离散数学基础(洪帆)第二章_关系

二、关系的逆关系（关系的逆运算） 定义
设A和B是两个集合, 是A到B的关系,
={(b,a)|(a,b)∈ }， 则由B到A的关系: 称为关系 的逆关系。 记为
T 注：逆关系 的关系矩阵 M (M )
例2 设A={2,3,4,5,9,25}, 定义A上的关系：
m
注： 这里的加法和乘法都是布尔型的
三、 复合关系的关系矩阵 定理1 设集合A,B,C都是有限集 1是由A到B的关系, 2 是由B到C的关系, 他们的关系矩阵分别为 M 1 、M 2 ， 则复合关系 1 2 的关系矩阵为：
M12 M1 M2
定理2 设有限集A上的关系 的关系矩阵是 M ， n n M (M ) 则复合关系 的关系矩阵为 ：
例2 设A={0,1}, B={2,3}, C={3,4}则： A×B×C={(0,2,3), (0,2,4),(0,3,3),(0,3,4) (1,2,3),(1,2,4),(1,3,3),(1,3,4)} (A×B)×C={((0,2),3),((0,2),4),((0,3),3),((0,3),4), ((1,2),3),((1,2),4),((1,3),3),((1,3),4)} A×(B×C)={(0,(2,3)),(0,(2,4)),(0,(3,3)),(0,(3,4)), (1,(2,3)),(1,(2,4)),(1,(3,3)),(1,(3,4))}.
例1 设A={1,2,3,4}，试判定下列A上的关系的性质。 (1) 1 ={(1,1),(1,2),(2,3),(1,3),(1,4)}; (2) 2 ={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4)}; (3) 3 ={(1,3),(2,1)}; (4) 4 = , 即空关系; (5)5 =A×A, 即全域关系; 解: (1) 反对称的，传递的;
(a, b) (a b) 2 A, a A, b A
求：


三、关系的复合运算 1. 定义 设 1 是一个有A1和A2的关系, 2 是一个由A2到A3的关系, 则 1 和 2 的复合关系是一个 由A1到A3的关系, 用 1 2 表示， 定义为当且仅当存在某个 ak ∈A2, 使得 ai 1ak , ak 2 a j 时, 有ai (1 2 )a j 。 这种从 1 和 2 得到的运算, 称为关系的复合运算。
2）A上的普遍关系与恒等式关系 a) 普遍关系 若关系 R =A2, 则称R为A上的普遍关系 , 记作UA, 即UA={(ai,ak)|ai,ak∈A}。 b) 恒等关系 A上的恒等关系用IA表示 ， 定义为: IA={(ai,ai)|ai∈A}
二、关系的表示方法
1.列举法 2.描述法
3. 关系图
二、 两关系矩阵的乘积
定义
设M1是一个(i,j)通路(即第i行、第j列的元素)为
r 的l×m关系矩阵，
(2) r M2是一个(i,j)通路为 ij 的m×n关系矩阵，
(1) ij
则M1与M2乘积记为M1﹒M2是一个l×n的矩阵，
其(i,j)通路为： rij
(r r )
(1) ik (2) kj k=1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
2.3 关系的复合
一、关系的一般运算：交、并、补、差 例1 设A={4,6,9,10}, 1 和 2 是A上的两个关系：
1 ={(a,b)|(a-b)/2是正整数}， 2 ={(a,b)|(a-b)/3是正整数}
试求：1 2 , 1 2 , 1 , 1 2 , 1 2 ,
关系, 3 是由A3到A4的关系, 则有：
( 1 2 ) 3 1 (2 3 )
注：1)复合关系的运算具有结合律。 2) 当 A1=A2=…=An=An+1=A， 1 2 ... n 时， n 复合关系 12 ...n 可以用 表示。
1 1 2
2
3
4
3
4
图(1)
图(2)
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4. 关系矩阵 定义 设集合A={a1,a2,…,an},B={b1,b2,…,bm} 是由A到B的关系, 则 的关系矩阵 定义为一个n行、m列的矩阵， 记为 M , 且关系矩阵的第i行、第j列的元素 rij
定义如下：
1 若 a i b j rij 0 若 a i 'b j
A1×A2× …×An={(a1,a2,…,an)| ai∈Ai,i=1,2,…,n}
注：若所有Ai都相同， n 则 A1×A2× …×An可表示为 A . 2. 集合A与集合B的笛卡尔积 A×B={(a,b)| a∈A, b∈B}
例1 设A={1,3}, B={1,2,4}，求：A×B， B×A 解： A×B={(1,1),(1,2),(1,4),(3,1),(3,2),(3,4)} B×A={(1,1),(1,3),(2,1),(2,3),(4,1),(4,3)} 显然 A×B≠ B×A, 即笛卡儿积不满足交换律。
(A×B)×C≠ A×(B×C)，因此笛卡儿积不满足结合律。
2.2 关系
一、关系的定义 1.定义 笛卡儿积A1×A2× …×An的任意一个子集 称为A1,A2,…,An上的一个n元关系。 注: 当n=2时, A×B的任一子集 称为由A 到B的一个二元关系。
注：1) 空集是任何集合的子集, 称为 空关系。 2) 若集合A、B的元素分别是n、m nm 则A到 B的关系共有 2
2. 两有序n元组相等 定义 假设(a1,a2,…,an) 和(b1,b2,…,bn) 是两个有序n元组, 则 (a1,a2,…,an)= (b1,b2,…,bn)成立, 当且仅当a1=b1, a2=b2,…, an=bn。 3. 序偶 当n=2时，有序二元组(a,b)称为序偶。
