5.1.2垂线精品PPT课件
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5.1.2垂线ppt课件
探究： ①用三角尺或量角器画已知直线l 的垂 线，这样的垂线能画出几条？
②经过直线l上一点A画 l 的垂线，这样的垂
线能画出几条？
③经过直线l 外一点B画 l 的垂线，这样的
垂线能画出几条？
问题:过已知直线 l 和l上(或外)的一点A , 作l的垂线,可以作几条?
能作一条,而且只能作一条.
垂线的性质1：
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当b的位置变化时,a、b所 成的角α也会发生变化.
b b bb
当α=90°时, a与b互相垂直.
）α
a
垂直
垂直是相交的特殊情况
一、垂直的定义
1.定义：当两条直线所成的四个 角中有一个角是直角时，这两条 直线互相垂直。其中一条直线叫C 另一条直线的垂线，它们的交点 叫垂足。
A
O
D
B
2.垂直用符号 “⊥”来表示，读作“垂直于”。
如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”。
3.交点O叫做垂足
从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。
2.垂直的表示： 用“⊥”和直线字母表示垂直 例如、如图，a、b互相 垂直, 垂足为O，则记为：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意: 过一点画已知线段(或射线)的垂线, 就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
根据以上的结果，你能得出什么结论？ 垂线的第一性质：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（1）“有且只有”中，“有”指存在， “只有”指唯一性。
（2）“过一点”中的点，可以在已知直 线上，也可以在已知直线外。
）1
D
C
∴∠2=60° （等量代换）
②经过直线l上一点A画 l 的垂线，这样的垂
线能画出几条？
③经过直线l 外一点B画 l 的垂线，这样的
垂线能画出几条？
问题:过已知直线 l 和l上(或外)的一点A , 作l的垂线,可以作几条?
能作一条,而且只能作一条.
垂线的性质1：
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当b的位置变化时,a、b所 成的角α也会发生变化.
b b bb
当α=90°时, a与b互相垂直.
）α
a
垂直
垂直是相交的特殊情况
一、垂直的定义
1.定义：当两条直线所成的四个 角中有一个角是直角时，这两条 直线互相垂直。其中一条直线叫C 另一条直线的垂线，它们的交点 叫垂足。
A
O
D
B
2.垂直用符号 “⊥”来表示，读作“垂直于”。
如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”。
3.交点O叫做垂足
从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。
2.垂直的表示： 用“⊥”和直线字母表示垂直 例如、如图，a、b互相 垂直, 垂足为O，则记为：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意: 过一点画已知线段(或射线)的垂线, 就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
根据以上的结果，你能得出什么结论？ 垂线的第一性质：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（1）“有且只有”中，“有”指存在， “只有”指唯一性。
（2）“过一点”中的点，可以在已知直 线上，也可以在已知直线外。
）1
D
C
∴∠2=60° （等量代换）
5.1.2垂线课件教学资料
的所有线垂段线中(c，hu垂í线xià段n)最短。
简单说成：垂段线最段短最短．
直线外一点(yī diǎn)到这条直垂线线的段垂的线长段度的长
度，叫做点到直线的距离。
第二十九页，共36页。
线段AB⊥直线(zhíxiàn)CD，如图，垂足为B，我们就 把线段AB叫做点A到直线(zhíxiàn)CD的垂线段。
又∴∵∠∠BO2=C=∠910°（垂（直已的知定）义）B
）1
2 D
C
∴∠2=60° （等量代换
∴∠BOD=30）°（互余的定义
(dìngyì)） 第十八页，共36页。
二、垂线的画法
探究(tànjiū)： ①用三角尺或量角器画已知直线l 的垂线， 这样的垂线能画出几条？
②经过直线l上一点(yī diǎn)A画 l 的垂线， 这样的垂线能画出几条？
则OE与AB的位置关系是_____垂__直____
(chuízh
解：
í)
C
∵∠1＝35°，∠2＝55°（已知）
A 1O
B ∴ ∠AOE＝180°－∠1－∠2 ＝ 180°－35°－55°
2
＝90°
E
D
∴OE⊥AB (垂直(chuízhí)的 定义)
第十六页，共36页。
练习(liànxí)： 1. 如图，直线AB、CD相交(xiāngjiāo)于 点O，OE⊥AB，∠1=125°,求∠COE的度 数.
