黄金分割 习题精选
黄金分割练习题
1、 若点C 是线段AB 的黄金分割点，AB=8 cm ，AC>BC,求AC 的值。
2、 已知点P 是线段MN 的黄金分割点，MP>NP,且MP=)15(-cm,求MN 的值。
3、 点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC,求ABBC 的值 。
4、 若把长为10cm 的线段黄金分割后，求其中较短的线段长度是多少？5、 已知线段AB=6，点C 为线段AB 的黄金分割点，(AC>BC)，求下列各式的值：（1）AC －BC; (2)BC AC ⋅6、 已知线段AB ，请利用尺规作图画出线段的黄金分割点。
（只画出一个即可）A CB M PNA B7、如图：在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且EC AE BD AD =, (1)你能说明ACEC AB BD =吗? (2)若AB=12，AE=6，EC=4，求出AD 的长。
(3)若3===DE AE AD ,且ABC ∆的周长为30，求出ADE ∆的周长。
7、 已知：如图，ABC ∆中，D 是BC 上的一点，DC BD AC AB =,且AB=7cm,AC=5cm,BC=8cm, 求BD , DC 的长。
5、（2007山东青岛）某饮料厂开发了A 、B 两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示．现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A 、B 两种饮料共100瓶．设生产A 种饮料x 瓶，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）如果A 种饮料每瓶的成本为2.60元，B 种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y 元，请写出y 与x 之间的关系式，并说明x 取何值会使成本总额最低？B D C。
黄金分割(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题27.13 黄金分割（基础篇）（专项练习）一、单选题1．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP>PB），如果AB的长度为8cm，那么BP的长度是（）A．125-C．454D．54 -B．9452．已知点C是线段AB的黄金分割点，且2<，则AC长是（）AB=，AC BCA51-B51C．35D3523．把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（）A．35B51C．15D．354．已知2AB=，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP BP>，则AP的长为（）A51B51-C35D．3525．下列说法正确的是（）A．每条线段有且仅有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BCD．以上说法都不对6．下列说法正确的是（）A．每一条线段有且只有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项D．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.6187．下列命题正确的是（）A．任意两个等腰三角形一定相似B．任意两个正方形一定相似C ．如果C 点是线段AB 的黄金分割点，那么51AC AB -=D ．相似图形就是位似图形8．如图，线段1AB =，点1P 是线段AB 的黄金分割点(且11AP BP <)，点2P 是线段1AP 的黄金分割点（212AP PP <），点3P 是线段3AP 的黄金分割点()323,,AP P P <依此类推，则线段2020AP 的长度是（ ）A ．202051-⎝⎭B ．202151-⎝⎭C ．202035-⎝⎭D ．202135-⎝⎭9．已知点C 把线段AB 分成两条线段AC 、BC ，且AC BC >，下列说法错误的是（ ） A ．如果AC BCAB AC=，那么线段AB 被点C 黄金分割 B ．如果2AC AB BC =⋅，那么线段AB 被点C 黄金分割C ．如果线段AB 被点C 黄金分割，那么BC 与AB 的比叫做黄金比D ．0.618是黄金比的近似值10．等腰△ABC 中，AB=AC ，△A=36°，D 是AC 上的一点，AD=BD ，则以下结论中正确的有（ ）△△BCD 是等腰三角形；△点D 是线段AC 的黄金分割点；△△BCD△△ABC ；△BD 平分△ABC ． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．在△ABC 中，△A=36°，AB=AC ，BD 是△ABC 的角平分线，下列结论： △△ABD ，△BCD 都是等腰三角形； △AD=BD=BC ； △BC 2=CD•CA ； △D 是AC 的黄金分割点 其中正确的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题12．在线段AB 上，点C 把线AB 分成两条线段AC 和BC ，若AC BCAB AC=，则点C 叫做线段AB 的黄金分割点．若点P 是线段MN 的黄金分割点（PM PN >），当1MN =时，PM 的长是__________．13．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C 分线段AB 近似于黄金分割，已知AB =10 cm ，AC ＞BC ，那么AC 的长约为____________cm （结果精确到0.1 cm ）． 14．把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为__________.15．古希腊时期，51-（称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”5 2.236≈，则黄金分割比例约为______________．（精确到0.01）16．已知AB=2,点C 是线段AB 的黄金分割点（AC>BC ），则AC= . 17．把长度为4cm 的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm ．18．已知线段4AB =，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP >），那么线段AP =______.（结果保留根号）19．已知线段AB 长为2cm ，P 是AB 的黄金分割点，则较长线段PA ＝ ___；PB ＝______． 20510.61803398-=…，将这个分割比保留4个有效数字的近似数是 ．21．若点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC ＜BC ，若AB ＝10，则BC ＝_____． 22．若点P 是线段AB 的黄金分割点，AB=10cm ，则较长线段AP 的长是_____cm ．三、解答题23．已知C 、D 是线段AB 上的点，CD ＝(√5﹣2)AB ，AC ＝BD ，则C 、D 是黄金分割点吗？为什么？24．已知线段MN = 1，在MN 上有一点A ，如果AN =，求证：点A 是MN 的黄金分割点.25．（1）对于实数a 、b ，定义运算“⊕”如下：2a b a b ⊕=-．若(1)(2)8x x +⊕-=，求: 2(2)(23)x x x -⊕-的值；（2）已知点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＜BC ），若AB ＝4，求AC 的长．26．（1）我们知道，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，使AP ＞PB ，点P 把线段AB 分成两条线段AP 和BP ，且=AP BP AB AP ，点P 就是线段AB 的黄金分割点，此时PAAB的值为 （填一个实数）：（2）如图，Rt△ABC 中，△B=90°，AB=2BC ，现以C 为圆心、CB 长为半径画弧交边AC 于D ，再以A 为圆心、AD 长为半径画弧交边AB 于E ． 求证：点E 是线段AB 的黄金分割点．27．某校要设计一座2m 高的雕像(如图)，使雕像的点C (肚脐)为线段AB (全身)的黄金分割点，上部AC (肚脐以上)与下部BC (肚脐以下)的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为______(结果精确到0.001)米． 5 2. 236=，结果精确到0.001)．28．在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且DC=AE，AD与BE交于点P，连接PC．(1)证明：ΔABE△ΔCAD．(2)若CE=CP，求证△CPD=△PBD．(3)在(2)的条件下，证明：点D是BC的黄金分割点.参考答案1．A【分析】根据黄金分割的定义得到AP 51-AB ，然后把AP 的长度代入可求出AB 的长． 【详解】解：△P 为AB 的黄金分割点（AP ＞PB ）， △AP 51-AB ， △AB 的长度为8cm ， △AP 51-×8=454（cm ）， △BP =AB -AP =8-（454）=125- 故选：A ．【点拨】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC =AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC 51-AB ． 2．C 【分析】利用黄金分割比的定义即可求解. 【详解】由黄金分割比的定义可知 5151251BC AB --=== △2(51)35AC AB BC =-=-= 故选C【点拨】本题主要考查黄金分割比，掌握黄金分割比是解题的关键. 3．A 【分析】根据黄金分割的定义列式进行计算即可得解. 【详解】解: 较短的线段长=2⨯ (15-1=255 故选A.【点拨】本题考查了黄金分割的概念, 熟记黄金分割的比值5-1是解题的关键.4．A 【分析】根据黄金分割点的定义和AP BP>得出51AP AB-=，代入数据即可得出AP的长度．【详解】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且AP BP>，则5151251ABAP--===．故选：A．352，51-．5．B【分析】根据黄金分割的定义分别进行解答即可．【详解】A．每条线段有两个黄金分割点，故本选项错误；B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍，正确；C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BC，不正确，有可能BC2＝AB•AC．故选B．【点拨】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．6．D【分析】根据比例中项和黄金分割的概念分析各个说法.【详解】解：A、每一条线段有两个黄金分割点，错误；B、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段是这条线段的0.618倍，错误；C、若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项，错误；D、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段与这条线段的比值约为0.618，正确；故选D．【点拨】此题考查黄金分割问题，理解比例中项、黄金分割的概念，是解题的关键． 7．B 【分析】根据相似多边形的概念、黄金分割点及位似可直接进行排除选项． 【详解】解：A 、任意两个等腰三角形的底角或顶角相等，则这两个等腰三角形相似，故原命题错误； B 、任意两个正方形一定相似，故原命题正确；C 、如果C 点是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），那么51AC AB -=D 、相似图形不一定是位似图形，故原命题错误； 故选B ．【点拨】本题主要考查相似多边形的概念、黄金分割点及位似，熟练掌握相似多边形的概念、黄金分割点及位似是解题的关键． 8．C 【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线51-叫做黄金比进行解答即可． 【详解】解：根据黄金比的比值，151BP -= 则151351AP --==23233535,,AP AP --==⎝⎭⎝⎭…依此类推，则线段2020202035AP -=⎝⎭，故选C ．【点拨】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 9．C 【解析】【分析】根据黄金分割的定义判断即可.【详解】根据黄金分割的定义可知A、B、D正确;C.如果线段AB被点C黄金分割（AC>BC）,那么AC与AB的比叫做黄金比,所以C错误.所以C选项是正确的.【点拨】本题考查了黄金分割的概念:把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC）,且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB 的黄金分割点.注意线段AB的黄金分割点有两个.10．D【详解】△AB=AC，△△ABC=△C=12（180°-△A）=12（180°-36°）=72°，△AD=BD，△△DBA=△A=36°，△△BDC=2△A=72°，△△BDC=△C，△△BCD为等腰三角形，所以△正确；△△DBC=△ABC-△ABD=36°，△△ABD=△DBC，△BD平分△ABC，所以△正确；△△DBC=△A，△BCD=△ACB，△△BCD△△ABC，所以△正确；△BD：AC=CD：BD，而AD=BD，△AD：AC=CD：AD，△点D是线段AC的黄金分割点，所以△正确．故选D.11．D【解析】试题分析：在△ABC，AB=AC，△A=36°，BD平分△ABC交AC于点D，可推出△BCD，△ABD 为等腰三角形，可得AD=BD=BC，利用三角形相似解题．解：如图，△AB=AC，△A=36°，△△ABC=△C=72°，△BD平分△ABC交AC于点D，△△ABD=△CBD=△ABC=36°=△A，△AD=BD，△BDC=△ABD+△A=72°=△C ， △BC=BD ，△△ABD ，△BCD 都是等腰三角形，故△正确； △BC=BD=AD ，故△正确； △△A=△CBD ，△C=△C ， △△BCD△△ACB ， △，即BC 2=CD•AC ，故△正确； △AD=BD=BC ，△AD 2=AC•CD=（AD+CD ）•CD ， △AD=CD ，△D 是AC 的黄金分割点．故△正确， 故选D ．考点：相似三角形的判定与性质；黄金分割． 1251- 【分析】根据若点P 是线段MN 的黄金分割点（PM PN >），则PM MN 51-计算即可． 【详解】当PM ＞PN 时，51-51-， 51-． 51-是解题的关键． 13．6.2 【分析】黄金分割又称黄金率，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1：0.618或1.618：1，即长段为全段的0.618，0.618被公认为最具有审美意义的比例数字．上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割．【详解】由题意知AC :AB =BC :AC ，△AC :AB ≈0.618，△AC =0.618×10cm ≈6.2(结果精确到0.1cm )故答案为6.2.【点拨】本题考查黄金分割，解题关键是掌握黄金分割定理.14．51-米 【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分51-叫做黄金比． 【详解】解：△将长度为2米的线段进行黄金分割，△较长的线段=2⨯51-51- 51-米.51-是解的关键． 15．0.62【分析】把黄金分割比例按要求进行计算即可．