集合的基本运算知识点总结

集合的基本运算知识点总结

本节知识点:

（1）并集. （2）交集. （3）全集与补集. （4）德·摩根定律.

知识点一 并集

自然语言 一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为集合A

与集合B 的并集,记作,读作“A 并B ”.

B A 符号语言 .

{}B x A x x B A ∈∈=或, 图形语言（用Venn 图表示并集） 图中阴影部分表示两个集合的并集.

（1）A 与B 有公共元素,相互不包含

（2）A 与B 没有公共部分

（3） （4）

B A ≠⊂A B ≠⊂

（5）

B A =对并集的理解

（1）求两个集合的并集是集合的一种运算,结果仍是一个集合,它是由属于集合A 或集合B 的元素组成的.

（2）并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可.符号语言“”分为三种情况:

B x A x ∈∈或,①,但; ②,但; ③,且.

A x ∈

B x ∉A x ∉B x ∈A x ∈B x ∈（3）根据集合元素的互异性,在求两个集合的并集时,两个集合中的公共元素在并集中只能出现一次.

并集的性质

性质

说明

A B B A =并集运算满足交换律

()()C B A C B A =并集运算满足结合律

A A =∅ 任何集合与空集的并集等于这个集合本身

A A A = 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身

若,则

B B A = B A ⊆并集运算与子集关系的转化

,

()B A A ⊆()B A B ⊆任何集合都是该集合与另一个集合的并集

求并集的方法

（1）求两个有限集的并集 按照并集的定义进行计算,但要特别注意集合元素的互异性.

（2）求两个无限集的并集 借助于数轴进行计算.注意两个集合的并集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的全部范围.

知识点二 交集

自然语言 一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为集合A

与集合B 的交集,记作,读作“A 交B ”.

B A 符号语言 .

{}B x A x x B A ∈∈=且, 图形语言（用Venn 图表示交集） 图中阴影部分表示两个集合的并集.

如下页图所示.

A

A B

B A B

（1）A 与B 有部分公共元素

（2）A 与B 无公共元素, ∅=B A

（3）若,则（4）若,则（5）

A B ≠⊂B B A = B A ≠⊂A B A = B A B A == 对交集的理解

（1）求两个集合的交集是集合的一种运算,结果仍是一个集合,它是由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,及两个集合的公共元素所组成的集合. （2）交集概念中的“所有”二字不能省略,否则会漏掉一些元素,一定要将两个集合中的相同元素（公共元素）全部找出来.

（3）当集合A 与集合B 没有公共元素时,不能说集合A 与集合B 没有交集,而是交集为空集,.

交集的性质

性质

说明

A B B A =交集运算满足交换律 ∅=∅ A 任何集合与空集的交集都是空集

A A A = 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身

()()C B A C B A =交集运算满足结合律

()()()C B C A C B A =

()()()C B C A C B A =满足分配律

若,则

A B A = B A ⊆交集运算与子集关系的转化

()()B B A A B A ⊆⊆ ,两个集合的交集是其中任何一个集合的子集

求交集的方法

（1）求两个有限集的交集 按照交集的定义进行计算,但要特别注意一定要找出两个集合中的所有公共元素.

（2）求两个无限集的交集 借助于数轴进行计算.两个集合的解集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的公共范围.

知识点三 全集与补集

全集 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这

个集合为全集,记作U .

补集 对于一个集合A ,由全集U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为集合A

相对于全集U 的补集,简称集合A 的补集,记作C U A ,即

C U A .

{}A x U x x ∉∈=且,用Venn 图表示为:

对补集的理解

（1）补集是相对于全集而言的,求一个集合的补集,结果因全集的不同而不同.所以求补集前,要先明确全集.

（2）补集既是集合间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算. （3）符号“C U A ”有三层意思: ① C U A ;

{}A x U x x ∉∈=且,② C U A 是U 的一个子集,及(C U A ); U ⊆③ C U A 表示一个集合.

补集的性质

①(C U A ); ②(C U A ); ③ C U (C U A ); U A = ∅=A A =④ C U U ; ⑤ C U .

∅=U =∅

U

4

3

2

1

B A 知识点四 德·摩根定律

知识点五 重要结论

如图所示,集合A , B 将全集U 分成了四部分,这四部分用集合表示如下: （1）①表示; B A （2）②表示(C U B ); A （3）③表示(C U A ); B （4）④表示(C U A )(C U B ).