等比数列前n项和公式ppt教学文案
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等比数列的前n项和PPT课件
等比数列的前n项和ppt课件
xx年xx月xx日
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目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
xx年xx月xx日
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目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
数列等比数列及其前n项和课件文ppt
构成要素
通常用符号“{ a_n }”或“a_n”表示。
表示方法
有穷数列和无穷数列
递增数列、递减数列和常数列
等差数列和等比数列
数列的分类
数列的应用
描述数量变化规律
解决实际问题
数学分析、统计学等领域
02
等比数列的定义及性质
等比数列的定义
数学符号表示
等比数列的首项和公比
等比数列的定义
当公比q>1时，数列为递增数列；当0<q<1时，数列为递减数列
前n项和公式的证明
实际应用：等比数列的前n项和公式在实际生活中有广泛的应用。例如，在投资理财中，如果将本金按照一定的年利率进行复利计算，就可以使用等比数列的前n项和公式来计算未来的本金和利息之和。
前n项和公式的应用
04
等比数列的前n项和的实际应用
简单利息
等比数列可以用来计算简单利息，即只考虑本金和利率的情况下，利息随时间线性增长。
等比数列与指数函数的联系
等比数列的通项公式和求和公式与指数函数有密切的联系，可以帮助我们更好地理解指数函数的性质和应用。
等比数列与三角函数的联系
等比数列的项数公式和求和公式与三角函数有一定的联系，可以帮助我们更好地理解三角函数的性质和应用。
与其他数学知识的交叉应用
THANKS
感谢观看
等比数列在金融领域的应用
01
等比数列可以用于计算复利、折旧等金融问题，帮助我们更好地理解金融市场的运行规律。
拓展应用介绍
等比数列在物理领域的应用
02
等比数列可以用于描述指数衰变、放射性衰变等物理现象，帮助我们更好地理解自然界中的规律。
等比数列在计算机领域的应用
03
等比数列可以用于计算机算法设计、数据结构等方面，提高计算机程序的效率和性能。
通常用符号“{ a_n }”或“a_n”表示。
表示方法
有穷数列和无穷数列
递增数列、递减数列和常数列
等差数列和等比数列
数列的分类
数列的应用
描述数量变化规律
解决实际问题
数学分析、统计学等领域
02
等比数列的定义及性质
等比数列的定义
数学符号表示
等比数列的首项和公比
等比数列的定义
当公比q>1时，数列为递增数列；当0<q<1时，数列为递减数列
前n项和公式的证明
实际应用：等比数列的前n项和公式在实际生活中有广泛的应用。例如，在投资理财中，如果将本金按照一定的年利率进行复利计算，就可以使用等比数列的前n项和公式来计算未来的本金和利息之和。
前n项和公式的应用
04
等比数列的前n项和的实际应用
简单利息
等比数列可以用来计算简单利息，即只考虑本金和利率的情况下，利息随时间线性增长。
等比数列与指数函数的联系
等比数列的通项公式和求和公式与指数函数有密切的联系，可以帮助我们更好地理解指数函数的性质和应用。
等比数列与三角函数的联系
等比数列的项数公式和求和公式与三角函数有一定的联系，可以帮助我们更好地理解三角函数的性质和应用。
与其他数学知识的交叉应用
THANKS
感谢观看
等比数列在金融领域的应用
01
等比数列可以用于计算复利、折旧等金融问题，帮助我们更好地理解金融市场的运行规律。
拓展应用介绍
等比数列在物理领域的应用
02
等比数列可以用于描述指数衰变、放射性衰变等物理现象，帮助我们更好地理解自然界中的规律。
等比数列在计算机领域的应用
03
等比数列可以用于计算机算法设计、数据结构等方面，提高计算机程序的效率和性能。
等比数列前n项和公式课件PPT
等比数列的特殊前n项和
对于等比数列，当公比q=1时，前n项和公式为Sn=na1；当q=-1时，Sn=a1a1*q^n/1+q。
等比数列前n项和公式的变种
倒序相加法
错位相减法
将等比数列的前n项和公式倒序相加， 可以得到新的求和公式。
通过错位相减法，可以求出等比数列 的通项公式。
分组求和法
将等比数列分组求和，可以简化计算 过程。
公式与其他数学知识的结合
总结词：综合运用
详细描述：等比数列前n项和公式可以与其他数学知识结合使用，以解决更复杂的数学问题。例如，可以与等差数列、函数、 极限等知识结合，用于解决一些综合性数学问题。