【详解】解：51-5 2.236≈， 51-≈2.23612-≈0.62， 故答案为：0.62． 【点拨】本题考查了求一个数的近似值，有理数的除法，正确计算是解题的关键． 1651 【解析】51251AC -==17．()252cm ．【解析】根据黄金分割的定义得到较长线段的长=×4，然后进行二次根式的运算即可． 解：较长线段的长=×4=（2）cm ．故答案为（2）cm ． 18．52 【分析】51-计算即可. 【详解】 解：△点P 是线段AB 的黄金分割点（AP>BP ） △51AP 252AB -== 故答案为：252.【点拨】本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.19．)51cm (35cm 【分析】根据黄金分割的概念得到较长线段51-AB ，则PB=AB -352AB ，然后把AB=2cm 代入计算即可．【详解】解：△P 是AB 的黄金分割点， △较长线段51-AB ， △PB=AB -352AB ， 而AB=2cm ， △PA=)51cm ，PB=(35cm ． 故答案为：)51cm ；(35cm ．【点拨】本题考查了黄金分割的概念：一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条线段被这点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分51-倍． 20．0.6180【解析】根据有效数字的定义，运用四舍五入法保留4个有效数字，需观察第五位有效数字，由于第五位有效数字是，不需往前面进一位．所以0.61803398…≈0.618021．555【分析】根据黄金分割点的定义，知BC 为较长线段；则BC 51-AB ，代入数据即可得出AC 的值．【详解】解：由于C 为线段AB ＝10的黄金分割点，且AC ＜BC ，BC 为较长线段；则BC ＝51-＝55． 故答案为：555．【点拨】本题考查黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中51-AB≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个． 22．555【解析】△P 是线段AB 的黄金分割点，AP ＞BP ，51-AB ， △AB=10cm ， △AP=5110555-=. 故答案为555．点睛：若点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>BP ，则AP 2=BP·AB ，即51-AB. 23．C 、D 是黄金分割点.【解析】【分析】 根据题意求出AC 与AB 的关系，计算出AD 与AB 的关系，根据黄金比值进行判断即可．【详解】解：C 、D 是黄金分割点，△AC+CD+BD ＝AB ，CD ＝(√5﹣2)AB ，AC ＝BD ，△AC ＝3−√52AB ， AD ＝AC+CD ＝3−√52AB+(√5﹣2)AB ＝√5−12AB ， △D 是AB 的黄金分割点，同理C 也是AB 的黄金分割点．【点拨】本题考查黄金分割，关键是掌握黄金分割的概念和黄金比.24．见解析 【解析】试题分析：先求得AM=√5−12，即可得到AM MN =AN AM =√5−12，结论得证。
黄金考试题及答案三年级
黄金考试题及答案三年级一、选择题（每题2分，共20分）1. 黄金分割比例是多少？A. 0.618B. 0.5C. 0.382D. 0.58答案：A2. 黄金分割在自然界中广泛存在，以下哪个选项不是黄金分割的例子？A. 向日葵的种子排列B. 蜂巢的结构C. 人的身高与手臂长度的比例D. 正方形的对角线与边长的比例答案：D3. 黄金分割在艺术和建筑中的应用非常广泛，以下哪个建筑不是以黄金分割为基础设计的？A. 帕特农神庙B. 埃菲尔铁塔C. 金字塔D. 伦敦塔桥答案：D4. 黄金分割在音乐中的应用体现在哪些方面？A. 乐器的设计B. 音乐作品的结构C. 音乐的节奏D. 所有以上选项答案：D5. 黄金分割在数学中的一个重要性质是？A. 斐波那契数列B. 勾股定理C. 欧拉公式D. 圆周率答案：A6. 黄金分割的数值是多少？A. 1.618B. 0.618C. 1.382D. 0.5答案：B7. 黄金分割在人体美学中的应用体现在哪些方面？A. 面部比例B. 身体比例C. 手部比例D. 所有以上选项答案：D8. 黄金分割在自然界中的体现不包括以下哪个选项？A. 贝壳的螺旋形状B. 植物的叶子排列C. 动物的体型比例D. 河流的流向答案：D9. 黄金分割在摄影中的应用主要体现在哪些方面？A. 构图B. 色彩搭配C. 光线运用D. 所有以上选项答案：A10. 黄金分割在设计中的应用不包括以下哪个选项？A. 标志设计B. 网页布局C. 家具设计D. 食品的味道答案：D二、填空题（每题2分，共20分）11. 黄金分割的比例是_________：_________。
答案：1:1.618 或 0.618:112. 黄金分割的数值大约是_________。
答案：0.61813. 黄金分割在艺术作品中的运用可以增强作品的_________和_________。
答案：和谐性、美感14. 黄金分割在建筑设计中的应用可以提高建筑的_________和_________。
《黄金分割》专题练习
《黄金分割》专题练习一、选择题1．已知C 是线段AB 的一个黄金分割点，则AC ∶AB 为（ ） A ．215- B ．253- C ．215+ D ．215-或253- 2．若=+-1y y x 黄金数，则y x的值是（ ） A ．55B ．21 C ．25D ．5 3．把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（ ） A ．53-B ．15-C ．51+D ．53+4．美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美 感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割。
在人体躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是 理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近0.618，就越给别人一种美的感觉。
如果某女士身高为1.60m ， 躯干与身高的比为0.60，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为（ ） A ．2.5cm B ．5.1cm C ．7.5cm D ．8.2cm 5．如图，在正五边形ABCDE 中，对角线AD 、AC 与EB 分别相交于点M 、N ．下列命题： ①四边形EDCN 是菱形； ②四边形MNCD 是等腰梯形； ③△AEN 与△EDM 全等； ④△AEM 与△CBN 相似；⑤点M 是线段AD 、BE 、NE 的黄金分割点， 其中假命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个二、填空题1．C 是AB 的黄金分割点，则=BCAC。
2．P 为线段AB ＝10cm 的黄金分割点，则AP ＝ cm （保留两个有效数字）。
3．当人的肚脐到脚底的距离与身高的比等于黄金分割比0.618时，身材是最完美的。
一位身高为165cm ，肚脐到 头顶高度为65cm 的女性，应穿鞋跟为 cm 的高跟鞋才能使身材最完美（精确到1cm ）。
4．如图，节目主持人现站在舞台AB 的一端A 点，在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果， 若舞台AB 长20米，主持人要想站在舞台的黄金分割点处，她应走到距A 点至少 米处，如果向 B 点再走 米，也处在舞台的黄金分割点处（结果精确到0.1米）5．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F．那么BF：FD的值为。
初中黄金分割试题及答案
初中黄金分割试题及答案黄金分割是指将一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值约为0.618。
这个比例在自然界和艺术设计中非常常见，被认为是一种美学上的比例。
以下是关于黄金分割的几道初中试题及答案：1. 已知线段AB的长度为10厘米，按照黄金分割点C将线段分割，求AC的长度。
答案：根据黄金分割的定义，AC的长度为10 × (√5 - 1) / 2 ≈ 6.18厘米。
2. 如果一个矩形的长宽比符合黄金分割，且长为20厘米，求宽的长度。
答案：设矩形的宽为x厘米，根据黄金分割的定义，有20 / x = (x + 20) / 20。
解这个方程，我们可以得到x = 20 × (√5 - 1) / 2 ≈ 12.36厘米。
3. 在一个正方形中，按照黄金分割点将正方形的一边分割，求分割后较小部分的长度。
答案：设正方形的边长为a厘米，按照黄金分割点分割后，较小部分的长度为a × (√5 - 1) / 2 厘米。
4. 一个等腰三角形的顶角为36°，底角为72°，求这个三角形的高与底边的比例。
答案：根据黄金分割的定义，这个等腰三角形的高与底边的比例为(√5 - 1) / 2 ≈ 0.618。
5. 已知一个五边形的边长都相等，且每个内角都为108°，求这个五边形的对角线与边长的比例。
答案：这个五边形的对角线与边长的比例符合黄金分割，即对角线长度与边长的比例为(√5 + 1) / 2 ≈ 1.618。
这些题目涵盖了黄金分割在不同几何图形中的应用，通过计算和理解黄金分割的定义，可以解决这些问题。
【单点训练】黄金分割
【单点训练】黄金分割【单点训练】黄金分割一、选择题（共15小题）．C D．2．（2012•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（）．C﹣1 D．+13．（2012•通辽）美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高4．已知如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（）D．．﹣1）：2 +1）：2 C）：2 D．）：26．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1（）S2．7．（2007•遵义）如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，AC与AB的比叫做黄金比，其比值是（）．C D．8．如图的五角星中，与的关系是（）＞C＜D9．（2006•遂宁）如果线段上一点P把线段分割为两条线段PA，PB，当PA2=PB•AB，即PA≈0.618AB时，则称点P 是线段AB的黄金分割点，现已知线段AB=10，点P是线段AB的黄金分割点，如图所示，那么线段PB的长约为（）10．（2009•浙江）在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为﹣（13．（2009•孝感）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）14．（2007•武汉）为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度（精确到0.01m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）是（）15．（2009•毕节地区）如图，扇子的圆心角为x°，余下的圆心角为y°，x与y的比通常用黄金比来设计，这样的扇子造型美观，若取黄金比为0.6，则x应为（）二、填空题（共15小题）（除非特别说明，请填准确值）16．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）则AM，DM的长分别为_________，_________；（2）点M是AD的黄金分割点吗？_________．17．舞台的形状为矩形，宽度AB为12米，如果主持人站立的位置是宽度AB的黄金分割点，那么主持人从台侧点A沿AB走到主持的位置至少需走_________米．18．把长为10cm的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是_________cm．19．已知线段AB的长为2，P是线段AB的一个黄金分割点，且PA＜PB，则PA的长为_________．20．如图，节目主持人现站在舞台AB的一端A点，在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果，若舞台AB长20米，主持人要想站在舞台的黄金分割点处，她应走到距A点至少_________米处，如果向B点再走_________米，也处在舞台的黄金分割点处（结果精确到0.1米）21．顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形，己知AB=2cm，则DE=_________cm．22．人的肚脐是人的身长的黄金分割点，一般来说，当头到肚脐的长度与人身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段，一个身高为1.8m的人，他的肚脐到头的长度为_________m时才是黄金身段．（结果保留两个有效数字）23．已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若PA=2，AB=x，PB=y，则y与x之间的函数关系式为_________．24．女孩子都爱美，你知道穿鞋跟多高的鞋子看起来最美吗？其实只要当人的下肢与身高的比例成黄金分割，即下肢与身高之比约0.618时看起来最美．请你计算，一个身高168cm，下肢长102cm的女模特，应穿鞋跟高约为_________cm的高跟鞋，显得比较美丽．（结果精确到0.1cm）25．点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB=8，那么AP=_________．26．已知点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），如果AB=2，那么AD的长为_________．（结果保留根号）27．如图，等腰三角形ABC中，顶角∠A=36°，BD平分∠ABC，D点是AC的黄金分割点，若AC=4cm，则BD= _________cm（结果保留三个有效数字）28．黄金比=0.61803398…，这个比用四舍五入法精确到0.001的近似数是_________；请把1 020 000用科学记数法表示应为_________．29．如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD ＞DC），则BC=_________．30．已知线段AB=2，点P是线段AB的黄金分割点，则AP=_________．三、解答题（共1小题）（选答题，不自动判卷）31．若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．【单点训练】黄金分割参考答案与试题解析一、选择题（共15小题）．C D．AC=﹣的比例中项，即较长线段是整个线段的2．（2012•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（）．C﹣1 D．+1=，=±1+3．（2012•通辽）美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高，则根据黄金分割的定义得：=0.6184．已知如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（）D．割，他们的比值（．﹣1）：2 +1）：2 C）：2 D．）：2割，他们的比值（（6．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1（）S2．解：根据黄金分割的概念得：7．（2007•遵义）如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，AC与AB的比叫做黄金比，其比值是（）．C D．，根据已知条件中的比例式得x=（负值．则比值是8．如图的五角星中，与的关系是（）＞C＜D9．