高等代数学习方法

高等数学学习方法

随着科技日新月异的发展和电脑无孔不入的应用．高等数学课程作为一种数学工具的功

能正在逐步缩减．但作为一种思维方法的载体的功能(例如训练学生辩证思维、逻辑推理、发

现同题及分析同题的能力)却愈显风采。一个多元线性方程组如何去解?我们可以交给电脑去

完成，只要会正确使用数学软件。但一个实际问题如何通过数学建模转化为一个数学同题，

除了必须具备许多综合的知识，还需要具备一定的分析推理能力，这种素质自然可以通过生

活来积累，但如果能够通过象高等数学这样的课程作为载体来进行系统训练，将是事半功倍

的。

以往对工科学生来讲，高等数学的教学比较偏重于计算方法的训练，例如，如何计算极

限，计算导数，计算积分，通过熟练掌握计算方法来加深对概念的理解，这是学习高等数学

的一条捷便之径。但是从二十一世纪更加需要创新人才的观点看，从高等数学的概念中直接

去提炼一种分析推理能力及实际应用能力，将是更加重要的。(当然，在改革的力度还未到位

时，由于教学要求及教材等原因．学习高等数学并不能仅偏重于概念，对基本的计算方法必

须熟练地掌握。如今就如何学好高等数学的基本概念。提出一些拙见供同学参考。

1)从正反两个层面理解概念

我们观察一个物体，如果仅仅通过平视去进行，那么对这个物体的认识往往是局部的，

甚至是扭曲的，只有从正视、俯视、侧视的多角度去观察与综合，方能得到物体正确的空间

定位。观察事物尚且如此，要理解一个抽象的概念，如果只有单向的思维方法，肯定只能浅

尝辄止．只有从正反两个方向去透视概念，才能较深地抓住概念中一些本质的东西。这里所

说的正方向思维应该包含几层意思：一是概念的定义是如何叙述的，二是概念所尉带的条件

是必要的．还是充分的?三是概念产生的实际背景是什么?这里所说的反方向思维又应该包含

两层意思：一是对一个概念的否定是怎样表达的?二是如果错误的理解了概念中的一些条件会

导致什么样的错误结果。

2)学与问

古人说．学起于思，思源于疑，这话道出了做学问的过程中发现问题提出问题的重要性。

高等数学的讲课进程一般都比较快的，课堂上讲的内容不能完全听懂是正常的现象，同题在

于听不懂看不懂的内容是随意放弃呢还是努力请

教老师请教同学直到学懂为止。如果轻易放弃．时间一长就会失去学习的信心，所以一

定要以锲而不舍的精神边学边问。不过这样的提问还只是被动的，主动的提问应该是自己在

学习过程中去发现同题。如何才能发现问题呢?首先要提倡自学，在自己预习教材(也锻炼了

一种自学能力)的过程中很容易发现不懂的同题，带着同题再去听课就会有的放矢。其次是听

课之后做习题之前要认真复习消化课上的内容，只要积极地开动脑筋，从中是会发现很多问

题的，在这个较深层次上发现问题又去解决问题(可以通过同学与老师的帮助)，那么分析问

题的能力就会有一个质的提高。

3)做习题与想习题

学习数学，不做习题是绝对不行的．因为耐概念究竟理解与否检验的最后关口是习题。

一道习题不会做或者做错了，肯定是某些概念投有消化好，带着习题再来复习理解概念，拄

往会摩擦出新的思想火花。学习高等数学的过程中，我们不主张采用中学的题海战，但对每

道习题不但要弄懂正确的解法，而且尽量要考虑能否有多种解法。这还不够，进一步的思考

是一些似是而非的错误解法究竟错在哪里?必定是对概念理解的偏差才导致的错误结果．经过

又一次正反两个层面的开掘．思考深入了，学习的兴趣也会逐步培育起来。篇二：高等代数

学习方法的探讨

liaoning normal university （2014届）

本科生毕业论文(设

题目：高等代数学习方法的探讨

学院：数学学院

专业：数学与应用数学

班级序号： 12班21号

学号： 20122102385321 学生姓名：陈红

指导教师：徐亚楠

2014年5月 )计

目录

摘要（关键

词） ........................................................................... (1)

abstract

（keywords） ................................................................... . (1)

前

言 ............................................................................. ................................................................................