03
等比数列前n项和公式的扩展
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列是一种特殊的等比数列，其前n项和公式为Sn=n/2 * (a1+an)，其中 a1为首项，an为第n项。
等比数列前n项和公式的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明等比数列的前n 项和公式。
累乘法
通过累乘法证明等比数列的前n项和公 式。
04
等比数列前n项和公式的练习 与巩固
基础练习题
详细描述：通过简单的等比数列求和问题，让 学生熟悉并掌握等比数列前n项和的公式。
解题思路：利用等比数列前n项和公式，将数列中的 每一项表示为2的幂，然后求和。
05
等比数列前n项和公式的总结 与回顾
本节课的重点回顾
等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和公 式的适用范围和限制 条件
如何应用等比数列前 n项和公式解决实际 问题
本节课的难点解析
如何理解和掌握等比数列前n项和公 式的推导过程
对于等比数列，当公比q=1时，前n项和公式为Sn=na1；当q=-1时，Sn=a1a1*q^n/1+q。
等比数列前n项和公式的变种
倒序相加法
错位相减法
将等比数列的前n项和公式倒序相加， 可以得到新的求和公式。
通过错位相减法，可以求出等比数列 的通项公式。
分组求和法
将等比数列分组求和，可以简化计算 过程。
公式与其他数学知识的结合
总结词：综合运用
详细描述：等比数列前n项和公式可以与其他数学知识结合使用，以解决更复杂的数学问题。例如，可以与等差数列、函数、 极限等知识结合，用于解决一些综合性数学问题。
03
等比数列前n项和公式的扩展
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列是一种特殊的等比数列，其前n项和公式为Sn=n/2 * (a1+an)，其中 a1为首项，an为第n项。
等比数列前n项和公式的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明等比数列的前n 项和公式。
累乘法
通过累乘法证明等比数列的前n项和公 式。
04
等比数列前n项和公式的练习 与巩固
基础练习题
详细描述：通过简单的等比数列求和问题，让 学生熟悉并掌握等比数列前n项和的公式。
解题思路：利用等比数列前n项和公式，将数列中的 每一项表示为2的幂，然后求和。
05
等比数列前n项和公式的总结 与回顾
本节课的重点回顾
等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和公 式的适用范围和限制 条件
如何应用等比数列前 n项和公式解决实际 问题
本节课的难点解析
如何理解和掌握等比数列前n项和公 式的推导过程
§2.5等比数列的前n项和教案和课件
§2.5 等比数列的前n 项和（第一课时）【教学目标】1、知识与技能：理解等比数列的前n 项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n 项和公式，并能运用公式解决一些简单问题.2、过程与方法：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透类比、分类讨论及方程的思想，优化思维品质.3、情感、态度与价值观：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质.【学情分析】就学生而言，等差、等比数列的定义和通项公式，等差数列的前ｎ项和公式是学生在学习之前已经具备的知识基础.学生具体研究学习了等差数列前n 项和公式的推导方法，具备了一定的探究能力.基于此，学生会产生思考，等比数列前n 项和公式应该如何推导，公式是从什么新的角度建构？其重要性和普遍性体现在哪里？应该说学生从内心来讲，有想探究等比数列前n 项和公式的欲望和驱动力.【教学重难点】1、教学重点：等比数列前n 项和公式的推导及其简单应用.2、教学难点：根据等比数列的结构特点推导等比数列的前n 项和公式.等比数列前n 项和公式的推导与等差数列的前n 项和公式的推导虽然可以进行类比推导，但需要充分挖掘方法的本质——找到差异、构造相同项、消除差异，这对学生是比较困难的.因此，教师在发挥学生主体性前提下通过问题的逐层设置来给予适当的提示和指导.【教学方法】 类比法，引导探究法，讲授法 【教具准备】 多媒体课件 【教学过程】一、知识回顾?n ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩定义等差数列通项公式前项和公式1.