实变函数期末考试题A

C.1lim k j

k k j k

A A

∞∞

→∞

===

I U ； D. 1lim k j k k j k

A A ∞∞

→∞

===

I I

。

2．设f (x )是E 上的可测函数，则对任意实数a ，有 ( )

A. E [x ; f (x ) >a ]是开集；

B. E [x ; f (x ) ≥ a ]是闭集；

C. E [x ; f (x ) >a ]是可测集；

D. E [x ; f (x ) = a ]是零测集。

3．下列断言中错误的是 ( )

A. 有理点集为零测集；

B. Cantor 集为零测集；

C. 零测集的子集是零测集；

D. 无穷个零测集的并是零测集。 4．设f (x )为可测集E 上的可测函数，若

()E

f x dx <+∞⎰

，则下列断言错误的是 ( )

A. f (x )在E 上L-积分存在；

B. f (x )在E 上L-可积；

C. f (x )在E 上未必L-可积；

D. f (x )在E 上a.e.有限。 5．设{}k f 是n

E ⊂¡

上的可测函数列，lim ()k k f x →∞

存在，则lim ()k k f x →∞

是 （ ）

A.简单函数；

B.连续函数；

C.可测函数；

D.单调函数。

6．设f 是[,]a b 上有界变差函数，则有 ( )

A. ()f x 连续；

B. ()f x '存在；C ．()f x ' a.e.存在；

D. ()f x ''存在。

7．设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则E A U 是 （ ）

.A 可测集且测度为零； .B 可测集但测度未必为零； .C 不可测集； .D 以上都不对。 8．设()f x 是E 上的可测函数，则 （ ）

.A ()f x 是E 上的连续函数； .B ()f x 是E 上的勒贝格可积函数； .C ()f x 是E 上的简单函数； .D ()f x 可表示为一列简单函数的极限。

三、判断题(本题共10小题，每小题2分，共20分。判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×” )

1．设A B U 为不可数集，则A ，B 中至少有一个为不可数集。 ( ) 2. 若A 为可测集，且0=mA ，A 一定是可数集或有限集。 ( )

3．设{}k f 是E 上的可测函数列，则1

sup ()k k f x ≥在E 上可测。 ( )

4．函数f (x )在E 上可测的充要条件是，对于每个实数a ，集合E { f =a }可测。 ( ) 5．任意多个零测集的并集仍是零测度集。 ( ) 6．设f (x )为[a , b ]上的绝对连续，则f (x )在[a , b ]上一致连续。 ( ) 7．零测度集上的任意函数均为可测函数。 ( ) 8．设E 为¡的可测子集，0>mE ，则E 一定含有一个区间。 ( ) 9．闭集减去闭集仍然是闭集 （ ） 10．若()||x f 可测，则()x f 也可测。 ( )

四、证明题（本题共3小题，每小题4分，满分12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

1. 证明：数集(0,1)与实数集¡对等.

2. 设E 是区间[0,1]内的全体有理点所成的集合，证明*()0m E =。

3. 设f 在E 上可测，g 是E 上的广义实值函数，并且0)(=≠g f mE ，证明g 也是E 上的可测函数。

五、简答题（本题共3小题，每小题4分，满分12分。简答只须答出要点即可）1．可测集与Borel集之间的关系是什么？

2．几乎处处收敛、基本一致收敛以及依测度收敛的关系如何？（可用图示箭头表示）3．简述Lebesgue单调函数微分定理的内容。

六、计算题（本题共2小题，每小题10分，满分20分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

1. 求

1

22

lim()sin

1

k

kx

R kxdx

k x

→∞+

⎰。

2. 计算函数

⎪⎩

⎪

⎨⎧=<<-==1,510,10,0)(x x x x x f

在区间]1,0[上的全变差1

0()V f 的值。