4
5
6
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8
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11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
第二十页，共36页。
垂线(chuíxiàn)的画
法如：图，已知直线 l 和l上的一点(yī diǎn)A ,作l
人教版数学七年级下册5.1.2垂线 课件
感悟新知
例 1 如图5.1-11，直线AB，CD 相交于点O，OE ⊥ AB 于 点O，且∠ COE=40°，求∠ BOD 的度数. 解题秘方：利用垂直的定 义及对顶角的性质，将要 求的角向已知角转化.
感悟新知
解：因为OE ⊥ AB， 所以∠ AOE=90°. 又因为∠ AOE= ∠ AOC+ ∠ COE，∠ COE=40°， 所以∠ AOC=90°－40°=50°. 所以∠ BOD= ∠ AOC=50°
所以AC·BC=AB·CD，进而可得CD=2.4 cm.
感悟新知
(2)点P 为直线m 外一点，点A，B，C 为直线m 上的三点，
PA=4 cm，PB=5 cm，PC=2 cm，则点P 到直线m 的距
离( D )
A. 等于4 cm
B. 等于2 cm
C. 小于2 cm
D. 不大于2 cm
感悟新知
解题秘方：根据点到直线的距离的定义，找出垂线段. 解：点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的 长度，而垂线段是该点与直线上各点的连线中最短 的. 从条件看，PC是三条线段中最短的，但不一定 是所有连线中最短的，所以点P 到直线m 的距离应 该是不大于2 cm.
感悟新知
1-1. [中考·河南] 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥ CD，垂足为O，若∠ 1=54°，则∠ 2 的度数为( B ) A. 26° B. 36° C. 44° D.54°
感悟新知
例2 将一张长方形纸片按如图5.1-12 所示方式折叠，EF， EG 为折痕，判断EF 与EG 的位置关系. 解题秘方：利用折叠的性 质求出两线的夹角，根据 夹角是90°判断两条直线 的位置关系.
1. 垂线段：
特别解读 垂线、垂直与垂线段之间的区别与联系： 1. 区别：垂线是一条与已知直线垂直的直线；垂
5.1.2垂线ppt课件
THANKS
感谢观看
详细描述
首先，确定给定的点和平行线。然后，选择一个与该平面垂直的平面，并将给 定点包含在该平面内。最后，过该点作与该平面垂直的直线，即为所求的垂线 。
过一点作已知直线的垂面
总结词
通过给定的点，使用三维几何的知识，可以作出已知直线的垂面。
详细描述
首先，确定给定的点和已知直线。然后，选择一个与该直线垂直的平面，并将给 定点包含在该平面内。最后，过该点作与该平面垂直的平面，即为所求的垂面。
总结词
通过给定的点，使用直角三角形的性质，可以作出已知直线 的垂线。
详细描述
首先，将给定的点和已知直线连接，形成一个直线段。然后 ，以该点为顶点，直角三角形的直角边与已知直线重合，构 造一个直角三角形。最后，沿着直角三角形的斜边进行延长 ，即可得到过该点的垂线。
过一点作已知平面的垂线
总结词
通过给定的点，使用空间几何的性质，可以作出已知平面的垂线。
机械制造应用
在机械制造中，垂线是确 定机器部件位置和方向的 重要依据。
数学应用
在数学中，垂线是解决几 何问题的重要工具，如求 点到直线的距离、确定直 线的位置等。
02
垂线的判定
直线与直线垂直的判定
判定定理
空间中的垂直关系
两条直线所成的角为直角，则这两条 直线垂直。
如果两条直线所成的角为直角，则它 们垂直。
这个平面垂直。
平面与平面垂直的判定
判定定理
如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面 垂直，那么这两个平面垂直。
推论
如果一个平面内的无数条直线都与另一个平面垂 直，那么这两个平面垂直。
空间中的垂直关系
如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面 垂直，那么这两个平面垂直。
【数学课件】5.1.2《垂线》ppt课件
3 4 5 6 7 8 9 10
折一折
根据图示能折出互相垂直的直线，您不妨试 试看！
结论
垂直的表示
图中，直线AB与直线CD垂直, 记作：AB⊥CD；
n A O
C
B m D
ห้องสมุดไป่ตู้
直线 m 与直线 n 垂直,
记作：m⊥n ； 互相垂直的两条直线的交点叫做垂足. 注意：“⊥”是“垂直”的记号， 而“
” 是图形中“垂直(直角)” 的标记.
A．36° B．54° C．64°
)
D．72°
【解析】选B.因为OC⊥OD，所以 ∠COD=90°，又因为∠AOB=180°， 所以∠DOB=∠AOB－∠COD－ ∠COA=180°－90°－36°=54°.
