15-4一维势阱和势垒

2
n4
a 4 2
3 x
2
n3
E3
2a 3 3
2 x
2 x
E2
2
n2
2 a
x 2 1
1 2a
n1
1 x
E1
o
a
o
a21
n 时， 量子经典
Ψ | n|
2
n很大
玻尔对应原理
En
0
a
22
三、旧量子论的半经典解释 粒子在势阱内动量为
2
量子数 n 时的极限情况。
30
例题2. 试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大 值的位置。 解： 一维无限深势阱中粒子的概率密度为
2 2n π n ( x) sin x a a
2
n 1, 2,3,
将上式对x求导一次，并令它等于零
4m π n π n π 2 sin x cos x 0 dx a a a x 0 n π x0 因为在阱内，即 0 x a , sin a n π x0 只有 cos a
11
4.分区求通解
2 d2 1)阱外 2 ( x) E 2 ( x) 2 2m dx
根据波函数有限的条件
阱外
2 ( x) 0
x a, x 0
12
2)阱内
2 d2 ( x) E ( x) 2m dx 2
为了方便将波函数脚标去掉
8
特点：
粒子在势阱内受力为零 势能为零
U→∞
U→∞
U(x)
在阱内自由运动 在阱外势能为无穷大 在阱壁上受极大的斥力 不能到阱外
E
U=0
0
a
x
9
二、薛定谔方程和波函数 粒子在阱内自由运动

U ( x) 0
0

不能到阱外 1.势函数
阱内
阱外
a
x
U ( x) 0
( 0 x a)
U (x) ( x 0 x a)
2 ( x)
3 ( x)
P
Q
S
a o 扫描隧道显微镜(STM)
隧道二极管
35
隧道效应
• 经典
• 量子
36
例1:证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数 具有下面正交性的性质： d 0 m n

即不同能级的波函数互相正交。
解: 波函数 m 取其复共轭 m 相乘并积分，得
n n
i Ent ( x)e
i Ent e
2 nπ n sin x a a
( n 1,2,3,)
（驻波解）
18
7. 概率密度
Pn
*
*
2 2 nπ sin x a a
n 1,2,
π 2 2 2 2 πn En n n sin x 2 2ma a a
E2 4E1
E3 9E1
2 2π 2 2 2π 2 sin x P2 sin x a a a a 2 3π 2 2 3π 3 sin x P3 sin x a a a a 20
一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度
( x) 4 x
3 x
E4
4 x
三维方势肼
方势阱
5
3.势垒
U(x)
U(x)
梯形势 散射问题
势垒 隧道贯穿
U(x)
U(x)
6
4.其他形式
超晶格
谐振子
7
一、一维无限深方形势阱
U(x) U=U0 功函数 U=U0 极 U(x)
U→∞
U→∞
E
U=0
金属
E
a 0 x 无限深方势阱 （ potential well ） U=0
x
限
a
分子束缚 在箱子内 三维方势肼
当a=10-10m时
E 37.7 n eV
2
E (2n 1) 37.7eV
在这种情况下，相邻能级间的距离是非常大 的，这时电子能量的量子化就明显的表现出来。
29
当n>>1 时 ,能级的相对间隔近似为
h 2n En 8ma 2 2 h2 En n 2 n 8ma 2
可见能级的相对间隔 En 随着n的增加成反比地减小。 E n 当 n 时， 较之 En 要小的多。这时，能量的量子 En 化效应就不显著了，可认为能量是连续的，经典图样和量 子图样趋与一致。所以，经典物理可以看作是量子物理中
与能量本征值En相对应的本征函数n (x)为 nx n ( x ) A sin( ) a a 2 A 2/a 利用归一化条件 0 n ( x ) dx 1，得 归一化波函数为
2 nx n ( x) sin , n 1,2,3, a a
n4
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度
10
2.哈密顿量
ˆ d U ( x) H 2m dx 2
3.定态薛定谔方程
2
2

