五年制小学奥数四年级全套专题及答案
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例6 黑、白两个棋盒，黑盒中有 36 个黑子，白盒中有 41 个白子，甲、乙二人轮流在棋盒中取子，规则是： ⑴每次只能取一个或两个子；⑵一个人一次不能在两个棋盒中取子；⑶一旦在一个棋盒中取子，那接下 来就要把它的子取完，才能在另一个棋盒中取。取出最后一个棋子的人获胜。如果甲第一个取，那么谁 有获胜的策略？为什么？
5．东东、平平两人轮流从两个箱子中取球，每人每次可以从任一个（也仅从一个）箱子中取出任意个 球。取出最后的球的人为胜者。若一个箱子中有 73 个球，另一个箱子中有118 个球。如果甲先取， 谁有必胜的策略？请说明理由。
6．甲、乙两人轮流从 0 ~ 9 这十个数字中选取 5 个数字，依次填各自的万位、千位、百位、十位、个位 （若万位为 0 视为四位数），若这两个数相加的和不能被11111整除，则甲胜；否则乙胜。谁有必胜策 略？请说明理由。
测试题
1．桌子上放着 60 根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1 ~ 3 根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双 方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？
2．今有 8 个小球，其中 2 红、 2 蓝、 2 白、 2 黑。两个学生轮流一次一个地把它们都分别粘到一个立方 体的 8 个顶点上。如果有一条棱的两端点上的球有相同的颜色，则判第一个粘球的人获胜，否则第 二个人获胜。问：谁一定能获胜？并说明理由。
若不是：(总数－2n)×2＋1 吃 1 留 2，若总数为 2n，则剩最后一只;
若不是：(总数－2n)×2 例5 在一个圆周上依次排着 100 只老鼠，一只猫按照这样的规律来吃这些老鼠；从第一只老鼠开始，吃掉第 1 只、留下第 2 只、吃掉第 3 只、留下第 4 只、吃掉第 5 只、留下第 6 只、……，依次吃一只留一只， 则最后留下的老鼠是最初的第_____只。
2．答案： 解析： 无论甲把哪个小球放在任何一个顶点上， 乙一定可以把另外一个同色的小球放在其体对角线的位置； 这样任何两个相同颜色的小球的不在同一条棱上， 即一条棱上的两端点上的球颜色不相同； 所以第二个粘球的人获胜。
3．答案： 解析： 因为每次走棋子必须向上或向右走，所以不管走什么路径，从 A 到 B 的步数是定的，都是 6 步。 而每次必须走1或 2 步；所以甲第一次走无论多少步后， 乙都可保证每次与甲刚走的步数和为 3 ，如甲走1步，乙就走 2 步；甲走 2 步，乙就走1步。 所以乙一定能走到 B 点获胜。 甲没有必胜的策略。
4
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答案
1．答案： 解析： 本题可以用逆推分析法。 获胜方在最后一次取走最后1根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方 4 根， 此时无论对方取1、 2 或 3 根，获胜方都可以取走最后一根；……； 由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是 4 的倍数根，则必胜。 现在桌上有 60 根火柴，甲先取，不可能留给乙 4 的倍数根，而甲每次取完后， 乙再取都可以留给甲 4 的倍数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，乙必胜。
5．答案： 解析 东东第一次只要从装有118 个球的箱子的中取出118 − 73 = 45 个球后， 无论平平从箱子中取出多少个球，东东必能从另外一个箱子中取出相同个数的球； 所以东东能拿到最后一个球获胜。
例4 如图所示，在 A 点有一枚棋子，甲先乙后轮流走这枚棋子，每次必须向上或向右走 1 步或 2 步(走 2 步 时可以拐弯)，最终将棋子走到 B 点者获胜。甲有没有必胜的策略？
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策略总结： 直线型——留 1 吃 2，剩 1 号 吃 1 留 2，剩最大的 2n 圆圈型——留 1 吃 2，若总数为 2n，则剩 1 号。
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3．如图所示，在 A 点有一枚棋子，甲先乙后轮流走这枚棋子，每次必须向上或向右走1步或 2 步（走 2 步时可以拐弯），最终将棋子走到 B 点者获胜。甲有没有必胜的策略？
