第6章 时变电磁场(6)

而略去时间相位t。那么，对于电场强度可用一个
与时间无关的复矢量 Em (r )表示为
原来的瞬时矢量和复矢量的关系为
j e ( r ) (r ) E (r ) e Em m
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j t (r ) e ] E (r , t ) Im[Em
i (t y ) E y r ,t E ym cos(t y ) Re[ E yme ] Re[ E ym e it ]
E z r ,t E zm cos(t z ) Re[ E zm e i (t z ) ] Re[ E zm e it ]
i ( x ) it Re[a y E yme e a z E zm e it it Re[a y E ym e a z E zm e ]
i ( x ) i ( x ) 2 Em a y Eyme az Ezm e
复矢量仅为空间函数，与时间无关。而且， 只有频率相同的正弦量之间才能使用复矢量的 方法进行运算。
j e ( r ) (r ) E (r ) e Em m
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例6-7 P225
将下列场量的复数和瞬时值表达式互换。
（设对t的变化以余弦为基准。）
(1) E ay Eym cos(t x ) az Ezm sin(t x ) (2) H a x H 0 sin( x) sin( kz t ) a
(r ) 2 E (r ) Em
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有的书刊将正弦电磁场表示为 则瞬时矢量与复矢量的关系为
E(r , t ) Em (r ) cos( t e )
(r )e j t ] E (r , t ) Re[Em
无论何种表示方法，
P r ,t Re 0 e e j e E r e jt Re P r e jt j jt jt M r ,t Re 0 m e m H r e Re M r e J r ,t Re J r e jt Re E r e jt
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一、时谐变电磁场量的复数表示法
1、欧拉公式
e cos i sin
容易验证：
i
e e e i1 e i (1 2 ) e i 2 e
i1
i 2
i (1 2 )
5
复数z0的三角形式和指数形式： 三角形式：
z x iy r (cos i sin )
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jt e )] Im[ 2Je jt ] Im[ j 2 De jt ] [Im( 2 H
jt e )] Im[ 2Je jt ] Im[j 2 De jt ] Im[ ( 2 H
因为上式对于任何时刻均成立， 故虚部符号可以消去。那么 或写为

Re[]表示取 []中的实部， Im[] 表示取 []中的虚部。
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★ 正弦电磁场 现在我们讨论一种特殊的时变电磁场： 其场强的方向与时间无关，但
其大小随时间的变化规律为正弦函数，即
式中，
E(r , t ) Em (r ) sin(ω t ψe (r ))
仅为空间函数， Em (r )
它是正弦时间函数的振幅。为角频率。
ψe (r ) 为正弦函数的初始相位,它可能是空间的函数。
具有这种变化规律的时变电磁场称为正弦电磁场，
或者称为时谐电磁场。
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正弦电磁场在实际中获得广泛的应用。
由傅里叶变换的数学方法得知：
任一周期性或非周期性的时间函数在一定条件下均可
分解为很多正弦函数之和。
因此，我们着重讨论正弦电磁场是具有实际意义的。
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正弦电磁场是由随时间按正弦变化的时变电荷 与电流产生的。因为场与源随时间的变化规律是相 同的，所以正弦电磁场的场和源具有相同的频率。
当场的方向与时间无关时，对于这些相同频率
的正弦量之间的运算可以采用复数方法，
即仅须考虑正弦量的振幅和空间相位 e (r )，
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§6.6 时谐变电磁场
一、时谐变电磁场量的复数表示法 二、麦克斯韦方程组的复数形式 三、能量密度、坡印廷定理和 坡印廷矢量的复数表示法 四、达朗贝尔方程及其特解的复数形式
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§6.6 时谐变电磁场
一、时谐变电磁场量的复数表示法 二、麦克斯韦方程组的复数形式 三、能量密度、坡印廷定理和 坡印廷矢量的复数表示法 四、达朗贝尔方程及其特解的复数形式









