重庆大学概率与数理统计课后答案第二章
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1/ 2 1/ 2
1
1 1 1 arcsin 2 arcsin 2 3
（3）当 x≤-1 时，
F x P X x f x dx 0dx 0
x
x
当-1<x≤1 时，
1 F x P X x
习题二
A组
1． 一批产品中有 13 件正品 2 件次品， 现从中不放回抽取 3 件， 求抽到次品数 X 的分布函数。 解： X 的所有可能取值为 0、1、2。
3 C13 22 P{ X 0} 3 , C15 35 2 1 C13 C2 12 P{ X 1} , 3 35 C15 1 2 C13 C2 1 P{ X 2} 。 3 35 C15
x0 0, 22 , 0 x 1 35 F ( x) 34 35 , 1 x 2 x2 1,
2． 一袋中装有 5 只球，编号为 1，2，3，4，5，从袋中同时取出 3 只，以 X 表示取出的 3 只 球中的最大号码，试求：1） X 的分布律；2） X 的分布函数，并画图。 解：1） X 的可能取值为 3,4,5，
P{ X 3} P{ X 3} P{ X 2}
3 C3 1 0 ； 3 C5 10 3 C4 1 3 ； 3 C5 10 10
P{ X 4} P{ X 4} P{ X 3}
P{ X 5} P{ X 5} P{ X 4} 1
x
f x dx
x
1 x
2
dx
1 1 arcsin x arcsin 1 arcsin x 2
1
当 1<x 时，
39
1 F x P X x
所以 X 的分布函数为：
x
f x dx
1 ，以 X 表示汽车停下时通过的交通岗个数，求 X 的分布律。 2
X 的可能取值：0，1，2，3，4 1 P( X 0) 2 1 1 P( X 1) ( ) 2 2 4 1 1 P( X 2) ( )3 2 8 1 1 P( X 3) ( ) 4 2 16 1 1 2 1 3 1 4 1 P( X 4) 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 16
X
3 0.1 4 0.3 5
4 6 ； 10 10
P
2)
0.6
x3 0, 0.1, 3 x 4 F ( x) P{ X x} 0.4, 4 x 5 x5 1,
3． 设一学生用同一台机床接连独立地制造 3 个同种零件，第 i 个为不合格品的概率为
P{ X 8}
48 4 e 0.0298 ； 8!
36
（2） P{ X 3} 1
4k 4 e 0.5666 。 k 0 k !
3
7． 设 X ~ P( ) ，且 P{X 1} P{X 2} ，求 P{ X 4} 。 解：因为 X ~ P() ， P{X 1} P{X 2} ，所以
（3）当 x≤0 时，有
F x P X x
当 0<x 时，有
x
f x dx
0
x
1 t 1 e dt e x 2 2
F x P X x
所以 X 的分布函数为
x
f x dx
x1 1 t 1 1 1 e dt et dt 1 e x 1 e x 2 0 2 2 2 2
P{ X 2} 1 P{ X 0,1} 1 0.99991000 1000 0.0001 0.9999 999 1 e 0.1 0.1 e 0.1 0.0047
9．学校乘汽车到火车站的途中有 4 个交通岗，设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独 立的，且概率都是 解： 1 2 3 4
解：设 X 为同一时刻使用的设备数，可能取值为：0，1，2，3，4，5， 则 X ~ B(5, 0.2) ， （1） P{ X 2}
P{ X k} C
k 0 k 0
2
2
k 5
0.2 k 0.85 k 0.9421 ；
（2） P{X 2} 1 P{X 0,1} 1 0.85 5 0.2 0.84 0.2627 6．一电话总机每分钟收到呼唤次数 X 服从参数为 4 的泊松分布。求（1）某一分钟恰有 8 次 呼唤的概率； （2）某一分钟的呼唤次数大于 3 的概率。 解： （1） X ~ P(4)
1
f x dx
1
A 1 x2
1
dx A arcsin(1) arcsin( 1) A
所以 A=1/π ； （2）
