三角函数的图像与性质知识点归纳

1
●高考明方向
1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象， 了解三角函数的周期性．
2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、 最大值和最小值，图象与x 轴的交点等)，理解正切函数
在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2，π2内的单调性．
★备考知考情
三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题、又有解答题，难度属中低档，如2014课标全国Ⅱ14、北京14等；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法.
《名师一号》P55
2
二、例题分析： （一）三角函数的定义域和值域 例1．（1）《名师一号》P56 对点自测3
函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －1
2
的定义域为____________
解析 要使函数有意义必须有⎩
⎪⎨⎪
⎧ sin x >0，cos x －1
2≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧
sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π (k ∈Z)．
∴2k π<x ≤π
3
＋2k π，k ∈Z.
∴函数的定义域为{x |2k π<x ≤π
3
＋2k π，k ∈Z}．
3
例1．（2）《名师一号》P56 高频考点 例1(1) 函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．
解:(1)要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示．
结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，
函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
2k π＋π4≤x ≤2k π＋5
4π，k ∈Z .
注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法 (1)求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）． 一般可用三角函数的图象或三角函数线确定 三角不等式的解．
4
例2．（1）《名师一号》P56 对点自测4
函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为
( )
A ．2－ 3
B ．0
C ．－1
D ．－1－3
解:∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π
6
.
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6x －π3∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，1.
∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3. 注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2 求三角函数的值域的常用方法之一： 利用sin x 和cos x 的值域(图像)直接求；
例2．（2）8月月考第17题(1)
17．（满分12分）已知函数
22()3cos 2cos sin sin f x x x x x =++．
5
（I ）当[0,]2
x π
∈时，求()f x 的值域；
222()3cos 2cos sin sin 12cos sin 2f x x x x x x x =++=++
………2分
)2
x =++ …………3分
……4分
即()f x 的值域为2]+. …………………6分
注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2 求三角函数的值域的常用方法之二： 化为求sin()=++y A x b ωϕ的值域 如：①sin cos y a x b x =+
合一变换
6
sin()y A x ϕ=+
②2
2
sin sin cos cos y a x b x x c x =++
sin 2cos2y d x e x f =++
sin(2)y A x b ϕ=++ 注意弦函数的有界性！
变式:《名师一号》P58 特色专题 典例1
若函数f (x )＝a sin x －b cos x 在x ＝π
3
处有最小值－2，则常
数a ，b 的值是( )
A ．a ＝－1，b ＝ 3
B ．a ＝1，b ＝－3
C ．a ＝3，b ＝－1
D ．a ＝－3，b ＝1
解:函数f (x )＝a sin x －b cos x 的最小值为－a 2＋b 2. f (x )＝a 2＋b 2sin(x －φ)
⎝
⎛
⎭⎪⎫其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，
降幂 合一变换
7
则⎩⎨⎧
－a 2＋b 2＝－2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32a －12b ＝－2，
解得⎩⎨⎧
a ＝－3，
b ＝1.
【名师点评】 解答本题的两个关键：
①引进辅助角，将原式化为三角函数的基本形式； ②利用正弦函数取最值的方法建立方程组．
例2．(3)《名师一号》P56 高频考点 例1(2)
当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值
是________，最大值是________．
解:∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－12，1.
又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78
. ∴当sin x ＝14时，y min ＝7
8；
当sin x ＝－1
2
或sin x ＝1时，y max ＝2.