数列定义等比数列通项公式 2．等差数列的前n 项和公式是如何推导的？123.n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+ ［解析］ 1121()()().n n S a a d a d a d -=+++++⋅⋅⋅++①12()()().n n n n S a a d a d a d -=+-+-+⋅⋅⋅+-②由①＋②得到 11112()()()().n n n n n S a a a a a a a a =++++++⋅⋅⋅++1().n n a a =+由此得到，等差数列{}n a 的前n 项和的公式1().2n n n a a S +=设计意图：回顾、思考、复习等差数列求和方法是为类比等比数列求和做铺垫.二、问题情境张强的爸爸是个数学迷。
等比数列前N项和的性质ppt课件
AX.Z2YB .Y Y Z Z Z X
C.Y2 XZ D .Y Y X X Z X
等比数列前n项和的性质三：
若等比 an共 数 2n 有 项 列，则：
S偶 q S奇
怎么证 明？
等比数列前n项和的性质四：
如 a n 为 果公 q 的比 等 ， 对 为 m 比 、 p N 数 有 ： 列 Smp SmqmSp
[提示] 本题应用等比数列的性质求S4更简捷．
[解] 法一：∵S2＝7，S6＝91，易知q≠1， a11＋q＝7，
∴a111－－qq6＝91. ∴a11＋q1－1－qq1＋q2＋q4＝91. ∴q4＋q2－12＝0.∴q2＝3. ∴S4＝a111－－qq4＝a1(1＋q)(1＋q2)＝7×(1＋3)＝28. ∴S4＝28.
3
即S1 ： 0 0S偶 S奇 80
变式训练
5、已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，所有奇 数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？
提示： q S偶 170 2 S奇 85
SnS偶 S奇 17 8 0 5255
由等比数列n前 项和公式得：
255 1 2n 1-2
n8
等差数列前n项和的性质：
变式训练
1 、等{a 比 n}的数 n项 前列 和 Sn， 为 S1若 0 2， 0 S2 08， 0 S3则 0 260 。 2、等比数 {an}列 的前 n项和S为 n，若 SS63 3， 求S9的值。
S6
3、任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项
和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是（ D）
1 an A.
1 a
1 a n1 B.
1 a
C.1 a n1 D.以上均不正确 1 a
C.Y2 XZ D .Y Y X X Z X
等比数列前n项和的性质三：
若等比 an共 数 2n 有 项 列，则：
S偶 q S奇
怎么证 明？
等比数列前n项和的性质四：
如 a n 为 果公 q 的比 等 ， 对 为 m 比 、 p N 数 有 ： 列 Smp SmqmSp
[提示] 本题应用等比数列的性质求S4更简捷．
[解] 法一：∵S2＝7，S6＝91，易知q≠1， a11＋q＝7，
∴a111－－qq6＝91. ∴a11＋q1－1－qq1＋q2＋q4＝91. ∴q4＋q2－12＝0.∴q2＝3. ∴S4＝a111－－qq4＝a1(1＋q)(1＋q2)＝7×(1＋3)＝28. ∴S4＝28.
3
即S1 ： 0 0S偶 S奇 80
变式训练
5、已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，所有奇 数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？
提示： q S偶 170 2 S奇 85
SnS偶 S奇 17 8 0 5255
由等比数列n前 项和公式得：
255 1 2n 1-2
n8
等差数列前n项和的性质：
变式训练
1 、等{a 比 n}的数 n项 前列 和 Sn， 为 S1若 0 2， 0 S2 08， 0 S3则 0 260 。 2、等比数 {an}列 的前 n项和S为 n，若 SS63 3， 求S9的值。
S6
3、任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项
和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是（ D）
1 an A.
