随机现象与统计规律

三、频率与概率
１概率的统计定义
Def2 在大量重复试验中，若随机事件A的 频率在一个确定的数附近波动, 这个数就称为是 随机事件A的概率, 记作: P(A) 。
设Ａ是一个随机事件，若在Ｎ次实验中，Ａ出
现了n次, 则称：
FN ( A)
n N
随机事件Ａ在Ｎ次实验中的频率．
２概率的性质
从概率的统计定义不难看出：概率是客观存在的, 频率是它的外部表现。
实验者
Ｎ
n
百度文库F(A)
De Morgan 2048
1061
0.5181
Buffon
4040
2048
0.5069
K. Pearson 12000
6019
0.5016
K. Pearson 24000
12019
0.5005
这些实验完全证明了———— 频率的稳定性。 即频率在一个确定的数附近变化.
２频率的性质
例2 某车间有二百台车床,每台工作时耗电一千瓦。 由于检修，更换刀具，测量等原因，每台车床 只有百分之六十的时间在工作，问供给这个车 间多少电，才能以99.9﹪的把握保证不会因为缺电
而影响生产？
答案 供给它141千瓦电, 就能以99.9﹪的把
握保证不会因为缺电而影响生产．
这两个问题都是处理的随机性现象，它是 我们要学习的概率论的研究范畴．
非负性： 规范性： 可加性：
FN (A) 0
F N ( ) 1 ,这 里 是 必 然 事 件 。
设Ａ、Ｂ是两个不能同时发生的随 机事件，Ａ＋Ｂ表示Ａ、Ｂ中至少 有一个要发生，则可以证明：
F （ N A B ） F （ N A ） + F （ NB ） ，
注 这几点的证明见魏中舒的教材P15.
在进行个别试验或观察时， 一个随机事件 具有不确定性，但在大量重复试验中，它又具有 规律性 ———— 频率的稳定性。
１频率的定义
Def 1 设Ａ是一个随机事件，若在Ｎ次实验中，
Ａ出现了n次, 则称：
FN ( A)
n N
随机事件Ａ在Ｎ次实验中的频率．
历史上曾有人做过试验, 证明掷匀质硬币时，出现正反 面的机会均等。
§1 随机现象与统计规律性
一、随机现象
为了搞清楚随机现象, 我们先看两个例子:
例1 意大利文艺复兴时代，1494 年帕奇欧在它的教科书里有这 样一个问题。假如一个比赛中赢 6 次才算赢，两个赌徒在 甲赢 5 次，乙赢 2 次的情况下中断赌博的话，总赌金应 按 5 ：2分给两个人。对不对？
答案 不对，应按 15：1 分配给两个人
§2 样本空间与随机事件
一、随机试验
随机试验（试验）:
为了对随机现象加以研究所进行的观察或实验（记作：E）。
特点：
1 在相同条件下重复地进行；
2 试验的结果不止一个，并且试验所有可能的结果
3
事先是确定的；
3 进行一次试验, 试验之前不能确定哪一个结果会出现。
二、样本空间，随机事件
样本空间： E的所有可能结果组成的集合 （记作：Ω） 样本点： 样本空间的元素（即E的每个结果）。
例: 样本空间 Ω 包含所有的样本点， Ω 是 Ω 自身的子集 。
不可能事件：在每次试验中都不发生的事件。
例： 是Ω的子集 不包含Ω中的任意样本点。
三、事件之间的关系及运算
关系
随机试验 E 样本空间 Ω
子集A，B， A k （随机事件）
1 若 AB 则称事件 B 包含事件 A。
其概率意义：事件 A 发生必然导致事件 B 发生。
从上述例子可知：自然界现象分为以下两种
确定性的（确定性现象）：
在一定的条件下必然发生的现象。
（例如 数学分析，微分方程等研究的内容）。
随机性的（随机现象）：
在一定的条件下反复观察，具有多种可能的结果， 但事先又不能预知确切的结果。
（例如概率统计）
二、频率的稳定性
随机性现象的一个的可能结果常常被称为 随机事件
其概率意义是：事件 A1,A2,,An 至少发生一个。
同理：
Ak
称为可列个事件
A1,A2,, 的和事件。
k 1
3 事件的交 AB xx A 且 x B
称为事件 A 与事件 B 的交事件, 记作AB.
n Ak
称为n个事件 A1,A2, ,An 的积事件.
例： E1：抛一枚硬币，观察正面H（有币值的一面） 反面T出现的情
况。 Ω 1：{H，T}
E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H，反面T出现的情况。 Ω 2：{HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT}
E3：抛一枚骰子，观察出现的点数。 Ω 3：{1，2，3，4，5，6} E4：记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。
随机事件：
1
试验 E 的每一个可能结果；
2 试验 E 的样本空间 Ω 的子集；
3 随机试验中，可能发生也可能不发生的结果。
说明：（三个定义为等价定义）
基本事件：1 由一个样本点组成的单点集；
2 不可能再分的事件。 （两个定义等价）。
复合事件：由若干基本事件组合而成的事件。 事件发生：这一子集的一个样本点出现时。 必然事件：在每次试验中必然发生的事件，也就是确定性现象。
Ω 4：{0，1，2，3，... ，} E5：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
Ω 5：{t t 0} E6：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。
Ω 6：{x (,y)T 0xyT 1}
x 表示最低温 y 表 度示 ，最高温度
设这一地区的小 温于 度 T0 ， 不不 会会大 T1 于
E7：记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 Ω 7：{n i i0,1,2,..,.10n0 },其 n 中 为 小 班
这样应该和频率具有相同性质：
非负性： 规范性： 可加性：
P(A) 0
P ( ) 1 ,这 里 是 必 然 事 件 。
设Ａ、Ｂ是两个不能同时发生的随 机事件，Ａ＋Ｂ表示Ａ、Ｂ中至少 有一个要发生，则可以证明：
P （ A B ） P （ A ） + P （ B ） ，
四、概率论是什么？
概率论是研究随机现象数量规律 的一个数学学科
若 AB且BA即AB称事件 A 与事件 B 相等。
2 和事件 称 A B xx A 或 x B
为事件A与事件B的和事件，
其概率意义：事件A与事件B至少发生一个。
A与B的和事件可以用下列Vens图表示：
推广
若 A1,A2,,An 都是随机事件，
n
Ak
k 1
称为 n 个事件
A1,A2,,An 的和事件