4．有100 个人站成一排，从左到右依次进行1、 2 报数，凡是报1的人离开队伍，剩下的人继续从左到 右进行1、2 报数，最后留在队伍中的人获胜，如此下去，要想获胜，应站在队列中的第几个位置？
4．答案： 解析： 将这100 个人从左到右依次编号为1、 2 、 3 、……、 98 、 99 、100 。 第一次报完后，剩下的是 2 的倍数： 2 、 4 、 6 、……、 96 、 98 、100 ； 第二次报完后，剩下的是 4 的倍数： 4 、 8 、12 、……、 92 、 96 、100 ； 第三次报完后，剩下的是 8 的倍数： 8 、16 、 24 、……、 80 、 88 、 96 ； 第四次报完后，剩下的是16 的倍数：16 、 32 、 48 、 64 、 80 、 96 ； 第五次报完后，剩下的是 32 的倍数： 32 、 64 、 96 ； 第六次报完后，还剩下是 64 的倍数： 64 ； 所以要想获胜，应站在队伍中的第 64 个位置。
例2 一个圆周被任意地分成 2009 段，甲、乙二人轮流对它进行涂色，每人每次可以涂染一段或相连的两段， 谁涂染完最后一段，谁就获胜。如果甲先开始涂，那么两人中谁有获胜的策略？说明理由。
1源自文库
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例3 如图是一张 3×3 的方格纸，甲、乙两人轮流在方格中写下 0、2、3、4、5、6、7、8、9 九个数字中的 一个，数字不 3×3 能重复。最后，甲的得分是上、下两行六个数之和，乙的得分是左、右两列六个数 之和，得分多者为胜。如果甲先乙后，那么甲有没有必胜的策略？
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策略性问题
两人的游戏过程中如何使自己取胜？ 怎样找寻胜局和如何把握胜局就成了研究对策问题的关键。概括起来，我们把用数学的观点和方法来研 究取胜的策略叫做对策问题。 在解决策略性问题时，常常会结合 对称性 和 数论 中的知识，并采用 逆推 的思想和方法。
例1 桌上放着 63 根火柴，甲、乙两人轮流每次取走 1 根至 3 根。 ⑴规定谁取走最后一根谁就获胜。如果甲先取，是否有必胜的方法？如有，请写出简要的方法；如没有， 请说出理由。 ⑵规定谁取走最后一根火柴谁就算输，还是甲先取，是否有必胜的方法？如有，请写出简要的方法；如 没有，请说明理由。
5．东东、平平两人轮流从两个箱子中取球，每人每次可以从任一个（也仅从一个）箱子中取出任意个 球。取出最后的球的人为胜者。若一个箱子中有 73 个球，另一个箱子中有118 个球。如果甲先取， 谁有必胜的策略？请说明理由。
6．甲、乙两人轮流从 0 ~ 9 这十个数字中选取 5 个数字，依次填各自的万位、千位、百位、十位、个位 （若万位为 0 视为四位数），若这两个数相加的和不能被11111整除，则甲胜；否则乙胜。谁有必胜策 略？请说明理由。
测试题
1．桌子上放着 60 根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1 ~ 3 根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双 方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？
2．今有 8 个小球，其中 2 红、 2 蓝、 2 白、 2 黑。两个学生轮流一次一个地把它们都分别粘到一个立方 体的 8 个顶点上。如果有一条棱的两端点上的球有相同的颜色，则判第一个粘球的人获胜，否则第 二个人获胜。问：谁一定能获胜？并说明理由。
若不是：(总数－2n)×2＋1 吃 1 留 2，若总数为 2n，则剩最后一只;
若不是：(总数－2n)×2 例5 在一个圆周上依次排着 100 只老鼠，一只猫按照这样的规律来吃这些老鼠；从第一只老鼠开始，吃掉第 1 只、留下第 2 只、吃掉第 3 只、留下第 4 只、吃掉第 5 只、留下第 6 只、……，依次吃一只留一只， 则最后留下的老鼠是最初的第_____只。
2．答案： 解析： 无论甲把哪个小球放在任何一个顶点上， 乙一定可以把另外一个同色的小球放在其体对角线的位置； 这样任何两个相同颜色的小球的不在同一条棱上， 即一条棱上的两端点上的球颜色不相同； 所以第二个粘球的人获胜。