1 a
1 a n1 B.
1 a
C.1 a n1 D.以上均不正确 1 a
等比数列的前n项和公式(1) PPT教学课件(高二数学人教A版 选必修二)
高中数学
问题2 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的
发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子 里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放 上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一 个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的 麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同 意了.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ①
追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
an q n≥2，q 0
an1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示.
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an Sn an an1 an2 a3 a2 a1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ① 追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
问题2 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的
发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子 里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放 上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一 个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的 麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同 意了.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ①
追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
an q n≥2，q 0
an1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示.
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an Sn an an1 an2 a3 a2 a1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ① 追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
等比数列前n项和共19页PPT资料
2（1-210）
S10=
=2046 1-2
6.3 等比数列
例2 写出等比数列1，−3，9,−27，…的
前n项和公式并求出数列的前8项的和．
巩 固
解 因为
a1
1,q
3 1
3，
Sn
a1(1 qn 1q
)
知 识
所以等比数列的前n项和公式为
典 型 例
Sn
1[1(3)n]1(3)n，
S 3 0 1 2 2 2 2 2 8 2 2 9 .
即 S3023011.01010.
而 S 3 0 ' 3 .0 1 0 5 ,显 然 S 3 0 比 S 3 0 '大 得 多 ,
因此，建筑队队长最好不要同意这样的 条件,否则会亏大的.
课堂小结
本节内容主要是推导等比 数列前n项和 公式及熟悉并应 用公式.
1(3)
4
题
故
S8
1(3)8 4
1640．
课堂 练习
1.已知等比数列｛ a n ｝的公比为2，
S 4 ＝１，求 S 8 ．
S8=17提示a1=1/15
课堂练习
2、某建筑队，由于资金短缺，向某砖厂 借红砖盖房，双方约定在一个月内砖厂每 天向建筑队提供10000块砖，为了还本付 息，建筑队第一天向厂方还1块砖，第二 天向厂方还2块砖，第三天向厂方还4块砖， 即每天返还的砖数是前一天的2倍，请问 假如你是厂长或建筑队长，你会在这个和
张明要求的总钱数为（单位：分）
1 2 2 2 2 3 2 29
如何求这个数列的和呢？
1 2 2 2 2 3 2 2 9?
令 S 3 0 1 2 2 2 2 3 2 29
等比数列前n项和公式ppt课件
－
Sn qSn a1 a1qn
(1 q)Sn a1(1 qn )
公比q能否为1
Sn
a1(1 qn ) 1 q
乘公比错位相减法
新知讲解
当q 1时，Sn na1
等比数列的前n项和公式
na1
q=1
Sn
a1
(1
q
n
)
1 q
q≠1
典型例题-例1
已知an 是等比数列，若
a1
1 2
,
q
1 2
, 求S8
S8
a1(1 qn ) 1 q
1 2
(1
1 2
8
）
1（ -
1
）8
1-
1- 1
2
1 256
1 255
2
S8
1 255
典型例题-例2
已知an43
,q
0, 求S8
a1
27, a9
1 ,27 q8 243
1 243
q8 (1)8 3
q 0,q 1 3
新知探究
问题1：请问如何表示西萨到底要求的麦粒数？
1 2 22 23 263
问题2：仔细观察，1,2,22 ,23,24...... 263是什么数列
等比数列
问题3：1 2 22 23 263可以归结为什么数学问 题？
等比数列的前n项和求和问题
新知探究
S64 1 2 22 23 24...... 263
S8
27 [1 ( 1)8 ] 3
1（- 1）
1640 81
3
典型例题-例3
例3已知等比数列 {an }的首项为
-1，前
n项和为
S
等比数列前n项和PPT教学课件
y=k2x+ b2
① l1∥l 2 k1=k2 且 b1≠b2； ②l1⊥l2
k1·k2= -1；
③l1与l2相交 k1≠k2 ④l1与l2重合
(2)一般式的直线lk11：=Ak12x且+bB11=yb+2C。1=0，
l2：A2x+B2y+C2=0
①l1∥l2 A1B2-A2B1=0 且
B1C2-
作业
课本 第129页 习题 3.5 第1.2. 题
(基础题 :加强公式的巩固)
思考题: 求数列｛（２n－１）• 3n｝
的前n项和?
