第二节 二重积分的计算法(一)

01dy0 2 y y2 f ( x, y)dx
1
f ( x, y)dxdy
D
D
0
x 1

01dx
1
1
1 x2
f ( x,y)dy
例6
计算01dx
1
x
sin
y2dy
y
解 区域D既是X－型，又是Y－型的
y=1 x=0 D
y=x 由一元积分学知 01sin y2dy可积，
但siny2的原函数不是初等函数
o
Байду номын сангаас
x 原积分不能直接得到
01dx
1
x
sin
y2dy

I
先交换交换顺序

01dy
y
0
sin
y2dx

1
0
y sin
y2dy
1 1 cos1
2
例7 计算I x2e y2dxdy,
D
其中D为x 0, y 1, y x围成。
解 区域D既是X－型，又是Y－型的
e y2的原函数不是初等函数。
y
y=1
x=0 D
I

01dy
y
0
x2e y2 dx
y=x

1 3
01e

y
2
dy
x3
y o
o
x

11
6 0
y2e y2d
y2
1 1 6 3e
例8 求两个底面半径相等的直交圆柱所围成立体的 体积。解 如图设两个圆柱的方程为
z
x2 z2 R2 x2 y2 R2, x2 z2 R2,

D1
x y
2 2
d


D2
x y
2 2
d

1
1
dx
2
1
2
x
x2 y2
dy

2
1
dx
2
x
x2 y2
dy
81 192
例4
改换二次积分
01dx
x 0
f ( x, y)dy
的积分次序.
解： D：0≤y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1
y
y=x
1
Dx
0
1
01dx
x
0
f
( x,
y)dy
o
1x
1 12
例2 计算 x2 ydσ ,
D
其中D为由 x=0 和 y=0 及 y = 22x所围成闭域.
解: D为X－型区域
y

x2 yd

1dx 22 x
00
x2 ydy
D
2

1
0
x
2

y2 2
22 x 0 dx
y = 22x

1 2
01(4
x2

8x3
D
y
y x

1
0
x

y2 2
x
x2 dx
1

1 2
01( x2

x5
)dx
y=x2
o
1x

1 x3 2 3

x6 1 6 0
1 12
2. Y－型积分区域D： 1(y)≤x≤2(y) , c ≤y≤d
y d
D
c o
x=1( y) x=2( y) x=1( y) x=2( y) x=1( y) x=2( y)
d

2
1
dy
y 1 y
x y
2 2
dx

2
1
1 y2

x3 3

y 1
dy
y

1 3
2
1
(
y

1 y5 )dy

1 3

y2 2

1 4 y4
2 1
81 192
D也为X－型区域 若先对y再对x积分
y
D1
o 11 2
x=y
D2
y

1 x
2x

D
x2 y2
d


f ( x, y)d
V
b
a
A(
x
)dx
D
一、 直角坐标系下的计算法.
1. X－型积分区域D:
特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边
界相交不多于两个交点.
1(x)≤y≤2(x) , a ≤x≤b
y (x) 2
y D
o
y (x) 1
a
b
y
y (x) 2
D
y (x)
D1 ( x, y)0 x R,0 y R2 x2
V1 R2 x2dxdy
D1
o D1 R y
R dx R2 x2
0
0
R2 x2dy
x
y
y R 2 x 2

R
0
R2
x2
dx
2 R3 3
D
o
Rx
V

8V1

16 R3 3
y d
c xo
y d
D c
xo
D x

D
f
( x,
y)d

[ f d 2 ( y)
c 1( y)
( x,
y)dx]dy

d
c
dy 2 ( y) 1( y)
f
(
x,
y)dx
f ( x, y)d
D

d
c
dy 2 ( y) 1( y)
f
( x,
y)dx
D是Y x 型区域，二重积分化为先对 ， 后对y的二次积分。
3. 若区域如图，则必须分割. y
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
D 2
D 1 D 3
. o
x
D
D1
D2
D3
例3
计算

D
x y
2
2 d ,
其中D由y
=2,
y=x及xy=1所围闭区域
解: D为Y－型区域
y 2
• 1
o
x=y
•
x

1 y
x

D
x y
2 2
关键：确定各积分变量的积分限。
后积分的先定限,先积分的后定限,限内作条线, 先交的为下限,后交的为上限。
例1 计算 xyd ,
D 其中D为y2 =x 和y =x2 所围的闭区域.
解: D为X－型区域 D 0 x 1, x2 y x

xyd

01d x
x
x
2
xydy
关键：确定各积分变量的积分限。
后积分的先定限,先积分的后定限,限内作条线, 先交的为下限,后交的为上限。
例1’ 计算 xyd ,
D
其中D为y2 =x 和y =x2 所围的闭区域.
D也为Y－型区域
D 0 y 1, y2 x y
y 1 x=y2
x y
xyd
D
01dyy2y xydx

4x4
)dx
o1
x

1 4x3 2 3

2x4

4x5 1 5 0

1 15
y 2 x 1 y
2
o1
x
D也为Y－型区 域
x2 yd

2dy
1 y 2
00
x2 ydx
D
1 15
X－型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的
直线与区域边界相交不多于两个交点.
Y－型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点.
f ( x, y)d
A( x)
D
1(x)
y
2(x)

[b 2 ( x)
a 1( x)
f
(
x,
y)dy]dx

dx b
2 ( x)
a
1( x)
f
( x,
y)dy
f ( x, y)d
D

dx b
2 ( x)
a
1( x)
f
(
x,
y)dy
D是X型区域，二重积分化为先对y， 后对x的二次积分。
第二节 二重积分的计算法
一、直角坐标系下的计算法 二、极坐标系下的计算法
基本思路：化为定积分
f ( x, y)d 的值等于以 D 为底，
D
以曲面 z f (x, y) 为曲顶柱体的体积．
z f (x, y)
z
应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法, y
A( x)
x
b xa
x oa
1
b
y
y (x) 2
D
y (x) 1
xoa
bx
z
y oa
z
z f (x, y)
y 2 (x)

D
f
( x,
y)d
y 1(x)

b
a
A(
x
)dx
x x+dx b x z=f (x, y)
A( x) 2 ( x) 1( x)
f ( x, y)dy
f ( x, y)dxdy
D

01dy
1
y
f
( x,
y)dx
例5 改换二次积分 01dy0 2 y y2 f ( x, y)dx 的积分次序.
解： D : 0 x 2 y y2 ,0 y 1
x 2 y y2
y 2
x2+(y–1)2=1
y 1 1 x2