3.如图所示，直线AB⊥CD，垂足为O，射线OP在∠AOD的内
部，且∠POA=4∠POD，则∠COP︰∠BOP的值为（ C A B ）
∠BOP=∠BOD+∠POD=90°+18°=108°.
所以∠COP︰∠BOP=162°︰108°= 3︰2.
4.点P是直线l外一点，点A，B，C是直线l上的三点，且 PA=10，PB=8，PC=6，那么点P到直线l的距离为（ A.6 C.大于6的数 B.8 D.不大于6的数 ）
【解析】选D.根据“垂线段最短”，垂线段的长度一定小
角时，其他三个角也都成为直角，此时，直线AB,CD互
相垂直.
做一做 （1）你能用三角尺在白纸上画两条互相垂直的直线吗？ （2）你能用量角器在白纸上画两条互相垂直的直线吗？ （3）如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的 直线吗？
用三角尺作两条互相垂直的直线
0 1 2
0
1
5.1.2垂线 课件(共29张PPT)
线垂直的是( C )
A.有两个角相等
B.有两对角相等
C.有三个角相等
D.有四对邻补角
随堂检测 4.过点P画出射线AB或线段AB的垂线．
P
A
PB
A
人教版数学七年级下册
B
巩固练习
人教版数学七年级下册
1.已知,如图,AB⊥CD,垂足为O,EF为过点O的一条直线,则∠1
与∠2的关系一定成立的是（ B ）
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 2. 如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD,垂足为O.若 ∠1=54°,则∠2的度数为 ( B ) A.26° B.36° C.44° D.54°
于点O，∠AOD=90°，那么AB⊥CD.
A
符号语言表示：
∵∠AOD=90°
C
O
D
∴AB⊥CD（垂直的定义）
B
探究新知
人教版数学七年级下册
日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出下 图中的一些互相垂直的线条.
你能再举出其他例子吗？
探究新知
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探究 (1)画已知直线l的垂线能画几条? (2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条? (3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条?
（6）线段AB是点B到AC的距离.
其中正确的有（ B ）
A.1个
B.2个 C.3个 D.4个
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巩固练习
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3.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠EOC=35°,求
∠AOD的度数.
解:∵AB⊥OE∴ ∠EOB=90° ∵∠EOC=35° ∴∠AOC=35° ∴∠AOD=180°-∠AOC =180°- 35°=145 °
【课件】5.1.2垂线
11 Cm
3、如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
A
则所画直线AB是过点 A的直线l的垂线.
B
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 孝感市文昌中学学生专用尺 3移:移动三角板到已知点; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
P
A2 A1 O
B3 B2 B1
L
P
A
B
C
D
m
2、连接直线外一点与直线上各点的所有 线段中，垂线段最短。 简单说成：垂线段最短
垂线段的长度
知识点4
两个与垂直有关的概念
1、垂线段：
连接垂线上一点与垂足乊间的线段，叫做垂线 段。
2、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
情境引入
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b, 当b的位置变化时,a、b所成 的角α也会发生变化.
b b
b
b
b
当α =90°时,a与b垂直.
α
α ）
a 当α ≠90°时,a与b不垂 直，叫斜交. 斜交 两条直线相交 垂直 垂直是相交的特殊情况
知识点1 垂线的概念及表示 垂直是相交的一种特殊情形。 垂线的概念： 两条直线相交，当它们的交角有一个是90°时， 叫做这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另 一条直线的垂线。 它们的交点叫做垂足； 垂直用符号“⊥”表示，图中的常用垂直形式 “ ” ∠1=90°，则 如图，若 C
直线AB与直线CD垂直，记作
AB⊥CD，垂足为O，直线AB是 直线CD的垂线，或直线CD是直 线AB的垂线。
3、如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
A
则所画直线AB是过点 A的直线l的垂线.
B
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 孝感市文昌中学学生专用尺 3移:移动三角板到已知点; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
P
A2 A1 O
B3 B2 B1
L
P
A
B
C
D
m
2、连接直线外一点与直线上各点的所有 线段中，垂线段最短。 简单说成：垂线段最短
垂线段的长度
知识点4
两个与垂直有关的概念
1、垂线段：
连接垂线上一点与垂足乊间的线段，叫做垂线 段。
2、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
情境引入
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b, 当b的位置变化时,a、b所成 的角α也会发生变化.
b b
b
b
b
当α =90°时,a与b垂直.