（2006•遂宁）如果线段上一点P把线段分割为两条线段PA，PB，当PA2=PB•AB，即PA≈0.618AB时，则称点P 是线段AB的黄金分割点，现已知线段AB=10，点P是线段AB的黄金分割点，如图所示，那么线段PB的长约为（）10．（2009•浙江）在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为割，他们的比值（﹣（（13．（2009•孝感）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（），则根据黄金分割的定义得：14．（2007•武汉）为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度（精确到0.01m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）是（）依题意，得1+（不合题意，舍去）是原方程的根．15．（2009•毕节地区）如图，扇子的圆心角为x°，余下的圆心角为y°，x与y的比通常用黄金比来设计，这样的扇子造型美观，若取黄金比为0.6，则x应为（）×二、填空题（共15小题）（除非特别说明，请填准确值）16．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）则AM，DM的长分别为﹣1，；（2）点M是AD的黄金分割点吗？是．PF=PD=，AM=AF=）中的数据得：=，=PD===AP=）由于==﹣﹣17．舞台的形状为矩形，宽度AB为12米，如果主持人站立的位置是宽度AB的黄金分割点，那么主持人从台侧点A沿AB走到主持的位置至少需走米．6﹣18．把长为10cm的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是5（3﹣）cm．割，他们的比值（﹣﹣）19．已知线段AB的长为2，P是线段AB的一个黄金分割点，且PA＜PB，则PA的长为．﹣20．如图，节目主持人现站在舞台AB的一端A点，在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果，若舞台AB长20米，主持人要想站在舞台的黄金分割点处，她应走到距A点至少7.6米处，如果向B点再走 4.8米，也处在舞台的黄金分割点处（结果精确到0.1米）割，他们的比值（21．顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形，己知AB=2cm，则DE=3﹣cm．BC AD±＞．22．人的肚脐是人的身长的黄金分割点，一般来说，当头到肚脐的长度与人身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段，一个身高为1.8m的人，他的肚脐到头的长度为 1.1m时才是黄金身段．（结果保留两个有效数字）23．已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若PA=2，AB=x，PB=y，则y与x之间的函数关系式为．PB==，．y=24．女孩子都爱美，你知道穿鞋跟多高的鞋子看起来最美吗？其实只要当人的下肢与身高的比例成黄金分割，即下肢与身高之比约0.618时看起来最美．请你计算，一个身高168cm，下肢长102cm的女模特，应穿鞋跟高约为 4.8 cm的高跟鞋，显得比较美丽．（结果精确到0.1cm）依题意，得25．点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB=8，那么AP=．割，他们的比值（AP=×4能够根据黄金比进行计算．较长线段是原线段的26．已知点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），如果AB=2，那么AD的长为．（结果保留根号）×﹣27．如图，等腰三角形ABC中，顶角∠A=36°，BD平分∠ABC，D点是AC的黄金分割点，若AC=4cm，则BD= 2.47cm（结果保留三个有效数字）28．黄金比=0.61803398…，这个比用四舍五入法精确到0.001的近似数是0.618；请把1 020 000用科学记数法表示应为 1.02×106．29．如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD ＞DC），则BC=2﹣2．﹣30．已知线段AB=2，点P是线段AB的黄金分割点，则AP=或．×﹣﹣﹣×=﹣（．﹣三、解答题（共1小题）（选答题，不自动判卷）31．若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．，则有。
黄金分割-北京习题集-教师版
黄金分割（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2019秋•丰台区校级月考）已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP BP >，若2AB cm =，则短线段的长度是() A ．512- B ．51- C ．352- D ．35-2．（2017秋•丰台区期末）“黄金分割”是一条举世公认的美学定律，例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐．目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版，要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置( )A ．①B ．②C ．③D ．④3．（2015秋•石景山区期末）某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB 的长为20m ，C 为AB 的一个黄金分割点()AC BC <，则AC 的长为（结果精确到0.1)(m )A ．6.7mB ．7.6mC ．10mD ．12.4m4．（2016秋•通州区期中）黄金矩形的宽与长的比值更接近于( ) A ．3.14B ．2.71C ．0.62D ．0.575．（2015秋•延庆县期末）把10cm 长的线段进行黄金分割，则较长线段的长(5 2.236≈，精确到0.01)是( ) A ．3.09cmB ．3.82cmC ．6.18cmD ．7.00cm二．填空题（共6小题）6．（2019秋•密云区期末）我们把满足下面条件的ABC ∆称为“黄金三角形”： ①ABC ∆是等腰三角形；②在三角形的某条边上存在不与顶点重合的点P ，使得P 与P 所在边的对角顶点连线把ABC ∆分成两个不全等的等腰三角形．（1）ABC ∆中，AB AC =，:1:2A C ∠∠=，可证ABC ∆是“黄金三角形”，此时A ∠的度数为 ． （2）ABC ∆中，AB AC =，A ∠为钝角．若ABC ∆为“黄金三角形”，则A ∠的度数为 ． 7．（2019秋•朝阳区期末）51-（约为0.618)，就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD 为黄金矩形，宽51AD =，则长AB 为 ．8．（2019秋•大兴区期中）把长为10cm 的线段进行黄金分割（黄金比为0.618)，则较长线段的长为 cm （结果精确到0.1)．9．（2017春•朝阳区期末）阅读下列材料：如图1，在线段AB 上找一点()C AC BC >，若::BC AC AC AB =，则称点C 为线段AB 的黄金分割点，这时比值为510.6182-≈，人们把512-称为黄金分割数．长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点O 表示数0，点E 表示数2，过点E 作EF OE ⊥，且12EF OE =，连接OF ；以F 为圆心，EF 为半径作弧，交OF 于H ；再以O 为圆心，OH 为半径作弧，交OE于点P ，则点P 就是线段OE 的黄金分割点． 根据材料回答下列问题：（1）线段OP 长为 ，点P 在数轴上表示的数为 ； （2）在（1）中计算线段OP 长的依据是 ．10．（2015秋•怀柔区期末）学校组织社会大课堂活动去首都博物馆参观，明明提前上网做了功课，查到了下面的一段文字：首都博物馆建筑本身是一座融古典美和现代美于一体的建筑艺术品，既具有浓郁的民族特色，又呈现鲜明的现代感．首都博物馆建筑物（地面以上）东西长152米、南北宽66米左右，建筑高度41米．建筑内部分为三栋独立的建筑，即：矩形展馆，椭圆形专题展馆，条形的办公科研楼．椭圆形的青铜展馆斜出墙面寓意古代文物破土而出，散发着浓郁的历史气息．明明对首都博物馆建筑物产生了浓厚的兴趣，站到首都博物馆北广场，他被眼前这座建筑物震撼了．整个建筑宏大壮观，斜出的青铜展馆和北墙面交出一条抛物线，抛物线与外立面之间和谐、统一，明明走到过街天桥上照了一张照片（如图所示）．明明想了想，算了算，对旁边的文文说：“我猜想这条抛物线的顶点到地面的距离应是15.7米左右．”文文反问：“你猜想的理由是什么”？明明说：“我的理由是 ”．明明又说：“不过这只是我的猜想，这次准备不充分，下次来我要用学过的数学知识准确的测测这个高度，我想用学到的知识，我要带等测量工具”．11．（2013秋•大兴区期中）把长为8cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长为cm．三．解答题（共4小题）12．（2019春•昌平区校级月考）如图，在ABC∆中，AB AC=，36A∠=︒，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括)ABC∆（1）在图1中画1中画了1条线段，使图中有了2个等腰三角形，请直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是度和度；（2）若在图2中画2条线段，图中有几个等腰三角形，分别是哪几个？（3）继续按以上操作发现：在ABC∆中画n条线段，则图中有个等腰三角形，其中有个黄金等腰三角形．13．（2018•通州区三模）小明同学遇到两个数学问题：问题一，一个数x加上这个数的倒数，和为1，试求这个数．问题二，一个数y减去这个数的倒数，差为1，试求这个数．（1）在探索问题一时，进行了以下操作：依题意，列出方程11xx+=，化简得210x x-+=，于是小明认为这个数不存在，请帮小明证明这个数不存在．（2）在探索问题二时，进行了以下操作：依题意，列出方程11yy-=，变形得1111 111111111111111yyyy=+=+=+=+++++++⋯于是得到形如1111111++++⋯这样的数，我们称之为连分数．如果设一条线段AB的长度设为1，点M是这条线段的黄金分割点，设其中较短的线段的长度为z，试将z表示为连分数的形式．14．（2016秋•海淀区期中）如图1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段，其中BC是较小的一段，如果2BC AB AC=，那么称线段AB被点C黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离(5的近似值取2.2)．15．（2010秋•通州区期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即512AD AE-=，BE交DC于点F，已知51AB=+，求CF的长．黄金分割（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2019秋•丰台区校级月考）已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP BP >，若2AB cm =，则短线段的长度是() A ．512- B ．51- C ．352- D ．35-【分析】根据黄金比值为512-计算即可． 【解答】解：点P 是AB 的黄金分割点，AP BP >， 51512AP AB -∴==-， 则短线段2(51)35BP AB AP =-=--=-， 故选：D ．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，熟记黄金比值为512-是解题的关键． 2．（2017秋•丰台区期末）“黄金分割”是一条举世公认的美学定律，例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐．目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版，要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置( )A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】关键黄金分割的比值是0.618，即可判断．【解答】解：观察图象可知，0.618AC AB ≈，0.618DE CD ≈，∴按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置②，故选：B ．【点评】本题考查黄金分割(0.618)的应用，解题的关键是记住黄金分割的比值是0.618．3．（2015秋•石景山区期末）某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB 的长为20m ，C 为AB 的一个黄金分割点()AC BC <，则AC 的长为（结果精确到0.1)(m )A ．6.7mB ．7.6mC ．10mD ．12.4m【分析】根据黄金比值约为0.618进行计算即可． 【解答】解：C 为AB 的一个黄金分割点， 5112.4BC cm -∴=≈， 2012.47.6AC cm ∴=-=，故选：B ．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中51- 4．（2016秋•通州区期中）黄金矩形的宽与长的比值更接近于( ) A ．3.14B ．2.71C ．0.62D ．0.57【分析】51- 【解答】黄金矩形的宽与长的比510.618-=≈， 四选项中更接近于这一比值的是0.62， 故选：C ．【点评】本题考查了黄金分割的知识，熟记黄金分割比是解题的关键．5．（2015秋•延庆县期末）把10cm 长的线段进行黄金分割，则较长线段的长(5 2.236≈，精确到0.01)是( ) A ．3.09cmB ．3.82cmC ．6.18cmD ．7.00cm【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值51()-叫做黄金比． 【解答】解：根据题意得： 较长线段的长是5110100.618 6.18cm -=⨯=． 故选：C ．【点评】此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的公式：较短的线段=35-，较长的线段=原线51-是本题的关键． 二．填空题（共6小题）6．（2019秋•密云区期末）我们把满足下面条件的ABC ∆称为“黄金三角形”： ①ABC ∆是等腰三角形；②在三角形的某条边上存在不与顶点重合的点P ，使得P 与P 所在边的对角顶点连线把ABC ∆分成两个不全等的等腰三角形．（1）ABC ∆中，AB AC =，:1:2A C ∠∠=，可证ABC ∆是“黄金三角形”，此时A ∠的度数为 36︒ ． （2）ABC ∆中，AB AC =，A ∠为钝角．若ABC ∆为“黄金三角形”，则A ∠的度数为 ．【分析】（1）由AB AC =得到B C ∠=∠，再根据:1:2A C ∠∠=和三角形内角和得到22180A A A ∠+∠+∠=︒，然后可求出A ∠的度数；（2）如图，利用黄金三角形的定义得到ABD ∆和ADC ∆都为等腰三角形，设B x ∠=，则可表示出C B CAD x ∠=∠=∠=，2BDA BAD x ∠=∠=，然后利用三角形内角和得到2180x x x x +++=︒，解方程得到36x =︒，然后计算2x x +即可． 【解答】解：（1）AB AC =，B C ∴∠=∠， :1:2A C ∠∠=，而180A B C ∠+∠+∠=︒， 22180A A A ∴∠+∠+∠=︒， 36A ∴∠=︒；（2）如图，ABC ∆为“黄金三角形”，ABD ∴∆和ADC ∆都为等腰三角形，设B x ∠=， AB AC =， C B x ∴∠=∠=， CAD x ∴∠=，2BDA BAD x x x ∴∠=∠=+=， 2180x x x x ∴+++=︒，解得36x =︒， 2108BAC x x ∴∠=+=︒．