江苏大数学分析-第十章定积分应用习题课

3
1
A 3A1 3 2

3 a2 sin2 3 d
0
3a2
4

3 1 cos 6 d
0

3a2 4


1 6
sin
6


3 0

a2 4
.
二 体积
1）设一几何体夹在 x a 和 x b 这两个平行平面之间，用垂直于 x 轴的平面去截此几
（2） r a1 cos （心脏形线）；
（3） r a sin 3 （三叶线）． 解（1）由图形关于 x 轴与 y 轴对称，只需计算
第一象限面积 A1 ，再乘以 4 即可，由在第一象限
0

时， r 2
a2 cos 2
0 ，知 0


，
2
4

即 A1 看成 r a

2 | b sin t a sin t | dt 4ab
2
sin
2
tdt

4ab
1

ab ．
0
0
0
22
2
2
2
例 3 求内摆线 x 3 y 3 a 3 所围成的面积．
x a cos3 t,
解
令 y
a sin3 t,
由曲线既关于轴 x 对称，也关于 y 轴对称，只须计算第一象限内
即体积微元 dV A(x)dx ，
因此所求立体的体积为
b
V A(x)dx ． a
2）由连续曲线 y f (x) 0 、直线 x a 、 x b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 一周而
成的旋转体的体积Vx
b f 2 x dx ．
a
3）由连续曲线 y f (x) 0 、直线 x a 、 x b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕绕 y 轴
g(x) y f (x)
b
V 2 a x[ f (x) g(x)]dx.
例 5 一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角 ，求此平面截圆柱
体所得立体的体积．
解 取此平面与圆柱体的底面的交线为 x 轴，
底面上过圆心且垂直于 x 轴的直线为 y 轴，那么 底圆的方程为 x2 y2 R2 ．立体中过 x 轴上的点
dt
12a2


2 sin4 tdt
2
sin
6
tdt

0
0
6

12a2
3 4

1 2

2

5 6

3 4

1 2

2


3 a2 8
.
3．极坐标方程
1）曲线 r r 与射线 , 围成的曲边扇形的面积 S 1 r 2 d
的面积 A1 ，再乘以 4 即可，于是



A 4 2 | y t xt | dt 4 2 a sin3 t a cos3 t dt 12a2 2 sin4 t cos2 tdt
0
0
0
12a2

2 sin4 t 1 sin2 t
故所求面积为
1
A 2 A1 2 2
a2 1 cos 2 d 3 a2 ．
0
2
（3）由图形知，所求面积 A 为第一象限内面积 A1 的 3 倍，由 0 时，要求
2
r a sin 3 0 ，知 0 3 ，即 0 时， r 0 ，于是
7）由左右两条连续曲线 x g1( y) ，x g2 ( y) （它们可能相交），及直线 y c 与
d
y d 所围成，则围成图形的面积为 A c g2 y g1( y) dy ．
如果所求平面图形是属于上述情形之一，就不需画图，直接用上述公式，否则就需画图 选用相应公式．
1
arcsin ydy ．
0
0

1


3

2
2

y
arcsin
y
1 0


0
y
1 dy
1 y2


3

2
2


2

1 1 y2
0
1
2
d
1
y2

b
b
A a f x dx a ydx ．
3）如果连续曲线 y f (x) 在 a,b 上可正可负，则所围图形的面积为
b
b
A a f x dx a y dx ．
4）由上、下两条连续曲线 y f2 x 与 y f1 x 以及两条直线 x a, x b 所围的
d
的体积Vx 2 c ygydy ．
a x b,
6）平面区域
(a 0) 绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体体积为
g(x) y f (x)
V
b
[
f
2 (x)

g
2
(x)]dx.
a
a x b,
7）平面区域
(a 0) 绕 y 轴旋转一周所形成的旋转体体积为
y y(t)
x x(t)
x(t) 是连续可微函数，且 x(t) 0 且 x( ) a ， x( ) b ，那么由
， x 轴及直
y y(t)


线 x a, x b 所围图形的面积 A 的公式为 A | y | dx(t) | y(t)x(t) | dt ．（ ）．
第十章 定积分应用习题课
一 面积 1．求平面图形的面积
1）若曲线 y f (x) 0 ， x 轴及直线 x a, x b 所围曲边梯形的面积为
b
b
A a f xdx a ydx ．
2）由连续曲线 y f (x) 0 ， x 轴及直线 x a, x b 所围曲边梯形的面积为
得它们的面积为
A1
1 0
x
x dx 2 1

0
4 xdx ,
3
9 x 3 28
A2
1

x
2
dx
3
．
32 所以 A A1 A2 3 ．
法二(左右曲线)．把抛物线和直线方程改写成
x y2 g1 y ， x 2 y 3 g2 y ， y 1,3 ．
x 且垂直于 x 轴的截面是一个直角三角形，它的
两条直角边的长分别为 y 和 y tan ，即 R2 x2
及 R 2 x 2 tan ，因而截面面积为
A(x) 1 (R 2 x 2 ) tan ， 2
于是所求体积为
V R 1 (R 2 x 2 ) tan dx 1 (R 2 x 1 x3 ) R tan 2 R3 tan ．
R 2
2
3 R
3
x2 y2 z2 例 6 求椭球球体体积： 1．
a2 b2 c2
解：用垂直于 x 轴的平面截椭球得截面为一椭圆，它在平面 yoz 上的投影为
y2
z2

