偏微分方程讲义

小。对Verhulst 模型中方程分离变量，积分得到 从而 ln 若初值 / ，则解 。则在 时，恒 。 因此，
const；若初值 有解 在
/ ， 但是 ∞
时，即在解存在的范围内恒成立 0 从而 ln 故得 exp 解出 ， exp 因此，当 ∞时， 大小，生
成陆地，每人不足一平方米的活动范围． Malthus 模型假设人口净增长率 为常数，从而人口方程是线性 常微分方程，只在群体总数不太大时才合理。在总数增大时，生物群 体的各成员之间由于有限的生存空间、 有限的自然资源及食物等原因， 就要进行生存竞争．因此，总数大了以后，不仅有一个自然的线性增 长项 ，还有一个竞争项来部分地抵消这个增长，人口增长的指 ，相当于还存在—个与 成
，人口的增长量为
设出生率为 ，死亡率为 ；假定出生数和死亡数与人口和时间 间隔成正比，则在时段 ， 。人口净增长率 人口出生数为 ，死亡数为
– ，则得到人口满足的常微分方程，
设已知时刻
时人口总数为 ，
，有初始条件
因此，得到支配人口增长的 Cauchy 问题 ， 称为Malthus 模型。由高等数学知道，解为 exp
第 1 讲 绪论：科学计算的核心
教学目的： 微分方程与数学模型紧密联系，求解微分方程是科学计算的核 心内容；建立常微分方程与偏微分方程的密切联系，建立课程的模式 偏微分方程和基本概念。 主要内容： §1 生物群体演化模型 ............................................................................. 3 1.1 Malthus 模型 ................................................................................ 3 1.2 Verhulst 模型 ................................................................................ 5 1.3 偏微分方程模型 ......................................................................... 8 §2 典型偏微分方程 ............................................................................. 10 2.1 线性偏微分方程 ........................................................................ 12 2.2 非线性方程 ................................................................................ 14 2.3 模式方程：对流‐扩散方程 ....................................................... 15 §3 偏微分方程的解及其确定 ............................................................. 19 3.1 通解、一般解和特解 ................................................................ 19 3.2 线性偏微分方程的特征理论 .................................................... 23 3.3 线性迭加原理 ............................................................................ 30 习题 1 ..................................................................................................... 31 附录 1：量阶符号和微分算子 ............................................................. 34 附录 2：计算机代数系统 ..................................................................... 37
§1 生物群体演化模型
对生物群体（包括人口）的发展建立用偏微分方程描述的数学模 型，假定生物群体总数很多，可用一个连续模型来描述。 1.1 Malthus 模型 假设在时刻 时人口总数为
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，是 的一个连续可微函数，
不是整数的值也是可以容许的．在时段 ， 应等于此时段中出生数减去死亡数。 展开 ，
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，
忽略二阶小量
，得到
， 应满足方程 0
实际上，还必须考虑死亡的影响．年龄在 ， ，
人口在时段 ， ，称为
中的死亡数可自然地假设与此年龄段中人口数
成正比，并与时间区间长度 成正比，其比例系数记为 死亡率．假设社会是稳定的，与年龄有关的死亡的 无关． 在时刻 ， 应等于时刻 ，年龄在 减去时段 ， ，年龄在 ，年龄在 ， ， 中的人数 中的人数 ， ，
/ 。可以看到，无论初值
物种群的总数都在足够多次繁衍后， 趋于有生命常数决定的恒定饱和 值 A。
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当0
的情形， 是具有实际意义的， / 2 因此，在 0。由于 2
0， 由于
单调上升趋于 ，从而
的增长的过程中，当
/2 ， 饱 和 值 的 一 半 时 ， 成 立 0飞而当 0。因此， /2 时 ， 成 立 的形状为如
应用偏微分方程与科学计算 讲义（1）
Lecture Notes on Applied Partial Differential Equations and Scientific Computing No. 1