3．答案： 解析： 因为每次走棋子必须向上或向右走，所以不管走什么路径，从 A 到 B 的步数是定的，都是 6 步。 而每次必须走1或 2 步；所以甲第一次走无论多少步后， 乙都可保证每次与甲刚走的步数和为 3 ，如甲走1步，乙就走 2 步；甲走 2 步，乙就走1步。 所以乙一定能走到 B 点获胜。 甲没有必胜的策略。
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答案
1．答案： 解析： 本题可以用逆推分析法。 获胜方在最后一次取走最后1根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方 4 根， 此时无论对方取1、 2 或 3 根，获胜方都可以取走最后一根；……； 由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是 4 的倍数根，则必胜。 现在桌上有 60 根火柴，甲先取，不可能留给乙 4 的倍数根，而甲每次取完后， 乙再取都可以留给甲 4 的倍数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，乙必胜。
5．答案： 解析 东东第一次只要从装有118 个球的箱子的中取出118 − 73 = 45 个球后， 无论平平从箱子中取出多少个球，东东必能从另外一个箱子中取出相同个数的球； 所以东东能拿到最后一个球获胜。
例4 如图所示，在 A 点有一枚棋子，甲先乙后轮流走这枚棋子，每次必须向上或向右走 1 步或 2 步(走 2 步 时可以拐弯)，最终将棋子走到 B 点者获胜。甲有没有必胜的策略？
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策略总结： 直线型——留 1 吃 2，剩 1 号 吃 1 留 2，剩最大的 2n 圆圈型——留 1 吃 2，若总数为 2n，则剩 1 号。
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3．如图所示，在 A 点有一枚棋子，甲先乙后轮流走这枚棋子，每次必须向上或向右走1步或 2 步（走 2 步时可以拐弯），最终将棋子走到 B 点者获胜。甲有没有必胜的策略？
4．有100 个人站成一排，从左到右依次进行1、 2 报数，凡是报1的人离开队伍，剩下的人继续从左到 右进行1、2 报数，最后留在队伍中的人获胜，如此下去，要想获胜，应站在队列中的第几个位置？
4．答案： 解析： 将这100 个人从左到右依次编号为1、 2 、 3 、……、 98 、 99 、100 。 第一次报完后，剩下的是 2 的倍数： 2 、 4 、 6 、……、 96 、 98 、100 ； 第二次报完后，剩下的是 4 的倍数： 4 、 8 、12 、……、 92 、 96 、100 ； 第三次报完后，剩下的是 8 的倍数： 8 、16 、 24 、……、 80 、 88 、 96 ； 第四次报完后，剩下的是16 的倍数：16 、 32 、 48 、 64 、 80 、 96 ； 第五次报完后，剩下的是 32 的倍数： 32 、 64 、 96 ； 第六次报完后，还剩下是 64 的倍数： 64 ； 所以要想获胜，应站在队伍中的第 64 个位置。
例2 一个圆周被任意地分成 2009 段，甲、乙二人轮流对它进行涂色，每人每次可以涂染一段或相连的两段， 谁涂染完最后一段，谁就获胜。如果甲先开始涂，那么两人中谁有获胜的策略？说明理由。
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例3 如图是一张 3×3 的方格纸，甲、乙两人轮流在方格中写下 0、2、3、4、5、6、7、8、9 九个数字中的 一个，数字不 3×3 能重复。最后，甲的得分是上、下两行六个数之和，乙的得分是左、右两列六个数 之和，得分多者为胜。如果甲先乙后，那么甲有没有必胜的策略？
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策略性问题
两人的游戏过程中如何使自己取胜？ 怎样找寻胜局和如何把握胜局就成了研究对策问题的关键。概括起来，我们把用数学的观点和方法来研 究取胜的策略叫做对策问题。 在解决策略性问题时，常常会结合 对称性 和 数论 中的知识，并采用 逆推 的思想和方法。
例1 桌上放着 63 根火柴，甲、乙两人轮流每次取走 1 根至 3 根。 ⑴规定谁取走最后一根谁就获胜。如果甲先取，是否有必胜的方法？如有，请写出简要的方法；如没有， 请说出理由。 ⑵规定谁取走最后一根火柴谁就算输，还是甲先取，是否有必胜的方法？如有，请写出简要的方法；如 没有，请说明理由。