安徽省巢湖市2019-2020学年高一数学上学期期末
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)1
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（ ）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（ ）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（ ） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（ ）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（ ）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（ ）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为 ） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（ ） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题 【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题 【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题 【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题 【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。
{高中试卷}安徽省巢湖市高一上学期期末考试数学试题[仅供参考]
![{高中试卷}安徽省巢湖市高一上学期期末考试数学试题[仅供参考]](https://img.taocdn.com/s3/m/6e1cdb2a04a1b0717ed5ddc0.png)
20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：安徽省巢湖市20XX-20XX 学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. sin17π6等于()A. 12B. −12C. √32D. −√32【答案】A 【解析】解：sin17π6=sin(3π−π6)=sin5π6=12．故选：A ．运用诱导公式即可化简求值．本题主要考查了运用诱导公式化简求值，特殊角的三角函数值等基本知识，属于基础题． 2. 已知集合A ={x|x −4<0}，B ={x|y =√x }，则A ∩B =()A. [0,4)B. (0,4)C. (−∞,4)D. (4,+∞)【答案】B【解析】解：集合A ={x|x −4<0}={x|x <4}，B ={x|y =√x }={x|x >0}，则A ∩B ={x|0<x <4}=(0,4)．故选：B ．化简集合A 、B ，根据交集的定义写出A ∩B ．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．3. 下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是()A. f(x)=−1x B. f(x)=3x C. f(x)=x 2+1D. f(x)=sinx【答案】A【解析】解：A.f(x)=−1x 是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，∴该选项正确；B .f(x)=3x 是非奇非偶函数，∴该选项错误；C .f(x)=x 2+1是偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；D .f(x)=sinx 在(0,+∞)上没有单调性，∴该选项错误．故选：A ．容易看出选项A 的函数是奇函数，在(0,+∞)上单调递增，从而A 正确，而选项B 的函数非奇非偶，选项C 的函数不是奇函数，选项D 的函数在(0,+∞)上没有单调性，从而判断B ，C ，D 都错误．考查奇函数、偶函数和非奇非偶函数的定义，反比例函数，正弦函数的单调性，指数函数和二次函数的奇偶性．4. 已知tanα=3，则1+cos 2αsinαcosα+sin α=()A. 38B. 916C. 79D. 1112【答案】D【解析】解：∵tanα=3，∴1+cos 2αsinαcosα+sin 2α=sin 2α+2cos 2αsinαcosα+sin 2α=tan 2α+2tanα+tan 2α=1112．故选：D ．把要求值的式子化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．5. 设a =log 56，b =(13)0.4，c =19，则a ，b ，c 的大小关系是()A. b >c >aB. a >c >bC. a >b >cD. c >b >a【答案】C【解析】解：log 56>log 55=1，(13)0.4<(13)0=1，(13)0.4>(13)2=19；∴a >b >c ．故选：C ．可以得出log 56>1,(13)0.4<1,(13)0.4>19，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．考查指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义． 6. 函数f(x)=2−x +log 3|x|的零点的个数是()A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】A【解析】解：函数f(x)=2−x +log 3|x|的零点个数，即为函数y =x −2的图象和函数y =log 3|x|的图象的交点个数．如图所示：数形结合可得，函数y =x −2的图象和函数y =log 3|x|的图象的交点个数为3，故选：A ．由题意可得，本题即求函数y =x −2的图象和函数y =log 3|x|的图象的交点个数，数形结合可得结论．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．7. 若cos(α+60∘)=−45，30∘<α<120∘，则sinα=()A. 3+4√310 B. 2+√35 C. 1+√35 D. 1+2√310【答案】A【解析】解：cos(α+60∘)=−45，30∘<α<120∘，∴sin(α+60∘)=√1−cos 2(α+60∘)=35，则sinα=sin[(α+60∘)−60∘]=sin(α+60∘)cos60∘−cos(α+60∘)sin60∘=35⋅12+45⋅√32=3+4√310，故选：A ．利用同角三角函数的基本关系求得sin(α+60∘)的值，再利用两角差的正弦公式求得sinα=sin[(α+60∘)−60∘]得值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式的应用，属于基础题．8. 函数f(x)=sin(π3+2x)+cos(π6−2x)的最小正周期为()A. 2πB. πC. π2D. π4【答案】B【解析】解：函数f(x)=sin(π3+2x)+cos(π6−2x)=√32cos2x +12sin2x +√32cos2x +12sin2x =sin2x +√3cos2x =2sin(2x +π3)的最小正周期为2π2=π，故选：B ．利用两角和差的三角公式化简f(x)的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的周期性，属于基础题．9. 已知cos(α−π6)=√3−12cosα+13，则sin2α的值为() A. 34B. √35C. −59D. −35【答案】C【解析】解：∵已知cos(α−π6)=√3−12cosα+13，∴√32cosα+12sinα=√32cosα−12cosα+12，∴sinα+cosα=23，平方可得1+2sinαcosα=49，求得2sinαcosα=sin2α=−59，故选：C ．利用两角差的余弦公式求得sinα+cosα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sin2α的值．本题主要考查两角差的余弦公式，同角三角函数的基恩关系，属于基础题．10. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ −3b ⃗ |=2，|a ⃗ |=2，a ⃗ ⋅(a ⃗ −b ⃗ )=72，则|b ⃗ |的值为() A. √2B. √33C. 12D. 14【答案】B【解析】解：由|a ⃗ −3b ⃗ |=2得√(a ⃗ −3b ⃗ )2=2，得4−6a ⃗ ⋅b ⃗ +|b ⃗ |2=4，由a ⃗ ⋅(a ⃗ −b ⃗ )=72得4−a ⃗ ⋅b ⃗ =72，两式联立解得|b ⃗ |=√33故选：B ．两个条件变形后列方程组可解得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．11. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列区间使函数f(x)单调递减的是()A. [−5π12,π]B. [−3π4,−π12]C. [−π4,π6]D. [5π12,11π12]【答案】A【解析】解：函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则：T 4=π6+π12=π4，所以：T =π，则：ω=2ππ=2，当x =π6时，f(π6)=2sin(2×π6+φ)=0，所以：π3+φ=kπ(k ∈Z)，解得：φ=kπ−π3(k ∈Z)，由于：|φ|<π2，当k =0时，φ=−π3，所以函数f(x)=2sin(2x −π3)，令：π2+2kπ≤2x −π3≤2kπ+3π2(k ∈Z)，解得：5π12+kπ≤x ≤kπ+11π12(k ∈Z)，当k =0时，函数的单调递减区间为[5π12,11π12].故选：A ．首先利用三角函数的图象求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质求出函数的单调区间．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．12. 已知函数f(x)=2x ，g(x)=−x 2+4x −2.若存在a ∈R ，b ∈R ，使得f(a)=g(b)成立，则g(b)的取值范围()A. (0,2]B. [0,2)C. (1,2]D. (1,2)【答案】A【解析】解：f(x)=2x >0，g(x)=−x 2+4x −2=−(x −2)2+2≤2，若若存在a ∈R ，b ∈R ，使得f(a)=g(b)成立，设f(a)=g(b)=m ，则0<m ≤2，则g(b)的范围是(0,2]，故选：A ．求出f(x)和g(x)的取值范围，设f(a)=g(b)=m ，则m 的取值范围即可g(b)的取值范围．本题主要考查函数值值域的求解，求出f(x)和g(x)的取值范围是解决本题的关键.本题表面看很复杂，其实试题难度不大． 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a 13=916，则log 34a =______． 【答案】6【解析】解：∵a 13=916=(34)2；∴a =(34)6；∴log 34a =log 34(34)6=6．故答案为：6．根据a 13=916即可得出a =(34)6，然后进行对数的运算即可．考查分数指数幂和对数的运算．14. 已知向量a ⃗ =(2,−1)，b ⃗ =(−3,2)，且表示向量a ⃗ +3b ⃗ ，−2b ⃗ −2a ⃗ ，c⃗ 的有向线段首尾相接构成三角形，则向量c ⃗ 的坐标为______． 【答案】(5,−3)【解析】解：a ⃗ +3b ⃗ =(−7,5),−2b ⃗ −2a ⃗ =(2,−2)；设c⃗ =(x,y)，根据题意，(−7,5)+(2,−2)+(x,y)=(0,0)；∴{y =−3x=5；∴c ⃗ =(5,−3)．故答案为：(5,−3)．可求出a ⃗ +3b ⃗ =(−7,5),−2b ⃗ −2a ⃗ =(2,−2)，并设c ⃗ =(x,y)，根据题意即可得出(−7,5)+(2,−2)+(x,y)=(0,0)，解出x ，y 即可得出c ⃗ 的坐标．考查向量坐标的加法、减法和数乘运算，向量的几何意义：用有向线段表示向量．15. 已知函数f(x)=x 2−2x +3，若函数y =f(x −a)在(2,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是______． 【答案】(−∞,1]【解析】解：∵函数f(x)=x 2−2x +3，∴y =f(x −a)=(x −a)2−2(x −a)+3=x 2−(2a +2)x +a 2+2a +3，∵函数y =f(x −a)在(2,+∞)上是增函数，∴a +1≤2，解得a ≤1，∴a 的取值范围是(−∞,1]．故答案为：(−∞,1]．推民出y =f(x −a)=(x −a)2−2(x −a)+3=x 2−(2a +2)x +a 2+2a +3，由函数y =f(x −a)在(2,+∞)上是增函数，得到a +1≤2，由此能求出a 的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16. 已知函数(x)=asinx +bcosx(其中a ，b 为非零实数)，且f(π4)=√a 2+b 2，有下列命题：①函数f(x)的最大值为√2|a|；②函数f(x +3π4)为奇函数；③若存在x 1≠x 2，使得f(x 1)=f(x 2)=0，则x 1−x 2是3π2的整数倍．其中正确命题的序号是______.(将所有正确命题的序号都填上) 【答案】①②【解析】解：f(x)=asinx +bcosx =√a 2+b 2sin(x +θ)，(θ为辅助角)，f(π4)=√a 2+b 2，可得√22(a +b)=√a 2+b 2，化简可得a =b ，即有f(x)=√2|a|sin(x +π4)，则f(x)的最大值为√2|a|，故①正确；由f(x +3π4)=√2|a|sin(x +3π4+π4)=)=−√2|a|sinx ，可得函数f(x +3π4)为奇函数，故②正确；若存在x 1≠x 2，使得f(x 1)=f(x 2)=0，即f(x)=0，可得sin(x +π4)=0，即为x +π4=kπ，可得x =kπ−π4，k ∈Z ，比如x 1=−π4，x 2=3π4，则x 1−x 2=−π不是3π2的整数倍，故③错误．故答案为：①②．由三角函数的辅助角公式，结合正弦函数的最值判断①；利用诱导公式和奇偶性判断②；由f(x)=0，求得x ，即可判断③．本题考查命题的真假判断与应用，考查三角函数的图象和性质，主要是最值和对称性，是中档题． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知角α的终边过点P(3,4).求：(Ⅰ)cos(π−α)−cos(π2−α)的值；(Ⅱ)tan α2−1tan α2的值．【答案】解：∵角α的终边过点P(3,4)，∴r =|OP|=5，∴sinα=45，cosα=35．(Ⅰ)cos(π−α)−cos(π2−α)=−cosα−sinα=−35−45=−75；(Ⅱ)由sinα=45，cosα=35，得tanα=43，∴tan α2−1tanα2=sinα2cosα2−cosα2sin α2=sin 2α2−cos 2α2sin α2cos α2=−2cosαsinα=−2tanα=−32．【解析】(Ⅰ)由已知结合三角函数的定义求得sinα，cosα的值，再由诱导公式求解；(Ⅱ)利用同角三角函数的基本关系式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数的诱导公式的应用，是基础题．18. 已知函数(x)=1x 2−4．(Ⅰ)判断并用定义证明函数f(x)的奇偶性；(Ⅱ)用定义证明函数f(x)在(2,+∞)上单调递减．【答案】解：(Ⅰ)由x 2−4≠0得x ≠2且x ≠−2，即的定义域为{x|x ≠2且x ≠−2}，定义域关于原点对称，则f(−x)=1(−x)2−4=1x 2−4=f(x)，即函数f(x)是偶函数；(Ⅱ)设2<x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=1x 12−1x 22=x 22−x 12x 12x 22=(x 2+x 1)(x 2−x 1)x 12x 22，∵2<x 1<x 2，∴x 1+x 2>4，x 2−x 1>0，∴f(x 1)−f(x 2)>0，则f(x 1)>f(x 2)，即函数f(x)在(2,+∞)上是减函数． 【解析】(Ⅰ)根据函数奇偶性的定义进行判断；(Ⅱ)根据函数单调性的定义利用定义法进行证明．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用奇偶性和单调性的定义使用定义法是解决本题的关键．19. 已知向量a ⃗ =(msinx,1)，b ⃗ =(√3cosx,m2cos2x)(m >0)，函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ 的最大值为2．(Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)若x =π6，求向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ的余弦值． 【答案】解：(Ⅰ)f(x)=√3msinxcosx +m 2cos2x =√32msin2x +12mcos2x =msin(2x +π6)≤m ，∴m =2；(Ⅱ)a ⃗ =(1，1)，b ⃗ =(32,12)，∴cosθ=32+12√2×√120XX=√5=2√55，∴向量a⃗ 与b ⃗ 的夹角θ的余弦值为2√55． 【解析】(Ⅰ)运用三角函数的嘴直可解决此问题；(Ⅱ)运用向量的夹角公式可解决此问题．本题考查平面向量的数量积和向量的夹角公式的简单应用．20. 某银行柜台异地跨行转账手续费的收费标准为转账金额的0.5%，且最低1元/笔，最高50元/笔，王杰需要在该银行柜台进行一笔异地跨行转账的业务．(Ⅰ)若王杰转账的金额为x 元，手续费为y 元，请将y 表示为x 的函数；(Ⅱ)若王杰转账的金额为10t−3996元，他支付的手续费大于5元且小于50元，求t 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)由题意得y ={1,0<x ≤2000.020XXx,200<x ≤100020XX 0,x >10000，(Ⅱ)从(Ⅰ)中的分段函数得，如果王杰支付的手续费大于5元且小于50元，则转账金额大于1000元，且小于10000元，则只需要考虑当1000<x <10000时的情况即可，由1000<10t−3996<10000得3<t −3996<4，得3999<t <4000，即实数t 的取值范围是(3999,4000)．【解析】(Ⅰ)根据条件建立分段函数模型进行求解即可(Ⅱ)由分段函数的表达式进行求解本题主要考查分段函数的应用问题，根据条件建立分段函数模型，求出函数的解析式是解决本题的关键．21. 已知函数(x)=√3sinωxcosωx +cos 2ωx −12(ω>0)，其最小正周期为π4．(Ⅰ)求f(x)的表达式；(Ⅱ)求函数g(x)=6cos 4x−sin 2x−1f(x 4+π24)的值域．【答案】解：(Ⅰ)函数(x)=√3sinωxcosωx +cos 2ωx −12=√32sin(2ωx)+1+cos(2ωx)2−12=sin(2ωx +π6)，其最小正周期为2π2ω=π4，∴ω=4，故f(x)=sin(8x +π6).(Ⅱ)∵函数g(x)=6cos 4x−sin 2x−1f(x 4+π24)=6cos 4x+cos 2x−2sin(2x+π2)=(2cos 2x−1)(3cos 2x+2)cos2x=(2cos 2x−1)(3cos 2x+2)2cos 2x−1=3cos 2x +2，∵cos 2x ∈[0,1]，且cos 2x ≠12，故g(x)∈[2,5]且g(x)≠72，故g(x)的值域为[2,72)∪(72,5]． 【解析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω，可得函数的解析式．(Ⅱ)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，求得g(x)的值域．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．22. 已知函数f(x)=a x (a >0，且a ≠1)，且f(5)f(2)=8．(Ⅰ)若f(2m −3)<f(m +2)，求实数m 的取值范围；(Ⅱ)若y =g(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，g(x)=−1(2a)x +1a x ，求g(x)的值域． 【答案】解：(Ⅰ)∵f(5)f(2)=8，∴a 5a 2=a 3=8，则a =2，即f(x)=2x ，则函数f(x)是增函数，由f(2m −3)<f(m +2)，得2m −3<m +2，得m <5，即实数m 的取值范围是(−∞,5)．(Ⅱ)当x ≥0时，g(x)=−1(2a)x +1a x =−14x +12x =−(12x )2+12x =−[(12x −12)2+14,∵x ≥0时，2x ≥1，则0<12x ≤1，即当12x =12，即x =1时，g(x)取得最大值为14，∵g(x)是奇函数，∴当x =−1时，g(x)取得最小值为−14，即−14≤g(x)≤14，则函数的值域为[−14,14]. 【解析】(Ⅰ)根据条件建立方程求出a 的值，结合指数函数单调性的性质进行转化求解即可(Ⅱ)将函数g(x)转化为二次函数型，利用配方法结合函数奇偶性求出最值即可本题主要考查函数单调性和奇偶性的应用，结合条件转化为二次函数型是解决本题的关键．。