α
α ）
a 当α ≠90°时,a与b不垂 直，叫斜交. 斜交 两条直线相交 垂直 垂直是相交的特殊情况
知识点1 垂线的概念及表示 垂直是相交的一种特殊情形。 垂线的概念： 两条直线相交，当它们的交角有一个是90°时， 叫做这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另 一条直线的垂线。 它们的交点叫做垂足； 垂直用符号“⊥”表示，图中的常用垂直形式 “ ” ∠1=90°，则 如图，若 C
直线AB与直线CD垂直，记作
AB⊥CD，垂足为O，直线AB是 直线CD的垂线，或直线CD是直 线AB的垂线。
5.1.2垂线(2)课件
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短。
简单说成垂线段最短
Ｐ
．
O
A4
． ．． ． ． ． ． ． ．
A3 A2 A1
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，
叫做点到直线的距离。
1、如图，点A处是一座小屋，BC是一条公 路，一人在O处。 （1）此人到小屋去，怎样走最近？为什么？ （2）此人要到公路去，怎样走最近？为什么？
A3 A2 A1
如图，连接直线a外一点P与直线a上各点O , A1 , A2 , A3 , ... 其中PO a(我们称PO为点P到直线a的垂线段） 比较线段PO , PA1 , PA2 , PA3 , ...的长短， 这些线段中哪一条最短。Βιβλιοθήκη Ｐ．OA4
． ．． ． ． ． ． ． ．
A3 A2 A1
5.1.2垂线（2）
兴隆中学：蔡盼
练习1：如图，在铁路旁有一城镇， 现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路， 这种方案是唯一的，这是因为______.
练习2.如图，已知OA OC于点O, 1 2, 判断OB与OD的位置关系，并说明理由.
A
B C O D
Ｐ
．
O
A4
．． ． ． ． ． ． ． ．
A
C
G D M· C
┏N
问题1：长方体的顶点A处有 一只蚂蚁想爬到点C处，请你帮 它画出爬行的最佳路线。并说明 理由。 问题2：若A处的蚂蚁想爬到 棱BC上，你认为它的最佳路线 是什么？
问题3：若蚂蚁在点M处，想 爬到棱BC上，请你设计一条最 佳路线。
· A
B
A
．
O
．
2、下列说法正确的是（
）
人教版七年级数学下册第五章《垂 线》优质课课件
变式训练1-1:点O在直线AB上,且OC⊥OD.若∠COA=36°,则∠DOB的大 小为( B ) (A)36°(B)54°(C)64°(D)72° 解析:根据OC⊥OD, 得出∠COD=90°, 根据∠AOC+∠COD+∠DOB=180°, 得∠DOB=180°-∠AOC-∠COD=180°-36°-90°=54°. 故选B.
。超
过
了
自
己
的
智
力
，
You made my day!
我们，还在路上……
(1)该汽车行驶到公路AB上的某一位置C′时距离村庄C最近,行驶到D′位置 时,距离村庄D最近,请在公路AB上作出C′、D′的位置; 【导学探究】 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 垂线段 最短.
解:(1)如图所示. 过点 C 作 AB 的垂线,垂足为 C′, 过点 D 作 AB 的垂线,垂足为 D′.
5.1.2 垂 线
1.了解垂直的概念,掌握垂线的性质. 2.会过一点用三角板或量角器画已知直线的垂线.
1.垂直 两条直线相交所成的四个角中的任意一个角是 90° 时,我们说这两条直线互 相垂直. 如图:(1)直线AB、CD相交于点O,若∠AOC=90°,则 AB⊥CD .
(2)若AB⊥CD时,则∠COB= 90° . 2.垂线 垂直是相交的一种特殊情况,两直线 互相垂直 ,其中的一条直线叫做另一 条直线的垂线,它们的交点叫做垂足 .如图:AB⊥CD,垂足为O.