故答案为36︒，108︒．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和()BC AC BC >，且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即::)AB AC AC BC =，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中510.618AC AB AB -≈，并且线段AB 的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形．7．（2019秋•朝阳区期末）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数512-（约为0.618)，就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD 为黄金矩形，宽51AD =-，则长AB 为 2 ．【分析】判断黄金矩形的依据是：宽与长之比为0.618，根据已知条件即可得出答案． 【解答】解：矩形ABCD 是黄金矩形，且51AD =-，∴512AD AB -=， 51512AB --=， 2AB ∴=，故答案为2．【点评】本题主要考查了黄金分割点的概念，需要熟记黄金比的值，难度适中．8．（2019秋•大兴区期中）把长为10cm 的线段进行黄金分割（黄金比为0.618)，则较长线段的长为 6.2 cm （结果精确到0.1)．【分析】根据黄金分割的定义：如图所示，把线段AB 分成两条线段AC 和()BC AC BC >，且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．即可求解． 【解答】解：如图：设较长线段AC x =，则10BC x =-， 根据黄金分割定义可知： AC BCAB AC=，即2AC AB BC =， 210(10)x x ∴=- 2101000x x +-=，解得15(51) 6.18 6.2x =≈≈，255x =-（不符合题意，舍去） 答：较长的线段的长约为6.2cm ． 故答案为6.2．【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割的定义．9．（2017春•朝阳区期末）阅读下列材料：如图1，在线段AB 上找一点()C AC BC >，若::BC AC AC AB =，则称点C 为线段AB 的黄金分割点，这时比值为510.6182-≈，人们把512-称为黄金分割数．长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点O 表示数0，点E 表示数2，过点E 作EF OE ⊥，且12EF OE =，连接OF ；以F 为圆心，EF 为半径作弧，交OF 于H ；再以O 为圆心，OH 为半径作弧，交OE于点P ，则点P 就是线段OE 的黄金分割点． 根据材料回答下列问题： （1）线段OP 长为51- ，点P 在数轴上表示的数为 ；（2）在（1）中计算线段OP 长的依据是 ．【分析】（1）根据勾股定理得到2222215OF OE EF ++= （2）根据勾股定理求得OF ，再由线段的和差求得OP ，于是得到结论． 【解答】解：（1）2OE =， 112EF OE ∴==，EF OE ⊥，2222215OF OE EF ∴+=+，由作法知，1FH EF ==，51OP OH OF FH ==-，∴点P 51，5151； （2）在（1）中计算线段OP 长时， 首先根据勾股定理求得OF ， 再由OP OH OF FH ==-求得OP ， 故答案为：勾股定理．【点评】本题考查了黄金分割，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．10．（2015秋•怀柔区期末）学校组织社会大课堂活动去首都博物馆参观，明明提前上网做了功课，查到了下面的一段文字：首都博物馆建筑本身是一座融古典美和现代美于一体的建筑艺术品，既具有浓郁的民族特色，又呈现鲜明的现代感．首都博物馆建筑物（地面以上）东西长152米、南北宽66米左右，建筑高度41米．建筑内部分为三栋独立的建筑，即：矩形展馆，椭圆形专题展馆，条形的办公科研楼．椭圆形的青铜展馆斜出墙面寓意古代文物破土而出，散发着浓郁的历史气息．明明对首都博物馆建筑物产生了浓厚的兴趣，站到首都博物馆北广场，他被眼前这座建筑物震撼了．整个建筑宏大壮观，斜出的青铜展馆和北墙面交出一条抛物线，抛物线与外立面之间和谐、统一，明明走到过街天桥上照了一张照片（如图所示）．明明想了想，算了算，对旁边的文文说：“我猜想这条抛物线的顶点到地面的距离应是15.7米左右．”文文反问：“你猜想的理由是什么”？明明说：“我的理由是黄金分割”．明明又说：“不过这只是我的猜想，这次准备不充分，下次来我要用学过的数学知识准确的测测这个高度，我想用学到的知识，我要带等测量工具”．【分析】利用已知结合黄金分割比例和解直角三角形的应用分别填空得出答案．【解答】解：结合：41(10.618)15.7()m⨯-≈，故明明说：“我的理由是黄金分割”明明又说：“不过这只是我的猜想，这次准备不充分，下次来我要用学过的数学知识准确的测测这个高度，我想用学到的解直角三角形（答案不唯一）知识，我要带测角仪、皮尺（答案不唯一）等测量工具”．故答案为：黄金分割；解直角三角形（答案不唯一）；测角仪、皮尺（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了黄金分割以及解直角三角形的应用等知识，正确掌握黄金比例是解题关键．11．（2013秋•大兴区期中）把长为8cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长为51)cm．【分析】根据黄金分割的定义，51-．【解答】解：较长线段的长度51851)cm cm-==．故答案为51)．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和()BC AC BC>，且使AC是AB和BC的比例中项 （即::)AB AC AC BC =，叫做把线段AB 黄金分割， 点C 叫做线段AB 的黄金分割点， 其中510.6182AC AB AB -=≈，并且线段AB 的黄金分割点有两个 ． 三．解答题（共4小题）12．（2019春•昌平区校级月考）如图，在ABC ∆中，AB AC =，36A ∠=︒，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括)ABC ∆（1）在图1中画1中画了1条线段，使图中有了2个等腰三角形，请直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是 108 度和 度；（2）若在图2中画2条线段，图中有几个等腰三角形，分别是哪几个？（3）继续按以上操作发现：在ABC ∆中画n 条线段，则图中有 个等腰三角形，其中有 个黄金等腰三角形．【分析】（1）可以根据AB AC =，36A ∠=︒的条件，并利用平行线的知识画一条与三角形一边平行的线段，就可以求出2个等腰三角形的度数；（2）根据（1）和材料分析，画1条线段是利用平行的知识来作图，那么2条线段也可以的，3条也可以的，了解其画图的方法，那么就可以画出图形，并数出等腰三角形的个数；（3）根据（2）的图形规律，可以总结线段的数量与等腰三角形的个数之间的规律【解答】解：（1）如图1所示：AB AC =，36A ∠=︒，∴当AE BE =，则36A ABE ∠=∠=︒，则108AEB ∠=︒，则36EBC ∠=︒∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度．故答案为：108，36（2）如图所示：（3）根据（2）可知：如图所示：当1条直线可得到2个等腰三角形；当2条直线可得到4个等腰三角形；当3条直线可得到6个等腰三角形；⋯在ABC∆中画n条线段，则图中有2n个等腰三角形，其中n个黄金等腰三角形．故答案为2n，n【点评】该题主要考查等腰三角形、规律总结等知识；解题的思路：首先理解题意，什么是黄金等腰三角形，怎么去画等腰三角形；几何题目都需要结合图形才有利于解答，所有要画图分析；最后根据画的图分析并总结出线段的数量与等腰三角形的个数的规律．13．（2018•通州区三模）小明同学遇到两个数学问题：问题一，一个数x加上这个数的倒数，和为1，试求这个数．问题二，一个数y减去这个数的倒数，差为1，试求这个数．（1）在探索问题一时，进行了以下操作：依题意，列出方程11xx+=，化简得210x x-+=，于是小明认为这个数不存在，请帮小明证明这个数不存在．（2）在探索问题二时，进行了以下操作：依题意，列出方程11yy-=，变形得1111 111111111111111yyyy=+=+=+=+++++++⋯于是得到形如1111111++++⋯这样的数，我们称之为连分数．如果设一条线段AB 的长度设为1，点M 是这条线段的黄金分割点，设其中较短的线段的长度为z ，试将z 表示为连分数的形式．【分析】（1）先求出根的判别式△的值，由△0<即可证明这个数不存在；（2）设其中较短的线段的长度为z ，则较长的线段的长度为1z -，根据黄金分割的定义列出方程111z z z -=-，再变形即可．【解答】（1）证明：△224(1)41130b ac =-=--⨯⨯=-<，因为这个方程无解，所以这个数不存在；（2）解：依据题意，得111z z z -=-， 变形 得2(1)z z -=，展开，得231z z =-，0z ≠，∴两边同时除以z ，得13z z=-， 13133z ∴=---⋯．【点评】本题考查了黄金分割的定义：把一条线段分成两条线段，使其中较长的线段是较短线段和全线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割．也考查了根的判别式以及学生的阅读理解能力．14．（2016秋•海淀区期中）如图1，在线段AB 上找一点C ，C 把AB 分为AC 和CB 两段，其中BC 是较小的一段，如果2BC AB AC =，那么称线段AB 被点C 黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离近似值取2.2)．【分析】根据黄金分割的概念列出比例式，计算即可．【解答】解：设太和门到太和殿的距离为x 丈，由题意可得，2100(100)x x =- 解得，150505x =-+，250505x =--（舍去）则5050 2.260x ≈-+⨯=，答：太和门到太和殿的距离为60丈．【点评】本题考察的是黄金分割的概念和性质，把线段AB 分成两条线段AC 和()BC AC BC >，且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割．15．（2010秋•通州区期末）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边AD 延长线上的一点，且D 为AE 的黄金分割点，即512AD AE -=，BE 交DC 于点F ，已知51AB =+，求CF 的长．【分析】根据平行四边形的性质得出CBF AEB ∠=∠，BCF BAE ∠=∠，从而得出BCF EAB ∆∆∽，根据相似三角形比例关系即可得出答案．【解答】解：四边形ABCD 为平行四边形，CBF AEB ∴∠=∠，BCF BAE ∠=∠，BCF EAB ∴∆∆∽，∴BC AE CF BA =，即AD CF AE AB=， 把51AD AE -=，51AB =5151-=+解得：2CF ．故答案为：2．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，比较综合，难度适中．。
黄金分割 习题精选
黄金分割 习题精选一、请你填一填（1）如图，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________与________的比例中项.（2）黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0.001）.（3）如果线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a =2 cm,b =4 cm,c =5 cm,则d =_____________cm.（4）已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC =________.（5）、一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB 长为20米，一个主持人现在站在A 处，则它应至少再走 米才最理想。
（6）已知y x 23=,那么下列式子成立的是（ ） A.3x =2y B.xy =6 C.32=y x D.32=x y （7）有以下命题:①如果线段d 是线段a ,b ,c 的第四比例项，则有dc b a = ②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC =5－1其中正确的判断有（ ）A.1个B.2 个C.3个D.4个8、已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP ＜PB ，则（ ）A 、PB AB AP ⋅=2； B 、PB AP AB ⋅=2；C 、AB AP PB ⋅=2；D 、222AB BP AP =+ 9、已知P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB ＝10cm ，则PQ 长为（ ）A 、)15(5-B 、)15(5+C 、)25(10-D 、)53(5-二、已知点C 是线段AB 的黄金分割点AC ＝555 ，且AC ＞BC ，求线段AB 与BC 的长。
三、好好想一想以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF =PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图4—2—2.（1）求AM 、DM 的长.（2）求证：AM 2=AD ·DM .（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？。
黄金考试题及答案三年级
黄金考试题及答案三年级一、选择题（每题2分，共20分）1. 黄金分割比例是多少？A. 1:1.618B. 1:1.414C. 1:1.732D. 1:1.5答案：A2. 黄金分割在艺术和建筑中的应用不包括以下哪一项？A. 绘画构图B. 建筑设计C. 音乐创作D. 雕塑比例答案：C3. 黄金分割的发现者是以下哪位数学家？A. 毕达哥拉斯B. 欧几里得C. 阿基米德D. 斐波那契答案：B4. 黄金分割在自然界中的表现不包括以下哪一项？A. 树干与树枝的比例B. 向日葵的种子排列C. 人体比例D. 蜜蜂的飞行路径答案：D5. 黄金分割与斐波那契数列的关系是什么？A. 斐波那契数列与黄金分割无关B. 斐波那契数列的相邻两项之比接近黄金分割比例C. 斐波那契数列的相邻两项之和等于下一项D. 斐波那契数列的相邻两项之差等于下一项答案：B6. 黄金分割在现代设计中的应用不包括以下哪一项？A. 网页设计B. 书籍排版C. 手机界面设计D. 汽车制造答案：D7. 黄金分割在数学中的意义不包括以下哪一项？A. 无理数B. 美学比例C. 几何图形的划分D. 代数方程的解答案：D8. 黄金分割在摄影中的应用不包括以下哪一项？A. 构图比例B. 色彩搭配C. 光线运用D. 焦点选择答案：B9. 黄金分割在音乐中的应用不包括以下哪一项？A. 音阶的划分B. 和声的构建C. 节奏的安排D. 乐器的制造答案：D10. 黄金分割在经济领域中的应用不包括以下哪一项？A. 投资回报率的计算B. 市场供需的平衡C. 产品定价策略D. 消费者行为分析答案：D二、填空题（每题2分，共20分）11. 黄金分割比例的数值是_________。
答案：1.61812. 黄金分割在自然界中的一个典型例子是_________的种子排列。
答案：向日葵13. 黄金分割比例的发现可以追溯到古希腊时期的数学家_________。