8
注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2 求三角函数的值域的常用方法之三：
把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域．
练习: (补充)
（1）求函数22
tan 1
()tan 1
x f x x -=+的值域
【答案】[
)1,1-
（2）求函数22sin 1()0,sin 22x f x x x π+⎛⎫
⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值域
【答案】)
+∞
9
2222sin 13sin cos ()sin 22sin cos 3tan 1113tan 2tan 2tan 0,tan 0211()23tan 3
2tan x x x f x x x x
x x x x x x f x x x
π++==
+⎛⎫==+ ⎪
⎝⎭
⎛⎫
∈∴> ⎪⎝⎭≥
=
注意：求三角函数的值域的常用方法之三：
求三角函数的值域的常用方法： 化为求代数函数的值域
注意约束条件----三角函数自身的值域！
例2．（4）(补充)
求函数()sin cos sin cos =+-f x x x x x 的值域
【答案】12⎡⎤
-
+⎢⎥⎣⎦
注意：求三角函数的值域的常用方法之四：
10
《名师一号》P56 问题探究 问题3 如何求三角函数的值域或最值？
③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(或最值)． 利用2
2
sin cos 1x x +=转化为二次函数在指定区间 上的值域问题
变式:
求函数()sin cos sin cos +=+f x x x x x 的值域
例2．（5）详见 第一章 第二讲函数值域 7．数形结合法： 例7(2)
《名师一号》P14 问题探究 问题（6）
当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域．
(补充)如两点间距离、直线斜率等等
求函数4sin 12cos 4
+=-x y x 的值域
11
解:()114sin sin 442
2cos 2cos 2
⎛⎫⎛⎫
+-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭==--x x y x x 可视作单位圆外一点12,4⎛
⎫- ⎪⎝
⎭P 与圆221+=x y 上的点()cos ,sin x x 所连线段
斜率的2倍,设过点12,4⎛
⎫- ⎪⎝
⎭P 的点的直线方程为
()12
+=-y k x 即1
204
---=kx y k
1=解得34=-k 或512=k
答案：35,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
注意：求三角函数的值域的常用方法之五： 数形结合法
练习：求函数[]cos 10,sin 2
-=∈-x y x x π的值域
12
答案：40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
变式：求函数cos 1
,sin 2
22-⎡⎤
=∈-⎢⎥-⎣⎦
x y x x ππ的值域
答案：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
拓展:8月月考第16题
函数22
)24()2cos x x x
f x x x
π
+++=+的最大值是M ，最小值是m ，则M m +的值是 .
22222)2sin cos 2sin 4()12cos 2cos 2cos x x x
x x x x x x f x x x x x x x π
+++++++===+
+++，记2sin ()2cos x x
g x x x
+=+，则()g x 是奇函数且()1()f x g x =+，所
以()f x 的最大值是max 1()M g x =+，
13 最小值是min 1()m g x =+，因为()g x 是奇函数， 所以max min ()()0g x g x +=，
所以max min 1()1()2M m g x g x +=+++=.
（三）三角函数的周期性、奇偶性、对称性 例1．（1）《名师一号》P56 对点自测5
设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为π2的奇函数
D.最小正周期为π
2
的偶函数
答案 B
例1．（2）《名师一号》P57 高频考点 例3（2）
(2014·新课标全国卷Ⅰ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，
③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝
⎛⎭⎫2x －π
4中，最小正周期为π的所有函数为( )
A ．①②③
B ．①③④
C ．②④
D ．①③
解：由于y ＝cos|2x |＝cos2x ，所以该函数的周期为2π
2
＝π；由函
14
数y ＝|cos x |的图象易知其周期为π；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为2π2
＝π；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的周期为π
2
，故最小正周期为π的函数是①②③，故选A.
注意：《名师一号》P56 问题探究 问题1 如何求三角函数的周期？ (1)利用周期函数的定义． (2)利用公式：
y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|
， y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为
π|ω|
.
例1．（3）《名师一号》P58 特色专题 典例2
函数f(x)＝sin ⎝
⎛⎭⎫ωx ＋π
3＋sin ωx(ω>0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________
【规范解答】 相邻两对称轴之间的距离为2，即T ＝4.
f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx ＋sin ωx ＝3
2sin ωx
15
＋
3
2
cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，又因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T ＝4，所以2πω＝4，即ω＝π
2
.
注意：【名师点评】 函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)，f(x)＝A cos (ωx ＋φ)图象上一个最高点和它相邻的最低点的横坐标之差的绝对值是
函数的半周期π
|ω|
，纵坐标之差的绝对值是2A .在解决由三角函数图象
确定函数解析式的问题时，要注意使用好函数图象显示出来的函数性质、函数图象上特殊点的坐标及两个坐标轴交点的坐标等．
练习:《加加练》P3 第11题
例2．（1）《名师一号》P57 高频考点 例3（1）
(1)若函数f (x )＝sin x ＋φ
3
(φ∈[0,2π])是偶函数，
则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π3
解： (1)∵f (x )＝sin x ＋φ
3
是偶函数，
∴f (0)＝±1.
16
∴sin φ3＝±1，∴φ3＝k π＋π
2
(k ∈Z)．
∴φ＝3k π＋3π
2
(k ∈Z)．
又∵φ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，φ＝3π
2.故选C.
变式：若函数f (x )＝sin x ＋φ
3
(φ∈[0,2π])是奇函数，则φ＝？
例2．（2）《名师一号》P57 高频考点 例3（3）
(3)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4π3，0
中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
解：(3)由题意得
3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π
3＋φ＋2π ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π
2，k ∈Z. ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π
6.
注意：【规律方法】
(1)若f(x)＝A sin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值，若f(x)＝A sin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.
