数值分析(计算方法)期末试卷及参考答案

数值分析(计算方法)期末试卷及参考答案

标准答案

一． 填空

1. 舍入误差

2. 729，1，0

3. 5

4.

21cos 2sin k k

k k k k

x x x x x x +-=-

+ 5. 6，3

二． 计算

1. 构造重节点的差商表：

所以，要求的Hermite 插值为：

222()2(1)23H x x x x =+-=-+

2(1.5)(1.5) 2.25f H ≈=

2.2()

()(1)(2)3!

f R x x x ξ'''=

-- 证明：由题意可知2()()()R x f x H x =

-

由插值条件知：(1)0,(1)0,(2)0,R R R '===

所以，可设：2()()(1)(2)R x k x x x =-- （＃） 构造函数：

22()()()()(1)(2)t f t H t k x t t ϕ=----

易知：,1,2t x =时，()0t ϕ=，且(1)0ϕ'=()0t ϕ'''⇒=至少有一个根ξ，即()0ϕξ'''⇒= 对（＃）式求三阶导，并代入得：()

()3!

f k x ξ'''= 所以，2()

()(1)(2)3!

f R x x x ξ'''=

-- 2. 解：设2()ln 4,f x x x =+-则1()2,f x x x

'=+ 牛顿迭代公式为：1()

()

k k k k f x x x f x +=-'

2ln 4

12k k k k k

x x x x x +-=-

+

32

5ln 21

k k k k k x x x x x +-=+

将0 1.5x =代入上式，得1 1.8667x =，2 1.8412x =，3 1.8411x =

3230.000110x x --=<

所以，方程的近似根为：

3 1.8411x =

3.解：设()1f x =时，左1

0()1f x dx ==⎰，右A B C =++，左＝右得：1A B C ++=

()f x x =时，左1

01()2f x dx ==

⎰，右1Bx C =+，左＝右得：11

2

Bx C += 2()f x x =时，左101()3f x dx ==⎰，右21Bx C =+，左＝右得：211

3

Bx C += 3

()f x x =时，左101()4f x dx ==⎰，右31Bx C =+，左＝右得：3114

Bx C += 联立上述四个方程，解得：

11211,,,6362

A B C x ==== 4()f x x =时，左1

01

()5f x dx ==

⎰，右41425

Bx C =+=，左≠右 所以，该求积公式的代数精度是3 4.解：Euler 公式是：

100

(,)

()n n n n y y hf x y y x y +=+⎧⎨

=⎩ 具体到本题中，求解的Euler 公式是：

10.1()0.90.1(0)0

n n n n n n

y y x y y x y +=+-=+⎧⎨

=⎩ 代入求解得：10y =

20.01y = 30.029y =

5.解，设A 可以三解分解，即

1112132122

233132

3311

1u u u A LU l u u l

l u ⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝

⎭

由矩阵的乘法及矩阵相等可得：

121351L ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭

，

1231424U ⎛⎫

⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭

令,L ,Ux y Ax b y b Ux y ====则可转化为两个等价的三角方程组： 求解三角方程组：Ly b =，得：(14,10,72)y T =--

求解三角方程组：Ux y =，得：(1,2,3)x T = 所以，原方程组的解为：(1,2,3)x T = 三． 证明

证明：分别将1n y -，1n y -'，1n y +'在n x 处用Taylor 公式展开得：

2331()2!3!n

n n n n

y y y y y h h h o h -''''''=-+-+ 221()2!n n

n n y y y y h h o h -'''

''''=-++ 221()2!n

n n n y y y y h h o h +'''''''=+++

将以上三式代入线性二步法中，得：

23315()2!6

n

n n n n

y y y y y h h h o h +''''''=++++ 又方程的真解的Taylor 展式为：

23

31()()()()()()2!3!

n n n n n y x y x y x y x y x h h h o h +''''''=++

++ 所以，局部截断误差为：

331112

()()3n n n n T y x y y h o h +++'''=-=-+ 所以，该方法是二阶的，局部截断误差首项为：323

n y h '''-