答案：欧几里得14. 斐波那契数列中，第_________项与第_________项的比值最接近黄金分割比例。
九上数学黄金分割
黄金分割同步精练一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1. 已知点C 把线段AB 分成两条线段AC ，BC ，下列说法错误的是( )A ．如果AC AB ＝BC AC，那么线段AB 被点C 黄金分割 B ．如果BC 2＝AB·AC ，那么线段AB 被点C 黄金分割C ．如果线段AB 被点C 黄金分割，那么AC 与AB 的比叫做黄金比D ．0.618是黄金数的近似值2. 已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则下列各式成立的是( )A ．AB 2＝AC·CBB ．CB 2＝AC·ABC ．AC 2＝BC·ABD ．AC 2＝2BC·AB3.已知线段AB 的长为2，点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ，那么AP ＝( ) A.5－12 B ．5＋12 C. 5 ＋1 D ． 5 －14. 若线段MN ＝10 cm ，点K 是MN 的黄金分割点，则KM 的长为( )A. (5 5 －5) cmB. (15－5 5 ) cmC. (5 5 －5) cm 或(15－5 5 ) cmD. 不能确定5. 山上一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点(AP>PB)， 如果AB 的长度为8 cm ，那么AP 的长度是( )A ．(4－2 5)cmB ．(4 5－4)cmC ．(4 5＋4)cmD ．(4－4 5)cm6.如图所示，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，α与β的比通常按黄金比来设计，这样的扇子较美观．若取黄金比为0.6，则α为( )A. 216°B．135°C．120°D．1087.人体的正常体温是37 ℃左右，根据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感觉最舒适，这个气温的度数约为( ) (精确到1 ℃).A．26℃B．25℃C．24℃D．23℃8.美是一种感觉，当人体下半身长与身高越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士的身高为160 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( )A．6 cm B．10 cmC．4 cm D．8 cm9.一种数学课本的宽与长之比为黄金比，已知它的长是26 cm，那么它的宽是() A．(265＋26)cm B．(265－26)cmC．(135＋13)cm D．(13513)cm10. 如图，点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，若S1表示以AP为边的正方形的面积，S2表示以AB为长，PB为宽的矩形的面积，则S1，S2的大小关系为( )A.S1>S2B．S1＝S2C.S1<S2D．不能确定二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11.线段AB长为10 cm，点C是AB的黄金分割点，则AC的长为_________________．(精确到0.1 cm)12. 已知P，Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10 cm，则PQ的长为______________ cm.13.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠DCB＝72°，△ABC与△BDC是黄金三角形，即D是线段AB的黄金分割点(AD>DB)，则BCAB＝____________．14.已知线段MN，P是它的黄金分割点，若MN＝ 5 ＋1，则线段MP的长是____________．15.如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离是_______________．16.电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB的长为20 m，主持人应走到离A点至少__________m处才最自然得体.(结果精确到0.1 m，黄金比≈0. 618)三．解答题（共6小题，56分）17．(6分) 如图，线段AB＝12 cm，C，D是线段AB的两个黄金分割点，求线段CD的长．18．(8分) 如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F，求BF∶DF的值．19．(8分) 要设计一座2 m高的维纳斯女神雕像(如图)，使雕像的上部AC(肚脐以上)与下部BC(肚脐以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，即点C(肚脐)就叫做线段AB的黄金分割点，试求出雕像下部设计的高度．(结果精确到0.001)20．(10分) 如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR.图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为5－12.若AB＝5－12，求MN的值．21．(12分) 如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．(1)求AM，DM的长．(2)点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由．22．(12分) 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求线段AD的长．参考答案1-5CCDCB 6-10BDDDB11．6.2 cm 或3.8 cm11．105－2013．5－1214．2或 5 －115．(80 5 －160)cm16. 7.617. 解：∵C ，D 是线段AB 的两个黄金分割点，则AD ＝5－12 AB ＝6( 5 －1)＝BC ，∴AC ＝AB －BC ＝12－6( 5 －1)＝18－6 5 ，∴CD ＝AD －AC ＝(6 5 －6)－(18－6 5 )＝(12 5 －24)cm18. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，BC ＝AD ，∴△BEF ∽△DAF ，∴BE ∶DA ＝BF ∶DF.∵BC ＝AD ，∴BE ∶BC ＝BF ∶DF.∵点E 是BC 边上的黄金分割点，∴BE ∶BC ＝5－12，∴BF ∶DF ＝5－12. 19. 解：设维纳斯女神雕像下部设计的高度为x m ，那么雕像上部的高度为(2－x)m.依题意，得2－x x ＝x 2，解得x 1＝－1＋ 5 ≈1.236，x 2＝－1－ 5 (不合题意，舍去). 经检验，x ＝－1＋ 5 是原方程的根．答：维纳斯女神雕像下部设计的高度约为1.236 m20. 设MN ＝x.由题意可知DE ＝AB ＝5－12.∵∠EDM ＝∠ECD ＝36°，∠END ＝∠EDN ＝72°，∴DE ＝EN ，同理CD ＝CM ，∴EM ＝5－12－x ，EC ＝EN ＋CM －MN ＝5－1－x.∵∠DEM ＝∠DEC ，∴△DEM ∽△CED ，∴DE 2＝EM·EC ，∴(5－12)2＝(5－12－x)(5－1－x)，整理，得x 2－32×(5－1)x ＋（5－1）24＝0，∴⎣⎡⎦⎤x －34×（5－1）2＝516×(5－1)2，∴x ＝5－2或x ＝12(5＋1)(不合题意，舍去)，∴MN ＝5－2. 21. 解：(1)∵正方形ABCD 的边长是2，点P 是AB 的中点，∴AB ＝AD ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°.∴PD ＝AP 2＋AD 2＝ 5.∵PF ＝PD ，∴AF ＝5－1.在正方形AMEF 中，AM ＝AF ＝5－1，∴DM ＝AD －AM ＝3－ 5.(2)点M 是线段AD 的黄金分割点．理由：由(1)得AD·DM ＝2(3－5)＝6－25， AM 2＝(5－1)2＝6－25，∴AM 2＝AD·DM.∴点M 是线段AD 的黄金分割点．22. 解：(1)∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°.又∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD ＝∠ABD ＝36°＝∠A ，∴AD ＝BD ，∠BDC ＝72°＝∠C ，∴BC ＝BD ＝AD.易得△ABC ∽△BDC ，∴BD AB ＝CD BC ，即AD AC ＝CD AD，∴点D 是线段AC 的黄金分割点 (2)∵点D 是线段AC 的黄金分割点，且AD ＞CD ，∴AD ＝5－12 AC.∵AC ＝2，∴AD ＝ 5 －1。
4.2 黄金分割(含答案)-
C BA CBAC BA4.2 黄金分割一、选择题:1.如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BCAB AC=,那么下列说法错误的是( ) A.线段AB 被点C 黄金分割; B.点C 叫做线段AB 的黄金分割点C.AB 与AC 的比叫做黄金比;D.AC 与AB 的比叫做黄金比2.如图的五角星中,AC AB 与BCAC 的关系是( ) A.相等; B.AC AB >BC AC ; C.AC AB <BCAC; D.不能确定3.一条线段的黄金分割点有( )A.1个B.2个C.3个D.无数个4.黄金分割比是( ) A.12 B.12 C.12D.0.618 5.如图,点C 是AB 的黄金分割点,那么AC AB 与ACBC的值分别是( ) A.12,12 B.12,12; C.12,12; D.12,126.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=2,则AC= ( ) A.12 B.1211 二、填空题:1.点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果_________,那么称线段AB 被点C•黄金分割,点C 叫做线段AB 的________,AC 与AB 的比叫做_________.2.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=1,则AC=_______,BC=______.3.已知点C 是AB 的黄金分割点,即AC AB ,那么ACCB=________.4.如图,点C 是AB 的黄金分割点,AB=4,则AC 2=________.5.宽与长的比等于________的矩形叫做黄金矩形.6.已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________. 三、计算题:1.已知线段AB 长6厘米,点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,求AP 和BP 的长.CBA2.仿照课本上“做一做”的方法,画出线段AB的黄金分割点.AB3.请你在实际生活中搜集一个与黄金分割有关的资料,并与同伴相互交流.四、已知一个等腰三角形如果腰与底边的比是黄金比,•那么这样的等腰三角形称为黄金三角形.请你设法作出一个黄金三角形.五、已知线段AB=1,C为AB的黄金分割点,且AC>BC,求AC-BC的值.六、如图的五角星中,AD=BC,且C、D两点都是AB的黄金分割点,AB=1,求CD的长.AD C B七、已知C、D是线段AB上的两点,且不难证明当AB=1时,C、D是线段AB的黄金分割点,试探究当AB任意长时,C、D是否是线段AB的黄金分割点?为什么?答案:一、1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 6.C二、1.AC BCAB AC=;黄金分割点;黄金比 2. 12;32-3.12黄金比三、1.因为点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,所以AP PB AB AP==12,AP=12×AB=12×2.(1)过点B 作BD ⊥AB 且BD=12AB,连接AD (2)以D 为圆心BD 为半径作圆弧交AD 于E(3)以A 为圆心AE 为半径作圆弧交AB 于C,则C 为AB 的黄金分割点 3.查阅资料四、先做出线段AB,及其黄金分割点C(AC>BC)分别以A 、B 为圆心,AC 为半径作圆弧,交点为P,则△PAB 就是黄金三角形五、根据C 为AB 的黄金分割点,AC>BC 得AC AB=12,因为AB=1,所以AC=12BC=AB-AC=1-12= 32-,•所以AC-BC=12-32-六、根据C 、D 都是AB 的黄金分割点得ACAB ,BD AB因为AB=1,所以,所以AD=AB-BD=1-12=32,因此七、C 、D 是线段AB 的黄金分割点.。
黄金分割 同步测试题-最新,经典试题,通用
6.2 黄金分割同步测试题（满分120分；时间：120分钟）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！题号一二三总分得分一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. △ABC中，AC=BC，在边AB上截取AD=AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，则∠A的度数是（）A.22.5∘B.30∘C.36∘D.45∘2. 如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1()S2．A.>B.=C.<D.无法确定3. 如图，点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，下列结论错误的是()A.AC2=BC⋅ABB.BC2=AC⋅ABC.BC AC =√5−12D.ABAC=√5+124. 小明同学发现自己一本书的宽与长之比是黄金比约为0.618．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）A.12.36cmB.13.6cmC.32.386cmD.7.64cm5. 把10cm长的线段进行黄金分割，则较长线段的长（精确到0.01）是（）A.3.82cmB.6.18cmC.3.09cmD.7.00cm6. 已知点P是线段AB的一个黄金分割点(AP>PB)，则PB:AB的值为（）A.3−√52B.√5−12C.1+√52D.3−√547. 如果C是线段AB一点，并且AC>CB，AB＝1，那么AC的长度为()时，点C是线段AB的黄金分割点.A.0.618B.1−√52C.√5−12D.3−√528. 如图，已知线段AB=10，点P是线段AB的黄金分割点，那么线段PB的长约为（）A.6.18B.0.382C.0.618D.3.829. 若点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列结论正确的是（）A.AP2=BP⋅ABB.BP2=AP⋅ABC.AB2=AP⋅ABD.以上都不对10. 如图，点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP，若AB=6，则PB的长是（）A.3(√5−1)B.3(√5+1)C.9−3√5D.6−3√5二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 已知，线段AB=6cm，C为线段AB的黄金分割点，则BC=________．12. 如图，在黄金矩形ABCD中，作一个边长为10的正方形ABEF，则EC约为________．13. 线段AB=10cm，点P是它的黄金分割点，且PA>PB，则PA=________．14. 己知：线段MN的长为20厘米，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是________厘米．15. 若点B是线段AC的黄金分割点(AB>BC)，已知AB=2，则BC=________（精确到0.1）．