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高中数学三角函数
一、三角函数学习要点
角的推广弧度制，定义图像和性质。

和差倍半升降幂，同角诱导与合一。

正弦余弦有定理，角度对应函数值。

三角重点在公式，化简证明和求值。

二、三角函数章节信息
1、角的概念推广
2、弧度制和角度制
3、单位圆和三角函数线
4、三角函数定义
5、三角函数图像和性质
6、同角关系
7、诱导公式 8、给值求角 9、三角恒等式:和差倍半升降幂 10、解三角形
三、本册材料内容
1、三角函数公式记忆
2、解三角形公式记忆
3、三角函数定义、图像和性质复习题
4、三角函数恒等式练习题
5、三角函数高考题分类归纳
6、三角函数典型考题归类解析
7、三角函数易错题解析
8、三角函数部分历年高考题
三角函数公式记忆
角的概念推广: 弧度制和角度制: 半角的象限三分之一角的象限
正角:逆时针旋转所成的角
转角负角:顺时针旋转所成的角
零角:没有旋转的角
明确终边相同的角、象限角、轴线角、
对称角、区域角的表示
三角函数定义: 三角函数线同角关系: 正弦线:
倒数关系: tanα ?cotα=1 正弦:sinα= y/r 余弦:cosα=x/r
sinα ?cscα=1 cosα ?secα=1 余弦线: 正切:tanα= y/x 余切:cotα=x/y 商数关系: sinα / cosα=tanα正割:secα= r/x 余割:cscα=r/y cosα /
sinα=cotα正切线: 22平方关系: sinα+cosα=1 各象限的符号:
22221+tanα=secα 1+cotα=cscα一全二正弦，三切四余弦
诱导公式口诀:奇变偶不变，符号看象限重点:与α三角函数值之间的关系
正弦函数图像: 余弦函数图像: 正切函数图像:
正弦型函数 y,Asin(,x，,)三角函数图像变换:
平移: 对称: f(x)，b,f(x),f(x，a)f(,x),f(x),,f(x)振幅、初相、相位、最值点、单调性、奇偶性、对称翻折: 伸缩: af(x),f(x),f(bx)f(|x|),f(x),|f(x)|性、周期性、图像变换
和角公式: 差角公式: 倍角公式:
222,,,,,,,,,,,,,,,,cos(,),coscos，
sinsincos(，),coscos,sinsincos2,cos,sin,1,2sin
2,,,,,,,,,,,,sin(,),sincos,cossin,sin(，),sincos，
cossin,2cos,1 ,,,,tan,tantan，
tan,,,sin2,2sincos,,,,tan(，),tan(,),,,,,1,tantan1，
tantan,2tan,tan2,2tan,，tan,,tan(,，,)(1,tan,tan,)tan,,tan,,tan(,,,)(1，tan,tan,)1,tan,
合一(辅角)公式: 常见辅角公式: 半角公
式: ,22,1,,cossinx,cosx,2sin(x,)asin,，bcos,,a，bsin(,，,)升幂公式: 降幂公式: 说明: sin,,4222 其中: ,,,1，sin2,(sin，cos)其他的公式，诸如积化和差、2 ,,,,,1，,cos,,,(sincos)1sin2sinx,3cosx,2sin(x,)cos,,bbb2,,,
1,sin2,(sin,cos),, ,和差化积、万能公式、三倍角公式
sin,,cos,,tan,223,sin22222a,,a，ba，b,sincos2,1,cos,1，sin,cos,,,,不需掌握，如果有能力的同学可以1，cos2,2cos2tan,,,,3sinx,cosx,2sin(x,)21，cos,cos,1,sin,θ的象限有点(a，b)的象限一致 2,,，,1cos21cos2622试着研究掌握. 1,cos2,,2sin,,,sin,cos ,,22
边边关系边角关系角角关系
,直角 ;;三角函数:A，B,90cosA,sinB,b/csinA,cosB,a/c222勾股定理: c,a，b三角形 sinc,1;cosC,0;tanC不存在 tanA,cotB,a/bo 任两边之和大于第三边A,B,a,b，A,B,a,b A+B+C=180
任两边之差小于第三边 A,B,a,b 外角等于不相邻内角之和
余弦定理: sin(A，B),sinCabc 正弦定理:,,,2RsinAsinBsinC222 cos(A，B),,cosCa,b，c,2bccosA
变形公式: tan(A，B),,tanC222 b,a，c,2accosBc,2RsinC1、
a,2RsinA;b,2RsinB; sin(2A，2B),,sin2C222一般c,a，b,2abcosCabc cos(2A，2B),cos2C2、;; sinA,sinB,sinC,三角2R2R2R变形公式: tan(2A，2B),,tan2C222形 bca，,a:b:c,sinA:sinB:sinC3、 A，BCA，BCcosA,; cos(),sinsin(),cos
2bc2222222a,b,A,B,sinA,sinB4、 acb，, A，BCcosB ,
tan(),cot2ac22asinB,bsinAasinC,csinA5、， 222abc，,bsinC,csinB cosC,2ab ?已知两角和任一边 ?已知两个角的函数值，求第三角解决?已知两边和夹角 ?化简关系式 ?已知两边和其中一边的对角 ?已知三边要点
角平分线定理: 中线长定理: 射影定理: (内角平分线定理) ,ABC,ABC在中，AD为BC边上的在中，AD为BC边上的高，则，A,ABC在中，的平分线AD与边中线，则有有 2222 AB，AC,2(AD，BD)补充BDABBC相交于点D，求证: ,a,bcosC，ccosBDCAC定理 b,acosC，ccosA 练习:(外角平分线定理) c,acosB，bcosA，
A,ABC在中，的外角平分线AD与
BDAB边BC相交于点D，求证: ,DCAC
和角差角公式: 二倍角公式: 面积关系:
11,,,,,,,,,sin(2),2sincossin(,),sincos,cossinS,bcsinA,,acsinB ,ABC22常用
22,,,,,,,,,cos(,),coscos,sinsincos(2),1,2sin,2cos,11,absinC,p(p,a)(p,a)( p,c)公式 ,,,2tantan,tan2,tan(2),,,tan(,),21,tan,1,tan,tan, A,ABC在中，已知和，确定解的个数: a,b
AAA为钝角为直角为锐角
三角a,b 一解一解一解
形解a,b 无解无解一解
得情a,ba,bsinA 无解无解两解
况 a,bsinA 一解
a,bsinA 无解
三角函数定义、图像和性质复习题
一、选择题
4534221.已知tan θ,2，则sinθ，sinθcos θ,2cosθ等于 ( )A(, B. C(, D. 3445
3π4β1031010310,,π，2(若cos(α,β)cos α，sin(α,β)sin α,,，又β?则cos的值为A B(C(,D(, ,2,5210101010
,3.先将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像作关于y轴的对称变换，那么与最后y,sin2x3
所得图像对应函数的解析式是( )
2,,,2,A.y,sin(,2x，) B.y,sin(,2x,) C.y,sin(,2x，) D.y,sin(,2x,) 3333 ,,2y,Asin(x，)(A,0,,0,,)4. 函数的最小值是，其图像相邻的两个最高点和
最低点的横,,,,2
坐标的差是3,，又图像经过点，则这个函数的解析式是( ) (0,1)
22,1,,1,A.y,2sin(x，)B.y,2sin(x，)C.y,2sin(x,)D.y,2sin(x,) 36363636 5(已知函数f(x),3sin ωx，cos ωx(ω>0)，y,f(x)的图象与直线y,2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)
的单调递增区间是( )
π5π5π11ππππ2π，，，，，，，，kπ,，kπ，kπ，，kπ，kπ,，
kπ，kπ，，kπ，，k?Z B.，k?ZC.，k?Z D.，k?Z A.，1212，，1212，，36，，
63，6(点P是函数f(x),cos ωx(其中ω?0)的图象C的一个对称中心，若点P到
图象C的对称轴的距离最小值
是π，则函数f(x)的最小正周期是 ( )A(π B(2π C(3π D(4π
ππ,,,,2x,2x，7(为了得到函数y,sin的图象，只需把函数y,sin的图象( ) 36,,,,
ππππA(向左平移个长度单位 B(向右平移个长度单位C(向左平移个长度单
位 D(向右平移个长度单位 4422
221,k1,kkk8(记cos(,80?),k，那么tan 100?, ( )A. D(, B(, C.22kk1,k1,k π4π243,,ωx，9(设ω>0，函数y,sin，2的图象右平移个单位后与原图象重
