高中数学 第二章 数列 阶段复习课 第2课 数列优质课件 新人教A版必修5
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即 a21－a1－2＝0，解得 a1＝－1 或 a1＝2. (2)因为数列{an}的公差 d＝1，且 S5>a1a9， 所以 5a1＋10>a21＋8a1， 即 a21＋3a1－10<0，解得－5<a1<2.
11
求数列的通项公式 (1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3＋2n，求 an.
(2)数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 a1＝1，an＋1＝13Sn，求 an. 思路探究：(1)已知 Sn 求 an 时，应分 n＝1 与 n≥2 讨论； (2)在已知式中既有 Sn 又有 an 时，应转化为 Sn 或 an 形式求解．
（3） 累加或累乘法,形如 an－an－1＝f（n）（n≥2）的递推式，可用累加 法求通项公式；形如aan－n 1＝f（n）（n≥2）的递推式，可用累乘法求通项公式.
15
[跟踪训练] 2．设数列{an}是首项为 1 的正项数列，且 an＋1－an＋an＋1·an＝0(n∈N*)， 求{an}的通项公式.
8
[规律方法] 在等差数列和等比数列的通项公式 an 与前 n 项和公式 Sn 中，共涉及五个 量：a1，an，n，d 或 q ，Sn，其中 a1 和 d 或 q 为基本量，“知三求二” 是指将已知条件转换成关于 a1，d q ，an，Sn，n 的方程组，利用方程的思 想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差 比 数列的性质会更好，这 样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用.
19
(2)由(1)知 bn＝3·2n－1＝an＋1－2an， 所以a2nn＋－11－2an－n 2＝3. 所以 cn＋1－cn＝3，且 c1＝2a－11＝2， 所以数列{cn}是等差数列，公差为 3，首项为 2.
20
[规律方法] 等差数列、等比数列的判断方法 （1）定义法：an＋1－an＝d（常数）⇔{an}是等差数列；aan＋n 1＝q （q 为常 数，q≠0）⇔{an}是等比数列. （ 2 ） 中 项 公 式 法 ： 2an ＋ 1 ＝ an ＋ an ＋ 2⇔{an} 是 等 差 数 列 ； a2n＋1＝an·an＋2（an≠0）⇔{an}是等比数列. （3）通项公式法：an＝kn＋b（k，b 是常数）⇔{an}是等差数列；an＝c·qn （c，q 为非零常数）⇔{an}是等比数列.
12
[解] (1)当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－1， 当 n＝1 时，a1＝S1＝5 不适合上式． ∴an＝52，n－1n，＝n1≥，2.
Hale Waihona Puke Baidu13
(2)∵Sn＝3an＋1，
①
∴n≥2 时，Sn－1＝3an.
②
①－②得 Sn－Sn－1＝3an＋1－3an，
∴3an＋1＝4an，
9
[跟踪训练] 1．已知等差数列{an}的公差 d＝1，前 n 项和为 Sn. (1)若 1，a1，a3 成等比数列，求 a1； (2)若 S5>a1a9，求 a1 的取值范围.
【导学号：91432240】
10
[解] (1)因为数列{an}的公差 d＝1，且 1，a1，a3 成等比数列，所以 a21＝ 1×(a1＋2)，
am·an＝ ap·aq
成等差数列
成等比数列
4
[体系构建]
5
[题型探究]
等差(比)数列的基本运算 等比数列{an}中，已知 a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若 a3，a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项，试求数列{bn}的通 项公式及前 n 项和 Sn.
