矿山车辆载荷谱编制的关键技术综述 (2)

通　用
1.1　功率谱密度法
功率谱是描述功率随频率变化的一个函数，是随
机数据的一个重要参数，估计公式为[1-3]
T
B
=1
e
2
r
ε
， (1)
式中：T为采集样本应消耗的时间，单位 s；εr为统
计误差。

由于在其他样本长度确定的方法中，误差表
达式中的分母一般都大于分辨带宽 B e，所以，该方法
可以保守地估计样本长度。

1.2　近似均值精度估计法
该方法是通过对样本的统计获得估计参数代替总
体，由统计误差的定义描述样本长度与均值统计误差
εr的关系，具体应用公式为[1]
.2
2
2
()
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥εr， (2)
式中：K 为相互独立的子样本个数；S (x) 为样本方
差；为样本均值；统计参数 x 可以是均值、标准差
或者均方差。

若有 m 个子样本，则样本长度 n 为
n Km
m S x
x
=
()
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
.
ε
r
2
2
(置信度 68.3% )， (3)
或
n Km
m S x
x
=
()
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
.
ε
r
2
22
(置信度 95.4%)。

(4)
式 (3)、(4) 中用样本均值代替总体均值，从而使
式 (3)、(4) 中不含未知参数，应用方便。

但式 (3)、
(4) 难以说明估算出样本长度的可靠度。

只有在 n较
大的情况下，才可以用样本均值代替总体。

1.3　曲线拟合法
该方法是基于极限近似理论，根据离散数据的总
体参数表达式得出的。

通过对样本载荷统计分析，得
到每个子样的均值、标准差和均方值，然后逐步将样
本长度不断增长并计算出载荷的统计参数。

坐标系中
观察各参数的变化趋势，绘成曲线并找出相应的最佳
拟合方程。

基于选定的曲线拟合方程，由极限理论可
知，当样本长度无限增长时，估计出的总体参数可以
准确地描述总体特性。

拟合方程求解采用最小二乘法，如果参数表达式
是非线性的，应该转化为线性方程，由
m
m
m m
=
==
∑
∑∑
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥=
1
1
2
1
=
=
∑
∑
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
1
1
m
m
， (5)
可解出 a 和 b 的值，从而求得各个参数关于样本长度
的分布函数，令样本长度趋于无穷，即可估计得到总
体各参数的值。

1.4　疲劳寿命法
样本载荷的分析就是为了估算零部件全寿命下的
载荷时间历程，进而估算它的疲劳寿命。

因此，从疲
劳损伤出发，对样本载荷进行疲劳分析，所求得的样
本长度更加可信。

由雨流计数，采集的样本载荷可以
转化成为具体的载荷循环。

根据 Miner 假说，已知一个实际的子样本载荷谱
块含有各级应力水平 (S a i，S m j)，与应力水平相对应的
循环次数 n (S a i，S m j)，由 S - N 曲线 (见图 2) 可求得
对应的疲劳寿命循环次数 N (S a i，S m j)，i = 1，2，…，
l；j= 1，2，…，g；S
a
和 S m 分别为循环载荷的幅值
和均值，那么，该子样本载荷谱块产生的疲劳损伤量
为
n S S
N S S
i j
i j
i
l
j
g
=
=
=
∑
∑(,)
(,)
a m
a m
1
1。

(6)
设 D = 1 时，零件破坏，即 1/D 实际载荷谱块加
载后，零件破坏。

令 x = 1/D，并对 x 求对数，由文献
[4] 可知，log x 在小样本时服从正态分布，而在大样本
时服从威布尔分布。

以正态分布为例，x ~ N (µ，σ2)，
µ，σ2 分别为总体值和总体方差，则
x
S x K
K
=
−−
µ
()
~()1， (7)
给定允许误差 δ和置信水平 γ，可以求得 t 分布
的置信区间
−<
−<
S x t
x K
x
x
S x t
x K
()()
γγ
µ
， (8)
从而K
S x t
x
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
()
γ
δ
2
，求得样本长度。

以上方法均可在描述一定载荷特性的基础上，求
得最小样本长度值，但各有利弊，表 1 对比描述了这
些样本长度求解方法。

图 2　S - N 曲线
Fig 2 S - N curve
通　用
2　外推
零件全寿命下的载荷时间历程是实现准确预测零件疲劳寿命的基础，而全寿命的载荷时间历程是不可能被测得，常用的方法是基于特定准则对样本载荷外推估计出全寿命载荷谱。

