第3章 非稳态导热

解之，得： 2 a 1 2 x, 2sin n x e cos n 0 n 1 n sin n cos n
式中离散值n是下列超越方程的根，称为特征值
tan n
hA d cV 0
hA cV

hA ln 0 cV
e 0

hA exp cV
l=V/A hA h V A hl cV c V A 2 c l 2
将微分方程分离变量并求解得分析解为 ： t t0 1 2 u e u2 du erfc
物体内的温度分布 根据半无限大物体的定义，得出导热微 分方程为： 2 a x2 初始条件为： τ=0 时， ( x,0) t0 t0 0 边界条件为：x=0 时， t t
x0 w 0 w
x= ∞ 时，
x t0 t0 0
t 2t a 2 0 x , 0 x t x,0 t0 0 x t x, 0 x x 0 t x, h t x , t x x
对热量计算公式的说明
热量计算公式适用于物体被冷却时，温差取
热量计算公式适用于物体被加热时，温差取
t0 t t t0
物体内部导热热阻可以忽略时的加热或冷却，有时又称 为牛顿加热或牛顿冷却。
注意：由于用集总参数法求物体的温度分布时，认为物 体内没有温度梯度，温度只随时间而变化，所以不能 用傅立叶定律求热量。
中心点的温度
12
Fo
x cos 1
0, 2 sin 1 e 0 1 sin 1 cos 1
2 1 FO
任意点的温度与中心点温度的比值
x, x, x cos 1 0, m
3.1.2 非稳态导热的特点 整个非稳态导热过程可分为三个阶段： （1）非正规工况阶段：物体中的温度分布呈无规 则状况。 注意：这一阶段中物体中的温度分布受初始温 度分布影响很大。 （2）正规工况阶段：物体中各点的温度均随时间 的变化而变化。此时，物体中初始温度分布的影 响逐渐消失，物体中不同时刻的温度分布主要取 决于边界条件及物性，此时非稳态导热过程进入 了正规状况阶段。 （3）稳态工况阶段：经过很长时间以后，物体内 的温度分布不再随时间的变化而变化，此时可以 认为该导热过程进入到了稳态导热阶段。
Bi
n
, n 1,2,
这里 Bi是以 为特征尺寸的毕渥数， 即
Bi h /
3.2.5 正规状况阶段的温度分布
当傅立叶数大于0.2以后，非稳态导热进入正规工况阶段 ，即物体中所有点的温度均随时间的变化而变化，此时 物体内的温度分布为
x, 2sin 1 e 0 1 sin 1 cos 1
一段时间内物体与外界交换的总热量
hA Q d t0 t hA exp d 0 0 cV
hA t0 t hA exp cV
hA t0 t cV 1 exp cV
3-3 半无限大物体的非稳态导热
半无限大物体的定义 半无限大物体（semi-infinite solid）：以无限大的平面 为界面，在与界面垂直的一个方向上延伸至无穷远的 物体。 3.3.1第一类边界条件下半无限大物体非稳态导热温度场 的分析解 已知半无限大物体初始温度均匀t0，在τ=0 时，x=0 的一侧表面温度突然升高到tw ,并保持不变，试确定物 体内温度随时间的变化和在时间间隔[0, τ] 内的热流 量。
3.2.2集中参数法温度场的分析解
物理模型的建立： 设有一任意形状的固体,其体积为V,表面积为A，并具有 均匀的初始温度to,在初始时刻，将其突然臵于温度恒为 t∞ 的流体中。设to> t∞，即固体被冷却。流体与固体间 的表面传热系数h及固体的物性参数均保持常数。设此问 用集总参数法，试求该物体的温度随时间的变化关系。
解： 根据能量守恒，单位时间物体热力学能的变化量应该 等于物体表面与流体之间的对流换热量，
d dt hA cV hA t tf t tf cV d d
d
hA d cV
0 , 0 t0 tf

0

d
第3章 非稳态导热
主要内容：
3-1对流边界条件下一维瞬态导热的分析解法 3-2 非稳态导热的集总参数分析法 3-3半无限大固体的非稳态导热
3-1 非稳态导热的基本概念
3.1.1 非稳态导热
1.定义： 物体的温度场随时间而变化的导热称为非稳态导热。 2.分类： （1）周期性非稳态导热：是指物体内的温度场 呈周期性变化； （2）瞬态非稳态导热：指物体内的温度呈不断 升高或降低的分布。
3.2.4一维非稳态导热的分析解 1.问题描述
设有一块厚度为 2 的无 限大平壁，初始温度为 。在初始瞬间将它放臵 于温度为 t 的流体中。 设 ，流体与板面间 t t0 的表面传热系数 为常 数。试确定在非稳态导 h 热过程中板内的温度分 布。
t
h

t h
0
解：平壁两边对称受热，板内温度பைடு நூலகம்布必以其中心截面为 对称面。故研究平板的一半即可。 建立坐标系，对于x ≥ 0的半块平板，可以列出下列导热 微分方程及定解条件：
3.1.4第三类边界条件下Bi数对平板温度分布的影响
1.毕渥数的物理意义： 毕喔数=导热热阻/对流换热热阻
Bi
h
Bi
h
1 h
tf tf