安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
巢湖市2019—2020学年度上学期高一期末考试数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}3M x x =<，{N x y ==，则R M N =I ð（ ）A. {}23x x ≤≤ B. {}23x x <≤ C. {}23x x << D. {}23x x ≤<【答案】C 【解析】 【分析】先求得集合N,再由集合补集与交集的运算即可求解.【详解】集合{N x y ==,求解得{}2N x x =≤则由补集运算可得{}2R N x x =>ð由交集运算可知{}{}{}3223R M N x x x x x x ⋂=<⋂>=<<ð 故选:C【点睛】本题考查了集合的补集与交集的简单运算,属于基础题. 2.sin1290︒=（ ）AB. 12-C.12D.【答案】B 【解析】 【分析】将1290o 先化为0~360o o 的角,再结合诱导公式即可求得三角函数值. 【详解】因为12903360210=⨯+o o o则()sin1290sin 3360210sin 210=⨯+=o o o o由诱导公式可知()sin 210sin 18030=+o o o1sin 302=-=-o故选:B【点睛】本题考查了任意角三角函数值的求法和诱导公式的简单应用,属于基础题.3.已知12,e e u r u u r 是两个不共线向量，且1263a e e =-r u r u u r ，12b ke e =+r u r u u r .若向量a r 与b r共线，则实数k 的值为（ ） A. 2- B. 1-C.13D.43【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量共线基本定理,设λa b =r r,即可解方程组求得k 的值.【详解】根据平面向量共线基本定理,若向量a r 与b r共线 则满足λa b =r r即()211263k e e e e λ-=+u r u r u u r u u r所以满足63k λλ=⎧⎨-=⎩,解得32k λ=-⎧⎨=-⎩故选:A【点睛】本题考查了平面向量共线基本定理的简单应用,属于基础题. 4.计算：61log 022log lg 25lg 469.8+++=（ ）A. 1B. 4C. 5D. 7【答案】C 【解析】 【分析】由对数的运算性质,结合零次幂的值,即可求得算式的值. 【详解】根据对数运算及指数幂运算,化简可得61log 022log lg 25lg 469.8+++322211log 2lg 5lg 2122=++++ ()312lg5lg 2122=++++ 312122=+++ 5=故选:C【点睛】本题考查了对数的运算性质及化简求值,属于基础题.5.设21log a e =，11e b e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln 2c =，则（ ） A. b a c >> B. c b a >> C. b c a >> D. c a b >>【答案】C 【解析】 【分析】根据对指数函数与对数函数的图像与性质,判断出,,a b c 的范围,即可比较大小. 【详解】由指数函数与对数函数的图像与性质可知21log 0a e=< 1111eeb e e -⎛⎫= ⎪=⎭>⎝0ln21c <=<所以b c a >> 故选:C【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质,利用中间值法比较大小,属于基础题. 6.下列函数既是偶函数又在区间(0,)+∞上是减函数的是（ ） A. ()|1|f x x =+ B. ()1f x x x=+C. ()f x =D. ()4f x x -=【答案】D 【解析】【分析】根据函数解析式,结合偶函数性质及函数的单调性,即可判断选项. 【详解】对于A,函数()|1|f x x =+不是偶函数,所以A 错误; 对于B,函数()1f x x x=+为奇函数,不是偶函数,所以B 错误;对于C,()f x =,但在区间(0,)+∞上是增函数,所以C 错误;对于D,()441f x x x-==为偶函数,且在区间(0,)+∞上是减函数,所以D 正确. 综上可知,正确的为D 故选:D【点睛】本题考查由函数解析式判断函数奇偶性及单调性,属于基础题. 7.下列区间，包含函数()12ln 3x f x x =--零点的是（ ） A. (0,1) B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)【答案】C 【解析】 【分析】由函数单调性,结合零点存在定理,即可判断函数零点所在区间. 【详解】根据函数解析式可知()12ln 3x f x x =--在()0,∞+上为单调递增函数 且()152ln101331f =--=-< ()127ln 2ln 202362f =--=-<()12ln 3ln 310333f =--=->由零点存在定理可知,零点位于(2,3)内 故选:C【点睛】本题考查了函数零点存在定理的应用.在判断函数零点所在区间时,需先判断函数的单调性,才能说明函数零点的唯一性,属于基础题.8.已知向量(2,1)a =-r ，(3,2)b =-r ，(1,1)c =r ，则向量c r可用向量,a b r r 表示为（ ）A. 26a b +r rB. 53a b +r rC. 42a b -r rD. 5a b -r r【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理,设c a b λμ=+r r r.代入坐标,由坐标运算即可求得参数.【详解】根据平面向量基本定理,可设c a b λμ=+r r r代入可得()()()1,12,13,2λμ=-+-即12312λμλμ=-⎧⎨=-+⎩,解得53λμ=⎧⎨=⎩所以53c a b =+r r r故选:B【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,向量坐标运算及数乘运算的应用,属于基础题.9.在ABC ∆中，2AD DB =u u u r u u u r，若P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+u u u r u u u r u u u r ，则m =（ ）A.14B.13C.12D.23【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量共线基本定理,可设DP DC λ=u u u r u u u r,结合向量的加法与减法运算,化简后由12AP mAC AB =+u u u r u u u r u u u r ,即可求得参数,m λ的值.【详解】因为P 为CD 上一点,设DP DC λ=u u u r u u u r因为2AD DB =u u u r u u u r所以23AD AB =u u u r u u u r则由向量的加法与减法运算可得AP AD DP =+u u u r u u u r u u u rAD DC λ=+u u u r u u u r ()AD AC AD λ=+-u u u r u u u r u u u r()1AD AC λλ=-+u u u r u u u r()213AB AC λλ=-+u u u r u u u r 因为12AP mAC AB =+u u u r u u u r u u u r所以()12123m λλ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,解得1414m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选:A【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用,平面向量基本定理的应用,向量的加法与减法的线性运算,属于基础题.10.已知偶函数()log ||a f x b x =-（0a >且1a ≠）在(,0)-∞上单调递减，则()f b a -与()21f a +的大小关系是（ ） A. ()()21f b a f a >+-B. ()()21f b a f a <+-C. ()()21f b a f a =+-D. 无法确定【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数性质,可求得b ,结合函数的单调性即可求得a 的取值范围.通过比较21a +与a -的大小关系,即可比较大小.【详解】因为()log ||a f x b x =-为偶函数 所以()()f x f x =-,即log ||log ||aa xb x b -=--所以||||x b x b -=--对()(),00,x ∈-∞+∞U 恒成立解得0b = 即()log ||a f x x =因偶函数()log ||a f x x =（0a >且1a ≠）在(,0)-∞上单调递减,则()log ||a f x x =在()0,∞+上单调递增所以由对数函数的图像与性质可知1a > 而211a a +>-> 所以()()()21f a fa f a +>-=-故选:B【点睛】本题考查了由偶函数的性质求参数,根据函数单调性比较抽象函数的大小关系,综合性较强,属于中档题.11.已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||ϕπ<）的部分图象如图所示，若将函数sin()y A x ωϕ=+的图象向右平移(0)αα>个单位后，得到一个偶函数的图象，则α的取值可能为（ ）A.6πB.3π C.116πD.1712π【答案】D 【解析】 【分析】根据部分函数图像,先求得函数解析式.结合函数平移变化,求得平移后解析式,由平移后为偶函数并对比选项即可求解.【详解】由函数图像可知,A =而741234T πππ=-=,所以T π= 由周期公式可得22Tπω==所以)y x ϕ=+将最低点坐标7,12π⎛ ⎝代入解析式可知7212πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭则7322,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈ 所以2,3k k Z πϕπ=+∈因为||ϕπ<所以当0k =时, 3πϕ=则解析式为23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将解析式向右平移α单位后,可得()22233y x x ππαα⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭因为平移后的函数为偶函数,则202,32k k Z ππαπ⨯-+=+∈解得6,12212k k k Z ππππα+=--=-∈ 对比四个选项,当3k =-时, 1712πα= 故选:D【点睛】本题考查了根据部分图像求函数解析式,由函数的性质求得参数,属于中档题.12.已知函数()sin()f x x ϕθ=++的图象关于直线x π=对称，其中0ϕπ<<，02θπ-<<，且tan 2θ=-，则sin 2ϕ的值为（ ） A.34B.14C. 35-D. 45-【答案】D 【解析】 【分析】根据函数对称轴,求得θ的表达式.由tan 2θ=-结合诱导公式即可得cos 2sin ϕϕ=-.根据同角三角函数关系式及正弦二倍角公式,即可求解.【详解】因为函数()sin()f x x ϕθ=++的图象关于直线x π=对称所以由正弦函数的图像与性质可知,2k k Z ππϕθπ++=+∈ 则,2k k Z πθϕπ=--+∈ 所以tan tan tan 222k ππθϕπϕ⎛⎫⎛⎫=--+=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由诱导公式化简可得tan 22πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭根据同角三角函数关系中的商数关系式可得sin 22cos 2πϕπϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭由诱导公式化简可得cos 2sin ϕϕ=-,即cos 2sin ϕϕ=- 由同角三角函数关系式中的平方关系式22sin cos 1ϕϕ+=,代入可得()22sin 2sin 1ϕϕ+-=,解得21sin 5ϕ=因为0ϕπ<<,所以sin 0ϕ>,则sin 5ϕ=而由cos 2sin ϕϕ=-,可得cos ϕ=由正弦二倍角公式可知sin 22sin cos ϕϕϕ=42555⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭故选:D【点睛】本题考查了正弦函数的图像与性质的应用,同角三角函数关系式的化简求值,正弦二倍角公式的应用,属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1sin 3α=，则sin cos 22αα+=__________．【答案】 【解析】24sin cos 1223sin ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭,所以sin cos 223αα+=± 14.设函数()()142,1,log 21,1,x xx f x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩若()12f x =，则x =________. 【答案】0或2log 3 【解析】 【分析】根据分段函数解析式,分段即可求得自变量的值.【详解】当1x <时,()12x f x -=.若()12f x =,即1212x -=,解得0x =,符合题意当1x ≥时,()()4log 21x f x =-. 若()12f x =,即()41log 221x=-,所以212x -=则23x =,解得2log 3x =,符合题意 综上可知,若()12f x =时,0x =或2log 3x = 故答案为: 0或2log 3【点睛】本题考查了分段函数的求值,属于基础题.15.已知,a b r r 是单位向量，且夹角为60°，c =r 1122a c b c ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r 的取值范围是________.【答案】111,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】根据平面向量数量积,先求得a b ⋅r r 及a b +r r .由平面向量数量积的运算律,计算1122a c b c ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r ,设c r 与a b +r r的夹角为θ,即可由平面向量数量积的运算求得取值范围.【详解】因为,a b r r 是单位向量,且夹角为60° 则a b +==r r==设c r 与a b +rr 的夹角为θ（0180θ≤≤o o ）,由平面向量数量积的运算律化简可得 1122a c b c ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r 2111224a b a c b c c =⋅-⋅-⋅+r r r r r r r()21111cos6024c a b =⨯⨯-⋅++⨯o r r r 113cos 224c a b θ=-⋅++r r r5142θ=- 53cos 42θ=- 当0θ=o ,即cos 1θ=时取得最小值为531424-=- 当180θ=o ,即cos 1θ=-时取得最大值为5311424+= 所以取值范围为111,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 故答案为:111,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算,向量的夹角及模的求法,属于中档题. 16.已知函数()211x x x f -=-图象与直线2y kx =+恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________.【答案】(4,1)(1,0)--⋃-【解析】【分析】根据函数解析式,分类讨论即可确定解析式.画出函数图像,由直线所过定点,结合图像即可求得k 的取值范围.【详解】函数()211x x x f -=-定义域为{}1x x ≠ 当1x ≤-时,()2111x x xf x -==--- 当11x -<<时,()2111x x xf x -==+- 当1x <时,()2111x x xf x -==--- 画出函数图像如下图所示:直线2y kx =+过定点()0,2由图像可知,当10k -<<时,与1x ≤-和11x -<<两部分图像各有一个交点;当41-<<-k 时,与11x -<<和1x <两部分图像各有一个交点.综上可知,当()()4,11,0k ∈--⋃-时与函数有两个交点故答案为:()()4,11,0--⋃-【点睛】本题考查了分段函数解析式及图像画法,直线过定点及交点个数的求法,属于中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 【解析】【分析】（Ⅰ）根据任意角的转化,即可把角α写成2k πβ+的形式.进而根据β的值确定α所在的象限;（Ⅱ）根据γ与α的终边相同且(4,3)γππ∈--,即可确定γ的值.【详解】（Ⅰ）9203360160-︒=-⨯︒+︒Q ,81609π︒=, 920α∴=-︒=8(3)29ππ-⨯+. Q 角α与89π终边相同, ∴角α是第二象限角.（Ⅱ）Q 角γ与α的终边相同,∴设82()9k k Z πγπ=+∈. (4,3)γππ∈--Q , 由84239k ππππ-<+<-,可得2235918k -<<-. 又k Z ∈Q ,2k ∴=-.828499ππγπ∴=-+=-. 【点睛】本题考查了角度与弧度的转化,任意角转为()0,2π的角,根据角判断所在象限,属于基础题. 18.已知集合A 为函数()2log (1)f x x =-+的定义域，集合B 为函数()2233x x g x -=-的值域. （Ⅰ）求A B I ；（Ⅱ）若{|112}C x a x a =-<<-，且()C A B ⊆I ，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）{}|10B x x A -<=≤I ；（Ⅱ）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（Ⅰ）根据对数性质及二次根式有意义条件,先求得集合A,由指数的图像与性质,求得集合B,即可由集合交集的运算求得A B I .（Ⅱ）讨论C =∅与C ≠∅两种情况.