(加深学生对公式的理解，和对错位相减法的体会)
感谢各位评委，专家和同行！
两直线的位置关系
直线与直线的位置关系：
（ 1 ） 有 斜 率 的 两 直 线 l1：y=k1x+b1；l2：
本课题是高一上的内容，教学对象是高一学生。现有的知识 结构有已学习的函数的有关知识、本节前面的数列的概念、等 差数列的定义、通项公式及前n项和公式、等比数列的概念和通 项公式等。因而学生学习本节知识有一定的基础。从学生的思维 特点看，很容易把本节的等比数列前n项和的公式与已学过的等 差数列前n项和公式，从公式的形成、公式的特点等方面进行类 比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节的“错位 相减求和法”，与等差数列前n项和公式的推导方法有着本质的 不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊 情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出 错。在公式的推导过程中，这也是一个不利因素。鉴于上述因 素，确定教学目标及重、难点如下：
1 q
1 q
公式说明
推导出公式之后，对公式的特征要加以 说明，以便学生记忆。同时还要对公式 的另一种表示形式和应用中的注意事项 加以说明。帮助学生弄清其形式和本质， 明确其内涵和外延，为灵活运用公式打 下基础
4.3.2等比数列的前n项和课件(人教版)
2
…
+2 +2
28
29
2S30 = 2 + 22 + 23 + … + 229 + 230
1
2
S30 = 1 + 2 + 2 +
2
2S30 =
+2 +2
29
2+2 +2 + … +2 +2
2
2 一 1 得：S 30
错
…
28
位
3
29
1
作
减
30 法 2
1.07 10
= 2 1≈10.7亿元
30
1
2
)
① 1 + 2 + 22 + 23 + L + 2n =
n
1 2
（
2
）
n
n
2
1
(
1
)
n 1
②1 2 + 4 8 + 16 L + (2) =
1 ( 2 )
2
2 n
c
[
1
(
c
) ]
2
4
6
2n
③若c 0 且 c 1 ,则c + c + c + L + c =
T 30 = 100 × 30
= 3000 ( 万元
每月投资100万元，
连续30个月
)
=
第一个月月末返还1元，
第二个月月末返还2元，
第三个月月末返还4元……
每月返还数为前一月的2倍．
…
+2 +2
28
29
2S30 = 2 + 22 + 23 + … + 229 + 230
1
2
S30 = 1 + 2 + 2 +
2
2S30 =
+2 +2
29
2+2 +2 + … +2 +2
2
2 一 1 得：S 30
错
…
28
位
3
29
1
作
减
30 法 2
1.07 10
= 2 1≈10.7亿元
30
1
2
)
① 1 + 2 + 22 + 23 + L + 2n =
n
1 2
（
2
）
n
n
2
1
(
1
)
n 1
②1 2 + 4 8 + 16 L + (2) =
1 ( 2 )
2
2 n
c
[
1
(
c
) ]
2
4
6
2n
③若c 0 且 c 1 ,则c + c + c + L + c =
T 30 = 100 × 30
= 3000 ( 万元
每月投资100万元，
连续30个月
)
=
第一个月月末返还1元，
第二个月月末返还2元，
第三个月月末返还4元……
每月返还数为前一月的2倍．
等比数列的前n项和公式ppt课件
,q 1
Sn
na1 q
1
(2) 公式推导过程中用到的“错位相减” 方法;
(3) 公式的运用.
a1, q, n, Sn
12
5
对于一般的等比数列我们又将怎样求得它的前n项和呢?