合则ω的最小值 A. B. C. D(3 ,3,333210(下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( )
21,tanxxA.y,sin2x B.y,cos C.y,sin2x，cos2x D.y, 221，tanx
11(设函数y,cos(sinx)，则( )A.它的定义域是,,1，1, B.它是偶函数
C.它的值域是,,cos1，cos1,
D.它不是周期函数 12(把函数y,cosx的图象上
的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图π象向左平移个单位.则所得图象表示的函数的解析式为 ( ) 4
πxπA.y,2sin2x B.y,,2sin2xC.y,2cos(2x， ) D.y,2cos( ， ) 424
ππ2π4π13(函数y,2sin(3x, )图象的两条相邻对称轴之间的距离是( )A. B.
C.π
D. 4333
14(若sinα，cosα,m，且,2 ?m,,1，则α角所在象限是 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3π15(函数y,|cotx|?sinx(0,x? 且x?π)的图象是 ( ) 2
2cosx16(设y, ，则下列结论中正确的是 ( ) 1，sinx
A.y有最大值也有最小值
B.y有最大值但无最小值
C.y有最小值但无最大值
D.y既无最大值又无最小值
π17(函数y,sin( ,2x)的单调增区间是 ( ) 4
3πππ5πA.,kπ, ，kπ， ,(k?Z) B.,kπ，，kπ， ,(k?Z) 8888
π3π3π7πC.,kπ, ，kπ， ,(k?Z) D.,kπ，，kπ， ,(k?Z) 8888
1218(已知0?x?π，且, ,a,0，那么函数f(x),cosx,2asinx,1的最小值是 ( ) 2
A.2a，1
B.2a,1
C.,2a,1
D.2a
π19(求使函数y,sin(2x，θ)，3 cos(2x，θ)为奇函数，且在,0， ,上是增
函数的θ的一个值为 4
5π4π2ππ( )A. B. C. D. 3333
20(已知函数f(x),(sin x,cos x)sin x，x?R，则f(x)的最小正周期是_____(
21. y,sin(ωx，φ)(ω>0，,π?φ<π)的图象如图，则φ,________.
2222(函数f(x),3cosx，sin x的图象相邻的两条对称轴之间的距离是
___________( 55
23(函数f(x),sin x，2|sin x|，x?[0,2π]的图象与直线y,k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是(
π,,,x24(已知函数f(x),2sin x，g(x),2sin，直线x,m与f(x)，g(x)的图象分别交M、N两点，则|MN|的,2,
最大值为________(
cosxcosx 25(函数y, 的值域是__________.12(函数y, 的定义域是_________. 1，2cosxlg(1，tanx)
26(如果x，y?,0，π,，且满足|sinx|,2cosy,2，则x,___________，
y,___________. 27(已知函数y,2cosx，x?,0，2π,和y,2，则它们的图象所围成
的一个封闭的平面图形的面积是
_____________ 15(函数y,sinx，cosx，sin2x的值域是_____________.
π28(关于函数f(x),4sin(2x， )(x?R)有下列命题:?由f(x),f(x),0可得x,x
必是π的整数倍;?y12123
ππ,f(x)的表达式可改为y,4cos(2x, );?y,f(x)的图象关于点(, ，0)对
称;?y,f(x)的图象关于直线66
πx,, 对称.其中正确的命题的序号是_____________. 6
ππ1112,,,,，φ，29(已知函数f(x),sin 2xsin φ，cosxcos
φ,sin(0<φ<π)，其图象过点. ,2,,62,22
1(1)求φ的值;(2)将函数y,f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐
标不变，得到函数y,g(x)的图2
π，，0，象，求函数g(x)在上的最大值和最小值( ，4，
π30(函数y,Asin(ωx，φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一段图象如图所示((1)求函
数y,f(x)的解析式;(2)将函数y2
π,f(x)的图象向右平移个单位，得到y,g(x)的图象，求直线y,6与函数
y,f(x)，g(x)的图象在(0，π) 内4
所有交点的坐标(
π31(已知向量a,(cos α，sin α)，b,(cos β，sin β)，c,(,1,0)((1)求
向量b，c的模的最大值;(2)设α,，4且a?(b，c)，求cos β的值( 32(如图为函数y,Asin(ωx，φ)(A,0，ω,0)的图象的一部分，试求该函数的
一个解析式.
2233(已知函数y,(sinx，cosx)，2cosx.(x?R)(1)当y取得最大值时，求自变
量x的取值集合.
(2)该函数图象可由y,sinx(x?R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到,
34(已知函数f(x),(sinx,cosx)(1)求它的定义域和值域;(2)求它的单调减区间; log1
2
(3)判断它的奇偶性;(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期.
35(某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠(如图)，为降低成本，必须尽量减
少水与水渠壁的接触面.
若水渠横断面面积设计为定值 m，渠深3米，则水渠侧壁的倾斜角α应为多
少时，方能使修建的成本
最低,
3π36(已知函数f(x),sin(ωx，φ)(ω,0，0?φ?π)是R上的偶函数，其图象关于点M( ，0)对称，且在区4
π间,0， ,上是单调函数，求φ和ω的值. 2
三角函数恒等变换练习题
13231.的值等于( )A(B(C( D( 计算sin43cos13-sin13cos43
2322,,1,tan112,22(,2，则cot(，)的值( )A. B. C. D. ,,,421，tan2 22，cos2,sin13(化简的结果是( )A.cos1 B.sin1 C.3cos1D.,3cos1
57,,，，4(若,,，则的值为( ) 1，sin,，1,sin,,,,22，，
,,,,.2sin.2sinA.B.,2cosC,D2cos 2222
1177cos22,,5(若，则cossin,,，的值为
( )A( B( C( D( ,,,2222π2,,,sin,,,4,,
013sin70,236. =( ) A. B. C. 2 D. 202222cos10,
431,,,,,,,，7.已知= cos,(,),tan,(,),cos(),,,,,,,,,5232
,,3123,,,,cos(,),,sin(，),,,,,,,,sin2,8.(1)已知:，求的值. 24135
41cos,,tan(,),,,,,9.已知为锐角，，求的值 ,、,cos,53
11sin,sin,,,cos,cos,,,,,10.已知:，求的值( cos(,,,)32
,,2,,(,,)tan,11.已知、是方程x，33x，4,0的两根，且，求的值. tan,,，,,,22
2,,,sin2,cos1tan(，),12.已知,，(1)求的值;(2)求的值. tan,421，cos2, ,,,,12已知sin(，,2),sin(,,2),,,,(,),求2sin,，tan,,cot,,1的值. 13.44442
,,226sin，sincos,2cos,0,,[,],求sin(2，)14.已知的值. ,,,,,,,23
15.求值:
,,2cos10,sin20,,cos40(1，3tan10)(1) (2) ,cos20
23177sin2x，2sinx,,,,,cos,16.若，x,,x,，求的值. ,,451241,tanx,,
33,,,,,,cos,cos(2，)，,,,17.已知，求的值. ,,,,,44522,,
43cos,,cos(，),,,,18.已知，且、均为锐角，求( ,sin,,55
2,1sin22sinxx，19.已知,,,，,(`)求sincosxx,(2)求 xxx0,sincos251tan,x 1，cosx,sinx1,cosx,sinx,fx,，，，且x,2k，,k,Z?化简?是否存在，使20.已知，，fxx,1,sinx,cosx1,sinx，cosx2
x21tan，x2，，得tan,fx与相等,若存在，求的值;若不存在，请说明理由。