根据集合的包含关系,即可求得a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）由函数()f x 的定义域需满足10,10,x x ->⎧⎨+>⎩ 解得11x -<<,所以{}|11A x x =-<<.设22t x x =-,则22(,1]t x x =-∈-∞,所以3(0,3]t ∈ 所以{}|30}B y y =-<≤.所以{}|10B x x A -<=≤I .（Ⅱ）由于()C A B ⊆I ,若C =∅,则需112a a -≥-,解得23a ≥； 若C ≠∅,则需2,311,120,a a a ⎧<⎪⎪-≥-⎨⎪-≤⎪⎩ 解得1223a ≤<. 综上,实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了函数定义域的求法,指数函数值域的求法,由集合的包含关系求参数,属于基础题. 19.已知函数()21log 1x x x f -=+. （Ⅰ）设()11x x x h -=+，用定义证明：函数()h x 在(1,)-+∞上是增函数； （Ⅱ）若函数()()2x g x f x m =++，且()g x 在区间(3,5)上有零点，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2log 3337m -<<-,【分析】（Ⅰ）任取12,(1,)x x ∈-+∞,且12x x <,代入解析式可求得()()21h x h x -,变形后即可判断函数的单调性. （Ⅱ）先判断出函数()f x 与()g x 的单调性,即可根据零点存在定理求得m 的取值范围.【详解】（Ⅰ）证明:由题意得()11211x x x x h x -+-==++211x =-+. 任取12,(1,)x x ∈-+∞,且12x x <,则()()212211h x h x x ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭1211x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭ 122211x x =-++ ()()()2112211x x x x -=++. 因为12,(1,)x x ∈-+∞,且12x x <,所以210x x ->,110x +>,210x +>,所以()()210h x h x ->,所以函数()h x 在(1,)-+∞上是增函数.（Ⅱ）由题意()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞U .由（Ⅰ）知,()f x 在(1,)+∞上单调递增,所以()()2x g x f x m =++在(3,5)上单调递增.因为()g x 在区间(3,5)上有零点, 所以3252231(3)log 270,3151(5)log 2log 3330,51g m m g m m -⎧=++=+<⎪⎪+⎨-⎪=++=-++>⎪+⎩所以2log 3337m -<<-.【点睛】本题考查了利用定义判断函数的单调性,由函数单调性及零点取值范围判断参数的取值情况,属于基础题.20.已知角θ满足1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求下列各式的值： （Ⅰ）sin sin 21cos cos 2θθθθ+++； （Ⅱ）cos2sin 2θθ+.【答案】（Ⅰ）-3；（Ⅱ）75-【解析】【分析】（Ⅰ）根据正切和角公式,展开化简可求得tan θ的值.将原式根据正弦与余弦的二倍角公式展开即可变形为sin (12cos )cos (12cos )θθθθ++,即可求解. （Ⅱ）将原式变形为齐次式,222222cos sin 2sin cos cos sin cos sin θθθθθθθθ-+++,即可变形求解. 【详解】由题意知1tan tan 41tan πθθθ+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭12=-,得tan 3θ=-. （Ⅰ）由正弦与余弦的二倍角公式变形可得sin sin 21cos cos 2θθθθ+++ 2sin 2sin cos cos 2cos θθθθθ+=+ sin (12cos )cos (12cos )θθθθ+=+ tan θ=3=-.（Ⅱ）由正弦与余弦的二倍角公式变形可得cos2sin 2θθ+2222cos sin cos sin θθθθ-=++222sin cos cos sin θθθθ+ 2221tan 2tan 1tan 1tan θθθθ-=+++ 192(3)1919-⨯-=+++75=-【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值,正弦与余弦二倍角公式的用法,属于基础题.21.某公司的电子新产品未上市时，原定每件售价100元，经过市场调研发现，该电子新产品市场潜力很大，该公司决定从第一周开始销售时，该电子产品每件售价比原定售价每周涨价4元，5周后开始保持120元的价格平稳销售，10周后由于市场竞争日益激烈，每周降价2元，直到15周结束，该产品不再销售. （Ⅰ）求售价()f t （单位：元）与周次t （*t N ∈）之间的函数关系式；（Ⅱ）若此电子产品的单件成本()h t （单位：元）与周次()21(7)1008h t t --+=之间的关系式为[1,15]t ∈，()f x ，*t N ∈，试问：此电子产品第几周的单件销售利润（销售利润=售价-成本）最大？【答案】（Ⅰ）()1004,[1,5],120,[6,10],1402,[11,15],t t f t t t t +∈⎧⎪=∈⎨⎪-∈⎩()*t N ∈；（Ⅱ）第10周 【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意,结合分段情况即可求得解析式.（Ⅱ）根据售价解析式及成本解析式,先表示出利润的函数解析式.结合二次函数性质即可求得最大值及对应的时间.【详解】（Ⅰ）当[1,5]t ∈时,()1004f t t =+；当[6,10]t ∈时,()120f t =；当[11,15]t ∈时,()1202(10)f t t =--1402t =-.所以()1004,[1,5],120,[6,10],1402,[11,15],t t f t t t t +∈⎧⎪=∈⎨⎪-∈⎩()*t N ∈.（Ⅱ）由于单件电子产品的销售利润=售价-成本,即单件销售利润()()()g t f t h t =-,所以,当[1,5]t ∈时,()211004(7)1008t t g t =++--21949848t t =++21(9)48t =+-. 此时()g t 单调递增,所以当5t =时,()g t 取得最大值1648. 当[6,10]t ∈时,()21120(7)1008g t t =+--21(7)208t =-+. 当10t =时,()g t 取得最大值1698.当[11,15]t ∈时,()211402(7)1008t t g t =-+--2115369848t t =-+21(15)188t =-+. 当11t =时,()g t 取得最大值20.综上,该电子产品第10周时单件销售利润最大.【点睛】本题考查了分段函数在实际问题中的应用,利润问题的最值求法,二次函数的性质应用,属于基础题. 22.已知函数()22cos sin 26x x f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期以及()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （Ⅱ）若()085f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值.【答案】（Ⅰ）π，最大值为2，最小值为12；【解析】【分析】（Ⅰ）由余弦的降幂公式,结合正弦的差角公式及辅助角公式化简三角函数式,即可求得最小正周期.结合正弦函数的图像与性质即可求得在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. （Ⅱ）由（Ⅰ）将0x 代入即可求得03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.根据0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦及同角三角函数关系式求得0cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.即可由配凑法及余弦的差角公式求得0cos2x . 【详解】（Ⅰ）由余弦的降幂公式,结合正弦的差角公式及辅助角公式化简可得()22cos sin 26x x f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1cos 222x x =++1cos 22x -112cos 22x x =++1sin 26x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, 1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2,最小值为12. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()001sin 26f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 因为()085f x =,所以03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 由0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.从而0cos 26x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭45=-. 所以00cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 0cos 2cos 66x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0sin 2sin 66x ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=【点睛】本题考查了三角函数式的化简,余弦降幂公式及正余弦的差角公式应用,正弦函数的图像与性质的用法,属于中档题.。
安徽巢湖市数学高一上期末经典习题(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12120]已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能2．(0分)[ID ：12119]已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则A ．-2B ．2C ．-98D ．983．(0分)[ID ：12110]已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．(0分)[ID ：12087]已知函数()y f x =在定义域()1,1-上是减函数，且()()211f a f a -<-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()0,∞+5．(0分)[ID ：12086]已知0.2633,log 4,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<6．(0分)[ID ：12127]在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．(0分)[ID ：12121]若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]8．(0分)[ID ：12102]已知函数2()2log x f x x =+，2()2log x g x x -=+，2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b a c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a b c <<9．(0分)[ID ：12060]已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A ．12，2 B C ．14，2 D ．14，4 10．(0分)[ID ：12031]设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时， ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)211．(0分)[ID ：12030]若函数y a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．412．(0分)[ID ：12071]已知函数()0.5log f x x =，则函数()22f x x -的单调减区间为( ) A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,213．(0分)[ID ：12062]已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。
2019-2020学年安徽省合肥市高一上学期期末数学试题及答案解析
2019-2020学年安徽省合肥市高一上学期期末数学试题及答案解析一、单选题1．已知集合{}3M x x =<，{N x y ==，则RMN =（ ）A ．{}23x x ≤≤B ．{}23x x <≤C ．{}23x x <<D ．{}23x x ≤<【答案】C【解析】先求得集合N,再由集合补集与交集的运算即可求解. 【详解】集合{N xy ==,求解得{}2N x x =≤则由补集运算可得{}2RN x x =>由交集运算可知{}{}{}3223RM N x x x x x x ⋂=<⋂>=<<故选:C 【点睛】本题考查了集合的补集与交集的简单运算,属于基础题. 2．sin1290︒=（ ）A ．B ．12-C ．12D 【答案】B【解析】将1290先化为0~360的角,再结合诱导公式即可求得三角函数值.【详解】 因为12903360210=⨯+则()sin1290sin 3360210sin 210=⨯+=由诱导公式可知()sin 210sin 18030=+1sin 302=-=-故选:B 【点睛】本题考查了任意角三角函数值的求法和诱导公式的简单应用,属于基础题.3．已知12,e e 是两个不共线向量，且1263a e e =-，12b ke e =+.若向量a 与b 共线，则实数k 的值为（ ） A ．2- B ．1-C ．13 D ．43【答案】A【解析】根据平面向量共线基本定理,设λa b ,即可解方程组求得k 的值. 【详解】根据平面向量共线基本定理,若向量a 与b 共线 则满足λa b即()211263k ee e e λ-=+所以满足63k λλ=⎧⎨-=⎩,解得32k λ=-⎧⎨=-⎩故选:A 【点睛】本题考查了平面向量共线基本定理的简单应用,属于基础题.4．计算：61log 022log lg 25lg 469.8+++=（ ）A ．1B ．4C ．5D ．7【答案】C【解析】由对数的运算性质,结合零次幂的值,即可求得算式的值. 【详解】根据对数运算及指数幂运算,化简可得61log 022log lg 25lg 469.8+++322211log 2lg 5lg 2122=++++ ()312lg5lg 2122=++++ 312122=+++ 5=故选:C 【点睛】本题考查了对数的运算性质及化简求值,属于基础题.5．设21log a e =，11e b e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln 2c =，则（ ）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b >>【答案】C【解析】根据对指数函数与对数函数的图像与性质,判断出,,a b c 的范围,即可比较大小. 【详解】由指数函数与对数函数的图像与性质可知21log 0a e=< 1111eeb e e -⎛⎫= ⎪=⎭>⎝0ln21c <=<所以b c a >> 故选:C 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质,利用中间值法比较大小,属于基础题.6．下列函数既是偶函数又在区间(0,)+∞上是减函数的是（ ） A ．()|1|f x x =+ B ．()1f x x x =+ C ．()f x =D ．()4f x x -=【答案】D【解析】根据函数解析式,结合偶函数性质及函数的单调性,即可判断选项. 【详解】对于A,函数()|1|f x x =+不是偶函数,所以A 错误;对于B,函数()1f x x x =+为奇函数,不是偶函数,所以B 错误; 对于C,()f x =,但在区间(0,)+∞上是增函数,所以C 错误; 对于D,()441f x x x -==为偶函数,且在区间(0,)+∞上是减函数,所以D 正确. 综上可知,正确的为D故选:D 【点睛】本题考查由函数解析式判断函数奇偶性及单调性,属于基础题.7．下列区间，包含函数()12ln 3x f x x =--零点的是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】C【解析】由函数单调性,结合零点存在定理,即可判断函数零点所在区间. 【详解】根据函数解析式可知()12ln 3x f x x =--在()0,∞+上为单调递增函数且()152ln101331f =--=-< ()127ln 2ln 202362f =--=-<()12ln 3ln 310333f =--=->由零点存在定理可知,零点位于(2,3)内 故选:C 【点睛】本题考查了函数零点存在定理的应用.在判断函数零点所在区间时,需先判断函数的单调性,才能说明函数零点的唯一性,属于基础题.8．已知向量(2,1)a =-，(3,2)b =-，(1,1)c =，则向量c 可用向量,a b 表示为（） A ．26a b +B ．53a b +C ．42a b -D ．5a b -【答案】B【解析】根据平面向量基本定理,设c a b λμ=+.代入坐标,由坐标运算即可求得参数. 【详解】根据平面向量基本定理,可设c a b λμ=+ 代入可得()()()1,12,13,2λμ=-+-即12312λμλμ=-⎧⎨=-+⎩,解得53λμ=⎧⎨=⎩所以53c a b =+ 故选:B 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,向量坐标运算及数乘运算的应用,属于基础题.9．在ABC ∆中，2AD DB =，若P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，则m =（ ）A ．14 B ．13C ．12D ．23【答案】A【解析】根据平面向量共线基本定理,可设DP DC λ=,结合向量的加法与减法运算,化简后由12AP mAC AB =+,即可求得参数,m λ的值. 【详解】因为P 为CD 上一点,设DP DC λ=因为2AD DB = 所以23AD AB =则由向量的加法与减法运算可得AP AD DP =+AD DC λ=+()AD AC ADλ=+-()1AD AC λλ=-+ ()213AB AC λλ=-+ 因为12AP mAC AB =+所以()12123m λλ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,解得1414m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选:A 【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用,平面向量基本定理的应用,向量的加法与减法的线性运算,属于基础题. 10．已知偶函数()log ||a f x b x =-（0a >且1a ≠）在(,0)-∞上单调递减，则()f b a -与()21f a +的大小关系是（）A ．()()21f b a f a >+- B ．()()21f b a f a <+-C ．()()21f b a f a =+-D ．无法确定【答案】B【解析】根据偶函数性质,可求得b ,结合函数的单调性即可求得a 的取值范围.