(1)设 bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列． (2)设 cn＝2an－n 2，求证：{cn}是等差数列． 思路探究：分别利用等比数列与等差数列的定义进行证明．
18
[证明] (1)an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2 ＝4an＋1－4an. bbn＋n 1＝aan＋n＋2－1－22aan＋n 1＝4an＋1a－n＋41－an－2a2n an＋1＝2aann＋＋11－－24aann＝2. 因为 S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以 a2＝5. 所以 b1＝a2－2a1＝3. 所以数列{bn}是首项为 3，公比为 2 的等比数列．
阶段复习课 第二课 数列
1
[核心速填]
等差、等比数列的性质
项目
等差数列
等比数列
通项公式
an＝a1＋ (n－1)d an＝am＋ (n－m)d 若三个数a，A，b成等差数
an＝ a1qn－1 an＝ amqn－m 若三个数a，G，b成等比数
中项
列，这时A叫做a与b的等差中 列，这时G叫做a与b的等比
【导学号：91432241】
16
[解] ∵an＋1－an＋an＋1·an＝0， ∴an1＋1－a1n＝1.又a11＝1， ∴a1n是首项为 1，公差为 1 的等差数列． 故a1n＝n. ∴an＝1n.
17
等差(比)数列的判定 数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)．
项，且A＝
a＋b 2
中项，且G＝ ± ab
2
前n项和 公式
Sn＝
na1＋an 2＝
na1＋nn2－1d
q≠1时，
Sn＝
a11－qn 1－q
＝
a1－anq 1－q
q＝1时，Sn＝ na1
3
下标性质
性 Sm， 质 S2m－Sm，
S3m－S2m …
m、n、p、q∈N*且 m＋n＝p＋q
am＋an＝ ap＋aq
6
[解] (1)设{an}的公比为 q， 由已知得 16＝2q3， 解得 q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n. (2)由(1)得 a3＝8，a5＝32， 则 b3＝8，b5＝32.
7
设{bn}的公差为 d，则有bb11＋ ＋24dd＝ ＝83， 2， 解得bd1＝＝1－2，16， 所以 bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28. 所以数列{bn}的前 n 项和 Sn＝n－16＋212n－28＝6n2－22n.
∴aan＋n 1＝43，又 a2＝13S1＝13a1＝13. ∴n≥2 时，an＝13·43n－2，不适合 n＝1.
1，n＝1， ∴an＝13·43n－2，n≥2.
14
[规律方法] 数列通项公式的求法 （1）定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定 义法，这种方法适用于已知数列类型的题目. （2）已知 Sn 求 an.若已知数列的前 n 项和 Sn 与 an 的关系，求数列{an}的 通项 an 可用公式 an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2 求解.
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求数列的通项公式 (1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3＋2n，求 an.
(2)数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 a1＝1，an＋1＝13Sn，求 an. 思路探究：(1)已知 Sn 求 an 时，应分 n＝1 与 n≥2 讨论； (2)在已知式中既有 Sn 又有 an 时，应转化为 Sn 或 an 形式求解．
（3） 累加或累乘法,形如 an－an－1＝f（n）（n≥2）的递推式，可用累加 法求通项公式；形如aan－n 1＝f（n）（n≥2）的递推式，可用累乘法求通项公式.
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[跟踪训练] 2．设数列{an}是首项为 1 的正项数列，且 an＋1－an＋an＋1·an＝0(n∈N*)， 求{an}的通项公式.
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[规律方法] 在等差数列和等比数列的通项公式 an 与前 n 项和公式 Sn 中，共涉及五个 量：a1，an，n，d 或 q ，Sn，其中 a1 和 d 或 q 为基本量，“知三求二” 是指将已知条件转换成关于 a1，d q ，an，Sn，n 的方程组，利用方程的思 想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差 比 数列的性质会更好，这 样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用.
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(2)由(1)知 bn＝3·2n－1＝an＋1－2an， 所以a2nn＋－11－2an－n 2＝3. 所以 cn＋1－cn＝3，且 c1＝2a－11＝2， 所以数列{cn}是等差数列，公差为 3，首项为 2.
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[规律方法] 等差数列、等比数列的判断方法 （1）定义法：an＋1－an＝d（常数）⇔{an}是等差数列；aan＋n 1＝q （q 为常 数，q≠0）⇔{an}是等比数列. （ 2 ） 中 项 公 式 法 ： 2an ＋ 1 ＝ an ＋ an ＋ 2⇔{an} 是 等 差 数 列 ； a2n＋1＝an·an＋2（an≠0）⇔{an}是等比数列. （3）通项公式法：an＝kn＋b（k，b 是常数）⇔{an}是等差数列；an＝c·qn （c，q 为非零常数）⇔{an}是等比数列.