(2)当汽车从A出发向B行驶时,在哪一段路上距离村庄C越来越远,而离村庄 D越来越近?(只叙述结论,不必说明理由)
解: (2)在线段C′D′这段路上,距离村庄C越来越远,而离村庄D越来越近. 点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长
5.1.2 垂线ppt
合作学习：问题探究相交的直线类型
学习指导： 1、摆动相交两直线模型，画一画 发现相交两直线有____种类型,斜交和____. 2、垂直定义：两直线a,b相交所成的角有_____个 (小于平角),当其中一个角 90 我们说两直线____.记作:_______读作：_________. 由定义可知要垂直需两条件：______,_______ 3、垂线：当_______时,其中一直线叫做 另一条的垂线.交点叫____. 4、垂直的定义（推理形式）：如果两直线相交所成 的四个角中任意一个角等于__，那么这两条直线垂直。 因为________所以_________
b 2、如图：直线a，b相交于点O，如果
2 21 那么 1 和 3 度数是（ ）。 A 50°，150° B 60°，60° a C 120°，60° D 150°，30°
1
2 3
教学目标
• 概念：理解垂直定义及相关概念，会表示， 会把定义写成推理形式。 • 垂线的性质（探究）
理解过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。会画图 ● 解决问题：运用知识
5.1.2 垂线
知识回顾
上节课学习内容： 邻补角 概念： 对顶角
a b 2 1 O
性质： 对顶角相等 运用：
请同学结合图形把概念表达：
小检测
1、下列说法正确的是（ ） A两个角的和为180°的，它们邻补。 B 相等的两个角是对顶角。 C 顶点相同的，一边是公共边的两个角是邻补角 D 对顶角相等。
N E A O
F
B
3、试举例生活中垂直例子：谈谈如何判断它是垂直的。
合作学习：探究垂线性质过一点画垂线
学习指导： 1、点与直线的位置有几种：_______________ 2、运用垂直定义画垂线把握：两直线所成的角是___ 两直线位置相交(交点也是垂足).
数学华东师大版七年级上册5.1.2 垂直及垂线的性质教学PPT课件
m
1
O
n
图1
B C
O
A
图2
问题1: 画已知直线l 的垂线能画几条? 无数条
l
问题2: 过直线l 上的一点A画l 的垂线,这样的垂线能画几 条? 一条
A
l
问题3: 过直线l 外的一点B画l 的垂线,这样的垂线能画几 条? 一条
B
l
垂线的性质1: 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
如图, 已知直线AB、CD都经过O点, OE为射线, 若∠1＝ 35° ∠2＝55°, 则OE与AB的位置关系是____垂__直.
点到直线的距离:
直线外一点到这条直线的垂线段的长度, 叫做点到直线的距离. P
例如: 如图, PA⊥l于点A , 垂线段PA的长 度叫做点P到直线l的距离.
例: 如图, 是一个同学跳远的位置跳远成绩 怎么表示?
解:过P点作PA⊥l于点A , 垂线段PA的长 度就是该同学的跳远成绩.
l
A
l
P
A
如图所示, 在△ABC中, ∠ABC=90°, 过点B作三角形ABC的AC边上的高BD, 过D 点作三角形ABD的AB边上的高DE.
定义: 当两条直线相交所成的四个角中, 有一个角是直角时, 就说这两条直
线互相垂直; 其中一条直线叫做另一条直线的垂线, 它们的交点叫做垂足。
垂直的记法、读法:
直线AB、CD互相垂直,
记作“AB⊥CD”或“CD⊥AB” ; 读作“AB垂直于CD”, 如果垂足为O; 记作“AB⊥CD, 垂足为O”（如图）。
8.如图, AO⊥FD, OD为∠BOC的平分线, OE为射线OB的反向延长线, 若 ∠AOB=40°, 求∠EOF、∠COE的度数．
5.1.2垂线课件
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活动二：探究垂线的画法
工具：直尺、三角板 如图，已知直线 l,作l的垂线.
A
问题1：这样画l的垂线 可以画几条？
无数条
O
1、靠 2、移 3、画线
l
如图，已知直线 l和l上的一点A ,作l的垂线.
问题2：这样画l的垂 线可以画几条？
B
1条
则所画直线AB是过 点A的直线l的垂线.
O
B
D
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2.垂直的数学表达形式
C
∵∠AOD=90°（已知）
∴AB⊥CD （垂直的定义） A o
B
D
反之：∵AB⊥CD （已知） ∴∠AOD=90°（垂直的定义）
判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角.
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A
l
如图，已知直线 l 和l外的一点B ,作l的垂线.
请同学们画一下
B
问题2：这样画l的垂 线可以画几条？
A
1条
则所画直线BA是过 点B的直线l的垂线.
l
从中，你得到了什么结论？说说看！
垂直性质： 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
平面内 有 只有
结论成立的前提条件 存在性 唯一性
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3.如图，三条直线AB，CD和EF相交于点O，∠AOE=40°, ∠BOD=50°，则图中互相垂直的两条直线是_E_F__和__C_D_.
【解析】因为∠AOE和∠BOF是对顶角，所以 ∠BOF=∠AOE =40°,又∠BOD=50°，所以 ∠DOF=∠BOD+∠BOF=90°，所以EF⊥CD.