通过比较21a +与a -的大小关系,即可比较大小.因为()log ||a f x b x =-为偶函数 所以()()f x f x =-,即log ||log ||a a x b x b -=-- 所以||||x b x b -=--对()(),00,x ∈-∞+∞恒成立 解得0b = 即()log ||a f x x =因为偶函数()log ||a f x x =（0a >且1a ≠）在(,0)-∞上单调递减,则()log ||a f x x =在()0,∞+上单调递增 所以由对数函数的图像与性质可知1a > 而211a a +>-> 所以()()()21f a f a f a +>-=-故选:B 【点睛】本题考查了由偶函数的性质求参数,根据函数单调性比较抽象函数的大小关系,综合性较强,属于中档题.11．已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||ϕπ<）的部分图象如图所示，若将函数sin()y A x ωϕ=+的图象向右平移(0)αα>个单位后，得到一个偶函数的图象，则α的取值可能为（ ）A ．6πB ．3πC ．116πD ．1712π【解析】根据部分函数图像,先求得函数解析式.结合函数平移变化,求得平移后的解析式,由平移后为偶函数并对比选项即可求解. 【详解】由函数图像可知,A =而741234T πππ=-=,所以T π=由周期公式可得22Tπω==所以)y x ϕ=+将最低点坐标7,12π⎛ ⎝代入解析式可知7212πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭ 则7322,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈ 所以2,3k k Z πϕπ=+∈因为||ϕπ<所以当0k =时,3πϕ=则解析式为23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 将解析式向右平移α单位后,可得()22233y x x ππαα⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭因为平移后的函数为偶函数,则202,32k k Z ππαπ⨯-+=+∈解得6,12212k k k Z ππππα+=--=-∈ 对比四个选项,当3k =-时, 1712πα=故选:D 【点睛】本题考查了根据部分图像求函数解析式,由函数的性质求得参数,属于中档题.12．已知函数()sin()f x x ϕθ=++的图象关于直线x π=对称，其中0ϕπ<<，02θπ-<<，且tan 2θ=-，则sin 2ϕ的值为（ ）A ．34B ．14C ．35D ．45-【答案】D【解析】根据函数对称轴,求得θ的表达式.由tan 2θ=-结合诱导公式即可得cos 2sin ϕϕ=-.根据同角三角函数关系式及正弦二倍角公式,即可求解. 【详解】因为函数()sin()f x x ϕθ=++的图象关于直线x π=对称 所以由正弦函数的图像与性质可知,2k k Z ππϕθπ++=+∈ 则,2k k Z πθϕπ=--+∈所以tan tan tan 222k ππθϕπϕ⎛⎫⎛⎫=--+=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由诱导公式化简可得tan 22πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭根据同角三角函数关系中的商数关系式可得sin 22cos 2πϕπϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭由诱导公式化简可得cos 2sin ϕϕ=-,即cos 2sin ϕϕ=-由同角三角函数关系式中的平方关系式22sin cos 1ϕϕ+=,代入可得()22sin 2sin 1ϕϕ+-=,解得21sin 5ϕ=因为0ϕπ<<,所以sin 0ϕ>,则sin ϕ=而由cos 2sin ϕϕ=-,可得cos ϕ=由正弦二倍角公式可知sin 22sin cos ϕϕϕ=425⎛==- ⎝⎭故选:D 【点睛】本题考查了正弦函数的图像与性质的应用,同角三角函数关系式的化简求值,正弦二倍角公式的应用,属于中档题.二、填空题13．已知1sin 3α=，则sin cos 22αα+=__________．【答案】3±【解析】24sin cos 1223sin ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭,所以sin cos 22αα+=±14．设函数()()142,1,log 21,1,x xx f x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩若()12f x =，则x =________. 【答案】0或2log 3【解析】根据分段函数解析式,分段即可求得自变量的值. 【详解】当1x <时,()12x f x -=.若()12f x =,即1212x -=,解得0x =,符合题意当1x ≥时,()()4log 21x f x =-. 若()12f x =,即()41log 221x =-,所以212x -=则23x =,解得2log 3x =,符合题意 综上可知,若()12f x =时,0x =或2log 3x = 故答案为: 0或2log 3 【点睛】本题考查了分段函数的求值,属于基础题. 15．已知,a b 是单位向量，且夹角为60°，3c=，则1122a c b c ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的取值范围是________. 【答案】111,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】根据平面向量数量积,先求得a b ⋅及a b +.由平面向量数量积的运算律,计算1122a c b c ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,设c 与a b +的夹角为θ,即可由平面向量数量积的运算求得取值范围. 【详解】因为,a b 是单位向量,且夹角为60° 则()2222a b a ba ab b+=+=+⋅+=设c 与a b +的夹角为θ（0180θ≤≤）,由平面向量数量积的运算律化简可得1122a c b c ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2111224a b a c b c c =⋅-⋅-⋅+()21111cos6024c a b =⨯⨯-⋅++⨯113cos 224c a b θ=-⋅++ 5142θ=- 53cos 42θ=- 当0θ=,即cos 1θ=时取得最小值为531424-=-当180θ=,即cos 1θ=-时取得最大值为5311424+=所以取值范围为111,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为:111,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算,向量的夹角及模的求法,属于中档题. 16．已知函数()211x x xf -=-的图象与直线2y kx =+恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________. 【答案】(4,1)(1,0)--⋃-【解析】根据函数解析式,分类讨论即可确定解析式.画出函数图像,由直线所过定点,结合图像即可求得k 的取值范围. 【详解】 函数()211x x xf -=-定义域为{}1x x ≠当1x ≤-时,()2111x x x f x -==---当11x -<<时,()2111x x xf x -==+-当1x <时,()2111x x xf x -==---画出函数图像如下图所示:直线2y kx =+过定点()0,2由图像可知,当10k -<<时,与1x ≤-和11x -<<两部分图像各有一个交点;当41-<<-k 时,与11x -<<和1x <两部分图像各有一个交点. 综上可知,当()()4,11,0k ∈--⋃-时与函数有两个交点 故答案为:()()4,11,0--⋃- 【点睛】本题考查了分段函数解析式及图像画法,直线过定点及交点个数的求法,属于中档题.三、解答题 17．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=-【解析】（Ⅰ）根据任意角的转化,即可把角α写成2k πβ+的形式.进而根据β的值确定α所在的象限;（Ⅱ）根据γ与α的终边相同且(4,3)γππ∈--,即可确定γ的值. 【详解】 （Ⅰ）9203360160-︒=-⨯︒+︒,81609π︒=,920α∴=-︒=8(3)29ππ-⨯+.角α与89π终边相同,∴角α是第二象限角.（Ⅱ）角γ与α的终边相同,∴设82()9k k Z πγπ=+∈. (4,3)γππ∈--,由84239k ππππ-<+<-,可得2235918k -<<-. 又k Z ∈,2k ∴=-. 828499ππγπ∴=-+=-.【点睛】本题考查了角度与弧度的转化,任意角转为()0,2π的角,根据角判断所在象限,属于基础题. 18．已知集合A 为函数()2log (1)f x x =-+的定义域，集合B 为函数()2233x x g x -=-的值域.（Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若{|112}C x a x a =-<<-，且()C A B ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）{}|10B x x A -<=≤；（Ⅱ）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（Ⅰ）根据对数性质及二次根式有意义条件,先求得集合A,由指数的图像与性质,求得集合B,即可由集合交集的运算求得AB .（Ⅱ）讨论C =∅与C ≠∅两种情况.根据集合的包含关系,即可求得a 的取值范围. 【详解】 （Ⅰ）由函数()f x 的定义域需满足10,10,x x ->⎧⎨+>⎩解得11x -<<,所以{}|11A x x =-<<. 设22t x x =-,则22(,1]t x x =-∈-∞, 所以3(0,3]t ∈, 所以{}|30}B y y =-<≤. 所以{}|10B x x A-<=≤.（Ⅱ）由于()C AB ⊆,若C =∅,则需112a a -≥-,解得23a ≥； 若C ≠∅,则需2,311,120,a a a ⎧<⎪⎪-≥-⎨⎪-≤⎪⎩解得1223a ≤<.综上,实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了函数定义域的求法,指数函数值域的求法,由集合的包含关系求参数,属于基础题. 19．已知函数()21log 1x x xf -=+. （Ⅰ）设()11x x x h -=+，用定义证明：函数()h x 在(1,)-+∞上是增函数；（Ⅱ）若函数()()2xg x f x m =++，且()g x 在区间(3,5)上有零点，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2log 3337m -<<- 【解析】（Ⅰ）任取12,(1,)x x ∈-+∞,且12xx <,代入解析式可求得()()21h x h x -,变形后即可判断函数的单调性.（Ⅱ）先判断出函数()f x 与()g x 的单调性,即可根据零点存在定理求得m 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）证明:由题意得()11211x x x x h x -+-==++211x=-+. 任取12,(1,)x x ∈-+∞,且12xx <,则()()212211h x h x x ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭1211x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭122211x x =-++()()()2112211x x x x -=++.因为12,(1,)x x ∈-+∞,且12xx <,所以210x x ->,110x +>,210x +>, 所以()()210h x h x ->,所以函数()h x 在(1,)-+∞上是增函数. （Ⅱ）由题意()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞.由（Ⅰ）知,()f x 在(1,)+∞上单调递增,所以()()2xg x f x m =++在(3,5)上单调递增.因为()g x 在区间(3,5)上有零点,所以3252231(3)log 270,3151(5)log 2log 3330,51g m m g m m -⎧=++=+<⎪⎪+⎨-⎪=++=-++>⎪+⎩所以2log 3337m -<<-. 【点睛】本题考查了利用定义判断函数的单调性,由函数单调性及零点取值范围判断参数的取值情况,属于基础题.20．已知角θ满足1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求下列各式的值：（Ⅰ）sin sin 21cos cos 2θθθθ+++；（Ⅱ）cos2sin 2θθ+. 【答案】（Ⅰ）-3；（Ⅱ）75-【解析】（Ⅰ）根据正切和角公式,展开化简可求得tan θ的值.将原式根据正弦与余弦的二倍角公式展开即可变形为sin (12cos )cos (12cos )θθθθ++,即可求解. （Ⅱ）将原式变形为齐次式,222222cos sin 2sin cos cos sin cos sin θθθθθθθθ-+++,即可变形求解. 【详解】由题意知1tan tan 41tan πθθθ+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭12=-,得tan 3θ=-. （Ⅰ）由正弦与余弦的二倍角公式变形可得sin sin 21cos cos 2θθθθ+++ 2sin 2sin cos cos 2cos θθθθθ+=+sin (12cos )cos (12cos )θθθθ+=+ tan θ=3=-.（Ⅱ）由正弦与余弦的二倍角公式变形可得cos2sin 2θθ+2222cos sin cos sin θθθθ-=++222sin cos cos sin θθθθ+2221tan 2tan 1tan 1tan θθθθ-=+++192(3)1919-⨯-=+++75=- 【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值,正弦与余弦二倍角公式的用法,属于基础题.21．某公司的电子新产品未上市时，原定每件售价100元，经过市场调研发现，该电子新产品市场潜力很大，该公司决定从第一周开始销售时，该电子产品每件售价比原定售价每周涨价4元，5周后开始保持120元的价格平稳销售，10周后由于市场竞争日益激烈，每周降价2元，直到15周结束，该产品不再销售.（Ⅰ）求售价()f t （单位：元）与周次t （*t N ∈）之间的函数关系式；（Ⅱ）若此电子产品的单件成本()h t （单位：元）与周次()21(7)1008h t t --+=之间的关系式为[1,15]t ∈，()f x ，*t N ∈，试问：此电子产品第几周的单件销售利润（销售利润=售价-成本）最大？ 【答案】（Ⅰ）()1004,[1,5],120,[6,10],1402,[11,15],t t f t t t t +∈⎧⎪=∈⎨⎪-∈⎩()*t N ∈；（Ⅱ）第10周【解析】（Ⅰ）根据题意,结合分段情况即可求得解析式. （Ⅱ）根据售价解析式及成本解析式,先表示出利润的函数解析式.结合二次函数性质即可求得最大值及对应的时间. 【详解】（Ⅰ）当[1,5]t ∈时,()1004f t t =+； 当[6,10]t ∈时,()120f t =；当[11,15]t ∈时,()1202(10)f t t =--1402t =-. 所以()1004,[1,5],120,[6,10],1402,[11,15],t t f t t t t +∈⎧⎪=∈⎨⎪-∈⎩()*t N ∈.（Ⅱ）由于单件电子产品的销售利润=售价-成本,即单件销售利润()()()g t f t h t =-, 所以,当[1,5]t ∈时,()211004(7)1008t t g t =++--21949848t t =++21(9)48t =+-. 此时()g t 单调递增,所以当5t =时,()g t 取得最大值1648.当[6,10]t ∈时,()21120(7)1008g t t =+--21(7)208t =-+.当10t =时,()g t 取得最大值1698. 当[11,15]t ∈时,()211402(7)1008t t g t =-+--2115369848t t =-+21(15)188t =-+. 当11t =时,()g t 取得最大值20.综上,该电子产品第10周时单件销售利润最大.【点睛】本题考查了分段函数在实际问题中的应用,利润问题的最值求法,二次函数的性质应用,属于基础题.22．已知函数()22cos sin 26x x f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期以及()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（Ⅱ）若()085f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值.【答案】（Ⅰ）π，最大值为2，最小值为12；（Ⅱ【解析】（Ⅰ）由余弦的降幂公式,结合正弦的差角公式及辅助角公式化简三角函数式,即可求得最小正周期.结合正弦函数的图像与性质即可求得在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.（Ⅱ）由（Ⅰ）将0x 代入即可求得03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.根据0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦及同角三角函数关系式求得0cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.即可由配凑法及余弦的差角公式求得0cos2x . 【详解】（Ⅰ）由余弦的降幂公式,结合正弦的差角公式及辅助角公式化简可得()22cos sin 26x x f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1cos 222x x =++1cos 22x -112cos 222x x =++ 1sin 26x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, 1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2,最小值为12. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()001sin 26f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 因为()085f x =,所以03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 由0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.从而0cos 26x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭45=-. 所以00cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 0cos 2cos 66x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0sin 2sin 66x ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了三角函数式的化简,余弦降幂公式及正余弦的差角公式应用,正弦函数的图像与性质的用法,属于中档题.。
安徽省巢湖市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题
