1.2.2空间中的平行关系(3)10.15
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A B D E C
P F
想一想：应用推论怎样证
性质定理：如果两个平行平面同时和第三 个平面相交，那么它们的交线平行。
α β
a
b γ
例5.平面//平面//平面 ,两条直线l,m分别与平面， ， 相交于点A,B,C和点D,E,F。求证： AB DE BC EF
证明：连接DC，设DC与平面 相交于点G,则平面ACD与平面 , 分别相交于直线AD,BG.平面DCF 与平面 , 分别相交于直线GE,CF 因为 // , //
α
b a
β
（6） α∥β， β∥γ，则α∥γ
α
（√）
β
γ
（7）若 // ，l , 则 l与 平行
α
l
（√）
β
（8）设a、b为异面直线，b//α、
a//β，
a ,b 则
// .
（√）
α b
a
β
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中 求证:平面BC1D∥平面AB1D1
3、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是AD1、 BD和B1C的中点，求证：平面MNP∥平面CC1D1D.
D1 A1 M D N B1 E
Q
C1 F P
C
A
B
如果两个相交平面同时和第三个平面相 交，那么它们的交线的位置关系如何？
β b β γ γ α
l
α
a
b
l
a
D1 A1 D A E E1
F1
C1 B1 C B
F
求证:平面BF1 ∥平面ED1 ． 证明: A1E1∥ EB A1EBE1是平行四边形 ＝ A1E ∥E1B A1E 平面ED1 E1B∥平面ED 1 E1B 平面ED1 同理可得E1F1 ∥ 平面ED1 E1B E1F1 E1 平面BF1∥ 平面ED1.
空间中的平行关系（3） 平面与平面平行
一、两个平面的位置关系
第一、二层的底面α 和β无论怎样延伸都没有 公共点； 前、后两面房顶γ 和 δ 则有一条交线AB．
二层楼房示意图
一、两个平面的位置关系
两个平面的位置关系只有两种 ①两个平面平行——没有公共点 ②两个平面相交——有一条公共直线．
一、两个平面的位置关系
D1
证明： ∥DC∥ D1C1 AB ＝ ＝
C1 B1
A1
BC1∥AD1
ABC1D1是平行四边形
D C B
BC1 面AB1D1 AD1 面AB1D1
A
BC1∥面AB1D1
BC1 C1D=C1
同理:C1D∥面AB1D1
平面C1DB∥平面AB1D1.
2.如图,设E,F,E1,F1分别 是长方体ABCD-A1B1C1D1 的棱AB,CD,A1B1,C1D1的 中点.
两个平面平行的画法
画两个互相平行的平面时，要注意使表示 平面的两个平行四边形的对应边平行，如 记作 // 图1，而不应画成图2那样．
ห้องสมุดไป่ตู้
图1
图2
已知：在平面 内，有两条直线a、b相交 且和平面 平行． 求证 // 证明：用反证法证明． 假设 c
这与题设 a和 b是相交直线是矛盾的．
所以 BG//AD,GE//CF.
AB DG DG DE 于是，得 BC GC , GC EF .
l
m D
B
A
G
E
AB DE . 所以 BC EF
C
F
简述为：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。
巩固练习
1、判断下列命题是否正确？ （1）平行于同一条直线的两平面 平行. （×）
c d
例4.如图，三棱锥P-ABC中，D,E,F分别是PA， PB，PC的中点，求证：平面DEF//平面ABC。
证明：在 PAB中， 因为 D,E分别是PA,PB的中点, 所以 DE//AB, 又知 DE 平面ABC, 因此 DE//平面ABC, 同理 EF//平面ABC, 又因为 DE EF=E, 所以 平面DEF//平面ABC.