设{an}为等比数列, a1为首项, q为公比,它的前n项和
Sn a1 a1q a1q2
两边同时乘以 q为
a1qn2 a1qn1
③
错 位
qSn a1q a1q2 a1q3
a1qn1 a1qn
4
5 9
,
பைடு நூலகம்
远望巍巍塔七层, 红光点点倍自增, 共灯三百八十一, 请问尖头几盏灯?
10
一个等比数列的首项为
9 4
,末项为
4 9
,
各数项列的是和有为几项2316组1 ,求成数? 列的公比并判断
11
课堂小结
(1)等比数列的前n项和公式
Sn
a1
1 qn 1 q
a1 anq 1 q
相 减
由③- 4 得
(1 q)Sn a1 1 qn
6
(1 q)Sn a1 1 qn
？
Sn
a1
1 qn 1 q
分类讨论
等比数列的
通项公式
当 q 1时,
an a1qn1
Sn
a1
1 qn 1 q
a1 anq ; 1 q
当 q 1时, 即{an}是一个常数列
2 22 23
263 264
4
S64 1 2 22 262 263
4.3.2等比数列的前n项和公式(教学课件(人教版))
练一练
3.若数列 an
的前
n
项和为
Sn
，且
Sn
4 3
an
1 3
，则
Sn
等于(
A. 4n 1
3
√B. 4n 1 3
C. 4n1 1
3
) D. 4n1 1
3
当
n
1 时，
a1
4 3
a1
1 3
，则 a1
1 ；当
n
2 时，
Sn1
4 3
an1
1 3
，则
an
4 3
an
4 3
an1
，
所以 an
4an1 ，则数列an 是首项为
1.
a1 1 q6 S6 1 q q3 1 9 ，
S3 a1 1 q3 1 q
q 2 ，则 a2m qm 2m 5m 1 5 6 .由 y 2x 在定义域上单调递增， y 5 6 在 (1,) 上
am
m 1
m 1
x 1
单调递减，结合图象可得
2m
5
6 m 1
有唯一解
m
D. an 2n 1
根据题意知等比数列 an 1 的公比为 q q 0 ,记 bn an 1,则 b3 8,b1 b2 b3 14 ,
所以 b1q2 8, b1 b1q
6,
解得
q b1
2, 2,
故 bn
2n
,则 an
2n
1,
2 1 2n Sn 1 2
2 ,
所以 a5 31,选项 C 错误,故选 C.
1，公比为
4
的等比数列，则 Sn
1 4n 1 4
4n 1 .
4.3.2等比数列的前n项和公式课件(人教版)
( 1) (1 q )
32
m
Sm 1 q
则
（
. q 1）
n
1
Sn 1 q
∴q .
不要忘记考
2
虑q=1与q≠1
两种情况.
跟踪训练
在等比数列{an}中，设前n项和为Sn，S3= ，S6= ，求公比q .
解 : (1)q 1时, S 6 6a1 , S3 3a1 , 则S 6 2S3 , 不符合题意.
3
课堂小结
获取知识的方法
知识内容
这节课
收获了什么
思想、素
养
课堂小结
，q 1
na1
n
S
a
1
q
a1 an q
➢ 数学知识：等比数列的前n项和公式 n 1
=
，
q 1
1
q
1
q
➢数学方法： 错位相减法
➢数学思想:
转化和化归
➢数学素养:
逻辑推理、数学抽象素养、数学运算、数学
学抽象素养。
2.通过等比数列的前n项和公式
的运用，培养数学运算素养。
3.借助等比数列的前n项和公式
解决简单的实际问题，培养数学
建模素养。
新课导入
数学小故事
相传，古印度的国王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西
萨。问他想要什么。于是，这位宰相跪在国王面前说：
2
3
1 2 2 2 2
4
263
思考：
问题1：1,2,2 2 ,23 , ,263 构成什么数列？
1
32
m
Sm 1 q
则
（
. q 1）
n
1
Sn 1 q
∴q .