安徽省巢湖市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.等于A. B. C. D. 【答案】A【】【分析】根据三角函数的诱导公式化简即可。
【详解】所以选A【点睛】本题考查了诱导公式的简单应用，三角函数化简求值，属于基础题。
2.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】B【】【分析】分别求出集合A与集合B，再求交集即可。
【详解】解不等式得由定义域可得所以所以选B【点睛】本题考查了交集的运算，函数定义域的求法，属于基础题。
3.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是A. B. C. D.【答案】A【】【分析】根据定义判定函数的奇偶性和单调性即可。
【详解】对于A，是奇函数，且在上为单调递增对于B，不是奇函数对于C，不是奇函数对于D，在上不具有单调性综上，所以选A【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性的应用，属于基础题。
4.已知，则A. B. C. D.【答案】D【】【分析】将要求的表达式化为，再分子、分母同时除以，化为关于的式子，代入即可求解。
【详解】根据同角三角函数关系式，代入式子中化简可得分子分母同时除以，得因为代入可求得所以选D【点睛】本题考查了同角三角函数式的应用，“齐次式”化简的方法，属于基础题。
5.设，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.【答案】C【】【分析】根据与1的大小关系，可知a最大；将b化为，进而与比较大小即可。
【详解】即所以选C【点睛】本题考查了对数、指数、幂函数值的大小比较，注意选取中间值比较，属于基础题。
6.函数的零点的个数是A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】A【】【分析】令，将函数化为，画出两个函数图像，其交点的个数即为函数的零点个数。
【详解】由题意可令，将函数化为画出函数图像如下图由图像可知，函数图像有三个交点，所以有三个零点所以选A【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题。
2019-2020学年安徽省合肥市高一上学期期末数学试题及答案
2019-2020学年安徽省合肥市高一上学期期末数学试题及答案一、单选题1．已知集合{1,2}A=，集合B满足{1,2,3}A B，则满足条件的集合B有（）个A．2 B．3 C．4 D．1【答案】C【解析】写出满足题意的集合B，即得解.【详解】因为集合{1,2}A=，集合B满足{1,2,3}A B，所以集合B={3},{1,3},{2,3},{1,2,3}.故选：C【点睛】本题主要考查集合的并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．函数()f x=）A．[2,2]-B．(2,2)-C．(,2)(2,)-∞-+∞D．{2,2}-【答案】D【解析】由题得224040xx⎧-≥⎨-≥⎩，解之即得解.【详解】由题得224040xx⎧-≥⎨-≥⎩，解之即得{2,2}x∈-.所以函数的定义域为{2,2}-. 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的定义域的计算，考查二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3．sin 570︒的值为（ ）A ．12- B ．2-C ．12D ．【答案】A【解析】利用诱导公式化简即得解. 【详解】1sin(360210)sin 210sin(18030sin5)sin37002︒=+==+=-=-. 故选：A 【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.4．已知()2,1a =，()1,1b =-，则a 在b 方向上的投影为（ ）A ．2-B ．2C ．-D【答案】A【解析】a 在b 方向上的投影为2a b b ⋅==，选A.5．如图，正方形ABCD 的边长为2，动点E 从A 开始沿A→B→C 的方向以2个单位长/秒的速度运动到C 点停止，同时动点F 从点C 开始沿CD 边以1个单位长/秒的速度运动到D 点停止，则AEF 的面积y 与运动时间x （秒）之间的函数图像大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先求出12x ≤≤时，AEF 的面积y 的解析式，再根据二次函数的图象分析判断得解. 【详解】由题得12x ≤≤时，2(1)22,42,,2BE x x CE x CF x DF x =-=-=-==-， 所以AEF 的面积y 211142(22)(42)2(2)34222x x x x x x =-⋅⋅--⋅⋅--⋅⋅-=-+， 它的图象是抛物线的一部分，且含有对称轴. 故选：A 【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω的值可以为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由图可知πππππ2sin 2,sin 133636f ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故2ω=，选B .7．若,αβ都是锐角，且5cos α=，3sin()5αβ+=，则cos β= （ ）A 25B 25C 2525D 55【答案】A【解析】先计算出()cos αβ+，再利用余弦的和与差公式，即可. 【详解】 因为,αβ都是锐角，且51cos 52α=<，所以,32ππα<<又()33sin 5αβ+=<2παβπ<+<，所以()()24cos 1sin 5αβαβ+=--+=- 225sin 1cos αα=-=，cos β=()()()cos cos cos sin sin αβααβααβα+-=+++ 25=，故选A.【点睛】本道题考查了同名三角函数关系和余弦的和与差公式，难度较大．8．已知函数()2log (1)7a a xf x x ⎡⎤=+--⎣⎦在[]2,3上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．15,1,94⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,1[2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】先考虑函数2()(1)7t x a x x =+--在[]2,3上是增函数，再利用复合函数的单调性得出21(1)2270a a >⎧⎨+⨯-->⎩求解即可.【详解】设函数2()(1)7t x a x x =+--0a >122(1)x a ∴=<+ 2()(1)7t x a x x ∴=+--在[]2,3上是增函数21(1)2270a a >⎧∴⎨+⨯-->⎩，解得54a > 故选：A 【点睛】本题主要考查了由复合函数的单调性求参数范围，属于中档题.9．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且(2)3f -=，则满足(23)3f x -<的x 的取值范围是（ ）A ．15,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．15,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．31,22⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题得函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)3f =，再根据函数的图象得到2232x -<-<，解不等式即得解. 【详解】因为偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且(2)3f -=， 所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)3f =， 因为(23)3f x -<， 所以2232x -<-<，所以1522x <<. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．已知1(2,1)P -，2(0,5)P 且点P 在线段12PP 的延长线上，1232PP PP =，则点P 的坐标为（ ） A ．(2,7)- B ．618,55⎛⎫-⎪⎝⎭C ．(4,17)-D ．(2,11)-【答案】C【解析】设(,)P x y ，根据题意得出12(2,1),(,5)PP x y PP x y ==-+-，由1232PP PP =建立方程组求解即可. 【详解】设(,)P x y ，12(2,1),(,5)PP x y PP x y ==-+-因为1232PP PP =，所以3(2,1)(,5)2x y x y -+=-即32423171(5)2x x x y y y ⎧-=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=-⎪⎩ 故选：C 【点睛】本题主要考查了由向量共线求参数，属于基础题. 11．已知函数1221,0()21,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程22()(1)()20f x m f x m -++=有五个不同实根，则m 的值是（）A ．0或12 B ．12C ．0D ．不存在【答案】C 【解析】令()t f x =，做出()f x 的图像，根据图像确定至多存在两个t 的值，使得y t =与()y f x =有五个交点时，t 的值或取值范围，进而转为求方程22(1)20t m t m -++=在t 的值或取值范围有解，利用一元二次方程根的分布，即可求解. 【详解】做出()f x 图像如下图所示： 令()t f x =，方程22()(1)()20f x m f x m -++=，为22(1)20t m t m -++=， 当0t <时，方程()t f x =没有实数解，当0t =或1t >时，方程()t f x =有2个实数解，当01t <<，方程有4个实数解， 当1t =时，方程有3个解，要使方程方程22()(1)()20f x m f x m -++=有五个实根， 则方程22(1)20t m t m -++=有一根为1，另一根为0或大于1，当1t =时，有220,0m m m -=∴=或12m =， 当0m =时，20t t -=，0t =或1t =，满足题意， 当12m =时，231022t t -+=，1t =或12t =，不合题意， 所以0m =. 故选:C.【点睛】本题考查复合方程的解，换元法是解题的关键，数形结合是解题的依赖，或直接用选项中的值代入验证，属于较难题.12．已知0>ω，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（）A ．15[,]24B ．13[,]24C ．1(0,]2D ．(0,2]【答案】A 【解析】【详解】由题意可得,322,22442k k k Z ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈， ∴1542,24k k k Z ω+≤≤+∈， 0ω>，1524ω∴≤≤．故A正确．【考点】三角函数单调性．二、填空题13．若1e ，2e 是夹角为60︒的两个单位向量，则122a e e =-+，22b e =的夹角为________.【答案】30︒ 【解析】由题得||3a =，2||2||2b e ==，再利用向量的夹角公式求解即得解. 【详解】 由题得1212|||2|1443a e e e e =-+=+-⋅=，2||2||2b e ==所以cos ,2a b <>===.所以122a e e =-+，22b e =的夹角为30︒.故答案为：30︒ 【点睛】本题主要考查平面向量的模和数量积的计算，考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．已知 tan 2α=，32παπ<<，则cos sin αα-=________.【解析】由平方关系以及商数关系得出cos αα==cos sin αα-. 【详解】由22sintan 2cos sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩以及 32παπ<<得出525cos ,sin αα=-=- 5255cos sin 555αα⎛⎫∴-=---= ⎪ ⎪⎝⎭故答案为：5【点睛】本题主要考查了平方关系以及商数关系，属于基础题. 15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=12（弦矢+2矢）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为23π，弦长等于9m 的弧田.按照．．上述经验．．．．公式计算所得弧田的面积是________2m .【答案】32748+. 【解析】如下图所示，在Rt AOC ∆中，求出半径,OA OC ，即可求出结论. 【详解】设弧田的圆心为O ，弦为AB ，C 为AB 中点，连OC 交弧为D ，则OC AB ⊥，所以矢长为CD ，在Rt AOC ∆中，92AC=，3AOC π∠=，所以9233sin3OA π==，13333,2OC OA CD ===， 所以弧田的面积为2211333327327()(9())228AB CD CD ⋅+=⨯+=+. 故答案为：2732748+.【点睛】本题以数学文化为背景，考查直角三角形的边角关系，认真审题是解题的关键，属于基础题.16．设函数2()3f x x ax a =-++，()g x x a =-若不存在．．．0x R ∈，使得()00f x <与()00g x <同时成立，则实数a 的取值范围是________. 【答案】36a -≤≤.【解析】当,()0x a g x ≥≥恒成立，不存在0(,)x a ∈+∞使得()00f x <与()00g x <同时成立，当x a <时，()0<g x 恒成立，则需x a <时，()0f x ≥恒成立，只需x a <时，min ()0f x ≥，对()f x 的对称轴分类讨论，即可求解. 【详解】若x a <时，()0<g x 恒成立，不存在0x R ∈使得()00f x <与()00g x <同时成立， 则x a <时，()0f x ≥恒成立， 即x a <时，min()0f x ≥，2()3f x x ax a =-++对称轴为2a x =， 当2aa ≥时，即min 0,()()30a f x f a a ≤==+≥，解得30a -≤≤，当2aa <，即min 0,()a f x >为抛物线的顶点的纵坐标，min ()0f x ≥，只需24(3)0,26a a a ∆=-+≤-≤≤，06a ∴<≤.若,()0x a g x ≥≥恒成立，不存在0(,)x a ∈+∞ 使得()00f x <与()00g x <同时成立， 综上，a 的取值范围是36a -≤≤. 故答案为:36a -≤≤. 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图像和性质，不等式恒成立和能成立问题的解法，考查分类讨论和转化化归的思想方法，属于较难题.三、解答题 17．已知{}2|8200P x xx =--≤，非空集合{|11}S x m x m =-≤≤+，若S 是P 的子集，求m 的取值范围. 【答案】[0,3] 【解析】由28200xx --，解得210x -．根据非空集合{|11}S x m x m =-+，S 是P的子集，可得2111011m m m m --⎧⎪+⎨⎪-≤+⎩，解得m范围． 【详解】 由28200xx --，解得210x -．[2P ∴=-，10]．非空集合{|11}S x m x m =-+．又S 是P 的子集，∴2111011m m m m --⎧⎪+⎨⎪-≤+⎩，解得03m ． m ∴的取值范围是[0，3]．【点睛】本题考查了不等式的解法和充分条件的应用，考查了推理能力与计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 18．已知()3sin ,cos a x m x=+，()cos ,cos b x m x =-+，且()f x a b =⋅（1）求函数()f x 的解析式；（2）当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值是4-，求此时函数()f x 的最大值，并求出函数()f x 取得最大值时自变量x 的值 【答案】（1）()21sin(2)62f x x m π=++-（2）5,26x π-=【解析】试题分析：（1）由向量的数量积运算代入点的坐标得到三角函数式，运用三角函数基本公式化简为()()sin f x A x ωϕ=+的形式；（2）由定义域,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可得到x ωϕ+的范围，结合函数单调性求得函数最值及对应的自变量值试题解析：（1）即22()3cos cos f x x x x m =+-23sin 21cos 22x x m +=+-21sin(2)62x m π=++-（2）由,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，52,666x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，1sin(2),162x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦， 211422m ∴-+-=-，2m ∴=± max 15()1422f x ∴=+-=-，此时，sin(2)=1,2=663626x x x x ππππππ⎡⎤+∈-∴+∴=⎢⎥⎣⎦，且，【考点】1．向量的数量积运算；2．三角函数化简及三角函数性质19．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()2f x x x =-+.（1）求函数()f x 在R 上的解析式；（2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩；（2）(]1,3 【解析】（1）根据函数奇偶性可得()()f x f x -=-且()00f =；当0x <时，0x ->，根据()()f x f x =--可求得()f x ，又()0f 满足()22f x xx =+，可得分段函数解析式；（2）由解析式可得函数的图象，根据图象可得不等式，解不等式求得取值范围. 【详解】 （1）()f x 是定义在R 上的奇函数()()f x f x ∴-=-且()00f =当0x <时，0x ->()()()2222f x f x x x x x ⎡⎤∴=--=----=+⎣⎦又()0f 满足()22f x xx =+()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+>∴=⎨+≤⎩（2）由（1）可得()f x 图象如下图所示：()f x 在区间[1,2]a --上单调递增 121a ∴-<-≤，解得：(]1,3a ∈a ∴的取值范围为：(]1,3【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解分段函数解析式、根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略区间两个端点之间的大小关系，造成取值范围缺少下限. 20．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+0,0,||2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭，在一个周期内的图象如下图所示.（1）求函数的解析式；（2）设0πx <<，且方程()f x m =有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围和这两个根的和. 【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（2）21m -<<或12m <<；当(2,1)∈-m 时，两根之和43π；当(1,2)m ∈）时，两根之和3π.