α a β
（2）若平面α内有两条直线都平 行于平面β，则α∥β. （×）
a
b
α β
（3）若平面α内有无数条直线都 平行于平面β，则α∥β. （×）
α
β
(4)如果平面α内的任意直线都平 行于平面β，则α∥β （√）
α
β
（5）设a、b为异面直线，则存在 平面α、β，使 a , b 且 // . （√）
a // c 同理 b // c, a // b
//
a // , a ,
二、两个平面平行的判定
判定定理：如果一个平面内有两条相 交直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行．
A
推论：如果一个平面内有两条相交直线分 别平行于另一个平面内的两条直线，则这 两个平面平行。
P F
想一想：应用推论怎样证
性质定理：如果两个平行平面同时和第三 个平面相交，那么它们的交线平行。
α β
a
b γ
例5.平面//平面//平面 ,两条直线l,m分别与平面， ， 相交于点A,B,C和点D,E,F。求证： AB DE BC EF
证明：连接DC，设DC与平面 相交于点G,则平面ACD与平面 , 分别相交于直线AD,BG.平面DCF 与平面 , 分别相交于直线GE,CF 因为 // , //
α
b a
β
（6） α∥β， β∥γ，则α∥γ
α
（√）
β
γ
（7）若 // ，l , 则 l与 平行
α
l
（√）
β
（8）设a、b为异面直线，b//α、
a//β，
a ,b 则
// .
（√）
α b
a
β
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中 求证:平面BC1D∥平面AB1D1
3、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是AD1、 BD和B1C的中点，求证：平面MNP∥平面CC1D1D.
D1 A1 M D N B1 E
Q
C1 F P
C
A
B
如果两个相交平面同时和第三个平面相 交，那么它们的交线的位置关系如何？
β b β γ γ α
l
α
a
b
l
a
D1 A1 D A E E1
F1
C1 B1 C B
F
求证:平面BF1 ∥平面ED1 ． 证明: A1E1∥ EB A1EBE1是平行四边形 ＝ A1E ∥E1B A1E 平面ED1 E1B∥平面ED 1 E1B 平面ED1 同理可得E1F1 ∥ 平面ED1 E1B E1F1 E1 平面BF1∥ 平面ED1.
空间中的平行关系（3） 平面与平面平行
一、两个平面的位置关系
第一、二层的底面α 和β无论怎样延伸都没有 公共点； 前、后两面房顶γ 和 δ 则有一条交线AB．
二层楼房示意图
一、两个平面的位置关系
两个平面的位置关系只有两种 ①两个平面平行——没有公共点 ②两个平面相交——有一条公共直线．
一、两个平面的位置关系
D1
证明： ∥DC∥ D1C1 AB ＝ ＝
C1 B1
A1
BC1∥AD1
ABC1D1是平行四边形
D C B
BC1 面AB1D1 AD1 面AB1D1
A
BC1∥面AB1D1
BC1 C1D=C1
同理:C1D∥面AB1D1
平面C1DB∥平面AB1D1.
2.如图,设E,F,E1,F1分别 是长方体ABCD-A1B1C1D1 的棱AB,CD,A1B1,C1D1的 中点.
两个平面平行的画法
画两个互相平行的平面时，要注意使表示 平面的两个平行四边形的对应边平行，如 记作 // 图1，而不应画成图2那样．
ห้องสมุดไป่ตู้
图1
图2
已知：在平面 内，有两条直线a、b相交 且和平面 平行． 求证 // 证明：用反证法证明． 假设 c
这与题设 a和 b是相交直线是矛盾的．
所以 BG//AD,GE//CF.
AB DG DG DE 于是，得 BC GC , GC EF .
l
m D
B
A
G
E
AB DE . 所以 BC EF
C
F
简述为：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。
巩固练习
1、判断下列命题是否正确？ （1）平行于同一条直线的两平面 平行. （×）
c d
例4.如图，三棱锥P-ABC中，D,E,F分别是PA， PB，PC的中点，求证：平面DEF//平面ABC。
证明：在 PAB中， 因为 D,E分别是PA,PB的中点, 所以 DE//AB, 又知 DE 平面ABC, 因此 DE//平面ABC, 同理 EF//平面ABC, 又因为 DE EF=E, 所以 平面DEF//平面ABC.
α a β
（2）若平面α内有两条直线都平 行于平面β，则α∥β. （×）
a
b
α β
（3）若平面α内有无数条直线都 平行于平面β，则α∥β. （×）
α
β
(4)如果平面α内的任意直线都平 行于平面β，则α∥β （√）
α
β
（5）设a、b为异面直线，则存在 平面α、β，使 a , b 且 // . （√）
a // c 同理 b // c, a // b
//
a // , a ,
二、两个平面平行的判定
判定定理：如果一个平面内有两条相 交直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行．
A
推论：如果一个平面内有两条相交直线分 别平行于另一个平面内的两条直线，则这 两个平面平行。