不要忘记考
2
虑q=1与q≠1
两种情况.
跟踪训练
在等比数列{an}中，设前n项和为Sn，S3= ，S6= ，求公比q .
解 : (1)q 1时, S 6 6a1 , S3 3a1 , 则S 6 2S3 , 不符合题意.
3
课堂小结
获取知识的方法
知识内容
这节课
收获了什么
思想、素
养
课堂小结
，q 1
na1
n
S
a
1
q
a1 an q
➢ 数学知识：等比数列的前n项和公式 n 1
=
，
q 1
1
q
1
q
➢数学方法： 错位相减法
➢数学思想:
转化和化归
➢数学素养:
逻辑推理、数学抽象素养、数学运算、数学
学抽象素养。
2.通过等比数列的前n项和公式
的运用，培养数学运算素养。
3.借助等比数列的前n项和公式
解决简单的实际问题，培养数学
建模素养。
新课导入
数学小故事
相传，古印度的国王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西
萨。问他想要什么。于是，这位宰相跪在国王面前说：
2
3
1 2 2 2 2
4
263
思考：
问题1：1,2,2 2 ,23 , ,263 构成什么数列？
1
等比数列前n项和(第一课时)优质课精品课件
,
n
6.
2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
总结归纳，提炼深化
1.等比数列的前n项和公式;
na1, (n
1 q
, (q
1).
na1, (q 1)
Sn
a1
anq
1 q
, (q 1).
已知a1,q, n时
已知a1,q, an时
2.公式的推导方法：错位相减法； 3.公式的简单应用 知三求二；
S30 1 2 22 23 229.
1 (1 230 ) 230 1 1073741823分
1 2
≈1073.74万元
S 1. 根据下列条件，求相应的等比数列 an 的 n
(1)a1 3, q 2, n 6;
(2) a1
8, q
1 2
,
an
1 64
(3)a1
2.7,
q
1 3
A= a b 2
Sn
Sn=
(a1 an )n 2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
G= ab
？
张明和王勇是中学同学，张明学习成绩优异，考上了重点大学。王勇虽然 很聪明，但对学习无兴趣，中学毕业后做起了生意，凭着机遇和才智，几年后 成了大款。一天，已在读博士的张明遇到了王勇，寒暄后王勇流露出对张明清 苦的不屑。表示要资助张明，张明说：“好吧，你只要在一个月30天内，第一 天给我1分钱，第二天给我2分钱，第三天给我4分钱，第四天给我8分钱，依此 类推，每天给我的钱都是前一天的2倍，直到第30天。”王勇听了，立刻答应 下来心想:这太简单了。没想到不到30天，王勇就后悔不迭，不该夸下海口。 同学们，你们知道王勇一共应送给张明多少钱吗？
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课堂练习 1．求等比数列中，
（1）已知 a1 4 , q
1 2
，求S10。
（2）已知 a1 1 , ak 243 , q 3 ，求Sk。
解:（1）
S10
a1(1q10) 1q
4[1(12)10]1023
11
128
2
（2） Ska11 aqkq11 2 43 33364
拓展训练 、深化认识
求数列1
例题选讲:
针对知识点精选例题，初步掌握公式运用
例。1 .写出等比数列 1,-3,9因为 a1
1，q
33，所以 1
等比数
列
n项和公式为：
Sn11 [1 (( 3 3 ))n]1(4 3)n
故
1 （ 3） 8
S8
4
1640
变式强化： 深化对公式的理解与灵活运用，巩固强化。
2
分组求和
采用变式教学设计题组，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点
这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式，
让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识．
选用公式、变用公式、理解内化
变式练习：求和 （ 11 x)(2x12)(nx1n)n (Nx0）
该题有助于培养学生对含有参数的问题 进行分类讨论的数学思想． 训练学生注意考察q是否为1的情况，突破易错点。
6.3.3 等比数列的前n项和公式
教学过程
❖ 创设情境、提出问题 ❖ 类比联想、推导公式 ❖ 例题选讲、变式强化 ❖ 拓展训练 、深化认识 ❖ 归纳总结、内化知识 ❖ 作业布置、强化知识
创设情境、提出问题
数学小故事
相传，古印度的舍罕王打算重赏国际 象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔。 于是，这位宰相跪在国王面前说：
作业布置、强化知识：
必做： 课本P17-18 练习6.3.3 1.2题
选做：
等比数列中，S3
7 2
,
S6
623，求an。
必做题，有助学生课后巩固提高， 选作题是注意分层教学和因材施教， 让学有余力的学生有思考的空间
S6 426 41 ＝18,446,744,073,709,551,615
这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产 的小麦的总和！
让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为 “减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思 议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩 证思维能力的良好契机．
第4格： 2 3
……
第63格： 2 62
第64格： 2 63
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？
1 2 2 2 2 3 2 6 2 2 6 3 ?