二、笛卡尔积 1.定义 设A1,A2,…,An是任意集合, 所有的有序n元组(a1,a2,…,an) 的集合 称为 A1,A2,…,An的笛卡儿积, 用A1×A2× …×An表示， 其中a1∈A1, a2∈A2,…,an∈An, 即：
n
四、 求复合关系的关系图的方法
n 由 的关系图构造 的关系图的方法：
对于 的图中的每个结点
ai ,确定从
ai 经由长为 n 的路能够到达的结点，
这些结点在 的图中，边必须由 ai
n
指向它们。
2.5 关系的性质与闭包运算
一、 关系的性质 1.定义 设 是集合A上的关系: (1) 若对于所有的 a A , 都有a a , 则称 是自反的。
例1 设集合A={1,2,4,7,8}, B={2,3,5,7}, 定义由A到B的关系: ={(a,b)|(a+b)/5是整数} 试问 由哪些序偶组成？ 并求此关系的定义域和值域。
3. A上的关系 1）定义 由集合A到A自身的关系称为 集合A上的关系。
例2 设A={2,3,4,5,9,25},定义A上的关系R , 对于任意的a,b∈A,当且仅当(a-b)2∈A 时,有a R b, 试问 R由哪些序偶构成？ 并求关系R的定义域和值域。
例2 设有集合A={4,5,8,15}, B={3,4,5,9,11}, C={1,6,8,13}, 1 是A到B的关系, 2 是B到 C的关系, 且分别定义为： 1 ={(a,b)||b-a|=1} 2 ={(b,c)||b-c|=2或|b-c|=4} 试求复合关系 1 2 。
2. 关系复合的性质 定理1 设 是有集合A到B的关系，则有： IA IB 定理2 设 1是由A1到A2的关系, 2 是由A2到A3的
(3) 若对于所有的 a, b A , 若每当有 a b , 就必有 b a ,
(2) 若对于所有的 a A , 都有 a a , 则称 是反自反的。
则称 是对称的。 (4) 若对于所有的 a, b A , 若每当有 a b , b a ,
就必有 a b , 则称 是反对称的。 (5) 若对于所有的 a, b, c A , 若每当有 a b , b c , 就必有a c , 则称 是可传递的。
例3 设A={a,b,c,d}，A上的关系: ={(a,a),(a,b),(b,d),(c,a),(d,c)} 4 试求复合关系 。
2.4 复合关系的关系矩阵和关系图
一、布尔运算 布尔运算只涉及数字0和1, 数字的加法和乘法按照以下方式进行： 0+0=0 0+1=1+0=1+1=1 1· 1=1 1· 0=0· 1=0· 0=0 如：(1· 1)+(0· 1· 1)+(1· 0· 0)+1+0=1
第2章 关系
本章主要内容： 有序n元组（序偶）和笛卡儿积、关系的概念； 关系的表示方法； 关系的复合运算、关系的性质； 等价关系、偏序。
2.1 笛卡儿积
一、有序n元组 1.定义 由n个具有给定次序的个体 a1,a2,…,an 组成的序列， 称为有序n元组，记作(a1,a2,…,an) 。 注：有序n元组不是由n个元素组成的集合。 因为前者明确了元素的排列次序， 而集合没有这个要求。 例如: (a,b,c) ≠(b,a,c) ≠(c,a,b)， 但 {a,b,c}={b,a,c}={c,a,b}。
例4 设集合A=2{0,1}, B=2{0,1,2}-2{0}, ={(a,b)|a-b= } 是一个由A到B的关系, 试列出关系 的定义域和值域，构造出关系矩阵。
解：定义域 D =A, 值域 R =B。
1 0 关系矩阵为： M 1 0
1 0 0 0
1 1 1 1
2. 说明 a) 一个关系可以既不是自反关系 又不是反自反关系. 例如A={1,2,3}上关系: {(1,1),(1,2),(2,3)}。 b) 一个关系既可以是对称的 又可以是反对称的. 例如A={1,2,3}上的关系: {(1,1),(2,2),(3,3)}。
3.定理 设 是集合A上的关系, 则 (1) 是自反的当且仅当 I A 。 。 (2) 是对称的当且仅当 I A。 (2) 是反对称的当且仅当 (5) 是传递的当且仅当 ， 即 M M ,
定义 设A={a1,a2,…,an}, 是A上的关系,
则称有向图G为关系 的关系图。
令有向图G=(V,E), 其中顶点集V=A,边集E按如下规定: 有向边 (ai ,a j ) E (ai , a j )
例3 设集合A={1,2,3,4}, R={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)} S={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4)} 都是 A上的二元关系。 画出关系R与S的关系图。 R和S的关系图分别如下图(1)和图(2)所示：
(2) 自反的, 对称的, 传递的;
(3) 反自反的, 反对称的;
(4) 反自反的, 对称的，反对称的,可传递的; (5) 自反的, 对称 的, 可传递的。
例2 指出下列五种二元关系的性质。 (1) 实数集合上的“小于等于”关系。 自反的, 反对称的,可 传递的。 (2) 集合上的“包含”关系。 自反的, 反对称的,可传递的。 (3) 正整数集合上的“整除|”关系。 自反的, 反对称的, 可传递的。 (4) 平面上直线集合上的“垂直⊥”关系。 反自反的,对称的。 (5) 平面上直线集合上“平行//”关系 。 自反的,对称的,可传递的。
注： 若 是A到B的一个关系， 如果(a,b) ∈ , 则称a与b有 关系 , 记作a b, 如果(a,b) , 则称a与b没有 关系，记作a b。
2.关系的定义域和值域 定义 设 是由A到B的一个关系， 则使得 a b(b∈B)成立的所有元素a∈A的 集合称为关系的定义域，记作 D ; 则使得 a b(a∈A)成立的所有元素b∈B的 集合称为关系的值域，记作 R .