【解析】（1）观察图象可得：2A =，根据(0)1f =求出ϕ，再根据11()012f π=可得=2ω．可得解;（2）如图所示，()2sin(2)16f πππ=+=．作出直线y m =．方程()f x m =有两个不同的实数根转化为：函数()2sin(2)6f x x π=+．与函数y m =图象交点的个数．利用图象的对称性质即可得出． 【详解】（1）观察图象可得：2A =，因为f(0)=1,所以12sin 1,sin ,||,226ππϕϕϕϕ=∴=<∴=. 因为1111()0,2sin()012126f ππωπ=∴⋅+=， 由图象结合五点法可知，11(0)12π，对应于函数y=sinx 的点(2,0)π，所以112,2126πωππω⋅+=∴= ()2sin(2)6πf x x ∴=+．（2）如图所示，()2sin(2)16f πππ=+=． 作出直线y m =．方程()f x m =有两个不同的实数根转化为：函数()2sin(2)6f x x π=+．与函数y m =图象交点的个数．可知：当21m -<<时，此时两个函数图象有两个交点，关于直线23x π=对称，两根和为43π．当12m <<时，此时两个函数图象有两个交点，关于直线6x π=对称，两根和为3π．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质、方程思想、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21．某市有A ，B 两家乒乓球俱乐部，两家的设备和服务都很好，但收费标准不同，A 俱乐部每张球台每小时5元，B 俱乐部按月收费，一个月中30h 以内（含30h ）每张球台90元，超过30h 的部分每张球台每小时加收2元.某学校准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15h ，也不超过40h ．（1）设在A 俱乐部租一-张球台开展活动h x 的收费为()f x 元154()0x ≤≤，在B 俱乐部租一张球台开展活动h x 的收费为()g x 元154()0x ≤≤，试求()f x 和()g x 的解析式；（2）问选择哪家俱乐部比较合算?为什么?【答案】（1）()()51540f x x x =≤≤ ()90,1530,230,3040,x g x x x ≤≤⎧=⎨+<≤⎩； （2）当1518x ≤<时，选择A 俱乐部比较合算；当18x =时，两家都一样；当1840x <≤时，选择B 俱乐部比较合算.【解析】（1）根据已给函数模型求出函数解析式． （2）比较()f x 和()g x 的大小可得（可先解方程()()f x g x =，然后确定不同范围内两个函数值的大小． 【详解】（1）由题意可得()() 51540f x x x =≤≤ 当1530x ≤≤时，()90g x =， 当3040x <≤时，()()90302230g x x x +-⨯+=＝， ∴()90,1530,230,3040,x g x x x ≤≤⎧=⎨+<≤⎩（2）当1518x ≤<时，()7590f x ≤<，()90g x =，∴()() f x g x <； 当18x =时，()()90f x g x ==；当1830x <≤时，()90g x =，而()551890f x x =>⨯=，∴()() f x g x >； 当3040x <≤时，()23024030110g x x +≤⨯+==，而() 5530150f x x =>⨯＝，∴()() f x g x >.∴当1518x ≤<时，选择A 俱乐部比较合算； 当18x =时，两家都一样；当1840x <≤时，选择B 俱乐部比较合算。
2019-2020学年安徽省XX高一上学期期末数学试题及答案
2019-2020学年安徽省XX 高一上学期期末数学试题及答案一、单选题1．若集合{}0A x x =<，且B A ⊆，则集合B 可能是( ) A ．{}1x x >- B ．RC ．{}2,3--D ．{}3,1,0,1--【答案】C【解析】通过集合{}0A x x =<，且B A ⊆，说明集合B 是集合A 的子集，对照选项即可求出结果．【详解】解：因为集合集合{}0A x x =<，且B A ⊆，所以集合B 是集合A 的子集，当集合{}1B x x =>-时，1A ∉，不满足题意， 当集合B R =时，1A ∉，不满足题意， 当集合{}2,3B =--，满足题意，当集合{}3,1,0,1B -=-时，1A ∉，不满足题意， 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的基本运算，集合的包含关系判断及应用，属于基础题． 2．函数()()1f x x =+的定义域是( )A ．(],1-∞-B ．()1,+∞C ．()()1,11,-+∞D ．()1,1-【答案】D【解析】可看出，要使得()f x 有意义，则需满足1010x x +>⎧⎨->⎩，解出x 的范围即可． 【详解】 解：要使()f x 有意义，则1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<， ()f x ∴的定义域为()1,1-．故选：D ． 【点睛】本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．3．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ） A ．a c b << B ．b a c << C ．a b c << D ．b c a <<【答案】B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.4．函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．关于点（－6π，0）对称B ．关于原点对称C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x=6π对称【答案】A【解析】【详解】,06x y π=-=∴关于点（－6π，0）对称，选A.5．函数f (x )＝lg x －1x 的零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,10) C ．(10,100) D ．(100，＋∞) 【答案】B【解析】函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且函数f （x ）单调递增， ∵()()1f 110f 101010=-=-，， ∴在（1，10）内函数f （x ）存在零点， 故选B点睛：函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．6．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（ ） A ．24cm B ．26cm C ．28cm D ．216cm【答案】A【解析】利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出． 【详解】设此扇形半径为r ，扇形弧长为l=2r 则2r +2r ＝8，r=2，∴扇形的面积为12l r=224r cm =故选A【点睛】本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题． 7．已知()1cos 3πα+=，则cos2=α( )A ．79 B ．89- C ．79-D ．9【答案】C【解析】由条件利用诱导公式求得cos α，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值． 【详解】 解：()1cos 3πα+= 1cos 3α∴=-2217cos 22cos 12139αα⎛⎫∴=-=⨯--=- ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．8．已知函数223y x x =-+在闭区间[]0,m 有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为( ) A ．[]0,1 B ．()1,2 C ．(]1,2D ．[]1,2【答案】D【解析】作出函数图象，数形结合即可得解. 【详解】 解：()223y f x x x ==-+()()212f x x ∴=-+，作出函数()f x 的图象，如图所示，当1x =时，()f x 取得最小值，()()min 12f x f ==，且()()023f f == 因为函数2()23=-+f x x x 在闭区间[]0,m 上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围是[]1,2． 故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题．9．曲线1:sin C y x =，曲线2:cos 2C y x =，下列说法正确的是 （ ）A ．将1C 上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移4π个单位，得到2C B ．将1C 上所有点横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移4π个单位，得到2CC ．将1C 上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移2π个单位，得到2CD ．将1C 上所有点横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移2π个单位，得到2C 【答案】B【解析】由于πsin cos 2y x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故首先横坐标缩小到原来12得到πcos 22x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再向左平移π4个单位得到cos2x .故选B . 10．如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x ≥+的解集是（）A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤【答案】C【解析】试题分析：如下图所示，画出2()log (1)g x x =+的函数图象，从而可知交点(1,1)D ，∴不等式()()f x g x ≥的解集为(1,1]-，故选C ．【考点】1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想． 11．函数()()ln2x x x e e f x --=，则()f x 是( )A ．奇函数，且在()0,∞+上单调递减B ．奇函数，且在()0,∞+上单调递增C ．偶函数，且在()0,∞+上单调递减D ．偶函数，且在()0,∞+上单调递增【答案】D 【解析】()()ln ln 22x x x x e e e e f x f x --++-===,所以()ln2x xe ef x -+=为偶函数,设()2x xe e u x -+=,则'()2x xe e u x --=在()0+∞，单调递增, '()'(0)02x xe e u x u --∴=>=()2x xe e u x -+∴=在()0+∞，单调递增, 所以()ln2x xe ef x -+=在()0+∞，单调递增,故选B 12．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x <时，()2x f x a =-，若函数()f x 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．0,1B ．1,0C ．()1,1-D ．(),1-∞【答案】A【解析】根据函数为R 上的奇函数，则()00f =，且函数的图象关于原点对称，由函数有三个零点，则只需研究函数在0x <时的零点，求出参数a 的取值范围.因为()f x 为R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，且函数的图象关于原点对称.()00f ∴=因为函数()f x 恰有三个零点，且当0x <时，()2xf x a =-，故当0x <时，()2xf x a =-函数有1个零点，则函数图象如图所示：021=011a ∴<-<，解得01a <<，故()0,1a ∈故选：A 【点睛】本题考查函数的零点，考查数形结合思想，属于基础题. 13．已知函数()1212xxf x -=+，实数a ，b 满足不等式()()2430f a b f b ++->，则下列不等式恒成立的是（）A ．2b a -<B ．22a b +>C ．2b a ->D ．22a b +<【解析】由题意得122112()()122121x x xxx x f x f x ------===-=-+++，故函数()f x 为奇函数．又21(21)22()1121212x x x x xf x -+-=-=-=-++++，故函数()f x 在R 上单调递减．∵()()2430f a b f b ++->， ∴()()()24334f a b f b f b +>--=-， ∴234a b b +<-， ∴2b a ->．选C ．二、填空题 14．函数()20192019x f x a -=+（0a >且1a ≠）图象所过的定点坐标是______. 【答案】()2019,2020【解析】令指数为0，即可求出函数恒过的定点. 【详解】 解：因为()20192019x f x a-=+（0a >且1a ≠）令20190x -=解得2019x =，则()0201920192020f a =+=故函数恒过点()2019,2020 故答案为：()2019,2020 【点睛】本题考查指数型函数过定点问题，属于基础题.15．()()4log 1,01,0x x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，则()()11f f -+=__________． 【答案】52【解析】()()1112f -=--=，()411log 22f ==，故原式52=. 16．已知sin 2cos 0αα-=，则23sin cos cos ααα-的值是______. 【答案】1【解析】首先利用同角三角函数的基本关系求出tan α，再利用平方关系将23sin cos cos ααα-化成齐次式，最后代入求值. 【详解】 解：sin 2cos 0αα-=sin tan 2cos ααα∴== 22223sin cos cos 3sin cos cos sin cos αααααααα-∴-=+23tan 1tan 1αα-=+ 232121⨯-=+ 1=故答案为：1 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题. 17．已知幂函数()12f x x =，若()()1102f a f a +<-，则a 的取值范围是______. 【答案】[)1,3-【解析】由幂函数12()f x x =在[)0,+∞上单调递增可得01102a a +<-，从而解得．【详解】解：幂函数12()f x x =在[)0,+∞上单调递增， 又(1)(102)f a f a +<-，01102a a ∴+<-， 13a ∴-<，即[)1,3a ∈-故答案为：[)1,3-． 【点睛】本题考查了幂函数的性质的应用，属于基础题． 18．已知函数12()(0)f x x x -=>，若(1)(102)f a f a +<-，则a 的取值范围是______. 【答案】(3,5) 【解析】由函数12()(0)f x x x -=>的单调性求解．【详解】 易知函数12()(0)f x xx -=>是定义域内的单调递减函数，根据题意可得10,1020,1102,a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩解得1,5,3.a a a >-⎧⎪<⎨⎪>⎩据此可得a 的取值范围是35a <<.故答案为：(3,5)． 【点睛】本题考查幂函数的单调性，属于基础题．三、解答题 19．已知集合{}{}{}|2318,|215,|1A x x B x x C x x a x a =≤-≤=-<=≤≥+或．（1）求,A B A B ；（2）若()R C C A ⊆，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）[]1,2a ∈ 【解析】（1）首先求得[]()1,3,,3A B ==-∞，由此求得,A B A B⋂⋃的值.（2）(),1R C C a a =+，由于()[],11,3a a +⊆，故113a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得[]1,2a ∈. 【详解】解：{}{}|13,|3A x x B x x =≤≤=<， （1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）∵{}|1C x x a x a =≤≥+或，∴{}|1R C C x a x a =<<+，∵()R C C A ⊆，∴113a a ≥⎧⎨+≤⎩，∴[]1,2a ∈．20．计算221(1).log 24lg log lg 2log 32+--32601(8)9⎛⎫--- ⎪⎝⎭－ 【答案】（1）32.（2）44.【解析】【详解】试题分析：（1）底数相同的对数先加减运算，根号化为分数指数.（2）根号化为分数指数，再用积的乘方运算. 试题解析：223222321(1).log 24lg log lg 2log 321(log 24log 3)(lg lg 2)log 32333log 8lg13222+--=-++-=+-=-=32601(-8)9⎛⎫--⎪⎝⎭－ 11362322(32()3)1--=⨯--9827144=⨯--=【考点】1.对数运算，指数运算.2.分数指数，零指数等运算.21．已知函数2()(8)f x ax b x a ab=+---的零点是-3和2(1)求函数()f x的解析式.(2)当函数()f x的定义域是0,1时求函数()f x的值域.【答案】（1）2()3318f x x x=--+（2）[12,18]【解析】【详解】（1）832,323,5b a aba ba a----+=--⨯=∴=-=,()23318f x x x=--+（2）因为()23318f x x x=--+开口向下，对称轴12x=-,在[]0,1单调递减，所以()()max min0,18,1,12x f x x f x====当当所以函数()f x的值域为[12,18]【点睛】本题将函数的零点、解析式、最大小值等有关知识与性质有机整合在一起，旨在考查函数的表示、零点、最大小值等基础知识及综合运用．求解时先依据函数零点与方程的根之间的关系，求出函数解析式中的参数的值；解答第二问时，借助二次函数的图像和性质，运用数形结合的数学思想求出最大小值从而使得问题获解．22．已知函数()2cos sin3f x x x xπ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭x R∈．（Ⅰ）求()f x的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值．【答案】（Ⅰ）π;（Ⅱ）最小值12-和最大值14． 【解析】试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将()f x 的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数()sin y A x B ωϕ=++的最小正周期计算公式2T πω=，即可求得函数()f x 的最小正周期；（2）由（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数()f x 在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数()f x 在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数()f x 在闭区间上的最大值和最小值．由已知，有()f x 的最小正周期．