(2)

1认识《高等代数》课

程 ............................................................................. . (3)

1.1从内容上认识高等代

数 ............................................................................. .. (3)

1.2从特点上认识高等代

数 ............................................................................. .. (3)

1.2.1高度的抽象

性 ............................................................................. . (3)

1.2.2严密的概括

性 ............................................................................. . (3)

1.2.3鲜明的结构

性 ............................................................................. . (3)

2当代大学生学习《高等代数》课程的现

状 ............................................................................. .. (3)

2.1教师方

面 ............................................................................. .. (4)

2.2课程自身方

面 ............................................................................. (4)

2.3学生方

面 ............................................................................. .. (4)

3高等代数的学习方

法 ............................................................................. .. (4)

3.1思想方

法 ............................................................................. .. (4)

3.1.1一般化思想方

法 ............................................................................. (5)

3.1.2公理化思想方

法 ............................................................................. (5)

3.1.3初等变换的思想方

法 ............................................................................. . (5)

3.2解题方

法 ............................................................................. .. (6)

3.2.1类比

法 ............................................................................. . (6)

3.2.2归纳

法 ............................................................................. . (7)

3.2.3构造

法 ............................................................................. . (8)

3.2.4逆向

法 ............................................................................. . (9)

4学习高等代数应注意的问

题 ............................................................................. (10)

4.1首先要弄懂概

念 ............................................................................. (10)

4.2其次要学好定

理 .............................................................................

(10)

4.3再次要做一定量的习

题 ............................................................................. (11)

4.4最后要善于归纳总

结 ............................................................................. . (11)

参考文

献 ............................................................................. .. (12)

致

谢 ............................................................................. ..............................................................................

13

高等代数学习方法的探讨

摘要：本文对高等代数学习方法进行了探讨，首先从《高等代数》这门课程的内容和特

点

上来认识，其高度的抽象性、严密的概括性和鲜明的结构性决定了学习高等代数并不应

是

盲目的，而是要采用恰当的方法；其次从当代大学生学习高等代数课程的现状来探讨其

方

法的重要性；接下来从思想方法和解题方法两方面介绍了几种典型的学习方法，即一般

化

思想方法、公理化思想方法和初等变换思想方法及类比法、数学归纳法、构造法和逆向

法；

最后阐明了高等代数学习方法中应注意的问题。高等代数课程每一项教学内容中，都隐

含

着丰富的数学思想和数学方法，从而使学生理解和掌握这些数学思想和数学方法，提高

学

习效率。

关键词：高等代数；学习方法；思想方法；解题方法

abstract：in this paper, the advanced algebra learning methods are discussed in

this paper, first of

all, from the advanced algebra course content and characteristics of understanding, its highly

abstract, rigorous generality and sharp structural determines the learning

advanced algebra should

not is blind, but to adopt proper method; secondly from the present situation

of contemporary

college students learn advanced algebra course to discuss the importance of its

method; then

from two aspects of thought method and the problem solving method, this paper

introduces

several kinds of typical method of study, namely generalized thought method,

axiomatic thought

method of elementary transformation thought method and analogy method,

mathematical

induction and constructing method and reverse method; finally expounds the

advanced algebra

problems should be paid attention to in learning method. each teaching content

in the advanced

algebra course, implies abundant mathematical thought and mathematical methods,

so as to make

students understand and master the mathematical thought and mathematical methods,

improve

the learning efficiency.