1，
b2 (1 x2 ) c2 (1 x2 )
a2
a2
x2 从而得截面面积为 s(x) bc(1 ) ，于是所求的椭球体积为
则 A
3
1 g2 y g1 y dy
3 1
2y 3 y2
32 dy ．
3
x2 y2 例 2 计算椭圆 1所围成的平面图形面积．
a2 b2
解 由于椭圆关于 x 轴及 y 轴对称，所以只需计算位于第一象限部分的面积，然后乘以
x2 y2
x a cos t,

0 t 2
y b sin t,
2π
则所求面积为 A b sin t(a cos t)dt πab ． 0
x a cos t,

另解 2：第一象限参数方程为
0t ，
y b sin t,
2
A 4

2 | y t xt | dt 4
b
4 就得到所求平面图形面积． 由 1，解得 y
a 2 x 2 ，故第一象限的椭
a2 b2
a
b
圆的方程是 y
a 2 x 2 从而 A 4 a b
a2 x2 dx ，
a
0a
4b
令x a sin t

2 a cos td a sin t 4ab
a2
a
a
x2
4
V s(x)dx bc(1 )dx abc ．
a
a
a2
3
注 当 a b c R 得球 x2 y2 z2 R2 的体积为 4 R3 ． 3
例 7 求下列平面图形绕坐标轴旋转一周所得的体积 y sin x, y 0 0 x ．
2
2）曲线 r r1 ， r r2 与射线 , 围成的曲边扇形的面积
1
S 2

r22



r12

d
．
例 4 由下列极坐标方程式所表曲线围成的面积 A ，方程中的 a 0 ．
（1） r 2 a2 cos 2 （双纽线）；
cos 2 与 0, 所围成，故 4
1
A 4 A1 4 2

4 a2 cos 2 d a2 sin 2
0

4 0
a2 ．
（2）由图形关于 x 轴对称，在第一，二象限，
当 0 时，需求 r a1 cos 0 ，知 0 ，
求平面图形的步骤：
（1）先画草图，并求出边界曲线有关交点． （2）确定积分变量与积分区间．
例 1． 求由抛物线 y2 x 与直线 x 2 y 3 0 所围平面图形的面积 A ．
解 法一（上下曲线）先求出抛物线与直线的交点 P 1, 1 ， Q 9,3 ．
用 x 1把图形分为左、右两部分，应用公式分别求


如果由参数方程所表示的曲线是封闭的，即有 x( ) x( ) ， y( ) y( ) 且在
, 内曲线自身不再相交，那么由曲线自身所围图形的面积为


A y t xt dt (或 xtytdt )．
例 2 另解 1：化椭圆为参数方程
何体，设截面与 x 轴交点为 x,0 ，可得的截面面积为 A x ，如果 A x 是[a,b] 上的可
连续函数，此时，取 x 为积分变量，它的变化区间为[a,b] ．相应于[a,b] 上的任一小区间
[x, x x]的立体薄片的体积近似于底面积为 A(x) 、高为 dx的圆柱体的体积
y f2(x)
d
y f1(x)
x g1(y)
c
x g2(x)
a
b
6) 由上下两条连续曲线 y f x 与 y g x （它们可能相交）以及两条直线
b
x a, x b 所围的平面图形，它的面积计算公式为 A f x g x dx ． a
b
旋转一周的体积Vy 2 a xf xdx ．
4）平面图形由曲线 x gy 0与直线 y c ， y d 和 y 轴围成绕 y 轴旋转一周
的体积Vy

d g 2 ydy ，
c
5）平面图形由曲线 x gy 0与直线 y c ， y d 和 y 轴围成绕 x 轴旋转一周
（1）绕 x 轴；
（2）绕 y 轴．
解
（1）Vx
sin2 xdx
0
1 cos 2x 2
dx ；
0
2
2
（2）Vy

1

0
arcsin y2 dy
1
arcsin
y
2
dy
0Biblioteka Baidu

1 2 2 arcsin y dy 3 2 2

2 cos2 tdt
1 4ab
ab ．
a0
0
22
特别地，当 a b R 时，得圆的面积 A R2 ．
注：计算平面图形面积时，尽可能利用图形的对称性，以简化计算． 2．参数方程的面积
x x(t)
若所给的曲线方程为参数形式：
（ t ），其中 y(t) 是连续函数，
b
平面图形，它的面积计算公式为 A a f2 x f1 x dx ．
5）由左右两条连续曲线 x g1( y) ， x g2 ( y) ，及直线 y c 与 y d 所围成，
d
则围成图形的面积为 A c [g2 y g1( y)]dy ．