自动化第2章 自动控制系统的数学模型

二、关于传递函数的几点说明 六个术语
M (s) bm s m bm1s m1 b1s b0 N (s) s n an1s n1 a1s a0 N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系
X o ( s) M ( s) G( s) X i ( s) N ( s)
反馈连接
Xi(s)

E(s)
B(s)

G(s)
H(s)
Xo(s)
X o ( s) G( s) E ( s) G( s)[ X i ( s) B( s)]
Xi(s)
G(s) 1 G( s) H ( s)
Xo(s)
G( s)[ X i ( s) H ( s) X o ( s)]
d d m 2 xo (t ) C xo (t ) Kxo (t ) f i (t ) dt dt 在初始条件为零时，其拉氏变换为：
2
ms X o ( s ) CsX o ( s ) KX o ( s ) Fi ( s )
2
X o ( s) 1 G( s) 2 Fi ( s ) ms Cs K
X o ( s) e
s
X i ( s)
s
G( s ) e
一般地，任何线性系统都可以看作是由上 述八种典型环节的组合。
比例环节
z1 ni(t) no(t) z2
G( s ) K
R2
R1
ui(t) 运算放大器 uo(t)
齿轮传动副
N o ( s) z1 G( s) K N i ( s) z2
X o ( s) 零极点式 G ( s) Kg X i ( s) （s z ）
i m i 1 n
X o ( s) 时间常数式 G ( s) K X i ( s)
（s p ） （ s 1 ）
j 1 m j i
（T s 1 ）
j j 1
i 1 n
三、典型环节及其传递函数 系统的传递函数可以写成：
小结
物理本质不同的系统，可以有相同的数学 模型，从而可以抛开系统的物理属性，用 同一方法进行具有普遍意义的研究。
第二节
传递函数
一、传递函数的概念
在零初始条件下，线性定常系统输出量 的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 零初始条件： t≤0时，输入量及其各 阶导数均为0。
示例 质量-弹簧-阻尼系统的微分方程
X1(s)
G2(s)
Xo(s) Xo(s)
G(s)=G1(s) G2(s)
X o (s) G2 (s) X1 (s) G2 (s)G1 (s) X i (s)
并联连接
Xi(s)
G1(s) G2(s)
X1(s)
+

Xo(s)
+
Xi(s)
X2(s) Xo(s) G1(s)+ G2(s)
X o ( s) X 1 ( s) X 2 ( s) G1 ( s) X i ( s) G2 ( s) X i ( s) [G1 ( s) G2 ( s)]X i ( s)
A

±
G(s)
1 B G( s)
1 C G( s)[ A B] G( s) G( s) A B
引出点的移动
A
G(s)
C C C C
A
G(s) G(s)
A
G(s)
C A
A
G(s)
1 G( s)
C A
结构图等效变换方法
1 2 3 4 5 三种典型结构可直接用公式 相邻综合点可互换位置 相邻引出点可互换位置 不是典型结构不可直接用公式 引出点综合点相邻，不可互换位置
2 2
k 1
比例环节： K 纯微分环节： s 一阶微分环节：s+1 二阶微分环节： 2 s 2 2 s 1
积分环节： 惯性环节： 振荡环节：
1 s 1 Ts 1 1
T 2 s 2 2Ts 1
在实际系统中还存在纯时间延迟现象， 输出完全复现输入，但延迟了时间，即 xo(t)=xi(t-)
d d m 2 xo (t ) C xo (t ) Kxo (t ) f i (t ) dt dt
传递函数： G ( s)
1 ms 2 Cs K
2
延迟环节
hi(t)
ho(t)
ho (t ) hi (t )
G(s) e
s
v L
L v
A
轧制钢板厚度测量
B A

A-B

A-B+C
C
B A+C-B B
A

C
A+C

A

C
A-B+C
任何系统都可以由信号线、函数方框、引 出点及求和点组成的图形来表示。
函数方框 Ui(s) 求和点U(s) 函数方框 I( s)

1 R
1 Cs
引出点 Uo(s)
信号线
结构图的建立步骤
建立系统各元部件的微分方程,明确信号
一个环节可能由几个元件组成； 一个元件可能由几个环节组成。
第三节
控制系统的结构图及其等效变换
一、结构图的基本概念
扰动 温度t 电压 减 调 恒温箱 u3 控制 n v u 给定 u1 u 被控量 速 压 (控制 功率 信号 电机 放大器 器 器 对象) u2 热电偶
Ui(s)

U(s)
1 R
第二章
自动控制系统的数学模型
数学模型是描述系统输入、输出、内部 变量之间关系的数学表达式。 静态数学模型：静态（变量各阶导数为 零）条件下，描述变量之间关系的代数方 程。
动态数学模型：描述变量各阶导数之间 关系的微分方程。
建立数学模型的方法
解析法
依据系统及元件各变量之间所遵循的 物理或化学规律列写出相应的数学表达式。
拉氏变换得：
RI ( s ) U i ( s ) U o ( s ) 1 Uo ( s) I ( s) Cs
1 I ( s ) U i ( s ) U o ( s ) R 1 U o ( s) I ( s) Cs
从而可得系统各单元的结构图：
Ui(s)