key words：advanced algebra; learning method; thinking method; the problem

solving

method 前言

高等代数由多项式理论和线性代数两部分内容组成，是中学代数的继续和提高，是

大学数学专业的基础课之一，在中学数学教师的知识结构中占有重要地位。学习高等代

数的目的是使学生初步掌握基本的和比较系统的代数知识和严格的代数方法，培养和发

展抽象思维能力和逻辑推理能力，为高等代数的进一步学习及其他专业课程和深入地理

解中学数学教材，提高知识和能力打下坚实基础。

古人云:“授人以鱼，不如授人以渔.”这句话道出了学习方法的重要性。在高等代

数课程学习中不仅要以学会知识为目的，更重要的是提高学生的数学素质，使学生掌握

代数的思想和解题方法。数学方法是从属于数学理论和知识体系的，两者相辅相成。高

等代数课程每一项学习内容中，都隐含着丰富的数学思想和数学方法，从而使学生理解

和掌握这些数学思想和数学方法，提高学习效率。

1认识《高等代数》课程

1.1从内容上认识高等代数

高等代数是数学专业的一门基础课，这门课程是由多项式理论和线性代数两部分内

容组成。

第一部分叫做多项式理论，主要研究形如anxn?an?1xn?1?????a1x?a0的多项式的最

基本的和最重要的一系列代数性质。阐明了中学代数里关于多项式的一些问题。如因式

分解的含义如何?什么样的多项式不能再分解了?能分解因式的多项式，用多种不同的方

法分解，其结果是否相同?为什么?是否有一法则能判断一个多项式是否能分解等等。

第二部分叫做线性代数，线性代数是由研究含有n个未知量的一次方程组或者叫做

线性方程组的问题发展起来的。为了研究方程的个数等于未知量的个数的线性方程组，

列式这个工具是不够的，于是又引进了矩阵理论以及与之相联系的线性空间、线性变换

理论。

1.2从特点上认识高等代数

《高等代数》是数学专业的核心课程之一，这门课程具有高度的抽象性、严密的概

括性和鲜明的结构性三大特点。

1.2.1高度的抽象性

例如，在中学代数里，多项式anxn?an?1xn?1?????a1x?a0中的x只能代表数，而在

高等代数中，多项式中的文字x可作所允许的各种各样的解释(如x可以代表矩阵、线性

变换等)。再比如，在线性空间的定义中，定义了一种加法运算，它可以是数的加法，多项式的加法，矩阵的加法，甚至可以是正实数的乘法，实质上它只是一种和、数乘运算共同满足八条运算律的对应规则。

1.2.2严密的概括性

在高等代数中，由于概念的高度抽象性，作为概念之间规律性联系的定理，也必然是大量事实的高度概括。如定理:向量空间v中任意向量?的负元或负向量是唯一的。

这说明了对于任意实数a,满足条件a?b?0的实数b是唯一的，对于任意矩阵?,满足条件?????(零矩阵)的矩阵?是唯一的。对于任意多项式f(x),满足条件

f(x)?g(x)?0的g(x)是唯一的等等。

1.2.3鲜明的结构性

代数是规定了运算的集合，而这些运算还满足若干法则(运算规律:结合律、交换、分配律、消去律等)。由于法则的约束，也就造就了特殊的元素或“代数的微缩版”(同态意义的子代数)。为研究代数性质，必须依据代数的元素之间关系、代数的生成元、代数的子代数、代数的分类等问题，从整体上把握代数的层次结构，搞清楚代数的结构类型。比如，高等代数在介绍了线性空间的的子空间，生成空间后，介绍子空间的交、和及直和，然后利用同构告诉我们在数学意义下，就线性运算，空间只能这样。

2

高等代数课程固有的理论性强、抽象性强的特点，导致教师难教，学生难学，学生不爱学，学习效果差等一系列问题。学生在课堂听讲时基本概念理解不清，定理内容不明，性质的推导和证明不懂；阅读教材时认为前后衔接不上，不明意思，形成不了整体认识；

在做习题时，对证明题找不到思路或缺乏明确思路，导致无法动笔或不能完整证明，对求解题，不会运用所学知识来完整解答。导致这一现象的原因是多方面的，我从以下三篇三：浅谈《高等代数》课堂中探究式学习方法的应用

浅谈《高等代数》课堂中探究式学习方法的应用

【摘要】本文重点讲述在课堂教学中引导学生自主探究、让学生通过观察、尝试、探讨、归纳、验证、扩充等活动，逐步掌握独立探究新知识的方法，以获得不断深造的能力和创新能力。

【关键词】探究式学习方法；高等代数；问题思考

随着数学学科与信息技术的整合，以及数学自身的发展与创新，越来越多的学科及实际问题都要用到高等代数的知识。从宏观上来说，数学问题的来源主要有两个方面，一个是学科内的，也就是说是由于学科本身的发展所遇到的需要解决的一些问题；一个是学科外的，也就是其他学科以及生产实践中遇到的问题。著名数学家熊庆来先生曾说过：“对学生的培养我们要强调学与思并重，注意学生独立钻研，……教学最重要的是带学生上路，一个人要有自己的判断，认清方向，孜孜不倦，终必能发挥他的创造能力”[1]，这段话可以看成是对探究式教学的一个精彩注解。众所周知，高等代数是由线性代数和多项式两部分组成，它是大学数学重要的基础课程之一。在教学内容的设计上，保证基础的前提下，关注学生数学发展的不同需求，注意弹性需求。长期以来这门课都是注重理论知识的学习，而忽略了数学的应用价值[2-5]。因此，本文重点阐述在教学过程中如何实施探究性学习，让学生进一步体会到数学的应用价值，开阔视野，增强学习兴趣。提倡独立思考，并使得学生的种种独特想法也能够得以开拓和发展。下面通过几个实例介绍课堂上探究性学习的全过程。