x2sinx
,x,20,,x已知，化简:.
21.lg(costan12sin)lg[2cos()]lg(1sin2)xxxx,，,，,,，222
π1,,x,R22.已知函数，的最大值是1，其图像经过点((1)M，
fxAxA()sin()(00,，,,,,,，π),,32,,
π312,,,,,,f()求的解析式;(2)已知,,，且，f()，求的值
( ，，,0fx()f(),,,,,5132,,
,a,(sin,,,2)b,(1,cos,),(0,)23.已知向量与互相垂直，其中( ,2
10,sin,cos,cos,(1)求和的值;(2)若，求的值( ,,,,sin(),0,,,102
三角函数高考题分类归纳
一(求值
osin330:1、= = = tan690?sin585
12sin,,2、(1)(07全国?) 是第四象限角，，则 ,,,cos13
4cos,,(2)(09北京文)若，则 . ,,,,,sin,tan05
12cosA,(3)(09全国卷?文)已知ABC中，，则 . ?cotA,,5
1,5sin(,),(4) 是第三象限角，，则= = ,,cos(，,)cos,,22
(5)(08浙江理)若则= . cos,，2sin,,,5tan,
5443(1) (07陕西) 已知则= . ,,sin,sincos,,,5
,3,(2)(04全国文)设,(0,)，若sin,,，则2cos()，= . ,,542
,3,(3)(06福建)已知则= ,,tan()，(,),sin,,,,,425
34(07重庆)下列各式中，值为的是( ) 2
222222sin15cos15::(A) (B)(C)(D) cos15:,sin15:2sin15:,1sin15:，cos15:
5. (1)(07福建) = sin15cos75cos15sin105，
oooo (2)(06陕西)= cos43cos77sin43cos167，
(3) 。