16. 舞台的形状为矩形，宽度AB为12米，如果主持人站立的位置是宽度AB的黄金分割点，那么主持人从台侧点A沿AB走到主持的位置至少需走________米．17. 点P为线段AB的黄金分割点(PA>PB)，则关于PA、PB、AB的比例式是________．18. 已知点P是线段AB的黄金分割点，且AB长为10cm，则线段AB被P分成的两线段中较长线段的长为________cm．19. 若线段AB=2cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC<BC，则线段AC的长为________．20. 顶角是36∘的等腰三角形称为黄金三角形，设黄金三角形的底边与腰之比为m．如图，在黄金△ABC中，AB=AC=1，BD平分底角ABC，得到第二个黄金△BCD，CE平分底角BCD，得到第三个黄金△CDE，以此类推，则第2016个黄金三角形的周长为________（用含m的式子表示）．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 已知：如图，△ABC为黄金三角形，即AB=AC，且∠A=36∘，求证：BCAC =√5−12．22. 如图，已知AB=AC，BC=BD=DA．（1）求∠A的度数；（2）求证：点D是AC的黄金分割点；（3）求sin A2的值．23. 如图，在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，E、F分别是AD、BC上的点，ABFE是正方形，且AB:AD=ED:EF，判断ABCD是否为黄金矩形（宽比长=(√5−1)比2的矩形叫黄金矩形），并说明理由．24. 如图，四边形ABCD中，AD // BC，AC与BD交于点P，点P是BD的黄金分割点(BP大于PD)，已知AD=1，求BC的长．25. 如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若AE=BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由．26. 在△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，把像这样的三角形叫做黄金三角形．（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．答：CM与AB之间的数量关系是________．第1组知识梳理一、近义词弓缴弓箭辩斗争辩专心致志一心一意沧沧凉凉清清凉凉空虚空洞挪移挪动旋转转动觉察发觉遮挽遮挡叹息叹气徘徊彷徨痕迹印迹聪明聪慧特别特殊枯萎干枯收成收获依赖依靠锻炼磨炼优雅优美语重心长苦口婆心勃勃生机盎然生机偶然偶尔萦绕萦回舒展伸展歉疚愧疚陶醉沉醉惊心动魄触目惊心姿态姿势机会机遇消受享受机敏机灵薄弱单薄渺小微小二、反义词远近热凉专心致志三心二意沧沧凉凉热热乎乎空虚充实匆匆缓缓徘徊果断蒸融凝结高大矮小笔直弯曲相信怀疑偶尔经常依赖独立优雅粗俗柔软坚硬喧哗安静镇静慌张座无虚席空无一人意想不到不出所料目不转睛左顾右盼不知所措胸有成竹强硬软弱机敏迟钝薄弱强大渺小伟大养尊处优含辛茹苦三、词语积累伶伶俐俐勃勃生机【表示注意力集中的成语】专心致志聚精会神全神贯注目不转睛心无旁骛(wù)【AABB式词语】沧沧凉凉干干净净虚虚实实潇潇洒洒恭恭敬敬沸沸扬扬头涔涔泪潸潸赤裸裸笑哈哈恶狠狠傻乎乎娇滴滴【AABB式词语】轻轻悄悄伶伶俐俐整整齐齐慌慌张张勤勤恳恳迷迷糊糊轰轰烈烈吞吞吐吐【形容时间飞快的词语】白驹过隙日月如梭光阴似箭稍纵即逝日不暇给日月如流【形容珍惜时间的词语】惜时如金争分夺秒时不我待只争朝夕千金一刻闻鸡起舞废寝忘食【表示雨大的词语】狂风暴雨大雨如注大雨滂沱倾盆大雨瓢泼大雨【描写语言的词语】语重心长对答如流滔滔不绝谈笑风生高谈阔论夸夸其谈口若悬河冷嘲热讽【描写树木的词语】树形优美高大笔直优雅自在勃勃生机郁郁葱葱枝繁叶茂旁逸斜出从从容容安安全全飘飘荡荡断断续续浩浩荡荡扭扭捏捏昏昏沉沉【无A无B式词语】无缘无故无边无际无声无息无忧无虑无法无天【AABC式词语】勃勃生机津津有味娓娓动听熠熠生辉【ABAC式词语】不慌不忙大摇大摆一心一意【形容人多的词语】座无虚席门庭若市摩肩接踵人山人海【与想有关的词语】意想不到深思熟虑胡思乱想费尽心机冥思苦想【表示担心害怕的词语】提心吊胆惊慌失措惊魂未定惊恐万状胆战心惊心有余悸惊弓之鸟【一A一B式词语】一文一武一心一意一模一样一张一弛【ABAC式词语】随时随地不慌不忙无影无踪呆头呆脑多才多艺独来独往无缘无故先知先觉【含有反义词的二字词语】左右进退吞吐好坏长短高低明暗深浅高矮强弱快慢正负贵贱软硬多少胜负善恶因果厚薄【含有人体器官的词语】指手画脚口无遮拦撕心裂肺痛心疾首手足无措卑躬屈膝眼明手快心急如焚【表示贬义的词语】养尊处优处心积虑口是心非鼠目寸光贼眉鼠眼钩心斗角【形容团结的词语】团结一致齐心协力同甘共苦同舟共济精诚团结群策群力众志成城患难与共勠(lù)力同心四、词语搭配(游丝样)的痕迹(明显)的痕迹(轻轻悄悄)地挪移(缓慢)地挪移(茫茫然)地旋转 (小心)地旋转(伶伶俐俐)地跨过(灵巧)地跨过(百年)的基业(坚实)的基业(依赖)的心(感恩)的心(巨大)的能量(微弱)的能量(优雅)的乐曲(优美)的乐曲(意想不到)的失误(重大)的失误(惊心动魄)的拼搏(震撼人心)的拼搏(暴风雨般)的掌声(热烈)的掌声(歉疚)地微笑(宽容)地微笑(剧烈)地晃动(猛烈)地晃动(拉)胡琴(打)算盘(拧)螺丝(解)纽扣(研)脂粉(蘸)药末(戴)戒指(掏)耳朵(强硬)的曲线(优美)的曲线五、积累句型第3课桃花心木1．关联词：(1)桃花心木是一种特别的树，树形优美，高大而笔直，从前老家林场种了许多，已长成几丈高的一片树林。
黄金分割专项练习30题(有答案)
黄金分割专项练习30题（有答案）1．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）3．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．4．作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比．（1）尺规作图并保留作图痕迹；（2）写出你的作法；（3）证明：腰与底之比为黄金比．5．（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长；（2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP＞PB．6．如图，线段AB的长度为1．（1）线段AB上的点C满足系式AC2=BC•AB，求线段AC的长度；（选做）（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CD•AC，求线段AD的长度；（选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DE•AD，求线段AE的长度；上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设x和l）7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点．请说明理由．8．在△ABC中，AB=AC=2，BC=﹣1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．试说明点D是线段AC的黄金分割点．9．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD 为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点．为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说．11．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：（1）AD=BD=BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．12．已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD•AB，求的值．13．如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．14．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD 的长．15．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？16．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？17．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2，试比较S1与S2的大小．18．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即，BE交DC于点F，已知，求CF的长．19．图1是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．20．（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：；（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？21．在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感．张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）22．已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由．23．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．24．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF=EB．类似的，在AB上折出点M使AM=AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．25．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长；③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．26．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．27．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM 与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．答：CM与AB之间的数量关系是．28．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）29．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB=AC，且∠A=36°．（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（3）设，试求k的值；（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1=A1C1，∠A1=108°，且A1B1=AB，请直接写出的值．30．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF 是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD 各边黄金分割点．黄金分割专项练习30题参考答案:1．（1）证明：∵AB=AC=1，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，∴DA=DB，BD=BC，∴AD=BD=BC，易得△BDC∽△ABC，∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD•AC，∴AD2=CD•AC，∴点D是线段AC的黄金分割点；（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，∵AD2=CD•AC，∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，即AD的长为2．解：（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=99，整理得x2﹣20x+99=0，解得x1=9，x2=11，当x=9时，20﹣x=11；当x=11时，20﹣11=9，而AB＞AD，所以x=11，即AB的长为11cm；（2）不能．理由如下：设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=101，整理得x2﹣20x+101=0，因为△=202﹣4×101=﹣4＜0，所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm2；（3）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得20﹣x=x，解得x=10（﹣1），则20﹣x=10（3﹣），所以矩形的面积=10（﹣1）•10（3﹣）=（400﹣800）cm2．3．解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，∴AD=BD，BC=BD，∴△ABC∽△BDC，∴=，即=，∴AD2=AC•CD．∴点D是线段AC的黄金分割点．（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，∴AD=AC，∵AC=2，∴AD=﹣14．解：（1）腰与底之比为黄金比为黄金比如图，（2）作法：①画线段AB作为三角形底边；②取AB的一半作AB的垂线AC，连接BC，在BC上取CD=CA．③分别以A点和B点为圆心、以BD为半径划弧，交点为E；④分别连接EA、EB，则△ABE即是所求的三角形．（3）证明：设AB=2，则AC=1，BC=，AE=BE=BD=BC﹣CD=﹣1，=．5．解：（1）由于P为线段AB=2的黄金分割点，则AP=2×=﹣1，或AP=2﹣（﹣1）=3﹣；（2）如图，点P是线段AB的一个黄金分割点．6．解：（1）设AC=x，则BC=AB﹣AC=1﹣x，∵AC2=BC•AB，∴x2=1×（1﹣x），整理得x2+x﹣1=0，解得x1=，x2=（舍去），所以线段AC的长度为；（2）设线段AD的长度为x，AC=l，∵AD2=CD•AC，∴x2=l×（l﹣x），∴x1=，x2=（舍去），∴线段AD的长度AC；（3）同理得到线段AE的长度AD；上面各题的结果反映：若线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），则C点为AB的黄金分割点7．解：D是AC的黄金分割点．理由如下：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB==72°．∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠ABC=36°．∴在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠2﹣∠C=72°，∴∠C=∠BDC，∴BC=BD．∵∠A=∠1，∴AD=BC．∵△ABC和△BDC中，∠2=∠A，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，又∵AB=AC，AD=BC=BD，∴，∴AD2=AC•CD，即D是AC的黄金分割点8．证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC，交于AC于D，∴∠DBC=×∠ABC=×72°=36°，∴∠A=∠DBC，又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ABC，∴∵AB=AC，∴=，∵AB=AC=2，BC=﹣1，∴（﹣1）2=2×（2﹣AD），解得AD=，AD：AC=（）：2．