（1）方阵的特征值与特征向量的直接求法

对于一个n阶方阵a，可以通过求解特征方程λe-a=0与齐次线性方程组（λe-a）x=0来求它的特征值与特征向量。课堂上我们探讨不用求特征方程，直接求特征值与特征向量的新方法。

在此可以进一步引导学生思考，并总结由新的种子向量寻找新的特征值与特征向量的规

律？（可留作课后思考题，或者让学生以大作业的形式完成。）

（2）矩阵的三角分解（lu分解）

一个n阶方阵如何能分解成一个下三角阵与上三角阵的乘积即为矩阵的三角分解问题。

简记为a=lu其中l是单位下三角阵，u是上三角阵。单位下三角阵是指主对角元全为1的下

三角阵。

课堂上以实例让学生探索问题的求解过程。

问题：对a施行初等行变换将a化为阶梯形矩阵，求a的三角分解；求解过程中寻找规

律；并证明若a可逆，则三角分解唯一。

由初等矩阵可逆，可得

上述l即为单位下三角阵，u为上三角阵，即a=lu。

想必学生从上面的求解过程中就能看出矩阵三角分解的规律：将 a施行初等行变换化为

上三角阵u，同时根据所施行的初等变换直接写出单位下三角阵l。进而可证明每一个单位下

三角阵的逆矩阵仍是单位下三角阵；两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵。

作为应用，矩阵的三角分解可以用来解线性方程组。设线性方程组

的系数矩阵a有三角分解a=lu，由于ax=l（ux），令y=ux，则解方程（3）就等价于解

如下方程组

到此，有同学可能会思考，在化一个n阶方阵为上三角形方阵时出现某个主对角元为零

时怎么办？想想就可以知道，此时进行一次两行互换才能继续进行消元，在这种情况下，a

将如何分解呢？同学们可以自己课下分小组讨论完成。

经过这几年的课堂改革，我们发现探究式教学对学生的自主学习能力和创新能力的培养

大有裨益是毫无疑问的，而且对传统的教学模式起到了良好的效果。由于高等代数是数学专

业基础的基础，所以其内容经典而抽象，选择一个能让学生感兴趣而且又能基本涵盖教学内

容的问题难度较大，而且学生的主动性也参差不齐，鉴于这些客观原因，作者将在今后的教

学过程中，力争凝练出更多的探究式问题，以便达到更好教学效果。

【参考文献】

[1]丘成桐，等.数学与求学[m].北京：高等教育出版社，2012.

[2]严士健.面向21 世纪的中国数学教育[m].南京：江苏教育出版社，1994.

[3]北京大学数学系.高等代数[m].3版.北京：高等教育出版社，2003：56-57.

[4]李玲.在教学中培养创新型人才[j].中山大学学报论丛，2004，24（3）：104-106.

[5]李文喜.高等代数课程的探究式教学[j].安徽工业大学学报：社会科学版，2013，30

（3）：123-124.篇四：高等代数学习心得

高等代数选讲学习心得

进入大学之后，首先要学习的数学专业课程之一就是高等代数，这门课程我们学习了两

个学期。在大三我们也学习了高等代数选讲。其中，线性方程组、矩阵初步、行列式、多项

式等式我们在高中就有初步学习的，因此在高等代数学习这方面时不会有太大的困难。而二

次型、向量空间与线性变换、欧几里得空间、向量空间分解方面则需要我们去深入认识与研

究。

矩阵和行列式是高等代数学习的第一块重要内容，利用矩阵这个工具，可以把线性方程

组中的系数组成向量空间中的向量，于是很多多元线性方程组的问题可以转化为矩阵之后

?x1?x2?x3?2x4?1???进行计算，这样简单易懂。例如一个简单的例子：?x1?x2?x3?3? 就

可以转化

?2x?2x?x?x?5?234?1?

?1-11-21???为?1-1-103?之后进行矩阵的初步运算。

?2-2-1-15???