sin163sin223sin253sin313，,
16.(1) 若sinθ，cosθ,，则sin 2θ= 5
,3 (2)已知，则的值为 sin2x,,sin()x45
,,sin，costan,,26‘ 若 ,则= sin,,cos,
tan2,7. (08北京)若角的终边经过点，则= = ,cos,P(12)，,
,,3||,,8((07浙江)已知，且，则tan, ，,cos(),,222
cos22,cossin,,，9.若，则= ,,π2,,,sin,,,4,,
10.(09重庆文)下列关系式中正确的是( )
000000A( B( sin11cos10sin168,,sin168sin11cos10,,
000000C( D( sin11sin168cos10,,sin168cos10sin11,,(二)最值
1.(09福建理)函数最小值是= 。

fxxx()sincos,
2.?(08全国二)(函数的最大值为。

f(x),sinx,cosx
,?(08上海)函数f(x),3sin x +sin(+x)的最大值是 2
,?(09江西理)若函数，，则的最大值为 fxxx()(13tan)cos,，0,,xfx()23.(08海南)函数的最小值为最大值为。

fxxx()cos22sin,，
,,，，24.(08湖南)函数在区间上的最大值是
fxxxx()sin3sincos,，,,,42，，
25.(09上海理)函数yxx,，2cossin2的最小值是 .
,,，，,26((06年福建)已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等
于 ,fxx()2sin(0),,,,,,,,34，，
2,2sin1x，,,7.(08辽宁)设，则函数的最小值为 ( x,0，y,,,2sin2x,,
(三)单调性
,y,2sin(,2x)(x,[0,,])1.(04天津)函数为增函数的区间是( ) 6
,,,7,,5,5 [0,][,][,][,,]A. B. C. D. 63361212
,,,,33,,,,,,,,,,,yx,sin2.函数的一个单调增区间是( )A(B(C( D( ,，，，2,,，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
fxxxx()sin3cos([,0]),,,,,3.函数的单调递增区间是( )
5,5,,,,A(,, B(,, C([,0], D([,0], [,][,],66366
,,,4((07天津卷) 设函数，则在区间( ) fx()fxxx()sin(),，,R,,3,,
,,,5,,，，，，，，27,,，，,,,，A(上是增函数B(上是减函数C(上是增函数D(上是减函数，，，,,,,,,,,2343636，，，，，，，，
,,,,3,,2yx,2cos(,),(0,)(,)5.函数的一个单调增区间是
( )A( B( C( D( (,),244244
(四)周期性
,1((07江苏卷)下列函数中，周期为的是( ) 2
xxy,siny,cosA( B( C( D( yx,sin2yx,cos424
,,,,,,02.(08江苏)的最小正周期为，其中，则= fxxcos,,,,，，,,56,,
x3.(04全国)函数的最小正周期是( ). y,|sin|2
4.(1)(04北京)函数的最小正周期是 . f(x),sinxcosx
2y,2cosx，1(x,R)(2)(04江苏)函数的最小正周期为 5.(1)函数的最小正周期是 fxxx()sin2cos2,,
(2)(09江西文)函数的最小正周期为 fxxx()(13tan)cos,，
(3). (08广东)函数的最小正周期是 ( fxxxx()(sincos)sin,,
(4)(04年北京卷.理9)函数的最小正周期是 . f(x),cos2x,23sinxcosx
,26.(09年广东文)函数是最小正周期为( ) y,2cos(x,),14
,,A(的奇函数 B. 的偶函数 C. 的奇函数 D. 的偶函数 ,,22
27.(浙江卷2)函数yxx,，，(sincos)1的最小正周期是 . (五)对称性
,(08安徽)函数1.yx,，sin(2)图像的对称轴方程可能是( ) 3
,,,,xA( B(x C( D( ,,,,,x,x612612
,2(下列函数中，图象关于直线x,对称的是( ) 3
x,,,,Ay,sin(2x,) By,sin(2x,) Cy,sin(2x，) Dy,sin(，) 36626
π,,3((07福建)函数的图象( ) yx,，sin2,,3,,
ππππ,,,,A(关于点对称B(关于直线对称C(关于点对称 D(关于直线对称x,x,，0，0,,,,4334,,,,
4,,(,0)4.(09全国)如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为 ( ) yx,，3cos(2),3,,,,(A) (B) (C) (D) 6432
(六)图象平移与变换
,1.(08福建)函数y=cosx(x?R)的图象向左平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为 2
,xR,2.(08天津)把函数()的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所yx,sin3
1有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是 2 ,3.(09山东)将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 yx,sin24
,4.(09湖南)将函数y=sinx的图象向左平移0 ,,2的单位后，得到函数y=sin 的图象，则()x,,,,()6等于 ,
,5(要得到函数的图象，需将函数的图象向平移个单位 y,sin(2x,)y,sin2x4 ,,,6(1)(07山东)要得到函数的图象，只需将函数的图象向平移个单位yx,,cosyx,sin,,,,,
π,,(2)(全国一)为得到函数的图像，只需将函数的图像向平移个单位
yx,sin2yx,，cos2,,3,,
,(3)为了得到函数的图象，可以将函数的图象向平移个单位长度
y,sin(2x,)y,cos2x6
,7.(2009天津卷文)已知函数的最小正周期为，将的图像
f(x),sin(wx，)(x,R,w,0),y,f(x)4
,,,,3向左平移个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的一个值是( )A B C D ,|,|2848(七)图象
ππ,,，，1((07宁夏、海南卷)函数在区间的简图是( ) ，
πyx,,sin2,,,,23，，,,
,x31y,cos(，)(x,[0，2,])2(浙江卷7)在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线y,的交点个222
数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)4
3((2006年四川卷)下列函数中，图象的一部分如右图所示的是( )
,,,,,,,,,,,,(A) (B) (C)(D)
yxsinyxcos4,，,,yxsin2yxcos2,,,,,,,,,,,,6366,,,,,,,,4.(2009江苏卷)函数(为常数，)在闭区间上的图象如yAx,，sin(),,A,,,,A,,0,0,[,0],,图所示，则= . ,
7,,,5.(2009宁夏海南卷文)已知函数的图像如图所示，则。