外推方法包括参数外推[5-7]和雨流矩阵外推[8]。

2.1　参数外推
参数估计法分别对载荷均值、幅值的分布进行假设，然后检验假设分布函数的拟合情况和 2 个变量的相关性，然后求得 2 个变量的联合概率密度函数，以描述它们的统计特征，具体步骤如下。

(1) 由双参数雨流计数法统计得到均值 y 、幅值 x 和循环频次 z 等信息，如图 3 所示。

(2) 对均幅值与频次分别求出对应的分布模型，通常对均值、幅值概率分布作多种分布的假设，检验得到最好的分布模型。

(3) 检验 2 个变量分布的相关性情况，并求得联合概率密度函数和均幅值极值。

由均幅值概率密度函数可以求出均幅值对应的极值，并进行相关性检验，求得联合概率密度函数。

由于连续的载荷谱累积频次很难在实验室重现，因而必须把连续的载荷累积频次曲线转化为程序加载谱来实现。

通常级数可分为 4、8、16、32 级等，目
前，常用 8 级阶梯曲线进行程序控制的实现。

将均幅
值分别由不等间隔法和等间隔法分为 8 级，得到二维
设计谱。

幅值不等间隔法分级系数为 1、0.95、0.85、0.725、0.575、0.425、0.275、0.125，分级系数与幅值极值载荷的乘积即是每级的载荷水平[6-7]。

(4) 外推样本载荷得到全寿命下每个载荷循环的累积频次。

x y x y =
′∫
∫
(,) d d
m m a1
a 1
22， (9)
式中：s a 1，s a 2 为载荷幅值的积分下限、上限；s m 1，s m 2 为载荷均值的积分下限、上限；N ′为各测点铲掘段扩展后的载荷频次；f (x ，y ) 为均值和幅值的联合概率密度。

(5) 将均值等效为幅值，实现二维设计谱转化为八级加载谱，常用的转化方法为 Goodman 等效方法。

由上述参数外推方法可以外推到全寿命下的载荷循环累积频次，而且还可以估计全寿命的极值载荷。

极值载荷一般情况下很少出现，一旦出现，就会引起零部件较大的损伤，对疲劳强度产生较大影响。

在对样本载荷外推过程中，仅实现了本载荷对应的频次扩展，载荷大小并没有发生变化；而在实际应用中，全寿命下的载荷时间历程，没有包含全部的样本载荷，而这些丢失的载荷还可能包含产生重要疲劳贡献的循环载荷。

由于载荷的随机性，每次试验的雨流谱形状各异，很难用某个分布函数来表达它的特征。

参数估计的方法本身就带有很大的人为因素，为了弥补以上不足，人们提出了雨流矩阵外推。

由上述求出均幅值对应的极值载荷，可以求出载荷循环中的极值，有助于预测静态破坏。

2.2　雨流矩阵外推
雨流矩阵外推是寻找一个雨流矩阵的极限模型，
该模型包含各个载荷循环的频次。

以下方法可以实现样本载荷循环估计极限雨流矩阵。

(1) 估计出载荷的一个模型，计算出对应此模型的极限雨流矩阵。

(2) 对样本载荷运用平润化方法，估计极限雨流矩阵。

(3) 只对大载荷循环进行模型估计，因为它们导致了大多数破坏。

必要的话，对其他载荷循环进行其他方法处理。

通常采用第 3 种方法。

首先采用式 (7) 估算大载荷循环的极限雨流矩阵，再对其他载荷循环应用 kernel 平润化方法处理，得到部分载荷的极限雨流矩阵
µµµµµrfc
(,)()()
()()
≈
+ ， (10)
图 3　双参数雨流计数结果
Fig 3 Results of dual-parametered rainfl ow counting
求解方法分辨带宽
　近似均值精度估计法曲线拟合法疲劳寿命
反应的载荷特性带宽
　均值、均方值和标准
差
　样本值的趋势　有效载荷循环
对应公式
=1e 2r
εx x .22
2
()⎛⎝⎜⎞⎠
⎟εr εφφφ=−→∞→∞lim lim N N N ()x x =⎛⎝⎜⎞⎠
⎟()γδ2
优点求解简单
　可以参考载荷多个特性
　很好的结合样
本值，反应了样
本增大时研究变
量的变化
　从疲劳角度出发，突出研究了有效载荷循环的影响
缺点结果保守
　需要较
长样本　拟合方
程有较大人为因素
　计算的
疲劳精度不高表 1　最小样本长度确定方法的对比
Tab 1 Contrast of methods of determining minimum sample size。