直线与平面垂直的判定及其性质

课题 直线与平面垂直的判定及其性质
知识点一：直线与平面垂直的判定与性质
1.直线与平面垂直的判定定理和性质定理
2.直线与平面所成的角（线面所成的角关键：过斜线上一点作平面的垂线）
(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°的角.
(2)线面角θ的取值范围:0°≤θ≤90°.
规律总结
1. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
2.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
知识点二：平面与平面垂直的判定与性质
1.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
2. 二面角 平面与平面垂直的定义:一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平
面叫做二面角的面 二面角的平面角:.AOB l αβ∠--即为二面角的平面角 题型一：线面垂直的判定与性质
证明直线与平面垂直的方法:
(1)利用判定定理(a ⊥b,a ⊥c,b ∩c=M,b ⊂α,c ⊂α⇒a ⊥α);
(2)利用面面平行的性质(a ⊥α,α∥β⇒a ⊥β);
(3)利用面面垂直的性质定理(α⊥β,α∩β=l,a ⊥l,a ⊂β⇒a ⊥α);
(4)利用面面垂直的性质(α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ⇒l ⊥γ).
例1：如图，已知P 是菱形ABCD 所在平面外一点，且PA ＝PC ，求证：AC ⊥平面PBD .
【证明】 设AC ∩BD ＝O ，由题意知O 为AC 的中点，连接PO ，因为PA ＝PC ，所以PO ⊥AC ，
又因为ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ，而PO ∩BD ＝O ，PO ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，
所以AC ⊥平面PBD .
变式1：
题型二：面面垂直的判定与性质
证明面面垂直的思路
(1)利用面面垂直的定义(作出两平面构成的二面角的平面角,计算平面角为90°);
(2)利用面面垂直的判定定理(a ⊥β,a ⊂α⇒α⊥β).
2.空间垂直关系之间的转化
例2：如图，在直三棱柱111-ABC A B C 中，1111=A B AC ，D E ，
分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且⊥AD DE F ，为11B C 的中点．求证：平面⊥ADE 平面11BCC B ．
证明：因为111ABC -A B C 是直三棱柱，所以1CC ⊥平面ABC .又因为⊂AD 平面ABC ，所以1⊥CC AD .
又因为⊂1AD⊥DE，
CC ，DE 平面111BCC B ，CC ∩DE =E ，所以AD⊥平面11BCC B . 又因为⊂AD 平面ADE ，所以平面⊥ADE 平面11BCC B ． 变式2：如图,在四面体ABCD 中,平面BAD ⊥平面CAD,∠BAD=90°.M,N,Q 分别为棱AD,BD,AC 的中点.
(1)求证:CD ∥平面MNQ; (2)求证:平面MNQ ⊥平面CAD.
一、选择题
1．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则( )
A ．A 1E ⊥DC 1
B ．A 1E ⊥BD
C ．A 1E ⊥BC 1
D ．A 1
E ⊥AC
如图，∵A 1E 在平面ABCD 上的投影为AE ，而AE 不与AC ，BD 垂直，∴B ，D 错；
∵A 1E 在平面BCC 1B 1上的投影为B 1C ，且B 1C ⊥BC 1， ∴A 1E ⊥BC 1，故C 正确；
(证明：由条件易知，BC 1⊥B 1C ，BC 1⊥CE ，又CE ∩B 1C ＝C ，
∴BC 1⊥平面CEA 1B 1.又A 1E 平面CEA 1B 1，∴A 1E ⊥BC 1)
∵A 1E 在平面DCC 1D 1上的投影为D 1E ，而D 1E 不与DC 1垂直，故A 错．故选C.]
1 2 3 4
2．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有( )
A ．AG ⊥平面EFH
B ．AH ⊥平面EFH
C ．HF ⊥平面AEF
D ．HG ⊥平面AEF
[根据折叠前、后AH ⊥HE ，AH ⊥HF 不变，∴AH ⊥平面EFH ，B 正确；
∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；
∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．故选B.]
3.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线是________；
与AP垂直的直线是________．
答案：AB，BC，AC；AB[∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.
∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥AP，故与AP垂直的直线是AB.]
4．如图7­4­12所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
DM⊥PC(或BM⊥PC) [连接AC，BD，则AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.
5．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，mα，那么m∥β. ④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)
②③④[对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．
对于②，由线面平行的性质定理知存在直线lα，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又mα，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．
对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n 与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．]
6.如图7­4­16，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝
2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.
a或2a[∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D.
为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)．
设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，
∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a.]
7.如图7­4­13，在三棱锥P­ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD； (2)求证：平面BDE⊥平面PAC； (3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E­BCD的体积．
[解] (1)证明：因为PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，所以PA ⊥平面ABC .
又因为BD 平面ABC ，所以PA ⊥BD .
(2)证明：因为AB ＝BC ，D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC .
由(1)知，PA ⊥BD ，所以BD ⊥平面PAC ，所以平面BDE ⊥平面PAC .
(3)因为PA ∥平面BDE ，平面PAC ∩平面BDE ＝DE ，所以PA ∥DE .
因为D 为AC 的中点，所以DE ＝12
PA ＝1，BD ＝DC ＝ 2. 由(1)知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，
所以三棱锥E ­BCD 的体积V ＝16BD ·DC ·DE ＝13
.] 8.如图7­4­14，在三棱锥A ­BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD . 求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .
[证明] (1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，所以EF ∥AB .
又因为EF ⊆/平面ABC ，AB 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .
(2)因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，BC 平面BCD ，BC ⊥BD ，所以BC ⊥平面ABD . 因为AD 平面ABD ，所以BC ⊥AD .又AB ⊥AD ，BC ∩AB ＝B ，AB 平面ABC ，BC 平面ABC ，
所以AD ⊥平面ABC .又因为AC 平面ABC ，所以AD ⊥AC .
9. 如图，三棱柱ABC －A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，AC=BC= AA1，D 是棱AA1的中点.
(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC.（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.。