fxx()2sin(),，,,f,,,12,,
(八)解三角形
o,ABCac,,，621.(2009年广东卷文)已知中，的对边分别为若且，，A,，B,，Cabc,,，,A75
b,则 AC2.(2009湖南卷文)在锐角,ABC中，则的值等于，AC的取值范围为BCBA,,1,2, cosA
,ABCC3.(09福建) 已知锐角的面积为，，则角的大小为 33BCCA,,4,3
a，b，c,A,60,b,1,面积是3,则4、在?ABC中，等于。

sinA，sinB，sinC sinA:sinB:sinC,4:5:7cosC5(已知?ABC中，，则的值为 (九)综合
1. (04年天津)定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当,f(x)f(x)
,5,时，，则的值为 x,[0,]f()f(x),sinx32
,,222((04年广东)函数f(x)是 ( ) fxxx()()(),，,,sinsin44
A(周期为的偶函数 B(周期为的奇函数 C( 周期为2的偶函数D(周期为2的奇
函数 ,,,,
,3(( 09四川)已知函数，下面结论错误的是 f(x),sin(x,)(x,R)((2
, A. 函数的最小正周期为2 B. 函数在区间,0，,上是增函数 ,f(x)f(x)2
C.函数的图象关于直线,0对称
D. 函数是奇函数 xf(x)f(x)
,4((07安徽卷) 函数f(x),3sin(2x,)的图象为C, 如下结论中正确的是 3
1152,,,x,()(,?图象C关于直线,对称; ?图象C关于点(,0)对称;?函数fx在
区间,)内1212123
,是增函数;?由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C. y,3sin2x3
25.fxxxxR()(1cos2)sin,,，,(08广东卷)已知函数，则是最小正周期为( )
fx()
,,A、的奇函数 B、的奇函数C、的偶函数 D、的偶函数 ,,22
(十)解答题
21sin2x，2sinx,,,x,0,sinx，cosx,sinx,cosx1((05福建文)已知(1)求的值(2)求的值. 251,tanx
22fxxxxxxR()sin3sincos2cos,.,，，,2(06福建文)已知函数 (I)求函数的最
小正周期fx()和单调增区间; (II)函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换
得到, fx()yxxR,,sin2()
22xR,fxxxxx()sin2sincos3cos,，，3.(2006年辽宁卷)已知函数，.求:
(I) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合;(II) 函数的单调增区间.
xfx()fx()
13AB?ABCC4.(07福建文)在中，，((?)求角的大小;(?)若边的长为17，
tanA,tanB,45
BC求边的长(
mn,0.5.(08福建文)已知向量,且(?)求tanA的值;(?)求函数
mAAn,,,(sin,cos),(1,2)
R)的值域. fxxAxx()cos2tansin(,，,
6.(08福建理)(已知向量m=(sinA,cosA),n=，m?n,1，且A为锐角.(?)求角A 的大小;(?)(3,1),
求函数的值域. fxxAxxR()cos24cossin(),，,
,,,,,,07.(2009福建卷文)已知函数其中，I)
若 ,,||,coscos,sinsin0,fxx()sin(),,，,,,,,442,求的值;(?)在(I)的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数,fx()fx()3的解析式;并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数。

mmfx(),,,,(二)1.已知向量，，记函数。

(1)求函数的
b,(cosx,cosx)f(x),a,ba,(3sinx,cosx)f(x)最小正周期;(2)求函数的最大值，并求此时的值。

xf(x)
442.(04年重庆卷.文理17)求函数的最小正周期和最小值;并写出该函
y,sinx，23sinxcosx,cosx
数在的单调递增区间. [0,,]
3.(2009湖北卷文) 在锐角?ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且3a,2csinA
33(?)确定角C的大小: (?)若c,,且?ABC的面积为,求a，b的值。