Dr Er Br H r J r Er
i ( kz ) 2 H a x H 0 sin( x)e a

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§6.7 时谐变电磁场
一、时谐变电磁场量的复数表示法 二、麦克斯韦方程组的复数形式 三、能量密度、坡印廷定理和 坡印廷矢量的复数表示法 四、达朗贝尔方程及其特解的复数形式
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二、麦克斯韦方程组的复数形式
已知正弦电磁场的场强与源的频率相同，
因此可用复矢量形式表示麦克斯韦方程。
j t (r ) e ] Im[ 2 E (r ) e j t ] E (r , t ) Im[Em j t (r ) e ] Im[ 2 D(r ) e j t ] D(r , t ) Im[Dm j t (r ) e ] Im[ 2 H (r ) e j t ] H (r , t ) Im[H m j t (r ) e ] Im[ 2J (r ) e j t ] J (r , t ) Im[J m

i (t x ) E x r ,t E xm cos(t x ) Re[ E xm e ] Re[ E xm e it ]


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i (t x ) it E x r ,t E xm cos(t x ) Re[ E xm e ] Re[ E xm e ]
实际中，通常测得的是正弦量的有效值，
以 E (r ) 表示正弦量的有效值，则 (r ) E (r )e j e ( r ) E
式中
（即平方的周期平均值）
所以最大值表示复矢量和有效值表示复矢量之间的 关系为
E m (r ) E (r ) 2

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令
E m ax E xm a y E ym az E zm

jt E (r , t ) Re[E m e ]
(6-34)
则
(6-35)
E m 称为 E (r , t )的复振幅矢量。 E (r , t )叫瞬时值。
第六章 时变电磁场
§6.1 法拉第电磁感应定律 与麦克斯韦第二方程 §6.2 位移电流和全电流定律 §6.3 麦克斯韦方程组 §6.4 分界面上的边界条件 §6.5 坡印亭定理和坡印亭矢量 §6.6 时谐变电磁场 §6.7 波动方程 §6.8 时变场的标量位和矢量位
★ 复数表示法
j t 1 dt j

E xm E xm e

i x
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E xm E xm e


i x
E xm e it E xm e i x e it E xm e i (t x )
E xm [cos( t x ) i sin(t x )]
i (t x ) it Re E xm e Re E xm e E xm cos(t x )











例如对第一方程可表示为： 如用有效值表示，则上式可表示为：
(6为：
式中，
(6-36)
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在时谐变时，复数振幅矢量是复数有效值矢量的 2倍。
(6-37)
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★谐变电磁场中的介质特性 实验和理论都证明，对于谐变电磁场， 线性均匀各向同性介质的 极化强度、磁化强度和传导电流密度也是谐变量， 即：

(6-37)
麦克斯韦方程 的复数形式

(6-39)
线性各向同性媒质 的本构关系
式中各量均为有效值。
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将麦克斯韦方程组中的各场量都用复数表示时，
只需用j代替对时间的导数，并消去方程两边的 时间因子 e j t ，
r e jt Re F r e jt Re jF r e jt j t Re F t t Re F r e jt dt Re F r e jt dt Re 1 F r e jt dt 1 j j
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(1) E a y E ym cos(t x ) a z E zm sin(t x )
解：
a y E ym cos(t x ) a z E zm cos(t x ) 2 i (t x ) i (t x ) 2 Re[a y E yme a z E zm e ]
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j t (r ) e ] D(r , t ) Im[ 2 D j t (r ) e ] H (r , t ) Im[ 2 H j t J (r , t ) Im[ 2J (r ) e ]
因此，麦克斯韦第一方程
(6-16a)
可表示为（对于正弦电磁场）：
jt jt jt [Im[ 2 De ]] e )] Im[ 2Je ] [Im( 2 H t jt e )] Im[ 2Je jt ] Im[ j 2 De jt ] [Im( 2 H