有多少种引法？在方格纸上画出来，如何挖渠能使 渠道最短，为什么？
活动二：探究垂线的画法
工具：直尺、三角板 如图，已知直线 l,作l的垂线.
A
问题1：这样画l的垂线 可以画几条？
无数条
O
1、靠 2、移 3、画线
l
如图，已知直线 l和l上的一点A ,作l的垂线.
问题2：这样画l的垂 线可以画几条？
B
1条
则所画直线AB是过 点A的直线l的垂线.
O
B
D
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2.垂直的数学表达形式
C
∵∠AOD=90°（已知）
∴AB⊥CD （垂直的定义） A o
B
D
反之：∵AB⊥CD （已知） ∴∠AOD=90°（垂直的定义）
判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角.
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A
l
如图，已知直线 l 和l外的一点B ,作l的垂线.
请同学们画一下
B
问题2：这样画l的垂 线可以画几条？
A
1条
则所画直线BA是过 点B的直线l的垂线.
l
从中，你得到了什么结论？说说看！
垂直性质： 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
平面内 有 只有
结论成立的前提条件 存在性 唯一性
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3.如图，三条直线AB，CD和EF相交于点O，∠AOE=40°, ∠BOD=50°，则图中互相垂直的两条直线是_E_F__和__C_D_.
【解析】因为∠AOE和∠BOF是对顶角，所以 ∠BOF=∠AOE =40°,又∠BOD=50°，所以 ∠DOF=∠BOD+∠BOF=90°，所以EF⊥CD.
有多少种引法？在方格纸上画出来，如何挖渠能使 渠道最短，为什么？
2023~2024学年 5.1.2 垂线(18页)
垂线的画法
“一落”即让三角形的一条直角边落在已知直线上； “二移”即沿直线移动三角尺，使其另一直角边经过已知点； “三画”即沿此直线边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线.
垂线的性质
通过画图我们可以知道经过一点（已知直线上或直线外）， 能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线. 即：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？
我们可以将这条河看成一条直 线l，从而将这个实际问题转化 成数学问题.
l
5.垂线段 由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫做垂线段.
P
l A
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 简单说成：垂线段最短.
6.点到直线的距离
典例精析
例 如图，直线AB,CD相交于点O，OE⊥AB，∠1=55°，求∠EOD的度数.
解：因为 AB⊥OE （已知）， 所以∠EOB=90°（垂直的定义）. 因为 ∠BOD =∠1=55° （对顶角相等）， 所以 ∠EOD =∠EOB +∠BOD
=90°+55° =145°.
CE
1
A
O
B
D
思考
A
D
O
C
B
4.垂线的画法
如图，已知直线 l，作l的垂线. 工具：直尺、三角板
A
1.放
2.靠
O
l
3.画线
这样画l的垂线可以画几条？
0
1
2
3
4
5
6
7
8
无数条
9
10
11
Cm
4.垂线的画法
如图，已知直线 l 和l外的一点A，过点A作l的垂线.
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能作一条,而且只能作一条.
结论: 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 注意:
过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是 画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
练习： 教材第5页 第2题
如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1， A2，A3，…，其中PO⊥l （我们称PO为点P到直线 l 的垂线段）.比较线段PO，PA1，PA2，PA3， …，的 长短，这些线段中，哪一条最短？ P
说说你的发现？
十字路口的两条道路
一般情况 两条直线相交
复习：
对1
3
4
A
D
邻补角：互补
特殊情况
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当b的位置变化时,a、b所 b 成的角α也会发生变化. b
b
bb
当α =90°时,a与b垂直.
α ）α
当α ≠90°时,a与b不垂
a
直，叫斜交.
∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
2．下面四种判断两条直线垂直的方法正确的有___
个
[A ]
(1)两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，
则这两条直线互相垂直．
(2)两条直线相交，有一组邻补角相等，则这两条直
线互相垂直．
(3)两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线
互相垂直．
(4)两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直
线互相垂直．
A．4 B．3
C．2
D．1
3．两条直线相交所成的四个角中，下列条
件中能判定两条直线垂直的是 [ C ]
A．有两个角相等 B．有两对角相等 C．有三个角相等 D．有四对邻补角
4．两个角的平分线相互垂直的有 [ D ]
A．两角互补； B．两角互为对顶角； C．两角都是直角； D．两角为邻补角
A
则所画直线AB
请同学们
是过点A的直线l的
画一下
垂线.