72
,4.(2009陕西卷文) 已知函数(其中)的周期为，
A,,,,0,0,0,fxAxxR()sin(),,，,,,,,2
2,,且图象上一个最低点为,. (?)求的解析式;(?)当x,[0,]，求的最值.
M(,2)fx()fx()123
5.(2009北京文)(本小题共12分)已知函数.(?)求的最小正周期;
fxxx()2sin()cos,,,fx()
,,，，(?)求在区间上的最大值和最小值. ,,fx(),,62，，
xx,,,26.(2009重庆卷理)设函数fx()sin()2cos1,,,，(?)求的最小正周期((?)若fx()468
4x,1函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值
( x,[0,]ygx,()yfx,()ygx,()3
,,,7.(2009天津卷理)在?ABC中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA (I) 求AB的值(II) 求sin的值 2A,,,4,,
53?ABCsinCBC,58.(08全国二17)在中，，( (?)求的值;(?)设，
cosB,cosA,,513
?ABC求的面积(
三角函数典型考题归类解析
1(根据解析式研究函数性质
例1(天津理)已知函数((?)求函数的最小正周期;(?)
fxxxxx()2cos(sincos)1,,，,，Rfx()
π3π，，求函数在区间上的最小值和最大值( fx()，,,84，，
πππ,,,,,,2【相关高考1】(湖南文)已知函数(求:
fxxxx()12sin2sincos,,，，，，,,,,,,888,,,,,,
(I)函数的最小正周期;(II)函数的单调增区间( fx()fx()
1π,,2【相关高考2】(湖南理)已知函数，((I)设是函数
xx,yfx,()gxx()1sin2,，fxx()cos,，0,,212,,
图象的一条对称轴，求gx()的值((II)求函数的 hxfxgx()()(),，y0
单调递增区间( P3 2(根据函数性质确定函数解析式
π例2(江西)如图，函数的图象,，,,,,,R，，??yxx>2cos()(00)A2O x
,与轴相交于点(03)，，且该函数的最小正周期为((1)求和的值;y,,
ππ3,,，，PPAQxy()，(2)已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，A，0y,x,，π0000,,,,222,,，，时，求x的值( 0
ππ,x,,,,2,,0【相关高考1】(辽宁)已知函数(其中)，
fxxxx()sinsin2cos,，，,,,，R,,,,,,662,,,,
π(I)求函数的值域; (II)若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，fx()yfx,()y,,12求函数的单调增区间( yfx,()
,?ABCBx,A,【相关高考2】(全国?)在中，已知内角，边BC,23(设内角，周长为y( ,
(1)求函数的解析式和定义域;(2)求函数的最大值( yfx,()yfx,()
3(三角函数求值
1π13例3(四川)已知cosα=,cos(α-β),，且0<β<α<,(?)求tan2α的值;(?)求β. 7214
,,,2cos2x,,,4,,【相关高考1】(重庆文)已知函数f(x)=.(?)求f(x)的定义域;(?)若角a在第一象限，,sin(x，)2
3且 cosa,,求f(a)。

5
26cosx,3sin2x【相关高考2】(重庆理)设f () = (1)求f()的最大值及最小正周期;(2)若锐xx
4f(,),3,23,角满足，求tan的值. ,5
4(三角形中的函数求值
abA,2sin例4(全国?)设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，( (?)求B的大小;(文)(?)若，c,5，求b((理)(?)求cossinAC，的取值范围( a,33
4【相关高考1】(天津文)在?ABC中，已知AC,2，BC,3，?)求sinB的
值;(?)cosA,,5
,,,求的值( sin2B，,,6,,
13?ABCC【相关高考2】(福建)在中，，((?)求角的大小; tanA,tanB,45
ABBC(?)若边的长为，求边的长( 17
5(三角与平面向量
?ABC36,,例5(湖北理)已知的面积为，且满足0??，设和的夹角为((I)求的AB,ACABAC
π,,2取值范围;(II)求函数的最大值与最小值( f()2sin3cos2,,,,，,,,4,, ，，fx,a,ba,(m,cos2x),b,(1，sin2x,1),x,R【相关高考1】(陕西)设函数，其中向量，且函数
,,,y=f(x)的图象经过点，(?)求实数m的值;(?)求函数f(x)的最小值及此时的值的集合. ,2x,,4,,
【相关高考2】(广东)已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0)(1)若AB,AC,0c求的值 c
6三角函数中的实际应用
例6(山东理)如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行， 302
20当甲船位于A处时，乙船位于甲船的北偏西方向的B处，此时两船相距海里，当甲船 10511
20AB航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙10212022船每小时航行多少海里,
ABBC【相关高考】(宁夏)如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与
DAABC,(现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高
( ，,，,,BCDBDCCDs,,，，
7(三角函数与不等式
πππ，，,,2例7(湖北文)已知函数，(I)求的最大值和最小值; fx()x,，fxxx()2sin3cos2,，,,,,,424，，,,
ππ，，fxm()2,,(II)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围
( mx,，,,42，，
8(三角函数与极值
xx232，，tfx,,cosx,4tsincos，4t，t,3t，4,x,R，，例8(安徽文)设函数其中?1，将fx的最22
小值记为g(t).(?)求g(t)的表达式;(?)讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.
三角函数易错题解析
22,,sin,cos例题1 已知角的终边上一点的坐标为()，则角的最小值为( )。

