x)l-2s =(-1)l (-x)l-2s 可得．
式中u=x在曲线Cʹ的内部． 2.拉普拉斯积分
39
拉普拉斯积分证明
在施列夫利公式中，取u平面的回路Cʹ为以x
为圆心 ，
为半径的圆周，则
40
将以上各式代人施列夫利公式，即 得拉普拉斯积分
41
【例6.2.1】试由拉普拉斯积分证明勒让 德多项式的特殊值
Pl(1) =1, Pl(-1) = (-1)l
因此，在求解勒让德方程时，要求解在 x=±1有界，并把“解在x=±1有界”的
条件称为勒让德方程的自然边界条 件．
为了得到在闭区间[-1,1]内有界的解，必 须研究在什么条件下，这两个无穷级数 才能中断为多项式.
18
5. 本征值与本征函数 从系数递推公式(6.1.9), 若l为偶数：l =2n(n为
勒让德方程的通解可表示为
它们是勒让德方程的两个线性无关的特解．
15
4. 有界解的要求，自然边界条件 现在以y0(x)为例，求级数的收敛半径． 令u=x2，则
级数Y0(u)相邻两项的系数分别为Cn和Cn-2．由 式(6. 1. 10)可得
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这表明，在x=±1处，两级数是发散的．
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物理量总是有界的