物理学中的数学与数理逻辑(论文)

大学研究生学位课程论文论文题目：物理学中的数学与数理逻辑

物理学中的数学与数理逻辑

摘要：本文从数字和实数空间、欧几里德空间和时间的数理逻辑三方面，阐述了数学与数理逻辑思想对物理学发展的促进作用以及数学、数理逻辑与

物理学的关系。

关键词：数学、数理逻辑、物理学

16世纪以来, 先后发生了两次科学革命, 从此,科学便成为人类文明进步的一面旗帜。科学对人类文明的核心哲学产生了尤为深刻的影响, 它极大地改变了人们的宇宙观、认识论与方法论。逻辑学产生于公元前300多年, 现在正蓬勃发展并且具有非常丰富的内容。而物理学理论的发展离不开正确的数学和数理逻辑。爱因斯坦在《西方科学的基础与中国古代无缘》一文曾经说过，“西方科学的发展是以两个伟大的成就为基础的：希腊哲学家发明的形式逻辑体系(在欧几集里的几何学中)，以及(在文艺复兴时期)发现通过系统的试验可能找出因果关系”。虽然有许多人把爱因斯坦的这些话看成是西方人的民族偏见，但是我却以为他的这些话，虽然并不全面，但值得每一个中国人深思。不但中国的贤哲没有走上这两条路，直到改革开放以前，在我们国家的教育体系中是没有关于逻辑的内容的。认真开展对于逻辑的研究和普及教育，是中国人能够“摆脱与现代科学发现无缘”的一种希望，也是建立符合时代发展方向的先进文化所不可缺少的。

人类社会的发展归根结底是人类的思维能力和实践能力的发展。数学和逻辑学是发展人类思维能力的基本工具，爱因斯坦说过：“从特殊到一般的道路是直觉的”。也许在科学的发展的某些特殊状况下会有这样的情况。但是我们更应当指出，这种由个人直觉所获得的一般理论，并不能产生真正自洽的逻辑体系。也许在某一个特定的时期，它可以启发人打破对于旧的封闭逻辑造成的僵化，但由此所得到的理论只能是一种暂时的、必然要被替代的理论。他的相对论就是这样。牛顿理论则有所不同，它既是实验的，又是演绎的，它是在特定的社会发展过程中，整个人类的实验结果和思维能力的总汇。但是，它所代表的也只是“有限论域”中的物质运动规律[1]。实际上牛顿理论框架是在开普勒、伽利略实验基础上，也是同时代的数学家在函数和连续等大量数学研究的基础上产生的，是一个对于太阳系内行星运动规律这样一个有限论域中近似适用的理论体系。他的工作与同时代的科学家相比，最大的区别就是他给出了对于“质量”的概念。这一概念很像是可以与数字、时间、空间那样的人类思维的基本逻辑基元相比拟的一个新的“逻辑基元”，一个物质运动中的基本的逻辑基元。这一逻辑基元的界定，使人类的思维能力进入了一个新的阶段。但是，我们只能说质量可能成为与时间、空间相比拟的“逻辑基元”。因为与数字、时间和空间这样的逻辑基元相比，质量是比较窄的“有限论域”内的一个逻辑概念。

物理学与数学的分离从长远来说不利，对自然科学发展毕竟有利，物理学离不开数学。尽管数学并不附属于自然科学，它还能够用到人类生活的各个方面，如游戏和赌博。但是毕竟自然科学是数学发展的摇篮。所以，在一定程度上，物理学与数学的结合，特别是在数理逻辑上的结合对于物理学和数学的发展都是有好处的。这就是我们要讨论的问题。

1 关于数字和实数空间

正像我们在以前所讨论过的[2]数字，大概就是人类思维的最基本的逻辑基元之一，即人类对于描述自然科学的思维形式是从对于数字的认识开始并发展起来的。这也许就是我们的先人所说的，“有生于无，无生一、一生二、二生三、三生万物”的意思。当然，这里所说的“生”是指产生逻辑思维的概念。我们现在所讨论的问题都只是从人类怎样去认识和描述我们观察到的宇宙的万物运动形式，自然科学工作者仅仅“有限真实”地去表现物质世界中某一个“理想化”部分自身蕴含的抽象同一性。我们不会把人类用来认识和描述物质世界的抽象化的概念、方法与物质世界本身混为一体。“数字”只是人类的思维方式或认知方式中最基本的元素，它只产生与我们人类要认识的物质世界运动规律相联系的“信息”，而不能产生物质世界本身。这里，“数字”就是指正整数。它是作为认识和描述世间万物的基本元素，它的概念应该尽可能的简明，这样才有最大的包容性。所以数字的概念实际上可以用最简单而直观的三个性质来表示：这就是它的分离性、有序性和无限性。二、三以及其它各数之间都是分离的，所有的数字都有完全确定的不可改变的次序，而且不应该给数字的大小以限制。这也许就是数字的全部性质，只有这样明确而简单的性质才有可能具有最大的包容性，可以用来描述世间的一切。也正因为如此，当我们用数字来描述万物时，仅仅数字本身是不够的，还需要给数字加上附加的规则。只有在对数字加上一定的逻辑规范以后，才能产生具有各种各样具有复杂性质的数学意义的上的“数”或“元素”的概念，首先就是关于“实数”和“实数空间”的概念。所以从实数和实数空间概念的形成过程来讨论和分析各种数学概念的形成过程和真实含义是非常有意义的。

十九世纪数学家的方法是在有理数空间的基础上来建立无理数和实数空间。在逻辑悖论的基础上来建立的实数和实数空间问题也只能是一个逻辑悖论。他们限定以一条直线，在直线上放上所有的有理数，他们假定有理数是稠密的但是不能把直线填满。所以要加上无理数以后才能把直线填满，形成一条连通的线。这是违背有理数的性质的，因为有理数是有限的分数，或无限的循环小数，所以两个有理数之间是不稠密的，是不能用无理数把直线填满的。把直线填满的概念实际上是与毕达哥拉斯一样的僵化的概念。因为他们自己也知道用他们的方法并没有解决用点把直线填满的问题，也没有解决对于任何运算都不会产生新类型的数的问题。这个问题归根结底是建立合理的“直线”的逻辑基元的界定问题。所以必须从新回到两千多年前，欧几里德几何学的公设问题。

数学是一门范围很广阔的学科，他的研究对象主要就是“数”和“形”。在那里，数字和抽象的数(数字的集合)之间的关系是通过与各种“形”联系在一起的。“实数空间”是与“直线”的概念联系在一起的，要界定实数空间的逻辑概念也就是要先界定直线的逻辑概念。在数学上它们对于“数字”来说是逻辑基元，对于这种逻辑基元的界定是不可能直接与某一特定的物理实在联系在一起的，而必须抽象出来。所以毕达哥拉斯的有理数的概念本身就是一个逻辑悖论，他把“实数(或点)”与“实数空间(或线)”用一个具体的物理实在的概念(原子大小)联系在一起：每个数(点)有确定的大小，所以只要把这些有确定大小的点没有孔隙地排在一起就得到了没有孔隙的线。实际上在他的时代已经发现了这是一个逻辑悖论。毕达哥拉斯的错误在于他用一个具体的原子(即大小完全相同的原子)来界定“点”，而物理实在中物质具有多样性，不是由完全一样的原子所组成的。这就