掌握高等代数的数学思想是学好高等代数的关键，将各个模块的知识进行知识结构间的

联系与相互应用，也是考察我们学习能力的一种方法。例如在学习线性映射与线性变换的模

块中，掌握好基的概念，认识线性映射的两个最重要的子空间ima和kera及其相关性质。在

取定基的情况下，线性映射与现行变化和矩阵的对应架起了几何观点，老师上课的时候也强

调从一个线性映射在不同基下的矩阵来认识矩阵的相抵和相似关系。例如，在对

于?1，?2，…，?n与?1，?2，…，?n这两个向量空间v的基，可以有

??这是基与矩阵关系的应用。在求向量组?1，…，?2，??1，?2，?，?n????，?，?,?n??12?a，?? ?n的基时，方法有淘汰法、添加法、初等变换法等。如若?1，?2，…，?s线性无关，

则?1，?2，…，?s增加分量后得到的向量组也线性无关。

不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，

虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内

容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。在

高等代数的学习中，我最感兴趣的是行列式部分。特别是在高等代数选讲上，老师

篇五：《高等代数》课堂中探究式学习方法的应用

浅谈《高等代数》课堂中探究式学习方法的应用

【关键词】探究式学习方法；高等代数；问题思考

随着数学学科与信息技术的整合，以及数学自身的发展与创新，越来越多的学科及实际

问题都要用到高等代数的知识。从宏观上来说，数学问题的来源主要有两个方面，一个是学

科内的，也就是说是由于学科本身的发展所遇到的需要解决的一些问题；一个是学科外的，

也就是其他学科以及生产实践中遇到的问题。著名数学家熊庆来先生曾说过：“对学生的培养

我们要强调学与思并重，注意学生独立钻研，??教学最重要的是带学生上路，一个人要有自

己的判断，认清方向，孜孜不倦，终必能发挥他的创造能力”[1]，这段话可以看成是对探究

式教学的一个精彩注解。众所周知，高等代数是由线性代数和多项式两部分组成，它是大学

数学重要的基础课程之一。在教学内容的设计上，保证基础的前提下，关注学生数学发展的

不同需求，注意弹性需求。长期以来这门课都是注重理论知识的学习，而忽略了数学的应用

价值[2-5]。因此，本文重点阐述在教学过程中如何实施探究性学习，让学生进一步体会到数

学的应用价值，开阔视野，增强学习兴趣。提倡独立思考，并使得学生的种种独特想法也能

够得以开拓和发展。下面通过几个实例介绍课堂上探究性学习的全过程。

（1）方阵的特征值与特征向量的直接求法

对于一个n阶方阵a，可以通过求解特征方程λe-a=0与齐次线性方程组（λe-a）x=0

来求它的特征值与特征向量。课堂上我们探讨

不用求特征方程，直接求特征值与特征向量的新方法。

在此可以进一步引导学生思考，并总结由新的种子向量寻找新的特征值与特征向量的规

律？（可留作课后思考题，或者让学生以大作业的形式完成。）

（2）矩阵的三角分解（lu分解）

一个n阶方阵如何能分解成一个下三角阵与上三角阵的乘积即为矩阵的三角分解问题。

简记为a=lu其中l是单位下三角阵，u是上三角阵。单位下三角阵是指主对角元全为1的下

三角阵。课堂上以实例让学生探索问题的求解过程。

问题：对a施行初等行变换将a化为阶梯形矩阵，求a的三角分解；求解过程中寻找规

律；并证明若a可逆，则三角分解唯一。由初等矩阵可逆，可得

上述l即为单位下三角阵，u为上三角阵，即a=lu。

想必学生从上面的求解过程中就能看出矩阵三角分解的规律：将 a施行初等行变换化为

上三角阵u，同时根据所施行的初等变换直接写出单位下三角阵l。进而可证明每一个单位下

三角阵的逆矩阵仍是单位下三角阵；两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵。作为应用，矩阵的三角分解可以用来解线性方程组。设线性方程组

的系数矩阵a有三角分解a=lu，由于ax=l（ux），令y=ux，则解方程（3）就等价于解如下方程组

到此，有同学可能会思考，在化一个n阶方阵为上三角形方阵时

出现某个主对角元为零时怎么办？想想就可以知道，此时进行一次两行互换才能继续进行消元，在这种情况下，a将如何分解呢？同学们可以自己课下分小组讨论完成。

经过这几年的课堂改革，我们发现探究式教学对学生的自主学习能力和创新能力的培养大有裨益是毫无疑问的，而且对传统的教学模式起到了良好的效果。由于高等代数是数学专业基础的基础，所以其内容经典而抽象，选择一个能让学生感兴趣而且又能基本涵盖教学内容的问题难度较大，而且学生的主动性也参差不齐，鉴于这些客观原因，作者将在今后的教学过程中，力争凝练出更多的探究式问题，以便达到更好教学效果。