B
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
0 2靠1 :靠2 三3 角板4 ,把5 三6 角7板的8 一9直角10 边11 靠在直尺上;
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
3移:移动三角板到已知点;
4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
2. 问题:过已知直线 l 和l上(或外)的一点A ,作 l的垂线,可以作几条?
【课堂学习研讨】
1，垂线的画法
问题： 怎么样画垂线？
垂线的画法：
工具：直尺、三角板
如图，已知直线 l,作l的垂线。
A
问题：
这样画l的
垂线可以
画几条？
O
l
无数条
1放、 2靠、 3画线、
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
是 OE⊥AB .
C
联想数学
A
1O
2
切记：要证垂直必先想到直角（90°）E
B D
6.如图，BAC 90, AD BC,垂足为D,则下列结论：
（1）AB与AC互相垂直； （2）AD与AC互相垂直； （3）点C到AB的垂线段是线段AB； （4）点A到BC的距离是线段AD的长度 ； （5）线段AB的长度是点B到AC的距离； （6）线段AB是点B到AC的距离.
B
则所画直线AB
是过点A的直线l的
垂线.
A
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
0 2靠1 :靠2 三3 角板4 ,把5 三6 角7板的8 一9直角10 边11 靠在直尺上;
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
3移:移动三角板到已知点;
4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
… A3 A2 A1 O
l
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短.
简单说成: 垂线段最短.
探究（三）：点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离.
如图,PO的长度叫做点 P到直线l 的距离.
P
A BO
C
【课内训练巩固】
看谁做得快
1∠.若1＝直9线0°m，、则n相__交m__于_⊥_点__nO_，_。
A
其中正确的有（ C ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
D
C
7. 如图，直线AB、CD相交于点O， OE⊥AB，∠1=125°, 求∠COE的度数.
CE
A 1O B D
8.如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A 向B行驶，M, N分别是位于公路两侧的村庄， 设汽车行驶到点P位置时，距离村庄M最近， 行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图 中公路AB上分别画出P,Q两点的位置.
你能再举出其他例子吗?
生活中的垂直
生活中的垂直
预习检测：
1，如图，当直线AB与CD A
D
相交于O点，∠AOD=90°时
，AB⊥CD，垂足为O。
书写形式：
O
∵∠AOD=90°（已知） C
B
∴AB⊥CD（垂直的定义）
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，
那么，∠AOD=90°。
书写形式：∵ AB⊥CD （已知）
m
1
On
2且.若AB直⊥线CADB，、那C么D相∠交BO于D点＝O_，_9_0_。°
3.如图，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA的度数之比为1:5，
那么∠COA＝__7__2_°,
∠BOC的补角为_1__6_2__度。
B C
O
A
4.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能断
定两条直线垂直的是（
ACDFG ）
只要找到两条直线相交时四个交角中 一个角是直角。
2.垂直如何表示？ 用“⊥”和直线字母表示垂直 例如、如图，a、b互相垂直, 垂足为O，则记为：
a⊥b或b⊥a,
a
αb O
若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
3， 日常生活中,两条直线互相垂直的情 形很常见,说出图5.1-6中的一些互相垂直的 线条.
斜交 两条直线相交
垂直 垂直是相交的特殊情况
息县六中七年级数学（下）：张月
【课前预习导学】
带着下列问题完成课本3---5页自学：
1，垂直的定义是什么？
垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时， 这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们 的交点叫垂足。
从垂直的定义可知， 判断两条直线互相垂直的关键：
（A）有一个角为90° （B）有两个角相等 （C） 有三个角相等 （D）有四个角相等 （E）有四对邻补角 （F）有一对对顶角互补（ G）有一对邻补角相等 （H）有两组角相等
（）
C
2O
B
1（ ）3
A
4
D
5，如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线
，若∠1＝35°, ∠2＝55°，则OE与AB的位置关系
结论: 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 注意:
过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是 画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
练习： 教材第5页 第2题
如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1， A2，A3，…，其中PO⊥l （我们称PO为点P到直线 l 的垂线段）.比较线段PO，PA1，PA2，PA3， …，的 长短，这些线段中，哪一条最短？ P
说说你的发现？
十字路口的两条道路
一般情况 两条直线相交
复习：
对1
3
4
A
D
邻补角：互补
特殊情况
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当b的位置变化时,a、b所 b 成的角α也会发生变化. b
b
bb
当α =90°时,a与b垂直.
α ）α
当α ≠90°时,a与b不垂
a
直，叫斜交.
∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
2．下面四种判断两条直线垂直的方法正确的有___
个
[A ]
(1)两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，
则这两条直线互相垂直．
(2)两条直线相交，有一组邻补角相等，则这两条直
线互相垂直．
(3)两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线
互相垂直．
(4)两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直
线互相垂直．
A．4 B．3
C．2
D．1
3．两条直线相交所成的四个角中，下列条
件中能判定两条直线垂直的是 [ C ]
A．有两个角相等 B．有两对角相等 C．有三个角相等 D．有四对邻补角
4．两个角的平分线相互垂直的有 [ D ]
A．两角互补； B．两角互为对顶角； C．两角都是直角； D．两角为邻补角
A
则所画直线AB
请同学们
是过点A的直线l的
画一下
垂线.
B
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
0 2靠1 :靠2 三3 角板4 ,把5 三6 角7板的8 一9直角10 边11 靠在直尺上;
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
3移:移动三角板到已知点;
4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
2. 问题:过已知直线 l 和l上(或外)的一点A ,作 l的垂线,可以作几条?
【课堂学习研讨】
1，垂线的画法
问题： 怎么样画垂线？
垂线的画法：
工具：直尺、三角板
如图，已知直线 l,作l的垂线。
A
问题：
这样画l的
垂线可以
画几条？
O
l
无数条
1放、 2靠、 3画线、
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
是 OE⊥AB .
C
联想数学
A
1O
2
切记：要证垂直必先想到直角（90°）E
B D
6.如图，BAC 90, AD BC,垂足为D,则下列结论：
（1）AB与AC互相垂直； （2）AD与AC互相垂直； （3）点C到AB的垂线段是线段AB； （4）点A到BC的距离是线段AD的长度 ； （5）线段AB的长度是点B到AC的距离； （6）线段AB是点B到AC的距离.
B
则所画直线AB
是过点A的直线l的
垂线.
A
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
0 2靠1 :靠2 三3 角板4 ,把5 三6 角7板的8 一9直角10 边11 靠在直尺上;
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
3移:移动三角板到已知点;
4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
… A3 A2 A1 O
l
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短.
简单说成: 垂线段最短.
探究（三）：点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离.
如图,PO的长度叫做点 P到直线l 的距离.
P
A BO
C
【课内训练巩固】
看谁做得快
1∠.若1＝直9线0°m，、则n相__交m__于_⊥_点__nO_，_。
A
其中正确的有（ C ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
D
C
7. 如图，直线AB、CD相交于点O， OE⊥AB，∠1=125°, 求∠COE的度数.
CE
A 1O B D
8.如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A 向B行驶，M, N分别是位于公路两侧的村庄， 设汽车行驶到点P位置时，距离村庄M最近， 行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图 中公路AB上分别画出P,Q两点的位置.
你能再举出其他例子吗?
生活中的垂直
生活中的垂直
预习检测：
1，如图，当直线AB与CD A
D
相交于O点，∠AOD=90°时
，AB⊥CD，垂足为O。
书写形式：
O
∵∠AOD=90°（已知） C
B
∴AB⊥CD（垂直的定义）
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，
那么，∠AOD=90°。
书写形式：∵ AB⊥CD （已知）
m
1
On
2且.若AB直⊥线CADB，、那C么D相∠交BO于D点＝O_，_9_0_。°
3.如图，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA的度数之比为1:5，
那么∠COA＝__7__2_°,
∠BOC的补角为_1__6_2__度。
B C
O
A
4.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能断
定两条直线垂直的是（
ACDFG ）
只要找到两条直线相交时四个交角中 一个角是直角。
2.垂直如何表示？ 用“⊥”和直线字母表示垂直 例如、如图，a、b互相垂直, 垂足为O，则记为：
a⊥b或b⊥a,
a
αb O
若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
3， 日常生活中,两条直线互相垂直的情 形很常见,说出图5.1-6中的一些互相垂直的 线条.
斜交 两条直线相交
垂直 垂直是相交的特殊情况
息县六中七年级数学（下）：张月
【课前预习导学】
带着下列问题完成课本3---5页自学：
1，垂直的定义是什么？
垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时， 这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们 的交点叫垂足。
从垂直的定义可知， 判断两条直线互相垂直的关键：
（A）有一个角为90° （B）有两个角相等 （C） 有三个角相等 （D）有四个角相等 （E）有四对邻补角 （F）有一对对顶角互补（ G）有一对邻补角相等 （H）有两组角相等
（）
C
2O
B
1（ ）3
A
4
D
5，如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线
，若∠1＝35°, ∠2＝55°，则OE与AB的位置关系