马
石
庄
2010．09．06．
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数．假设社会中男女各半，且男女按年龄的密度分布也基本相等，再 假定适龄男女都能及时婚配，从而排除对影响生育率的不必要干
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扰．设生育率为 年龄在 ， ，
与年龄 有关，即 的人口在时段
中 出 生 婴 儿 数 为 ， 。从而在时段 ，
中出生的婴儿总数为：
∞
， 其中的积分实际上也是在有限区间上的积分． ， 婴儿总数应等于在年龄区间 0， 处的边界条件为
可设为与时间
， 中的死亡数
， ，类似地得到 ， 主部为常系数的一阶偏微分方程。 人口密度 分布为 ， 还应满足的一定的定解条件．设初始人口密度
，则有 0 时： ，0
作为初始条件。 在推导方程时只考虑了死亡，没有考虑出生，出生婴儿数应该作 为 0 时的边界条件．现计算时段 ， 中出生的婴儿总
即人口总数按指数增长，此即 Malthus 人口模型。容易地证明人口每 34．6 年增加一倍。 现在来看这个模型本身的正确性．如果承认这个模型，式中 可以容易地根据人口统计数字来确定。 及
就是某一年统计的人口总
数， 就是每年人口的净增长率．可以看到，这个规律在一个不太长 的时间中使用是相当精确的，但是在一个相当长的时间中，差距就非 常大．例如，根据统计数字，取 1961 年为 ，
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的个体同等对待，就可以得到一个用常微分方程组来描述的模型．更 恰当的方法，是考虑年龄的连续变化的影响，这就引导到用偏微分方 程描述的模型。 1.3 Foerster 模型 考虑一个稳定社会中的人口发展过程。 设人口数量不仅和时间 有关，还和年龄 有关；人口数量足够大，作为一个连续模型，以函 数 ， 来描述人口在任意固定时刻 按年龄坐标 的分布密度， 中的人口数 ， ． 因此在时刻 的
图的 S 形曲线．这说明：在人口总数达 到饱和值的一半之前， 是加速增长时期； 过底为减速增长时期． 为了利用这个模型来预测地球上的人口， 必须确定 和 两个生命 常数．据一些生态学家估计，可取 0.029．由前面 1961 年的统计
数字，人口净增长率为 0。02，代入Verhulst 模型，可以估计出 2.941 故人口的饱和值接近 100 亿。 上述两个模型都是常微分方程的模型， 根本缺陷是将群体中的每 一个个体都同等对待，原则上只能适用于低等动物；对人群来说，必 须考虑不同个体间的差别，特则是年龄因素的影响．人口的数量不仅 和时间有关，还应和年龄有关，人口统计也要统计不同年龄的人数， 同时出生率、死亡率等都应和年龄有关．不考虑年龄因素，就不能正 确地把握人口的发展动态。若将人口分若干年龄组，在把每个年龄组
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偏微分方程是纯粹数学和应用数学的核心， 通常出现在因变量作 为空间和时间为自变量的连续变化的函数的模型中。 偏微分方程最引 人注目的特点是普适性，可以从物理科学、工程科学、生命科学甚至 金融科学领域中找每一个数学概念的来源。 这种应用性随着现代科学 计算技术的发展而日益而增长。 适定性是现代偏微分方程分析的主要目的之一。粗略地说，一个 偏微分方程的定解问题是适定的，如果它有解，唯一，且对输入数据 的微小改变的响应也是很小的。 前两个准则是一个有意义的物理模型 所要求的，第三个准则是实验观察的基础。考虑适定性时还要主义实 际问题通常得不到显示解，因此数值解在应用中就尤其重要。偏微分 方程的适定性与科学计算的中心问题紧密相关： 对一个给定一定精度 的问题，数值解的精度有多少。不但如此，必须准备同时面对适定和 不适定的问题。
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＝30．6 亿，而
1951‐1961 十年中每年人口净增长率 3.06 10
0.02，就有 1961
exp 0.02
将这个公式用于倒推计算在 1700 一 1961 年间的人口，和实际情况 是符合得较好的，在这段时间内地球上入口约每 35 年增加一倍． 1.2 Verhulst 模型 Malthus 模型是不完善的，不加限制地使用，就会出现很不合理 的情况：到 2510 年，人门达2.0 10 亿，即如果地球上海洋全部变
∞
时段出生的 ， 于是得在 0
的人数
0，
0：
0，
，
因此，人口问题的偏微分方程模型构成定解问题： ，0
∞
，
0，
由于在边界条件中包含了未知函数的积分， 是一个非局部的定解问题．
§2 典型偏微分方程 偏微分方程（PDE）包含且确定多元自变量的函数，而包含单一 自变量函数的微分方程称为常微分方程（ODE） 。因此，常微分方程 实际上是偏微分方程的一种特殊情况。
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设 ， 表示自变量，对于物理科学而言，分别表示空间变量和时 间变量；设 ， 是依赖于 ， 的函数，采用记号 ， ， 具有型如 ， ， ， ， ， ， ， ， 0 ， ，
即在时刻 ， 年龄在 ， 人口总数为
∞
， 积分上限其实只须取为人的最大年龄 下面推导 。
，
， 所满足的偏微分方程．如
果不考虑死亡，那末对任何人来说，时间的增量 就等于年龄的增加。因此，在时段 ， 年龄在 ， ] 中的人数 ， ， ， 应 中的
等于时刻 ，年龄在 人数 ， ，从而 ，
数规律不再成立。此项可改为 正比例的死亡率 Malthus 模型修改为 ．
Verhulst Logistic 模型。 其中， 和 称为生命常数， 通常，
此，当
。 因
不太大的时候，可以忽略竞争项，简化为 Malthus 模型；
但是，当 增大时，竞争项就不能忽略。国家越发达，生命常数 就越
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