1 1 dx 1 P X f x dx 1/ 2 1/ 2 2 2 1 x2
1
所以 A （2）
f x dx Ae|x|dx 2 Ae x dx 2 A
0
1 ； 2 P 0 X 1 f x dx
0 1 11 1 | x| e dx e x dx 0.316 0 2 0 2 1
1
1 x2
1
dx 1
x 1 0, 1 1 F ( x) arcsin x, 1 x 1 2 x 1 1,
14．设随机变量 X 具有密度函数
f ( x) Ae|x| ， x R
（1）求常数 A ； （2）求 P{0 X 1} ； （3）求 X 的分布函数。 解： （1）由密度函数的性质有
11．设随机变量 X 的分布函数为
x 1 0, F ( x) ln x, 1 x e 1, xe
（1）求概率 P{X 1.5},
P{2 X 3} ；
（2） X 的密度函数 f ( x) 。 解： （1） P{X 1.5} F (1.5) ln(1.5) ln 3 ln 2 ；
1
0
xdx (2 x)dx 0.875 。
1
1.5
13．设随机变量 X 具有密度函数
A , | x | 1 f ( x) 1 x 2 0, | x | 1
（1）求常数 A ； （2）求 P{
1 1 X }; 2 2
（3）求 X 的分布函数。
解： （1）由密度函数的性质有
pi
1 (i 1, 2,3) ，以 X 表示 3 个零件中的合格品数，求 X 的分布律。 i 1
解： X 的可能取值：0，1，2，3
35
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设 Ai (i 1, 2,3) 表示第 i 个零件是合格品，
1 1 1 1 P( X 0) P( A1 A2 A3 ) 2 3 4 24 1 1 1 1 2 1 1 1 3 6 P( X 1) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24 1 2 1 1 2 3 1 1 3 11 P( X 2) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24 1 2 3 6 P( X 3 ) P (1A 2A 3A ) 。 2 3 4 24 1 4． 设随机变量 X 的分布律为 P{ X k} k ， k 1, 2, ，且 P{ X 1 } ，试确定参数 4
t 2 2t
3 0 4
所以 t=1/2 或 3/2。显然 t = 3/2 不合题意，舍去，于是
23 1 a3 2 P( A) P X a f x dx x dx 1 a a 8 2 8
3 即 a 4
16．设随机变量 X ~ N (3, 4) ， （1）求概率 P{2 X 5}, P{4 X 10}, P{| X | 2} ； （2）确定常数 c ，使得 P{X c} P{X c} ； 解： （1）
P{2 X 3} F (3) F (2) 1 ln 2 ；
1 , 1 x e f ( x) x ； 其它 0,
（2）
12．设随机变量 X 的密度函数为：
0 x 1 x, f ( x ) 2 x, 1 x 2 0, 其它
10．设随机变量 X 的分布函数为 F ( x) A B arctan( x), x R
37
（1）求常数 A 与 B ； （2）求 P{X (1, 1)} ； （3）求 X 的密度函数 f ( x) 。 解： （1）由分布函数的性质有
1 F () A Barctg () A 0 F () A Barctg () A
, 。
解： 因为
k 1
k
1,
P X ( 1 )
3 4
利用几何级数，即
1, 1
，解出： 3,
3 4
。
1 4
5． 某建筑工地装有 5 个同类型的供水设备，设在同一时刻设备被使用的概率为 0.2，各设备 是否被使用相互独立，求在同一时刻下列事件的概率： （1）最多 2 个设备被使用； （2）至少有 2 个设备被使用；
2
B B
2
1 1 A , B 2
(2)
1 1 1 1 1 P{ X (1,1)} F (1) F (1) ( arctg1) [ arctg (1)] 2 2 2
(3) f ( x) F '( x)
1 , xR (1 x 2 )
e
又 0 ，所以 2 ，即
1!
e
2
2!
P{ X 4} e
4
4!