∴点D是线段AC的黄金分割点．9．证明：在AB上截取AE=BC，DF=BC，连接EF．∵AE=BC，DF=BC，∴AE=DF=BC=AD，又∵∠ADF=90°，∴四边形AEFD是正方形．BE=，∴，∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形．∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．解：设正方形ABCD的边长为2，在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，由勾股定理知EB===，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=﹣1，HB=AB﹣AH=3﹣；∴AH2=（）2=6﹣2，AB•HB=2×（3﹣）=6﹣2，∴AH2=AB•HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．11．证明：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵∠ADB=108°，∴∠ABD=180°﹣36°﹣108°=36°，∴△ADB是等腰三角形，∵∠BDC=180°﹣∠ADC=180°﹣108°=72°，∴△BDC是等腰三角形，∴AD=BD=BC．（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC=CD：BC，∴BC2=AC•DC，∵BC=AD，∴AD2=AC•DC，∴点D是线段AC的黄金分割点．12．解：∵D在AB上，且AD2=BD•AB，∴点D是AB的黄金分割点而点C是AB的黄金分割点，∴AC=AB=﹣1，AD=AB﹣AB=AB=3﹣或AD=﹣1，AC=3﹣，∴CD=﹣1﹣（3﹣）=2﹣4，∴==或==．13．解：矩形ABFE是黄金矩形．∵AD=BC，DE=AB，∴==﹣1==．∴矩形ABFE是黄金矩形．14．解：∵D为AB的黄金分割点（AD＞BD），∴AD=AB=10﹣10，∵EC+CD=AC+CD=AD，∴EC+CD=（10﹣10）cm．15．解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，根据题意得x：1.70=0.618，即x=1.70×0.618≈1.1（m）．答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段．16．解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD===，∴AM=AF=PF﹣AP=PD﹣AP=﹣1，DM=AD﹣AM=3﹣．故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；（2）点M是AD的黄金分割点．由于=，∴点M是AD的黄金分割点．17．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2=BP×AB，又∵S1=AP2，S2=PB×AB，∴S1=S2．18．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，∴△BCF∽△EAB，∴，即，把AD=，AB=+1代入得，=，解得：CF=2．故答案为：2．19．解：矩形EFDC是黄金矩形，证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF，又∵，∴，即点F是线段AD的黄金分割点．∴，∴，∴矩形CDFE是黄金矩形．20．解：（1）满足≈0.618的矩形是黄金矩形；（2）由=k得，BP=1×k=k，从而AP=1﹣k，由得，BP2=AP×AB，即k2=（1﹣k）×1，解得k=，∵k＞0，∴k=≈0.618；（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以，设△ABC的AB上的高为h，则，∴∴直线CP是△ABC的黄金分割线．（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．21．解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得：=0.618，解得：x≈7.5cm．故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美．22．解：设正方形ABCD的边长为2a，在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB==a，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=（﹣1）a，HB=AB﹣AH=（3﹣）a；∴AH2=（6﹣2）a2，AB•HB=2a×（3﹣）a=（6﹣2）a2，∴AH2=AB•HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．23．证明：设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，又∵B′E=BE=1，∴AB′=AE﹣B′E=﹣1，∴AB″∴点B″是线段AB的黄金分割点．24．证明：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，∵EF=BE=1，∴AF=AE﹣EF=﹣1，∴AM=AF=﹣1，∴AM：AB=（﹣1）：2，∴点M是线段AB的黄金分割点．25．解：（1）∵BD=DC=AC．则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．又∠BOC=108°，∴∠B+∠A=108°．∴x+2x=108，x=36°．∴∠B=36°；（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．∵DB=DC，∠B=36°，∴△DBC是黄金三角形，（或∵CD=CA，∠ACD=180°﹣∠CDA﹣∠A=36°．∴△CDA是黄金三角形．或∵∠ACE=108°，∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，∴∠A=∠ACB．∴BA=BC．∴△BAC是黄金三角形．②△BAC是黄金三角形，∴，∵BC=2，∴AC=﹣1．∵BA=BC=2，BD=AC=﹣1，∴AD=BA﹣BD=2﹣（﹣1）=3﹣，③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．ⅰ）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2．ⅱ）以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点P3．26．证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，∵N为BC的中点，∴NC=BC=a．在Rt△DNC中，．又∵NE=ND，∴CE=NE﹣NC=（﹣1）a．∴．故矩形DCEF为黄金矩形．27．解：（1）（2）CM=AB（4分）28．证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=．在Rt△BCF中，BF==，则A′F=BF﹣BA′=﹣1．设AG=A′G=x，则GD=1﹣x，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2，即，解得x=，即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．29．解：（1）如图所示；（2）△BCD是黄金三角形．证明如下：∵点D在AB的垂直平分线上，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∴∠ABD=∠DBC=36°．又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴△BCD是黄金三角形．（3）设BC=x，AC=y，由（2）知，AD=BD=BC=x．∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△BDC∽△ABC，∴，即，整理，得x2+xy﹣y2=0，解得．因为x、y均为正数，所以．（4）．理由：延长BC到E，使CE=AC，连接AE．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=72°，∴∠ACE=180°﹣72°=108°，∴∠ACE=∠B1A1C1．∵A1B1=AB，∴AC=CE=A1B1=A1C1，∴△ACE≌△B1A1C1，∴AE=B1C1．由（3）知，∴，，∴．30．解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：设△ABC的边AB上的高为h．则，，，∴，．又∵点D为边AB的黄金分割点，∴，∴．故直线CD是△ABC的黄金分割线．（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴，即，故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．（3）∵DF∥CE，∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，∴S△DFC=S△DFE，∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．又∵，∴．因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．（9分）第21 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分割黄金智力测试题(3篇)
第1篇一、选择题1. 下列关于黄金分割的描述，正确的是：A. 黄金分割是指将一条线段分为两部分，其中较大部分与整体的比例等于较小部分与较大部分的比例。
B. 黄金分割是指将一条线段分为两部分，其中较大部分与整体的比例等于较小部分与较大部分的比例，且比例为1：1。
C. 黄金分割是指将一条线段分为两部分，其中较大部分与整体的比例等于较小部分与较大部分的比例，且比例为2：1。
D. 黄金分割是指将一条线段分为两部分，其中较大部分与整体的比例等于较小部分与较大部分的比例，且比例为3：2。
2. 黄金分割的比值约为：A. 1.618B. 2.618C. 0.618D. 1.4143. 黄金分割在以下哪个领域有广泛的应用？A. 数学B. 物理C. 建筑D. 以上都是4. 下列哪个不是黄金分割的应用实例？A. 斐波那契数列B. 古希腊建筑C. 印度教神像D. 荷兰风车5. 黄金分割在音乐中的运用体现在：A. 旋律B. 和弦C. 节奏D. 以上都是6. 黄金分割在艺术创作中的运用体现在：A. 形状B. 色彩C. 线条D. 以上都是7. 下列哪个不是黄金分割的特点？A. 比例关系B. 美学价值C. 经济效益D. 生物学意义8. 黄金分割在建筑设计中的运用体现在：A. 室内布局B. 外观造型C. 结构设计D. 以上都是9. 黄金分割在植物生长中的运用体现在：A. 叶片排列B. 花朵形态C. 果实分布D. 以上都是10. 下列哪个不是黄金分割的应用领域？A. 设计B. 科学研究C. 农业种植D. 医学治疗二、填空题1. 黄金分割的比值是__________。
2. 黄金分割在数学中被称为__________。
3. 黄金分割在自然界中普遍存在，如__________、__________等。
4. 黄金分割在艺术创作中的应用实例有__________、__________等。
5. 黄金分割在建筑设计中的应用实例有__________、__________等。
黄金分割：习题精选
习题精选
一
1．若点C是线段AB的黄金分割点（），则．
2．根据你的生活体验，你认为舞台上主持人报幕时站在舞台的何处，会显得更加自然大方？
3．量一量你家中电视机屏幕的长和宽，计算一下它的长与宽的比．
4．若是线段AB上的两个黄金分割点，且，则．参考答案
1．．
2．答案不惟一．有人认为主持人站在舞台前沿的黄金分割点处会显得自然大方．
3．略．
4．．
二
1．如图，等腰三角形ABC中，顶角，底角平分线BD交AC于D，得D是线段AC的黄金分割点，若 cm，则．
2．若点C是线段AB的黄金分割点（），则AB与AC的比值是__________，BC与AC的比值是_________．
参考答案
1．6.18cm 2．1：0.618；0.372：0.618
三
同学们，你们一定对“黄金分割”很感兴趣吧！其实，在我们的生活中许多地方都体现了黄金分割．如：建筑师们常常把黄金比作为门窗的比例；主持人在报幕时往往不会站在舞台正中，而是站在舞台的黄金分割点上等等．现在就请同学们到生活中去找一找，看看哪些地方还用到了黄金分割．
参考答案
略。
黄金分割同步练习及答案 (10)
黄金分割同步练习（典型题汇总）1．点C是线段AB上的一个黄金分割点，且AC>BC，若AB＝5cm，则AC＝_____，BC=____.2．若点C是线段AB上一点，AB＝1，AC＝215-，则AC：BC＝______.3．如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则下列结论：①AB2＝AP·PB，②AP2＝PB·AB，③BP2＝AP·AB，④AP：AB＝PB：AP，其正确的是______（填序号）．4．据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37o C）的黄金比值时,人体感到最舒适．这个气温约为_______ o C (精确到1 o C)．5、已知点M将线段AB黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是( )A.AM∶BM=AB∶AMB.AM=215-AB C.BM=215-AB D.AM≈0.618AB6、若点C在线段AB上，且AB＝1．AC＝215-．请说明点C是否是线段AB的黄金分割点．7、如果一个矩形ABCD(AB＜BC)中，215-=BCAB≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感.在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE(如图1)，请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.CBA 参考答案1、cm cm 25515,2555--． 2、2:)51(+． 3、②④4、23 o C ．5、C ．6、因为BCAC =215-，而21542524)15)(53(15532152151-=-=+-=--=---=ACBC ，AC BC AB AC =，故点C 是线段AB 的黄金分割点．7、矩形ABFE 是黄金矩形 由于BCAB =215-，设AB =(5－1)k ，BC =2k ，所以FC =CD =AB ，BF =BC －FC =BC －AB =2k －(5－1)k =(3－5)k ， 所以215)15()53(-=--=kk AB BF ，所以矩形ABFE 是黄金矩形.黄金分割同步练习（典型题汇总）一、选择题:1.如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BCAB AC=,那么下列说法错误的是( ) A.线段AB 被点C 黄金分割; B.点C 叫做线段AB 的黄金分割点C.AB 与AC 的比叫做黄金比;D.AC 与AB 的比叫做黄金比2.如图的五角星中,AC AB 与BCAC 的关系是( ) A.相等; B.AC AB >BC AC ; C.AC AB <BCAC; D.不能确定3.一条线段的黄金分割点有( )CBAC BA A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 4.