当外界换热热阻与固体导热热 阻比较有较大的差异时，其温 度分布不同，毕喔数不同。
5
2.毕渥数Bi对温度分布的影响分析
平壁的导热热阻趋于零，平壁内部各点 (a) Bi 0: 温度在任一时刻都趋于一致，只随时间而变化，变 化的快慢取决于平壁表面的对流换热强度。定向点 在无穷远处。 注意： 工程上只要 Bi0.1， 就可以近似地按这 种情况处理，用集总参数法进行计算。
2.傅里叶数
物理意义：可理解为两个时间间隔相除所得的无量钢 时间。 换热所需要得时间 FoV 2 l / a 边界热扰动扩散到l 2面积上所需要得时间 （1）分子 τ 为从边界上开始发生热扰动的时刻起到所 计算的时刻为止的时间间隔； （2）分母l 2 / 可以视为使边界上发生有限大小的热扰 动穿过一定厚度的固体层扩散到l2 的面积上所需要的时 间。
cV
hA
， c 称为时间常数 。
当＝c时，
即在c时刻，物体的过余温度达到初始过余温度的36.8% 。说明， 时间常数反映物体对周围环境温度变化响应的快慢，时间常数越 小，物体的温度变化越快。
由
c
cV
hA
影响时间常数大小的主要因素是
14
物体的热容量cV和物体表面的对流换热条件hA。
注意：在非稳态导热过程中，这一无量钢时间越大，热扰 动就越深入地传播到物体的内部，因而物体内各点的温度 就越接近周围介质的温度。
13
3.时间常数
由
e 0
c

hA cV
hA exp cV
e1 0.368 36.8% 0
若设
1
2
Fo
x cos 1
令

12
x, 2sin 1 e 0 1 sin 1 cos 1
Fo
x cos 1
平板中不同点的温度值: 任意点的温度
x, 2sin 1 e 0 1 sin 1 cos 1
t
h
t h
0
引入过余温度
t x, t
2 以上四式可改写为： a 0 x , 0 2 x x,0 0 0 x x, 0 x x 0 x, h , x x
1 定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体内部温度均匀一致 的分析方法称为集总参数法。
注意：如果物体的导热系数很大，或几何尺寸很小，或表面 换热系数极低，这时其导热问题都可能属于这一类型的非 稳态导热问题。 2 集中参数法（Bi<0.1）的要求：
① 物体的导热系数相当大 ② 物体的几何尺寸很小； ③ 表面传热系数很小。
V
cV t0 t
t0 t t t 1 V dV V t0 t
1 t t 1 dV 1 V V t0 t 0
平均过余温度的表示

平衡过余温度的计算
2 2sin 1 1 t t 1 F 0 sin 1 dV e V V t0 t 1 sin 1 cos 1 1
(b) Bi∞时，对流换热热阻趋于零，非稳态导热
一开始平壁表面温度就立即变为流体温度，相当于 给定了壁面温度，即给定了第一类边界条件，平壁 内部的温度变化完全取决于平壁的导热热阻。定向 点位于平壁表面上。 当Bi>100时可近似按此处理。
6
3-2 非稳态导热的集总参数分析法
3.2.1 集总参数法的介绍：
3.1.3 非稳态导热过程中热流密度的变化 在非稳态导热过程中通过各个截面的热流密度 是不相等的，而且是随时间的变化而变化的。 在整个非稳态导热过程中，通过无限大平板的 热流量也是不相等的，而且随着时间的推移平 板内的温度变化逐渐减小，热量变化也逐渐减 小。经过无限长时间后，板内各点温度趋于一 致，此时板内的热量变化也趋于零。
3.2.6非稳态导热过程中导热量的计算
从初始时刻到平板与周围介质处于热平衡，这一过程中 所传递的热量为
Q0 cV t0 t
从初始时刻到某一时刻，这一阶段中所能传递的热量 热量之比为
Q Q0
Q c t0 t x, dV
V
c t0 t x, dV
3.2.3 集总参数法的应用条件
分析指出，对于平壁、柱体和球类物体，如果毕渥数满足 下列条件：
BiV h V / A

0.1M
用集总参数法求解，此时，物体中各点过余温度的偏差小 于5%，其中M是与物体几何形状有关的无量纲常数. 对厚为2δ的无限大平板M=1;对半径为R的无限长圆柱 M=1/2 ;对半径为R的球M=1/3 。一般以上面的式子作为 是否允许采用集总参数法的判断条件。
hl a 2 BiV FoV l
9
则：
e Bi 0
V
FoV
exp BiV FoV
注：下角标V表示以 l=V/A为特征长度
3.2.3导热量计算式、傅里叶数和时间常数
1.导热量的计算式 某一时刻物体与外界交换的热流量
cV hA dt cV t0 t d cV hA exp cV