(2)对于函数y＝A sin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．
《名师一号》P56 问题探究问题4
如何确定三角函数的对称轴与对称中心？
若f(x)＝A sin(ωx＋φ)为偶函数，
则当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值．
若f(x)＝A sin(ωx＋φ)为奇函数，
则当x＝0时，f(x)＝0.
如果求f(x)的对称轴，
只需令ωx＋φ＝π
2＋kπ(k∈Z)，求x.
(补充)结果写成直线方程！
如果求f(x)的对称中心的横坐标，
只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．
(补充)结果写点坐标！
同理对于y＝A cos(ωx＋φ)，可求其对称轴与对称中心，对于y＝A tan(ωx＋φ)可求出对称中心．
17
18
练习1：《名师一号》P58 特色专题 典例3
已知f(x)＝sin x ＋3cos x(x ∈R)，函数y ＝f (x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π
2为偶函数，则φ的值为________．
【规范解答】 先求出f (x ＋φ)的解析式，然后求解．
∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. ∴f (x ＋φ)＝2sin ⎝
⎛⎭⎫x ＋φ＋π
3. ∵函数f (x ＋φ)为偶函数，∴φ＋π3＝π
2
＋k π，k ∈Z ，
即φ＝π
6＋k π(k ∈Z)．
又∵|φ|≤π2，∴φ＝π
6
.
练习2：《计时双基练》P247 第3题
（四）三角函数的单调性 例1．（1）《名师一号》P56 对点自测6
下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤
π4，π2上为减函数的是( )
19
A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2
B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2
C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2
D ．y ＝cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π2
解析 由函数的周期为π，可排除C ，D.
又函数在⎣⎡⎦⎤
π4，π2上为减函数，排除B ，故选A.
练习1：《计时双基练》P247 第7题
函数y cos x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
24的单调递减区间为
练习2:《加加练》P1 第11题
（2）《名师一号》P57 高频考点 例2
已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π
4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；
(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π
2上的单调性．
20
解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π
4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos2ωx )＋2＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2ωx ＋π
4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0.
从而有2π
2ω
＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π
4
.
当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π
8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π
2
时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦
⎤0，π
8上单调递增， 在区间⎣⎡⎦⎤
π8，π2上单调递减．
注意：《名师一号》P56 问题探究 问题2 如何求三角函数的单调区间？
(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．
(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式
21
求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
例2．《名师一号》P58 特色专题 典例4
(2014·全国大纲卷)若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．
【规范解答】 先化简，再用换元法求解．
f (x )＝cos2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x .
令t ＝sin x ，∵x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，
∴t ∈⎝⎛⎭⎫12，1.
∴g (t )＝1－2t 2＋at ＝－2t 2＋at ＋1⎝⎛⎭⎫12<t <1，
由题意知－a 2×(－2)≤12
，∴a ≤2. ∴a 的取值范围为(－∞，2]．
22 课后作业
一、计时双基练P247 基础1-11、
课本P56变式思考1
二、计时双基练P247培优1-4
课本P56变式思考2、3
预习 第五节
练习：
1、设函数f (x )＝2sin(2πx ＋5
π)．若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )
A ．4
B ．2
C ．1 D. 12
分析：∵f (x )的最大值为2，最小值为－2，
∴对∀x ∈R ，－2≤f (x )≤2.
取到最值时x ＝2
π＋k π，|x 1－x 2|取最小值，即f (x 1)为最小值，f (x 2)为最大值且(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))为相邻的最小(大)值点，即半个周期．
解析：f (x )的周期T ＝4，|x 1－x 2|min ＝
2
T ＝2. 故选B.
23
2、为了使函数)0(sin >=ωωx y 在区间]1,0[上至少出现50次最大值，求ω的最小值。

3、（12天津文7）将函数)0(sin )(>=ωωx x f 的图像向右平移4
π个单位长度，所得图像经过点)0,43(π，则ω的最小值是
特殊情况---三角函数的奇偶性
例2 (补充)（1）（08. 江西）函数sin ()sin 2sin 2x
f x x x =+是
（ ）
A ．以4π为周期的偶函数
B ．以2π为周期的奇函数
C ．以2π为周期的偶函数
D ．以4π为周期的奇函数
【答案】A
（07年辽宁理）
已知函数
2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭R ， （其中0ω>）
（I ）求函数()f x 的值域；
（II ）若对任意的a ∈R ，函数()y f x =，(π]x a a ∈+，
24 的图象与直线1y =-有且仅有两个不同的交点， 试确定ω的值（不必证明），并求函数 ()y f x x =∈R ，的单调增区间．
答案：（I ）()2sin 16f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭πω []3,1- （II ）,2T ==πω (),63k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦ππππ 变式：求函数
()y f x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
π0,2，的单调增区间．。