这实际上是求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和。
S 6 41 2 2 2 2 3 2 63 2 S 6 4 2 2 2 2 3 2 6 3 2 64
归纳总结、内化知识
小结
Sn
a1 anq 1 q
当q 1时，
1、等比数列前n项和：
Sn
a1(1 qn) 1 q
错
位 相 减
法
当q 1时，Sn na1.
2、注意选择适当的公式，必要是分情况讨论。
3、学会建立等比数列的数学模型，来解决实际问题。
归纳总结：鼓励学生自己总结，使自身的认知结构得以提高和发展。
中职数学基础模块下册
第六章 数列
6.3.3 等比数列的前n项和公式 教学法
6.3.3 等比数列的前n项和公式
教学重点、难点
❖ 教学重点：等比数列前n项和公式的推导与应用。
❖ 教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用。公式推导 所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方 法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学 思想，所以既是重点也是难点．
陛下，请您在这张棋盘的第一 个小格内，赏给我一粒麦子； 在第二个小格内给两粒，第三 格内给四粒，照这样下去，每 一小格都比前一小格加一倍。 陛下啊，把这样摆满棋盘上所 有64格的麦粒，都赏给您的仆 人罢！
鼓励学生合作讨论， 通过自己的努力解决问题， 激发进一步深入学习的兴趣和欲望。
第1格： 1 第2格： 2 第3格： 2 2
类比联想、 推导公式 一般地，设有等比数列： a1,a2,a3,,an,,
它的前n项和是： Sna1a2a3an. 1 ）
No (1)的两边乘以q q n S a 1 q a 2 q a 3 q a n 1 q a n q .
由定义 qnS a2a3a4ananq. 2）
12,2
1, 4
3
1, 8
4
116,的前n项的和.
解:
111 1 Sn12243841 6( n
1 2n
)
反思
(11 2) (21 4) (38 1) (n2 1 n)
(1 2 3 n )(12148121n)
n(n 1) 2
1 2
[1 ( 1 ) n ] 2
1 1
n2 n 2
121n
Image (1)-(2) SnqnSa1anq整理 (1q)Sna1anq
a aq 当q
1时，Sn
a1 anq 1 q
n
n1 1
Sn
a1(1 qn ) 1 q
当q 1时，Sn na1.
错位相减法
深化学生对公式的认识和理解：
等比数列的前n项和公
式当q 1时，
Sn
a1 anq 1 q
当q 1时， Sn na1.
Sn
a1(1 qn) 1 q
(1) a1,an,q,Sn 和各已知 a1,n,q,Sn
三个可求第四个。
(2)注 意 求 和 公 式 是 qn， 不 要 和 通 项 公 式 中 的 qn1混 淆 。 (3)注 意 q是 否 等 于 1， 如 果 不 确 定 ， 就 要 分 q1和 q1两 种 情 况 讨 论 。