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[解] (1)当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－1， 当 n＝1 时，a1＝S1＝5 不适合上式． ∴an＝52，n－1n，＝n1≥，2.
Hale Waihona Puke Baidu13
(2)∵Sn＝3an＋1，
①
∴n≥2 时，Sn－1＝3an.
②
①－②得 Sn－Sn－1＝3an＋1－3an，
∴3an＋1＝4an，
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[跟踪训练] 1．已知等差数列{an}的公差 d＝1，前 n 项和为 Sn. (1)若 1，a1，a3 成等比数列，求 a1； (2)若 S5>a1a9，求 a1 的取值范围.
【导学号：91432240】
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[解] (1)因为数列{an}的公差 d＝1，且 1，a1，a3 成等比数列，所以 a21＝ 1×(a1＋2)，
am·an＝ ap·aq
成等差数列
成等比数列
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[体系构建]
5
[题型探究]
等差(比)数列的基本运算 等比数列{an}中，已知 a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若 a3，a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项，试求数列{bn}的通 项公式及前 n 项和 Sn.
(1)设 bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列． (2)设 cn＝2an－n 2，求证：{cn}是等差数列． 思路探究：分别利用等比数列与等差数列的定义进行证明．
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[证明] (1)an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2 ＝4an＋1－4an. bbn＋n 1＝aan＋n＋2－1－22aan＋n 1＝4an＋1a－n＋41－an－2a2n an＋1＝2aann＋＋11－－24aann＝2. 因为 S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以 a2＝5. 所以 b1＝a2－2a1＝3. 所以数列{bn}是首项为 3，公比为 2 的等比数列．
阶段复习课 第二课 数列
1
[核心速填]
等差、等比数列的性质
项目
等差数列
等比数列
通项公式
an＝a1＋ (n－1)d an＝am＋ (n－m)d 若三个数a，A，b成等差数
an＝ a1qn－1 an＝ amqn－m 若三个数a，G，b成等比数
中项
列，这时A叫做a与b的等差中 列，这时G叫做a与b的等比
【导学号：91432241】
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[解] ∵an＋1－an＋an＋1·an＝0， ∴an1＋1－a1n＝1.又a11＝1， ∴a1n是首项为 1，公差为 1 的等差数列． 故a1n＝n. ∴an＝1n.
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等差(比)数列的判定 数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)．
项，且A＝
a＋b 2
中项，且G＝ ± ab
2
前n项和 公式
Sn＝
na1＋an 2＝
na1＋nn2－1d
q≠1时，
Sn＝
a11－qn 1－q
＝
a1－anq 1－q
q＝1时，Sn＝ na1
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下标性质
性 Sm， 质 S2m－Sm，
S3m－S2m …
m、n、p、q∈N*且 m＋n＝p＋q
am＋an＝ ap＋aq
6
[解] (1)设{an}的公比为 q， 由已知得 16＝2q3， 解得 q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n. (2)由(1)得 a3＝8，a5＝32， 则 b3＝8，b5＝32.
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设{bn}的公差为 d，则有bb11＋ ＋24dd＝ ＝83， 2， 解得bd1＝＝1－2，16， 所以 bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28. 所以数列{bn}的前 n 项和 Sn＝n－16＋212n－28＝6n2－22n.
∴aan＋n 1＝43，又 a2＝13S1＝13a1＝13. ∴n≥2 时，an＝13·43n－2，不适合 n＝1.
1，n＝1， ∴an＝13·43n－2，n≥2.
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[规律方法] 数列通项公式的求法 （1）定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定 义法，这种方法适用于已知数列类型的题目. （2）已知 Sn 求 an.若已知数列的前 n 项和 Sn 与 an 的关系，求数列{an}的 通项 an 可用公式 an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2 求解.