,,33
11,,,,525A、 B、 C、 D、 6336
2,,例题2 A，B，C是ABC的三个内角，且是方程的两个实数根，则ABCtanA,tanB3x,5x，1,0是( )A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形
D、等边三角形
,,2,,例题3 已知方程(a为大于1的常数)的两根为，，
且、 ,tan,tan,,,,x，4ax，3a，1,0,,,22,,,，,则的值是______________ tan2 b,例题4 函数的最大值为3，最小值为2，则______，_______。

a,fxaxb()sin,，
sinxcosx例题5 函数f(x)=的值域为_____________ 1，sinx，cosx2222，sin,,3sin,,则sin,，sin,例题6 若2sinα的取值范围是
已知，求的最小值及最大值。

例题7,，,,,,y,,cossin,,6
,2tanxf(x),sin2x，22cos(，x)，3例题8 求函数的最小正周期例题9 求函数的值域 fx(),241tan,x
3(,,0),例题10 已知函数??是R上的偶函数，其图像关于点M对称，
f(x),sin(,x，,)(,,0,0,)4,,且在区间[0，]上是单调函数，求和的值。

,2 基础练习题
,,,,,521、在,ABC中2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，则，C的大小应为
( )A(BC(或D或 3,636633
,,22、已知tan, tan,是方程x+3x+4=0的两根，若,，,,(-)，则,+,=( ) 3,22 ,,,222 A( B(或- C(-或 D(- ,,,333333
1nnsincos,,，,13、若，则对任意实数取值为( )A. 1 B.(0，1)C. D. 不能确定 n，sincos,,，n,12
,ABC，C4、在中，3sin463cos41ABAB，,，,cossin，，则的大小为( )
,5,5,,2,,,,,755,或[0,][,][,][,,]或A. B. C. D. A. B. C.
D. ,,66663363121236
,y,2sin(,2x)(x,[0,,])5、函数为增函数的区间是( ) 6
,,,,6、已知且，这下列各式中成立的是( ) ,,,,,cos,，sin,,0,,
2,,
333,,,，,，,，, A. B. C. D. ,，,,,,,,,,,222
1656165653167、?ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为( ) A、B、C、或 D、 ,1356565656565
222k,1,00kk1,1,k9、设cos100=k，则tan80是( ) A、 B、 C、
D、 ,,2kkk1,k10、在锐角?ABC中，若，，则的取值范围为( ) tanA,t，
1tanB,t,1t
A、 B、 C、 D、 (2,，,)(1,2)(1,，,)(,1,1)
,m,34,2msin,cos,,,,,,,11、已知，()，则tan,,( ) m，5m，52
m,3354,2m5,,或,A、 B、 C、 D、 ,m,34,2m41212
ππ12、如果，那么sinx的取值范围是( ) log||logx,,113222
111111331):([,][,[,[,A(， B(， C(，， D(，， ):(1]1]1]222222222
,,y,sinxcosx[k,,k，]13、函数的单调减区间是( )A、 (k,z) ,,44
,3,,,,[k,，,k,，,](k,z)[2k，,2k，](k,z)[k，,k，](k,z)B、 C、
D、 ,,,,44424214、在?ABC中，则?C的大小为 ( ) 3sinA，4cosB,6,4sinB，
3cosA,1,
A、30?
B、150?
C、30?或150?
D、60?或150?
222215、已知5cos,，4cos,,4cos,,则cos,，cos,的取值范围是
_______________.
5sinA，4cosA716、若,且,则_______________. ，，A,0,,,sinA，
cosA,1315sinA,7cosA
,,17、设ω>0，函数f(x)=2sinωx在上为增函数，那么ω的取值范围是
_____ [,,]34
18、已知奇函数单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则( ) ，，fx 在,,,1，0上为
A、f(cosα), f(cosβ)
B、f(sinα), f(sinβ)
C、f(sinα),f(cosβ)
D、f(sinα), f(cosβ)
,([0,])x,19、函数的值域是 ( yxxx,，sin(sincos)2
35,44yxx,，,sincos20、若sin,,，α是第二象限角，则tan=_________21、求函数的相位和初相。

1324
17222、已知函数f(x)=,sinx+sinx+a，(1)当f(x)=0有实数解时，求a的取值范围;(2)若x?R，有1?f(x)?，4求a的取值范围。

,22,23、已知定义在区间[-,，]上的函数y=f(x)的图象关于直线x= -对称，当x,[-，]时，函数,,3663
,,2f(x)=Asin(,x+,)(A>0, ,>0,-<,<)，其图象如图所示(1)求函数y=f(x)在[-,，]的表达式;(2)求方程,322
2f(x)=的解。

2
,24、将函数的图像向右移个单位后，再作关于y,f(x)sinxx4
2y,1,2sinx轴的对称变换得到的函数的图像，则可以是f(x)
,2cosx2cosx,2sinx2sinx( )。