黄金分割比是( )D.0.618 5.如图,点C 是AB 的黄金分割点,那么AC AB 与ACBC的值分别是( ) A.,B.,; C.,; D.12,126.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=2,则AC= ( )11 二、填空题:1.点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果_________,那么称线段AB 被点C•黄金分割,点C 叫做线段AB 的________,AC 与AB 的比叫做_________.2.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=1,则AC=_______,BC=______.3.已知点C 是AB 的黄金分割点,即AC AB =12,那么ACCB=________.4.如图,点C 是AB 的黄金分割点,AB=4,则AC 2=________.5.宽与长的比等于________的矩形叫做黄金矩形.6.已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________. 三、计算题:1.已知线段AB 长6厘米,点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,求AP 和BP 的长.2.仿照课本上“做一做”的方法,画出线段AB 的黄金分割点.3.请你在实际生活中搜集一个与黄金分割有关的资料,并与同伴相互交流. 四、已知一个等腰三角形如果腰与底边的比是黄金比,•那么这样的等腰三角形称为黄金三角形.请你设法作出一个黄金三角形.五、已知线段AB=1,C 为AB 的黄金分割点,且AC>BC,求AC-BC 的值.六、如图的五角星中,AD=BC,且C 、D 两点都是AB 的黄金分割点,AB=1,求CD 的长.D CBA七、已知C 、D 是线段AB 上的两点,且不难证明当AB=1时,C 、D 是线段AB 的黄金分割点,试探究当AB 任意长时,C 、D 是否是线段AB 的黄金分割点?为什么?答案:一、1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 6.C二、1.AC BCAB AC=;黄金分割点;黄金比 2. 12;32-黄金比三、1.因为点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,所以AP PB AB AP==12,AP=12×AB=12×2.(1)过点B 作BD ⊥AB 且BD=12AB,连接AD (2)以D 为圆心BD 为半径作圆弧交AD 于E(3)以A 为圆心AE 为半径作圆弧交AB 于C,则C 为AB 的黄金分割点 3.查阅资料四、先做出线段AB,及其黄金分割点C(AC>BC)分别以A 、B 为圆心,AC 为半径作圆弧,交点为P,则△PAB 就是黄金三角形五、根据C 为AB 的黄金分割点,AC>BC 得AC AB,因为AB=1,所以所以AC-BC=12-32-六、根据C 、D 都是AB 的黄金分割点得ACAB =12,BD AB=12因为AB=1,所以AC=12,BD=12,所以因此七、C 、D 是线段AB 的黄金分割点.。
黄金考试题及答案三年级
黄金考试题及答案三年级一、选择题（每题2分，共20分）1. 黄金分割比例是多少？A. 1:1B. 1:1.618C. 1:2D. 1:3答案：B2. 黄金分割在艺术和建筑中的应用是什么？A. 增加对称性B. 提供平衡感C. 增加复杂性D. 减少美感答案：B3. 黄金分割比例的发现者是谁？A. 毕达哥拉斯B. 欧几里得C. 达芬奇D. 斐波那契答案：A4. 黄金分割比例在自然界中的体现是什么？A. 树叶的排列B. 动物的奔跑C. 植物的生长D. 所有以上选项答案：D5. 黄金分割比例在数学中的意义是什么？A. 一个简单的比例B. 一个无理数C. 一个有理数D. 一个整数答案：B6. 黄金分割比例在几何学中如何表示？A. 一个角度B. 一个线段C. 一个圆D. 一个三角形答案：B7. 黄金分割比例在音乐中的应用是什么？A. 节奏的控制B. 音高的调整C. 和声的构建D. 所有以上选项答案：D8. 黄金分割比例在摄影中的应用是什么？A. 构图的平衡B. 色彩的对比C. 光线的运用D. 所有以上选项答案：A9. 黄金分割比例在设计中的应用是什么？A. 色彩的搭配B. 形状的创造C. 空间的布局D. 所有以上选项答案：D10. 黄金分割比例在经济学中的应用是什么？A. 投资的回报率B. 市场的供需关系C. 价格的变动D. 所有以上选项答案：D二、填空题（每题2分，共20分）11. 黄金分割比例的数值约为_________。
答案：1.61812. 黄金分割比例的倒数是_________。
答案：0.61813. 黄金分割比例的平方是_________。
答案：2.61814. 黄金分割比例的平方根是_________。
答案：1.27215. 黄金分割比例与黄金矩形的关系是_________。
答案：黄金矩形的长宽比为黄金分割比例16. 黄金分割比例与斐波那契数列的关系是_________。
答案：斐波那契数列中相邻两项的比值趋近于黄金分割比例17. 黄金分割比例与五角星的关系是_________。
黄金分割专题
期末复习日期： 班级： 姓名： 一、黄金分割1．点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞BP ），则BPAP= ． 2．如图，点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >CB , 则下列结论正确的是（ ）A ．BC AB AC ⋅=2； B ．AC AB BC ⋅=2； C ．AC BC BC AB ::=； D ．BC AB BC AC ::=；3．已知点P 是线段AB 上的一个黄金分割点，且cm AB 10=，BP AP >，那么=AP ________．4． 已知点D 是线段AB 的黄金分割点，且线段AD 的长为2厘米，则较短线段BD 的长 是 厘米．5．舞台的形状为矩形，宽度AB 为12米，如果主持人站立的位置是宽度AB 的黄金分割点，那么主持人从台侧点A 沿AB 走到主持的位置至少需走 米．6．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形上看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边长等于 厘米．7．已知线段cm a 4=，cm c 5=，若线段c 是线段a 、b 的比例中项，则b ＝ cm ；二、重心1．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC =12，BC =9．则它的重心G 到C 点的距离是 ．则它的重心G 到斜边AB 的距离是 ．2．已知△ABC 的重心G 到BC 边上中点D 的距离为5，那么中线AD 长为 ；3．等腰直角三角形的腰长为6，该三角形的重心到斜边的距离为 ；4．在△ABC 中,点G 为重心,若BC 边上的高为6,则点G 到BC 边的 距离为 ；5．两个等腰直角三角形ACB 和DCE 的位置如图4所示， 点E C A 、、和点D C B 、、分别在一直线上，︒=∠90ACB ，GCABDE H （图第2题A BC24=AE ，DE AB 3=，点H G 、分别是ACB ∆、 DCE ∆的重心，联结GH ，那么=GH ．二次函数 图表分析题1．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图象时．列了如下表格：根据表格上的信息回答问题：该二次函数2y ax bx c =++在x =3时，y = ； 2．九年级数学课本上，用“描点法”画二次函数2y a x b x c =++的图像时，列出了如下的表格：那么该二次函数在x = 5时，y = ．3．已知c bx ax y ++=2（其中c b a 、、为常数，且0≠a ），小明在用描点法 画它的图像时，列出如下表格.根据该表格，下列判断中不．正确的是（ ）A ．抛物线的开口向下；B ．抛物线的对称轴是直线1=x ；C ．当3=x 时2-=y ；D ．抛物线对称轴的左侧部分是下降的；4．根据下表中关于二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数的图像与x 轴（ ）A ．无交点；B ．只有一个交点；C ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧；D ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧．。
《黄金分割》专题练习
For personal use only in study and research; not for commercial use《黄金分割》专题练习一、选择题1．已知C 是线段AB 的一个黄金分割点，则AC ∶AB 为（ ）A ．215-B ．253-C ．215+D ．215-或253-A ．55B ．21C ．25 D 3．把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（ ）A ．53-B ．15-C ．51+D ．3+4．美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美 感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割。
在人体躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是 理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近0.618，就越给别人一种美的感觉。
如果某女士身高为1.60m ， 躯干与身高的比为0.60，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为（ ） A ．2.5cm B ．5.1cm C ．7.5cm D ．8.2cm5．如图，在正五边形ABCDE 中，对角线AD 、AC 与EB 分别相交于点M 、N ．下列命题：①四边形EDCN 是菱形；②四边形MNCD 是等腰梯形；③△AEN 与△EDM 全等；④△AEM 与△CBN 相似；⑤点M 是线段AD 、BE 、NE 的黄金分割点，其中假命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个二、填空题1．C 是AB 的黄金分割点，则=BCAC 。
2．P 为线段AB ＝10cm 的黄金分割点，则AP ＝ cm （保留两个有效数字）。
3．当人的肚脐到脚底的距离与身高的比等于黄金分割比0.618时，身材是最完美的。
一位身高为165cm ，肚脐到 头顶高度为65cm 的女性，应穿鞋跟为 cm 的高跟鞋才能使身材最完美（精确到1cm ）。
4．如图，节目主持人现站在舞台AB 的一端A 点，在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果， 若舞台AB 长20米，主持人要想站在舞台的黄金分割点处，她应走到距A 点至少 米处，如果向 B 点再走 米，也处在舞台的黄金分割点处（结果精确到0.1米）5．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边BC 上的黄金分割点，且BE ＞CE ，AE 与BD 相交于点F ．那么BF ：FD 的 值为 。
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黄金分割 习题精选
一、请你填一填
（1）如图，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足
关系式________，即AP 是________与________的比例中项.
（2）黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0.001）.
（3）如果线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a =2 cm,b =4 cm,c =5 cm,则d =_____________cm.
（4）已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC =________.
（5）若d c b a ==3（b +d ≠0），则d b c a ++=________. 二、认真选一选 （1）已知y
x 23
=,那么下列式子成立的是（ ） A.3x =2y
B.xy =6
C.32=y x
D.32=x y （2）把ab =21
cd 写成比例式，不正确的写法是（ ）
A.b d c a 2=
B.b d c a =2
C.b d c a =2
D.d a b c 2=
（3）已知线段x ,y 满足（x +y ）∶（x －y ）=3∶1,那么x ∶y 等于（ ）
A.3∶1
B.2∶3
C.2∶1
D.3∶2
（4）有以下命题:
①如果线段d 是线段a ,b ,c 的第四比例项，则有d
c b a
= ②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项
③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项
④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC =5－1
其中正确的判断有（ ）
A.1个
B.2 个
C.3个
D.4个
5、已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP ＜PB ，则（ ）
A 、P
B AB AP ⋅=2； B 、PB AP AB ⋅=2；
C 、AB AP PB ⋅=2；
D 、2
22AB BP AP =+
4、已知P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB ＝10cm ，则PQ 长为（ ）
A 、)15(5-
B 、)15(5+
C 、)25(10-
D 、)53(5-
三、细心算一算
已知实数a ,b ,c 满足c b a b a c a c b +=+=+,求a c b +的值.
四、好好想一想
以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF =PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图4—2—2.
图4—2—2
（1）求AM 、DM 的长.
（2）求证：AM 2=AD ·DM .
（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？
五、已知
743c b a ==，且0≠⋅⋅c b a ，求c
b a
c b a 432234-+-+的值。
六、已知点C 是线段AB 的黄金分割点AC ＝555-，且AC ＞BC ，求线段AB 与BC 的长。
参考答案
一、（1）AP
PB AB AP = PB AB （2）0.618 （3）10 （4）2
2∶1∶2即1∶2∶2 （5）3 二、（1）D （2）B （3）C （4）C 三、解：设c b
a b a c a c
b +=+=+=k
则b +c =ak ,c +a =bk ,a +b =ck
∴2（a +b +c ）=k （a +b +c ）
当a +b +c ≠0时，∴k =2,∴a c
b +=2
当a +b +c =0时,b =－（b +c ）, a c
b +=－1
四、解：如图（见原题图）
（1）∵正方形ABCD 的边长为2，P 是AB 中点 ∴AB =AD =2，AP =1
在Rt △A PD 中，PD =522=+AD AP ∵PF =PD ,
∴AF =PF －AP =5－1
∵AMEF 是正方形，
∴AM =AF =5－1
DM =AD －AM =2－（5－1）=3－5
（2）由（1）得AM 2=（5－1）2=6－25 AD ·DM =2（3－5）=6－25
∴AM 2=AD ·DM
（3）图中点M 是线段AD 的黄金分割点.。