e2
24 2 2 e 0.0902 4! 3
8． 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概 率为 0.0001。在某天的该段时间内有 1000 辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2 的概率是多 少？ 解：因为 X ~ B(1000, 0.0001) ，所以
38
（1）求 X 的分布函数；并画出 f ( x), F ( x) 的图形； （2）求概率 P{X 1.5} ； 解： （1）
x0 0, 1 x2 , 0 x 1 2 F ( x) 1 1 (2 x) 2 , 1 x 2 2 1, x2
（2） P{ X 1.5}
1 x e , x0 2 F ( x) 1 1 e x , x 0 2
15．设随机变量 X 与 Y 同分布， X 具有密度函数
40
3 2 x ,0 x 2 f ( x) 8 其它 0,
已知事件 A { X a} 与 B {Y a} 独立，且 P{A B} 3/ 4 , 求常数 a 。 解：因为 X 与 Y 同分布，所以 P( A) P( B) 。因 A与B 独立，所以 P( AB) P( A) P( B) ，于 是 3/ 4 P( A B) P( A) P( B) P( A) P( B) 令 t P( A) P( B) ，则
1
1 1 1 arcsin 2 arcsin 2 3
（3）当 x≤-1 时，
F x P X x f x dx 0dx 0
x
x
当-1<x≤1 时，
1 F x P X x
习题二
A组
1． 一批产品中有 13 件正品 2 件次品， 现从中不放回抽取 3 件， 求抽到次品数 X 的分布函数。 解： X 的所有可能取值为 0、1、2。
3 C13 22 P{ X 0} 3 , C15 35 2 1 C13 C2 12 P{ X 1} , 3 35 C15 1 2 C13 C2 1 P{ X 2} 。 3 35 C15
x0 0, 22 , 0 x 1 35 F ( x) 34 35 , 1 x 2 x2 1,
2． 一袋中装有 5 只球，编号为 1，2，3，4，5，从袋中同时取出 3 只，以 X 表示取出的 3 只 球中的最大号码，试求：1） X 的分布律；2） X 的分布函数，并画图。 解：1） X 的可能取值为 3,4,5，
P{ X 3} P{ X 3} P{ X 2}
3 C3 1 0 ； 3 C5 10 3 C4 1 3 ； 3 C5 10 10
P{ X 4} P{ X 4} P{ X 3}
P{ X 5} P{ X 5} P{ X 4} 1
x
f x dx
x
1 x
2
dx
1 1 arcsin x arcsin 1 arcsin x 2
1
当 1<x 时，
39
1 F x P X x
所以 X 的分布函数为：
x
f x dx
1 ，以 X 表示汽车停下时通过的交通岗个数，求 X 的分布律。 2
X 的可能取值：0，1，2，3，4 1 P( X 0) 2 1 1 P( X 1) ( ) 2 2 4 1 1 P( X 2) ( )3 2 8 1 1 P( X 3) ( ) 4 2 16 1 1 2 1 3 1 4 1 P( X 4) 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 16
X
3 0.1 4 0.3 5
4 6 ； 10 10
P
2)
0.6
x3 0, 0.1, 3 x 4 F ( x) P{ X x} 0.4, 4 x 5 x5 1,
3． 设一学生用同一台机床接连独立地制造 3 个同种零件，第 i 个为不合格品的概率为
P{ X 8}
48 4 e 0.0298 ； 8!
36
（2） P{ X 3} 1
4k 4 e 0.5666 。 k 0 k !
3
7． 设 X ~ P( ) ，且 P{X 1} P{X 2} ，求 P{ X 4} 。 解：因为 X ~ P() ， P{X 1} P{X 2} ，所以
（3）当 x≤0 时，有
F x P X x
当 0<x 时，有
x
f x dx
0
x
1 t 1 e dt e x 2 2
F x P X x
所以 X 的分布函数为
x
f x dx
x1 1 t 1 1 1 e dt et dt 1 e x 1 e x 2 0 2 2 2 2
P{ X 2} 1 P{ X 0,1} 1 0.99991000 1000 0.0001 0.9999 999 1 e 0.1 0.1 e 0.1 0.0047
9．学校乘汽车到火车站的途中有 4 个交通岗，设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独 立的，且概率都是 解： 1 2 3 4
解：设 X 为同一时刻使用的设备数，可能取值为：0，1，2，3，4，5， 则 X ~ B(5, 0.2) ， （1） P{ X 2}
P{ X k} C
k 0 k 0
2
2
k 5
0.2 k 0.85 k 0.9421 ；
（2） P{X 2} 1 P{X 0,1} 1 0.85 5 0.2 0.84 0.2627 6．一电话总机每分钟收到呼唤次数 X 服从参数为 4 的泊松分布。求（1）某一分钟恰有 8 次 呼唤的概率； （2）某一分钟的呼唤次数大于 3 的概率。 解： （1） X ~ P(4)
1
f x dx
1
A 1 x2
1
dx A arcsin(1) arcsin( 1) A
所以 A=1/π ； （2）
1 1 dx 1 P X f x dx 1/ 2 1/ 2 2 2 1 x2
1
