偏微分方程数值解复习题(2013硕士)

偏微分方程数值解期末复习（2012硕士）

一、考题类型

本次试卷共六道题目，题型及其所占比例分别为：填空题20%；计算题80% 二、按章节复习内容

第一章

知识点：Euler法、向前差商、向后差商、中心差商、局部截断误差、整体截断误差、相容性、收敛性、阶、稳定性、显格式、隐格式、线性多步法、第一特征多项式、第二特征多项式、稳定多项式、绝对稳定等；

要求: 熟练一元函数的数值微分公式；会辨认差分格式, 计算线性多步法的局部截断误差和阶;

第二章

知识点：矩形网格、(正则,非正则)内点、边界点、偏向前(向后,中心)差商、五点差分格式、增设虚点法、积分插值法、线性椭圆型差分格式、极值原理、比较定理、五点差分格式的相容、收敛和稳定性等；

要求: 熟练多元函数的数值微分公式；会建立椭圆型方程边值问题的差分格式；计算局部截断误差；了解极值原理讨论格式的收敛性和稳定性;

第四章

知识点：最简显格式、最简隐格式、CN格式、双层加权格式、Richardson 格式、网格比、传播因子法(分离变量法) 、传播因子、传播矩阵、谱半径、von Neumann条件、跳点格式、ADI格式等；

要求: 会建立抛物型方程边值问题的经典差分格式；计算局部截断误差;

会计算格式的传播因子或传播矩阵；会讨论格式的稳定性；

第五章

知识点：依赖区域、左偏心格式、右偏心格式、中心格式、LF格式、LW 格式、Wendroff格式、跳蛙格式、特征线、CFL条件等；

要求: 建立双曲型方程边值问题的差分格式；计算局部截断误差;

会计算格式的传播因子或传播矩阵；讨论格式的稳定性；

第七章

知识点：单元、线性元、线性基、(单元)刚度矩阵、(单元)荷载向量等；

要求: 会用线性元(线性基)建立常微分方程边值问题的有限元格式

三 练习题

1、 试建立Euler 法(向后Euler 法或梯形法)，并讨论格式的局部截断误差和阶。

P4，6，8+课件

2、 已知一个线性二或三步法，试讨论格式的局部截断误差和阶。

P23，25，27+课件+P41

3、用数值微分方法或数值积分方法建立椭圆型方程

22223(,),(,),u u f x y x y x y ∂∂--=∀∈Ω∂∂ :01,01x y Ω≤≤≤≤

内点的差分格式。 P69，75+课件

4、构造椭圆型方程第三类边值问题的差分格式. P101 (4)题

5、对于两点边值问题,(,)()0, ()0u qu f x a b u a u b ''-+=∈⎧⎪=⎨⎪=⎩

用等距结点线性元推导有限元方程. 参考P267+P271相关知识点+课件

6、对于椭圆型边值问题00

, (,)[0,][0,], , 0,0y y b x x a u qu f x y a b u c u d u u x x ====⎧⎪-+=∈⨯⎪⎪==⎨⎪∂∂⎪==⎪∂∂⎩ 用三角剖分单元的线性元推导其有限元方程. 参考P276-P298相关知识点+课件

7、 构建一维热传导方程220,(0)u u Lu a a t x

∂∂=-=>∂∂的最简显格式或最简隐格式或6点CN 格式，并分析格式的局部截断误差和稳定性。

P132-135，156+课件

8、设有逼近热传导方程220(0)u u Lu a a const t x ∂∂≡-==>∂∂的带权双层格式

()()1111111122(1)2k k

j j

k k k k k k j j j j j j u u a u u u u u u h

θθτ++++-+-+-⎡⎤=-++--+⎣⎦

其中[0,1]θ∈，试求其截断误差。并证明当2

1212h a θτ=-时，截断误差的阶最

高阶为24()O h τ+。 P135+P165+课件

9、 构建一维热传导方程220,(0)u u Lu a a t x

∂∂=-=>∂∂的显隐交替格式(跳点格式)，并分析格式的稳定性。

P132-135，156+课件

10、对一阶常系数双曲型方程的初值问题

0,0,01,0,(,0)(),01,

u u a t T x a t x u x x x φ∂∂⎧+=<≤<<>⎪∂∂⎨⎪=≤<⎩ 试建立左、右偏心差分格式，并分析格式的局部截断误差和稳定性。

P185，187+课件

11、有逼近双曲型方程组0u u A t x

∂∂+=∂∂的跳蛙格式11110k k k k j j j j u u u u A h τ+-+---+=, 试求其传播矩阵，并讨论格式的稳定性. P197+课件