Ui-Uo
1 R
2
d d m 2 xo (t ) C xo (t ) Kxo (t ) f i (t ) dt dt
2
无源电网络
L R
u i( t)
C i( t)
u o ( t)
d 1 u ( t ) Ri ( t ) L i ( t ) i ( t ) dt i dt C 1 uo (t ) i ( t ) dt C
d d LC 2 uo (t ) RC uo (t ) uo (t ) ui (t ) dt dt
2
i2 ( t) 有源电网络 u i( t) i1 ( t )
R
a + C
u o ( t)
ui (t ) du o (t ) C R dt
即：
du o (t ) RC ui (t ) dt
G( s)
K ( i s 1) s
v i 1 d
b
c
(T j s 1)
j 1
1 e
2 2 ( s 2 2 (Tk s
2 s 1) 2 k Tk s 1)
由上式可见，传递函数表达式中包含七种不 同的因子，即：
1 1 1 K , s, s 1, s 2s 1, , , 2 2 s Ts 1 T s 2Ts 1
实验法
人为地对系统施加某种测试信号，记 录其输出，并用适当的数学模型进行逼近。 这种方法也称为系统辨识。
第一节 控制系统微分方程的编写
步骤
分析系统工作原理，确定相应的输入量、
输出量和中间变量； 从输入端开始，按照信号传递变换的顺 序，依据各变量遵循的物理、化学规律， 写出各元、部件的微分方程；
微分环节
G( s) s
测速发电机在无负载时： di (t ) uo (t ) Kt dt U o ( s) G( s) Kt s i ( s)
uo(t)
i (t)
积分环节
1 G (s) Ts
u i ( t) i1 ( t )
R a +
i2 ( t)
C
消去中间变量，得到描述控制系统的总
的微分方程。
机械平移系统
f i( t ) m 0 xo(t) K C f K( t ) f C( t ) m 0 xo(t) f i( t )
d f i (t ) f C (t ) f K (t ) m 2 xo (t ) dt f K (t ) Kxo (t ) d f C (t ) C xo (t ) dt
如：有源积分网络
u o ( t)
1 1 G( s ) , T RC RCs Ts
du o (t ) RC ui (t ) dt
振荡环节
2 K n G( s) 2 2 2 2 T s 2 Ts 1 s 2 n s n
如：质量-弹簧-阻尼系统
i 1 n
K称为放大系数或增益
X o (s) bm s m bm1s m1 b1s b0 G( s ) n X i ( s) s an1s n1 a1s a0
M (s) bm s m bm1s m1 b1s b0 0 的根称为传递函数的零点；
U o ( s) R2 G( s) K U i ( s) R1
惯性环节
K G(s) Ts 1
xi(t) xo(t)
弹簧-阻尼器环节
K 1 C G(s) , T Cs K Ts 1 K
dxo (t ) C Kxo (t ) Kxi (t ) dt
K
C
G(s) X o ( s) X i ( s) 1 G( s) H ( s)
求和点的移动
A
±
B
G(s)
C
C G( s)[ A B] G( s) A G( s) B
C
C G( sБайду номын сангаас A G( s) B
A B
G(s)

±
G(s)
A
G(s)

C
± B C
C G( s ) A B
N (s) s n an1s n1 a1s a0 0
的根称为传递函数的极点；系统传递函数 的极点就是系统的特征根。
零、极点分布图
j 2 S+2 G(s)= (s+3)(s2+2s+2) 0 1 2 3
1
-3 -2 -1
-1
-2

传递函数的3种表示方法 m m1 X o (s) bm s bm1s b1s b0 一般式 G(s) n X i ( s) s an1s n1 a1s a0
函数方框
传递函数的图解表示。
X1(s) G(s) X2(s)
函数方框具有运算功能，即： X2(s)=G(s)X1(s)
求和点
信号之间代数加减运算的图解。用符号 “”及相应的信号线表示，每个箭头前方 的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号。
X1(s)

X1(s)X2(s)
X2(s)
I( s)
1 Cs
Uo(s)
二、结构图的组成和建立
信号线
带有箭头的直线，箭头表示信号的传递 方向，旁边标记信号的时域函数或复域函数。 X(s), x(t)
分支点
表示信号引出以及传递方向。 同一信号线上引出的信号，其性质、大小 完全一样。
X(s) X(s) X(s) X(s) X(s) X(s)
统的特征根。N(s)中s的最高次数称为系 统的阶数。
X o ( s) bm s bm1s b1s b0 G( s) n n 1 X i ( s) s an 1s a1s a0
m
m 1
K
（s z ）
i
m
（s p ）
j j 1
的输入/输出关系。 对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各元 部件的结构图。 按照信号在系统中的传递、变换顺序，依 次将各元部件的结构图连接起来，得到系统 总的结构图。
示例
ui(t)
R
i(t)
C
uo(t)
Ri(t ) ui (t ) uo (t )
1 uo (t ) i (t )dt C
I( s)
I( s)
1 Cs
Uo(s)
Uo(s)
1 I ( s) U i ( s) U o ( s) R
1 U o (s) I (s) Cs
Ui(s)

U(s)
1 R
I( s)
1 Cs
Uo(s)
无源RC电路网络系统结构图
三、结构图的等效变换
串联连接
Xi(s) Xi(s)
G1(s)