所以 A （2）
f x dx Ae|x|dx 2 Ae x dx 2 A
0
1 ； 2 P 0 X 1 f x dx
0 1 11 1 | x| e dx e x dx 0.316 0 2 0 2 1
1
1 x2
1
dx 1
x 1 0, 1 1 F ( x) arcsin x, 1 x 1 2 x 1 1,
14．设随机变量 X 具有密度函数
f ( x) Ae|x| ， x R
（1）求常数 A ； （2）求 P{0 X 1} ； （3）求 X 的分布函数。 解： （1）由密度函数的性质有
11．设随机变量 X 的分布函数为
x 1 0, F ( x) ln x, 1 x e 1, xe
（1）求概率 P{X 1.5},
P{2 X 3} ；
（2） X 的密度函数 f ( x) 。 解： （1） P{X 1.5} F (1.5) ln(1.5) ln 3 ln 2 ；
1
0
xdx (2 x)dx 0.875 。
1
1.5
13．设随机变量 X 具有密度函数
A , | x | 1 f ( x) 1 x 2 0, | x | 1
（1）求常数 A ； （2）求 P{
1 1 X }; 2 2
（3）求 X 的分布函数。
解： （1）由密度函数的性质有
pi
1 (i 1, 2,3) ，以 X 表示 3 个零件中的合格品数，求 X 的分布律。 i 1
解： X 的可能取值：0，1，2，3
35
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设 Ai (i 1, 2,3) 表示第 i 个零件是合格品，
1 1 1 1 P( X 0) P( A1 A2 A3 ) 2 3 4 24 1 1 1 1 2 1 1 1 3 6 P( X 1) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24 1 2 1 1 2 3 1 1 3 11 P( X 2) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24 1 2 3 6 P( X 3 ) P (1A 2A 3A ) 。 2 3 4 24 1 4． 设随机变量 X 的分布律为 P{ X k} k ， k 1, 2, ，且 P{ X 1 } ，试确定参数 4
t 2 2t
3 0 4
所以 t=1/2 或 3/2。显然 t = 3/2 不合题意，舍去，于是
23 1 a3 2 P( A) P X a f x dx x dx 1 a a 8 2 8
3 即 a 4
16．设随机变量 X ~ N (3, 4) ， （1）求概率 P{2 X 5}, P{4 X 10}, P{| X | 2} ； （2）确定常数 c ，使得 P{X c} P{X c} ； 解： （1）
P{2 X 3} F (3) F (2) 1 ln 2 ；
1 , 1 x e f ( x) x ； 其它 0,
（2）
12．设随机变量 X 的密度函数为：
0 x 1 x, f ( x ) 2 x, 1 x 2 0, 其它
10．设随机变量 X 的分布函数为 F ( x) A B arctan( x), x R
37
（1）求常数 A 与 B ； （2）求 P{X (1, 1)} ； （3）求 X 的密度函数 f ( x) 。 解： （1）由分布函数的性质有
1 F () A Barctg () A 0 F () A Barctg () A
, 。
解： 因为
k 1
k
1,
P X ( 1 )
3 4
利用几何级数，即
1, 1
，解出： 3,
3 4
。
1 4
5． 某建筑工地装有 5 个同类型的供水设备，设在同一时刻设备被使用的概率为 0.2，各设备 是否被使用相互独立，求在同一时刻下列事件的概率： （1）最多 2 个设备被使用； （2）至少有 2 个设备被使用；
2
B B
2
1 1 A , B 2
(2)
1 1 1 1 1 P{ X (1,1)} F (1) F (1) ( arctg1) [ arctg (1)] 2 2 2
(3) f ( x) F '( x)
1 , xR (1 x 2 )
e
又 0 ，所以 2 ，即
1!
e
2
2!
P{ X 4} e
4
4!
e2
24 2 2 e 0.0902 4! 3
8． 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概 率为 0.0001。在某天的该段时间内有 1000 辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2 的概率是多 少？ 解：因为 X ~ B(1000, 0.0001) ，所以
38
（1）求 X 的分布函数；并画出 f ( x), F ( x) 的图形； （2）求概率 P{X 1.5} ； 解： （1）
x0 0, 1 x2 , 0 x 1 2 F ( x) 1 1 (2 x) 2 , 1 x 2 2 1, x2
（2） P{ X 1.5}
1 x e , x0 2 F ( x) 1 1 e x , x 0 2
15．设随机变量 X 与 Y 同分布， X 具有密度函数
40
3 2 x ,0 x 2 f ( x) 8 其它 0,
已知事件 A { X a} 与 B {Y a} 独立，且 P{A B} 3/ 4 , 求常数 a 。 解：因为 X 与 Y 同分布，所以 P( A) P( B) 。因 A与B 独立，所以 P( AB) P( A) P( B) ，于 是 3/ 4 P( A B) P( A) P( B) P( A) P( B) 令 t P( A) P( B) ，则