（2）∵()f x 在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数()f x 在闭区间上的最大值为，最小值为．【考点】1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．23．某房地产开发商为吸引更多消费者购房，决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园．如图，已知扇形AOB 的圆心角4AOB π∠=，半径为200米，现欲修建的花园为平行四边形OMNH ，其中M ，H 分别在OA ，OB 上，N 在AB 上．设MON θ∠=，平行四边形OMNH 的面积为S .（1）将S 表示为关于θ的函数； （2）求S 的最大值及相应的θ值．【答案】（1）()40000cos sin sin S θθθ=-，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）当8θπ=时，S 取得最大值()2000021平方【解析】（1）分别过N 作NP OA ⊥于P ，过H 作HE OA ⊥于E ，利用三角函数，求出HN 和NP 长度，即可求出S 关于θ的函数.（2）利用二倍角和辅助角公式化简函数解析式，通过θ的范围求出S 的最大值及相应的θ值. 【详解】 （1）如图，过N 作NP OA ⊥于P ，过H 作HE OA ⊥于E ， ∵4AOB π∠=，∴200sin OE EH NP θ===，200cos OP θ=， ∴()200cos sin HN EP OP OE θθ==-=-，∴()40000cos sin sin S HN NP θθθ=⋅=-，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）()211cos 240000cos sin sin 40000sin 222S θθθθθ-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()20000sin 2cos 21200002214πθθθ⎡⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎦，∵0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴32,444θπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴当242θππ+=，即8θπ=时，S 取得最大值，且最大值为)2000021平方米.【点睛】本题第一问考查三角函数在解决实际问题的应用.第二问考查三角函数的化简，最值问题，考查学生的计算能力和转化思想的应用，属于中档题. 24．已知()()()22log 2log 2f x x x =-++.(1)求函数()f x 的定义域； (2)求证：()f x 为偶函数；(3)指出方程()f x x =的实数根个数，并说明理由.【答案】(1)()2,2-；(2)证明见解析；(3)两个，理由见解析. 【解析】（1）根据对数函数的真数大于0，列出不等式组求出x 的取值范围即可；（2）根据奇偶性的定义即可证明函数()f x 是定义域上的偶函数．（3）将方程()f x x =变形为()22log 4x x -=，即242x x -=，设()242xg x x =--（22x -≤≤），再根据零点存在性定理即可判断. 【详解】 解：（1）()()()22log 2log 2f x x x =-++2020x x ->⎧∴⎨+>⎩，解得22x -<<，即函数()f x 的定义域为()2,2-； （2）证明：∵对定义域()2,2-中的任意x ， 都有()()()()22log 2log 2f x x x f x -=++-=∴函数()f x 为偶函数；（3）方程()f x x =有两个实数根， 理由如下：易知方程()f x x =的根在()2,2-内，方程()f x x =可同解变形为()22log 4x x -=，即242x x -=设()242xg x x =--（22x -≤≤）.当[]2,0x ∈-时，()g x 为增函数，且()()20120g g -⋅=-<， 则在()2,0-内，函数()g x 有唯一零点，方程()f x x =有唯一实根，又因为偶函数，在()0,2内，函数()g x 也有唯一零点，方程()f x x =有唯一实根，所以原方程有两个实数根. 【点睛】本题考查函数的定义域和奇偶性的应用问题，函数的零点，函数方程思想，属于基础题．25．已知函数()f x 对任意实数x ，y 都满足()()()f xy f x f y =，且()11f -=-，()1279f =，当1x >时，()()0,1f x ∈. (1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性，并给出证明； (3)若()1f a +≤a 的取值范围.【答案】(1)()f x 为奇函数；(2)()f x 在(),0-∞上单调递减，证明见解析；(3)[)4,1--.【解析】（1）令1y =-，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；（2）先证明当0x >时，()0f x >，再利用已知和单调函数的定义，证明函数()f x 在()0,∞+上的单调性，根据函数的奇偶性，即可得到函数()f x 在(),0-∞上的单调性； （3）先利用赋值法求得()3f -=再利用函数的单调性解不等式即可 【详解】解：（1）令1y =-，则()()()1f x f x f -=-. ∵()11f -=-，∴()()f x f x -=-∴函数()f x 为奇函数； (2)函数()f x 在(),0-∞上单调递减. 证明如下：由函数()f x 为奇函数得()()111f f =--=当()0,1x ∈时，11x >，()10,1f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()111f x f x =>⎛⎫ ⎪⎝⎭所以当0x >时，()0f x >， 设120x x <<，则211x x >，∴2101x f x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 于是()()()22211111x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减.∵函数()f x 为奇函数，∴函数()f x 在(),0-∞上单调递减. (3)∵()1279f =，且()()()()327393f f f f ==⎡⎤⎣⎦，∴()3f =又∵函数()f x 为奇函数，∴()3f -=∵()1f a +≤∴()()13f a f +≤-，函数()f x 在(),0-∞上单调递减.又当0x ≥时，()0f x ≥. ∴310a -≤+<，即41a -≤<-， 故a 的取值范围为[)4,1--. 【点睛】本题考查了抽象函数表达式的意义和运用，函数奇偶性的定义和判断方法，函数单调性定义及其证明，利用函数的单调性解不等式的方法。
(9份试卷汇总)2019-2020学年安徽省巢湖市数学高一(上)期末监测模拟试题
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．已知θ为第Ⅱ象限角，225sin sin 240,θθ+-=则cos 2θ的值为（）A ．35- B ．35±C ．22D ．45±2．若关于的方程有两个不同解，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.3．已知函数()22x 2x f x x 3sinx 121=-+++，设()f x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大、小值分别为M 、N ，则M+N的值为( ) A ．2B ．1C ．0D ．1-4．函数()()2log 1f x x =-的定义域是( ) A ．{}2x xB ．{}1x xC ．{|2}x x ≥D ．{|1}x x ≥5．已知0a >，0b >，且21a b ab +=-，则2+a b 的最小值为 A ．526+B ．82C ．5D ．96．若实数,x y 满足223x y +=，则2yx -的取值范围是( ) A ．()3,3-B ．()(),33,-∞-⋃+∞C ．3,3⎡⎤-⎣⎦D ．(),33,⎤⎡-∞-⋃+∞⎦⎣7．若32x =8，y=log 217，z=（27）-1，则（ ） A.x y z >>B.z x y >>C.y z x >>D.y x z >>8．A ，B 两名同学在5次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若A ，B 两人的平均成绩分别是A x ，B x ，观察茎叶图，下列结论正确的是( )A ．AB x x <，B 比A 成绩稳定 B ．A B x x >，B 比A 成绩稳定C ．A B x x <，A 比B 成绩稳定D ．A B x x >，A 比B 成绩稳定9．已知()2,1a =r ，()1,1b =-r ，则a r 在b r方向上的投影为（ ）A.22 C.55 10．函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c < 11．已知函数的图像如图所示，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线,AC BD 互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA 分别相交于点,,,E F G H ，记四边形EFGH 的面积为y，设BEx AB=，则（ ）（A ）函数()y f x =的值域为(0,4] （B ）函数()y f x =的最大值为8（C ）函数()y f x =在2(0,)3上单调递减（D ）函数()y f x =满足()(1)f x f x =- 二、填空题13．在ABC ∆中，D 为BC 边中点，且5AD =，10BC =，则AB AC ⋅=u u u r u u u r______.14．已知函数()21log x ,0x 42f x 11x ,x 42⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩，若存在实数a ，b ，c ，满足()()()f a f b f c ==，其中0a b c <<<，则abc 的取值范围是______．15．设函数()sin 3xf x π=，则()()()()123100f f f f +++⋯+=______．16．已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则______．三、解答题17．设等比数列{n a }的首项为12a =，公比为q(q 为正整数),且满足33a 是18a 与5a 的等差中项；数列{n b }满足232()0(,)2n n n t b n b t R n N *-++=∈∈. (1)求数列{n a }的通项公式;(2)试确定t 的值，使得数列{n b }为等差数列：(3)当{n b }为等差数列时，对每个正整数是k ，在k a 与1k a +之间插入k b 个2,得到一个新数列{n C }，设n T 是数列{n C }的前n 项和，试求满足13m m T c +=的所有正整数m .18．已知函数()()log 12(0a f x x a =-+>，且1)a ≠过点()3,3．()1求实数a 的值；()2解关于x 的不等式()()2221f x f x +<-．19．某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 与投资x 成正比，其关系如图甲，B 产品的利润y 与投资x 的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位为万元).()1分别将A ，B 两种产品的利润y 表示为投资x 的函数关系式；()2该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产.问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少万元？ 20．计算：()00.52225 13()log 1lg4lg59π--++- ()2132costantan sin cos 24332πππππ-+-+ 21．如图所示,函数()2cos (,0.0)2y x x R πωθωθ=+∈>≤≤的图象与y 轴交于点(3,且该函数的最小正周期为π. (1)求θ和ω的值； (2)已知点πA ,02⎛⎫ ⎪⎝⎭,点P 是该函数图象上一点,点00(,)Q x y 是PA 的中点,当003,2y x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时，求0x 的值.22．已知动点P 与两个定点O （0，0），A （3，0）的距离的比值为2，点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的轨迹方程（2）过点（﹣1，0）作直线与曲线C 交于A ，B 两点，设点M 坐标为（4，0），求△ABM 面积的最大值．【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A C A C D A A C BD13．0 14．()8,11 15．3 16． 三、解答题17．（1）2nn a =；（2）3t =；（3）2m =.18．（1）2（2）{|3}.x x > 19．（1）()()1,04f x x x =≥，()()5,04g x x x =≥， （2）当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为6516万元。
安徽省巢湖市2019-2020学年高一下期末监测数学试题含解析
＝ ＋1后， ＝2；
＝ ＋2后， ＝4；
后，输出 值为4；
故答案为：4
【点睛】
本题主要考查了赋值语句的作用，解题的关键对赋值语句的理解，属于基础题．
安徽省巢湖市2019-2020学年高一下期末监测数学试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合 ， ，则 =( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据交集定义直接求解可得结果.
【详解】
根据交集定义知：
故选：
【点睛】
本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.
8．若集合 ，则 的真子集的个数为（）
A．3B．4C．7D．8
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出 的交集，再依据求真子集个数公式求出，也可列举求出。
【详解】
， ，
，所以 的真子集的个数为 ，故选A。
【点睛】
有限集合 的子集个数为 个，真子集个数为 。
9．在 中， ， ， ，则 =（）
A． B．
C． D．
【详解】
当 即 时，
两直线为 ， ，
两直线不平行，不符合题意；
当 时，
两直线为 ，
两直线不平行，不符合题意；
当 即 时，
直线 的斜率为 ，
直线 的斜率为 ，
因为两直线平行，所以 ，
解得 或 ，
故选B.
【点睛】
本题考查直线平行的斜率关系，注意斜率不存在和斜率为零的情况.
二、填空题：本题共4小题
13．数列 满足 ，则 ________.
14．设 ,则 的值是____.
2020-2021学年安徽省合肥市巢湖市高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年安徽省合肥市巢湖市高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，集合A={0,1，2，3，4，5}，B={x∈R|x>3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A. {0,1，2}B. {1,2}C. {0,1，2，3，4}D. {0,1，2，3}2.全称量词命题“对于任意正奇数n，所有不大于n的正奇数的和都是(n+12)2”的否定为()A. 对于任意正奇数n，所有不大于n的正奇数的和都不是(n+12)2B. 对于任意正奇数n，所有不大于n的正奇数的和都大于(n+12)2C. 存在正奇数n，使得所有不大于n的正奇数的和不是(n+12)2D. 存在正奇数n，使得所有不大于n的正奇数的和是(n+12)23.下列四组函数中，表示相等函数的一组是()A. f(x)=x，g(x)=lg10xB. f(x)=x2−1x+1，g(x)=x−1C. f(x)=√x2，g(x)=(√x)2D. f(x)=1，g(x)=x04.已知α，β∈(0,π2)，cosα=√32，cos(α+β)=13，则cosβ=()A. √36B. 2√2−√36C. √3+2√26D. 1+2√665.已知a>0，b<0，a+b>0，则下列不等式中正确的是()A. a2<b2B. a2>−abC. a+b>a−bD. −2a>2b6.已知a=ln2，b=√2，c=log21e，则()A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. b>a>c7.已知函数f(x)=e x−e−x，则不等式f(2x2)+f(−x−1)<0成立的一个充分不必要条件为()A. (−2,1)B. (0,1)C. (−12,1) D. (−∞,−12)∪(1,+∞)8.已知f(x)=log2(x2−ax+3a)在[2,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是()A. (−∞,4)B. (−4,4]C. (−∞,−4)∪[2，+∞)D. [−4,4)A. (−32,1) B. [−32,1]C. (−2,1)D. (−∞,−32)∪(1,+∞)10. 已知函数f(x)=(m 2−m −5)x m2−6是幂函数，对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1≠x 2，满足f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，若a ，b ∈R ，且a +b >0，则f(a)+f(b)的值( )A. 恒大于0B. 恒小于0C. 等于0D. 无法判断11. 已知函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω>0,−π<φ<0)的图象关于点(π8,0)对称，且其相邻对称轴间的距离为2π3，将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数g(x)的图象，则下列说法中正确的是( )A. f(x)的最小正周期T =4π3B. φ=−5π8 C. g(x)=cos(32x −17π48)D. g(x)在[0,π2]上的单调递减区间为[π8,π2]12. 已知函数f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0，若f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)(x 1,x 2,x 3,x 4互不相等)，则x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围是( )(注：函数ℎ(x)=x +1x 在(0,1]上单调递减，在(1,+∞)上单调递增)A. (−12,0)B. [−12,0]C. [0,12)D. (0,12]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. sin95°+cos185°+tan240°= ______ ．14. 已知函数f(x)={log 2x(x >0)(12)x (x ≤0)，若f(a)=4，则a = ______ ．15. 已知在△ABC 中，cos(A +B)>0，sinC =√23，则sin2C = ______ ．16. 已知函数f(x)=ln(1+|x|)−11+|x|，若f(log a 3)≥f(1)(a >0且a ≠1)，则a 的取值范围为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设集合A ={y|y =(12)x ,−2≤x ≤0}，B ={x|0≤lnx ≤1}，C ={x|t +1<x <2t,t ∈R}．