U ( x) 0
0

a
x
阱外： 2 d 2
2 ( x) E 2 ( x) 2 2m dx
2 d2 ( x) E1( x) 阱内： 2 1 2m dx
a 4 2
2a 3 3
p h 2 En n 2m 8m a2 h 2 2 2 h 4π 2π
2 n
2
π En n 2 2ma
2 2 2
n 1, 2,3,...
2 a
o
a
1 2a
能量量子化 是粒子的波动性和 边界条件的必然
24
§16-3 一维势阱和势垒问题
4.解出能量本征值和相应的本征函数
5.求出概率密度分布及其他力学量
3
二、几种势函数(x) U 1.自由粒子 U( x) 0
2.方势阱
U(x)
U(x)
U( x) 0
U( x) 0
无限深方势阱 能级结构问题
4Baidu Nhomakorabea
方势阱
是实际情况的 极端化和简化
U(x)
U( x) 0
金属中的电子
分子束缚 在箱子内
因为当n = 0时，必定k = 0，定态薛定谔方程应有
2 k 2 22n2 En , n 1,2,3, 所以 2 2 2 a 由此式知：一维无限深方势阱的能谱是分立谱, 这 个分立的能谱就是量子化了的能级。 22 E1 0 零点能 基态的能量为 2 2 a 26
1 A1eikx B1e ikx
(P区) (Q区) (S区)
2 A2 ex B2 e x
3 A3eikx
在P区， B1 势垒反 R A1 射系数
2
在Q区， A3 势垒透 T A1 射系数
U0 1 ( x)
2
粒子能够穿透比其动能高 的势垒的现象，称为隧道 效应。如图是在隧道效应 中波函数分布的示意图。 隧道效应的应用：
一、一维无限深方势阱 对于一维无限深方势阱有
0 U ( x) (0 x a ) ( 0 x, x a)
0
k
∞
U(x)
∞
a
2 E
势阱内U(x) = 0，哈密顿算符为
2 d 2 H 2 d x 2
令
定态薛定谔方程为
d 2 2 E 2 0 2 dx
L--阱宽
16
(3)本征函数系 •由归一性质 定常数 B
( x) ( x)dx 1
* 0
a
B 2sin 2 kxdx 1
0
a
得
2 B a
( n 1,2,3,)
17
2 •本征函数 n ( x) sin nπ x a a
6.定态波函数
考虑到振动因子 e
i Ent
§16-3 一微无限深方势阱中的粒子 一、 一维无限深方形势阱 二、薛定谔方程和波函数 三、旧量子论的半经典解释
1
举几个小例
1 )说明量子力学解题的思路
2 )了解量子力学给出的一些重要的结论
2
一、量子力学解题的一般思路
1.由粒子运动的实际情况
正确地写出势函数U(x)
2.代入定态薛定谔方程
3.解方程
薛定谔方程的解为
( x) A sin( kx )
25
根据 (0) 0，可以确定 = 0或m，m =1,2,3,。于 是上式改写为 ( x) A sin kx
根据 (0) 0，得
d 2 ( x ) 0 2 dt
ka = n， n = 1,2,3,… 解得 (x ) C x + D
解的形式为 ( x) B sin kx
(2)能量取值
x a 处 ( a) 2 ( a) 0
Bsin ka 0
14
B sin ka 0
A已经为零了 B不能再为零了 即 要求
B0
只能 sinka 等于零
ka nπ
(k 0)
nπ k (n 1,2,3,) a 2 2 2＝2mEn n π k 2 2 a
p h
粒子在阱外的波函数为零 2 0
由波函数的连续性

阱内的波函数在阱壁上的值也必为零 （驻波）
2a 允许的波长为: n n
n 1, 2, 3, . . .
粒子的动量
h 能量 Pn n 量子化 n 2a 23 h
允许的波长为:
2a n n
n 1, 2, 3, ...
得到两相邻能级的能量差
h2 E En1 En (2n 1) 8ma 2
可见两相邻能级间的距离随着量子数的增加而增 加，而且与粒子的质量m和势阱的宽度a有关。
28
当a=1cm时
E 6.04 10
34
n J 3.37 10
2
15
n eV
2
在这种情况下，相邻能级间的距离是非常小的， 我们可以把电子的能级看作是连续的。
19
π 2 2 2 2 πn En n n sin x 2 2ma a a 2 2 nπ Pn sin x n 1,2, a a 小结：本征能量和本征函数的可能取值
n
1 2 3
En
π2 2 E1 2ma 2
n
2 π 1 sin x a a
P n
2 2πx P sin 1 a a
•令 将方程写成 •通解
k2
2mE 2
( x) k 2 ( x) 0
( x) A coskx B sin kx
式中 A 和 B 是待定常数
13
5.由波函数标准条件和边界条件定特解
通解是
( x) A coskx B sin kx
(1)解的形式
x 0 处 (0) 2 (0) 0 A 0
在P区和S区薛定谔方程的形式为
d 2 ( x) k 2 ( x) 0 d x2 2E 2 k 2
U
U0
E
P
Q
S
其中
o
2
2
a x
在Q区粒子应满足下面的方程式
d 2 ( x) 2 ( x) 0 d x2
2 式中
(U 0 E )
34
用分离变量法求解，得
31
d n ( x)
2
于是
n π π x (2 N 1) a 2
N 0,1, 2, , n 1
a 由此解得最大值得位置为 x (2 N 1) 2n 例如
1 最大值位置 x a n 1, N 0 2 1 3 n 2, N 0,1, 最大值位置 x a , a 4 4 1 3 5 最大值位置 x a , a , a . n 3, N 0,1, 2, 6 6 6
可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。
32
相邻两个最大值之间的距离
a x n
如果阱宽a不变，当 n 时
x0
这时最大值连成一片，峰状结构消失，概率 分布成为均匀，与经典理论的结论趋于一致。
33
二、势垒穿透和隧道效应
有限高的势垒
U ( x) 0 , x 0 ( P区), x a (S区) U ( x) 0 x a (Q区) U ( x) U 0 ,
π 2 n (n 1,2,3,) 能量可能值 En 2 2ma
2 2
15
讨论
π 2 En n (n 1,2,3,) 2 2ma
2 2
1 )每个可能的值叫能量本征值 2 )束缚态 粒子能量取值分立 (能级概念) 能量量子化 3 )最低能量不为零 波粒二象性的必然结果
请用不确定关系说明 4 )当n趋于无穷时 能量趋于连续 2 2 π 2 5 )通常表达式写为 En n n 1,2, 2 2mL
E4
E3
n3
n2
n 1
n ( x)
E2
E1
x0 (a)
xa
o
稳定的驻波能级
(b)
n ( x)
2
a x
27
例题 1 设想一电子在无限深势阱，如果势阱宽度分别 为1.0×10-2m和10-10m 。试讨论这两中情况下相邻能 级的能量差。 解：根据势阱中的能量公式
π 2 2 2 h2 2 E n n 2 2 2ma 8ma