(Ⅰ)求A ∩B ；(Ⅱ)若A ∩C =C ，求t 的取值范围．18.(Ⅰ)化简：(tan20°−√3)⋅cos20°sin40∘；(Ⅱ)证明：1+tan(3π−x)1−tan(3π−x)=1−sin2x1−2sin2x．19.已知函数f(x)=2x−1x，x∈(0,+∞)．(Ⅰ)用函数单调性的定义证明：f(x)是增函数．(Ⅱ)若g(x)=f(−log2x)+3−log2x，则当x为何值时，g(x)取得最小值？并求出其最小值．20.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当年销售利润不超过100万元时，按年销售利润的5%进行奖励；当年销售利润超过100万元时，若超出A万元，则奖励log2(A+1)万元，没超出部分仍按5%进行奖励.记奖金为y万元，年销售利润为x万元．(Ⅰ)写出y关于x的函数解析式；(Ⅱ)如果业务员小张获得了10万元的奖金，那么他的年销售利润是多少万元？21.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最大值和最小正周期相同，f(x)的图象过点(0,√3)，且在区]上为增函数．间[0,112(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)+1在区间(0,b)上只有4个零点，求b的最大值．22.已知函数f(x)=mx−ln(e x+1)．(Ⅰ)若m=1，判断f(x)的奇偶性；2(Ⅱ)若m=1，不等式f(x)>−1的解集；(Ⅲ)若m=1，g(x)=e2x−2f(x)−6e x，且存在x0∈[0,1]，使得n>g(x0)成立，求实数n的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为A∩∁U B，∵全集U=R，集合A={0,1，2，3，4，5}，B={x|x>3}，∴∁R B={x|x≤3}，∴A∩∁R B={0,1，2}，故选：A．由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为A∩∁U B，再利用集合的基本运算即可求解．本题主要考查了韦恩图，以及集合的基本运算，是基础题．2.【答案】C)2，【解析】解：全称命题的否定是特称命题，则否定为：存在正奇数n，使得所有不大于n的正奇数的和不是(n+12故选：C．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键，是基础题．3.【答案】A【解析】解：A.f(x)=x的定义域为R，g(x)=x，定义域为R，两个函数的定义域和对应法则相同，是相等函数．B.f(x)=x−1(x≠−1)，g(x)=x−1的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是相等函数，C.f(x)=|x|，定义域为{x|x≠0}，g(x)=x(x≥0)，两个函数的定义域和对应法则都不相同，不是相等函数，D.g(x)=1(x≠0)，f(x)=1的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是相等函数，故选：A．分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．本题主要考查相等函数的定义，函数定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，是基础题．4.【答案】C【解析】 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得sinα和sin(α+β)的值，再用两角差的三角公式求得cosβ=cos[(α+β)−α]的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用，属于基础题． 【解答】解：∵α，β∈(0,π2)，cosα=√32，cos(α+β)=13，∴sinα=√1−sin 2α=12，sin(α+β)=√1−cos 2(α+β)=2√23，则cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=13×√32+12×2√23=√3+2√26， 故选：C ．5.【答案】B【解析】解：由a >0，b <0，a +b >0，可得|a|>|b|， 所以a 2>b 2，故A 错误；a 2+ab =a(a +b)>0，故a 2>−ab ，故B 正确；a +b =a −|b|，a −b =a +|b|，所以a +b <a −b ，故C 错误； 由a +b >0，可得b >−a ，所以2b >−2a ，故D 错误． 故选：B ．由不等式的基本性质逐一判断即可．本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：∵0<ln2<lne =1，∴0<a <1， ∵c =log 21e =−log 2e <0， ∴b >a >c ， 故选：D ．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．7.【答案】B【解析】解：因为函数f(x)=e x−e−x，则f(−x)=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数，又f′(x)=e x+e−x>0恒成立，故f(x)在R上单调递增，故f(2x2)+f(−x−1)<0，可变形为f(2x2)<f(x+1)，所以2x2<x+1，解得−12<x<1，所以不等式f(2x2)+f(−x−1)<0成立的一个充分不必要条件为可以为x∈(0,1)．故选：B．先判断出函数f(x)的奇偶性，再利用导数判断出函数f(x)的单调性，将不等式f(2x2)+f(−x−1)<0变形，求出对应的x的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断即可．本题考查了充分条件与必要条件的应用，解题的关键是判断出函数的奇偶性和单调性，将不等式进行等价转化．8.【答案】B【解析】解：∵函数f(x)=log2(x2−ax+3a)在[2,+∞)上是增函数，∴y=x2−ax+3a在[2,+∞)上是增函数且大于零，∴{a2≤222−2a+3a>0，解得−4<a≤4，∴实数a的取值范围是(−4,4]．故选：B．根据题意得出函数y=x2−ax+3a在[2,+∞)上是增函数且大于零，由此列出关于a的不等式组，求出它的解集即可．本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了复合函数的单调性问题，是基础题目．9.【答案】A【解析】解：因为x+y=1，所以x2+y2+xy=(x+y)2−xy=1−xy，而x，y∈(0,+∞)，且x+y=1，则x+y≥2√xy，所以xy≤(x+y2)2=14，则x2+y2+xy=(x+y)2−xy=1−xy≥34，要使不等式x2+y2+xy>12m2+14m恒成立，只需34>12m2+14m即可，故选：A ．不等式恒成立问题可转化成利用基本不等式可求出不等式左侧的最小值，然后解不等式即可求出所求．本题主要考查了函数恒成立问题，以及基本不等式的应用，同时考查了一元二次不等式的解法，解题的关键是转化思想的运用，是中档题．10.【答案】A【解析】解：由题意得：m 2−m −5=1，解得：m =3或m =−2， 若对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1≠x 2，满足f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，则f(x)在(0,+∞)单调递增，m =3时，f(x)=x 3，符合题意，m =−2时，f(x)=1x 2，不合题意， 故f(x)=x 3，由于a ，b ∈R ，且a +b >0，所以a >−b ，由于函数为单调递增函数和奇函数，故f(a)>f(−b)， 所以f(a)>−f(b)， 所以f(a)+f(b)>0， 即f(a)+f(b)的值恒大于0， 故选：A ．根据幂函数的定义求出m 的值，根据函数的单调性确定m 的值，结合幂函数的性质判断f(a)+f(b)的值即可． 本题考查了函数的单调性，考查幂函数的性质，是一道基础题．11.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω>0,−π<φ<0)的图象关于点(π8,0)对称， 且其相邻对称轴间的距离为2π3， ∴12⋅2πω=2π3，且ω⋅π8+φ=kπ+π2，k ∈Z ， ∴ω=32，φ=−11π16，函数f(x)=cos(32⋅x −11π16).将函数f(x)=cos(32⋅x −11π16)的图象向左平移π3个单位长度后， 得到函数g(x)=cos(32⋅x +π2−11π16)=cos(32⋅x −3π16)的图象． 显然，f(x)的最小正周期为2π32=4π3，故A 正确；显然，B 、C 错误；可得f(x)的减区间为[43 kπ−π8，43kπ+19π24]，k ∈Z ．结合x ∈[0,π2]，可得函数的减区间为[0,π2]，故D 错误， 故选：A ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得到g(x)的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：作出函数f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0的图象，如图，x =12或2时，f(x)=1，令t =f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，设x 1<x 2<x 3<x 4，则有x 1+x 2=−2，x 3⋅x 4=1，且12≤x 3<1， 故x 1+x 2+x 3+x 4=−2+x 3+x 4=−2+x 3+1x 3，因为函数ℎ(x)=x +1x 在(0,1]上单调递减，在(1,+∞)上单调递增， 故x 3+1x 3的最小值趋近于1+11=2，最大值等于12+112=52．x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围是(0,12]， 故选：D ．画出函数f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0的图象，利用f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，转化求解x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围．本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及计算能力，是中档题．13.【答案】√3【解析】解：sin95°+cos185°+tan240°=sin95°−sin95°+tan60°=√3．故答案为：√3．利用诱导公式即可得出．本题考查了诱导公式、特殊角的三角函数值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】−2或16．【解析】解：当a>0时，f(a)=log2a=4，解得a=16；当a≤0时，f(a)=(12)a=4，解得a=−2，所以a=−2或a=16．故答案为：−2或16．利用分段函数的解析式，分a>0和a≤0两种情况，列出关于a的方程，求解即可．本题考查了分段函数的求值问题，对于分段函数，一般会运用分类讨论或是数形结合的方法进行求解．15.【答案】−2√149【解析】解：在△ABC中，cos(A+B)=cos(π−C)=−cosC>0，可得cosC<0，可得C为钝角，又sinC=√23，可得cosC=−√1−sin2C=−√73，则sin2C=2sinCcosC=2×√23×(−√73)=−2√149．故答案为：−2√149．由题意利用三角形内角和定理，诱导公式可求cosC<0，可得C为钝角，利用同角三角函数基本关系式可求cos C 的值，进而根据二倍角公式即可求解sin2C的值．本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】[13,1)∪(1,3]【解析】解：因为函数f(−x)=ln(1+|−x|)−11+|x|=ln(1+|x|)−11+|x|=f(x)，所以f(x)为偶函数，则只需考虑x>0时f(x)的单调性．因为y=ln(x+1)和y=−1x+1在(0,+∞)都是递增函数，若f(log a 3)≥f(1)，则|log a 3|≥1，所以{log a 3≥1log a 3≤−1， 解得13≤a <1或1<a ≤3，所以a 的取值范围为[13,1)∪(1,3]．故答案为：[13,1)∪(1,3]．先判断出函数为偶函数，然后研究x >0时函数的单调性，得到f(x)的单调性区间，利用偶函数的性质和单调性将不等式转化为对数不等式，再求出a 的取值范围．本题考查了函数的单调性以及奇偶性，解题的关键是判断出函数的单调性，属基础题． 17.【答案】解：∵(Ⅰ)集合A ={y|y =(12)x ,−2≤x ≤0}={y|1≤y ≤4}，B ={x|0≤lnx ≤1}={x|1≤x ≤e}，∴A ∩B ={x|1≤x ≤e}；(Ⅱ)∵集合A ={y|1≤y ≤4}，C ={x|t +1<x <2t,t ∈R}，A ∩C =C ，∴C ⊆A ，当C =⌀时，t +1≥2t ，解得t ≤1，当C ≠⌀时，{t +1<2tt +1≥12t ≤4，解得1<t ≤2．综上，t 的取值范围是(−∞,2]．【解析】(Ⅰ)求出集合A ，B ，再求出A ∩B ；(Ⅱ)由A ∩C =C ，得C ⊆A ，当C =⌀时，t +1≥2t ，当C ≠⌀时，{t +1<2t t +1≥12t ≤4，由此能求出t 的取值范围．本题考查交集及其运算，考查交集、子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)原式=(sin20°cos20∘−√3)⋅cos20°sin40∘=sin20°−√3cos20°cos20°⋅cos20°sin40∘=2sin(20°−60°)sin40∘=−2sin40°sin40∘=−2． (Ⅱ)左边=1+tan(− x)1−tan(−x)=1−tanx 1+tanx =1−sinx cosx 1+sinx cosx =cosx−sinx cosx+sinx ， 右边=(cosx−sinx)2cos2x =(sinx−cosx)2cos 2x−sin 2x =(cosx−sinx)2(cosx−sinx)(cosx+sinx)=cosx−sinx cosx+sinx ，则左边=右边，即等式成立．【解析】(Ⅰ)利用切化弦以及辅助角公式进行转化即可．(Ⅱ)根据切化弦，结合同角关系进行转化即可．本题主要考查三角函数的化简和证明，结合切化弦以及同角关系进行转化是解决本题的关键，是基础题． 19.【答案】(Ⅰ)证明：在区间(0,+∞)内任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(2x 1−1x 1)−(2x 2−1x 2) =2(x 1−x 2)+x 1−x 2x 1x 2 =(x 1−x 2)(2+1x 1x 2)，因为0<x 1<x 2，所以x 1−x 2<0，x 1x 2>0，所以f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，所以f(x)在区间(0,+∞)上是增函数；(Ⅱ)解：函数g(x)=f(−log 2x)+3−log 2x ， 因为f(x)的定义域是(0,+∞)，则有−log 2x >0，解得0<x <1，g(x)=2(−log 2x)+1log 2x −3log 2x =−2(log 2x +1log 2x )，令t =log 2x ，因为0<x <1，则t <0，当t <0时，y =2[(−t)+1−t ]≥4√(−t)⋅1−t =4， 当且仅当−t =1−t ，即t =−1时取等号，即log 2x =−1，此时x =12时，函数取得最小值4．【解析】(Ⅰ)根据函数单调性定义证明的一般步骤进行证明即可；(Ⅱ)首先求出函数的定义域，然后再利用基本不等式求最值即可．本题考查了函数的综合应用，涉及了利用定义法证明函数的单调性，本题的易错点是第二问中容易忽略函数的定义域，换元的时候，也要注意新变量的取值范围． 20.【答案】解：(1)由题意可知，当销售利润x ≤100万元时，y =5%x =0.05x ，当销售利润x >100万元时，y =100×0.05+log 2[(x −100)+1]，所以y 关于x 的函数关系式为y ={0.05x,x ≤1005+log 2(x −99),x >100， (2)因为小张的奖金为10万元，设其销售的利润为x 万元，①当x ≤100时，10=0.05x ，解得x =200>100，所以不符题意，②当x >100时，则10=5+log 2(x −99)，解得x =131，故小张的年销售利润为131万元．【解析】(1)由题意对销售利润分类讨论，即小于等于100和大于100时分别建立函数关系式；(2)由(1)分类讨论即可求解．本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题，考查了分段函数的性质，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)由函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最大值和最小正周期相同，可得T =2=2πω，解得ω=π．f(x)的图象过点(0,√3)，得√3=2sinφ，sinφ=√32， 由0<φ<π，可知φ=π3或φ=2π3， 当φ=2π3时，f(x)=2sin(πx +2π3)， 当x ∈[0,112]时，πx +2π3∈[2π3,3π4]，此时f(x)单调递减，不符合题意，于是f(x)=2sin(πx +π3)；((Ⅱ)令g(x)=f(x)+1=0，即sin(πx +π3)=−12，函数y =sin(πx +π3)与y =−12在每个周期中都有两个交点，当πx +π3=7π6+4π，即x =296时，刚好有5个交点，所以函数g(x)在区间(0,b)上只有4个零点时，b 的最大值为296．【解析】(Ⅰ)根据f(x)的周期求出ω，在根据图象过(0,√3)，求出φ，即可到f(x)的解析；(Ⅱ)令g(x)=0，通过研究三角函数的周期性进行分析判断即可．本题考查了三角函数的图象与性质，涉及了函数周期公式的应用、三角方程的求解、函数零点的应用，解题的关键是利用三角函数的周期性研究函数的零点．22.【答案】解：(1)若m =12，则f(x)=12x −ln(e x +1)，其定义域为R ，∴f(−x)=−1x −ln(e −x +1)=−1x −ln 1+e x x=−12x −ln(e x +1)+x =12x −ln(e x +1)=f(x)，∴f(x)为偶函数；(2)若m =1，则不等式f(x)>−1可化为x −ln(e x +1)>−1，即ln e x e x +1>−1=ln 1e ，∴e x e x +1>1e ， ∴e x+1>e x +1，∴e x (e −1)>1，∴e x >1e−1，∴x >ln 1e−1，∴不等式f(x)>−1的解集为(ln 1e−1,+∞)；(3)若m=1，则g(x)=e2x−2f(x)−6e x=e2x−2[x−ln(e x+1)]−6e x=e ln(e x+1)2−6e x =(e x+1)2−6e x=e2x−4e x+1，令t=e x，x∈[0,1]，则t=e x∈[1,e]，此时g(x)=e2x−4e x+1=t2−4t+1，记ℎ(t)=t2−4t+1，t∈[1,e]，∵ℎ(t)=t2−4t+1开口向上，对称轴为t=2，∴ℎ(t)min=ℎ(2)=22−8+1=−3；即g(x)=e2x−4e x+1在x∈[0,1]的最小值为g(x)min=−3，∵存在x0∈[0,1]，使得n>g(x0)成立，∴只需n>g(x0)min=−3，即实数n的取值范围为(−3,+∞)．【解析】(1)根据函数奇偶性的定义，进行判断，即可得出结果；(2)根据m=1，将不等式化为ln e xe x+1>−1，推出e xe x+1>1e，再解出不等式；(3)先得到g(x)=e2x−4e x+1，利用换元法，结合二次函数与指数函数的性质，得到g(x)=e2x−4e x+1在x∈[0,1]的最小值，进而得到n的取值范围．本题考查了函数的奇偶性，指数不等式的解法和利用不等式有解求参数的范围，考查了转化思想和函数思想，属中档题．。