A、 B、 C、 D、
三角函数部分历年高考题
π,,1.为得到函数的图像，只需将函数的图像( )个长度单位 yx,，
cos2yx,sin2,,3,,
5π5π5π5πA(向左平移 B(向右平移 C(向左平移 D(向右平移 121266
MN2.若动直线与函数和的图像分别交于MN，两点，则的最大值为
()xa,fxx()sin,gxx()cos,
A(1 B( C( D(2 32
2tancotcosxxx，,sinx3.( ) (A) (B) (C) (D) cotxtanxcosx，，
,,,,,4,,3,,,,,,,,4.若02,sin3cos,,,,,,,，则的取值范围
是:( )ABCD ,,,,,,,,,,,,,,3233332,,,,,,,,
,xR,5.把函数()的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所
有点的横坐yx,sin3
1,yx,,sin(2)xR,标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数(A)， 23
,,2,xy,，sin()xR,yx,，sin(2)xR,yx,，sin(2)xR,(B)，(C)， (D)，
26335,2,2,,,,a,b,cacb,,b,c,abac,,6.设asin，bcos，，则(A) (B) C) (D)
ctan777
,,(,0),yx,，sin(2)7.将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对
称，则向量的坐标,,123
,,,,(,0),(,0),(,0)(,0)可能为( )A( B( C( D( 126126
47ππ4423233,则sin(α,)的值是8.已知cos(α-)+sinα=(A)- (B) (C)- (D) 6555655
,,,,FF,(,3)x9.(湖北)将函数的图象F按向量平移得到图象,若的一条对称轴
是直线,yx,,3sin(),34
115511,,,,,,,则的一个可能取值是A. B. C. D. 12121212
,,313，，，2fxxxx()sin3sincos,，,10.函数在区间上的最大值是( )A.1 B. C. D.1+3 ,,2422，，
sin1x,202,,x,11.函数f(x)=() 的值域是(A)[-,0] (B)[-1,0](C)[-2,0(]D)[-3,0] 232cos2sin,,xx
12.函数f(x)=cosx(x)(xR)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y=-f′(x)
的图象，则m的值可以为 ,
,,A. B. C., D., ,,22
,x31y,cos(，)(x,[0，2,])y,13.在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直
线的交点个数是 222
(A)0 (B)1 (C)2 (D)4
11,2cosa，2sina,,5,,tana14.若则=(A)(B)2(C)(D) 22
15.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下:那么ω=( )A.
1 B.
2 C. 1/2 D. 1/3
013sin70,2316.=( ) A. B. C. 2 D. 202222cos10,
,17.函数f(x),3sin x +sin(+x)的最大值是 2
3,,118.已知a，b，c为?ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m,()，
n,(cosA,sinA).若m?n，
且acosB+bcosA=csinC，则角B, .
,,,,19.的最小正周期为，其中,,0，则= ,fxxcos,,,，，,,56,,
20.已知函数，x,R，则的最小正周期是 fxxxx()(sincos)sin,,fx()
,,,,,,,,,,,,,21.已知，且在区间有最小值，无最大值，则,_________
fx(),,，,,，fxxff()sin(0),,，,,,,,,,,36363,,,,,,,,
322(设?ABC的内角ABC，，所对的边长分别为abc，，，且( aBbAccoscos,,5 tancotAB(?)求的值;(?)求的最大值( tan()AB,
5334?ABCcosB,,sinA?ABCBC23.在中，?)求的值(?)设的面积S,求的长
( cosC,?ABC2135
π,,2,,024.已知函数()的最小正周期为((?)求的
值;(?)π,,,,fxxxx()sin3sinsin,，，,,2,,
2π，，求函数在区间上的取值范围( fx()0，,,3，，
2425.求函数yxxxx,,，,74sincos4cos4cos的最大值与最小值。

,226.知函数fxxxx(incos)2co,s1,,,，，2s()的最小值正周期是( xR,,,0,2(?)求的值;(?)求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合( ,fx()fx()x ,,,fxxxx()cos(2)2sin()sin(),,，,，27.已知函数(?)求函数的最小正周期和图象的对称fx()344
,,[,],轴方程(?)求函数在区间上的值域 fx()122
3sin(,x，,),cos(,x，,)(0,,,π,,,0)28.已知函数f(x),为偶函数，且函数
y,f(x)图象的两相
πππ.(?)求f()的值;(?)将函数y,f(x)的图象向右平移个单位后，再将邻对称轴间的距离为286得
到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变得到函数y,g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.
xoy29.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角,，它们的终边分
别与单位圆相交于 ox,,
225A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为((?)求tan()的值;(?)求的值( ,,，,,，2,105
ABC，,ABC30.在中，角所对应的边分别为，a,23， ABC,,abc,,tantan4,，,22 2sincossinBCA,，求及 AB,bc,
117,t,31.已知函数(?)将函数化
ftgxxfxxfxx(),()cos(sin)sin(cos),(,).,,,，,,gx(),112，t
简成(A,0，,,0，)的形式;(?)求函数的值域. AxBsin(),,，，,,,[0,2)gx() xxx2fx()2sincos23sin3,,，32.已知函数((?)求函数的最小正周期及最值;
fx()444
π,,(?)令，判断函数的奇偶性，并说明理由( gxfx(),，gx(),,3,,
a33.设,ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c且A=，c=3b.求(?)的值
(?)cotB +cot C的值. 60c
(3,1),已知向量m=(sinA,cosA),n=，m?n,1，且A为锐角.(?)求角A的大小;(?)求函数34.
的值域. fxxAxxR()cos24cossin(),，,
π1,,35.已知函数，x,R的最大值是1，其图像经过点((1)M，
fxAxA()sin()(00,，,,,,,，π),,32,,
π312,,f(),,,,求的解析式;(2)已知，且，f()，求的值
( ,,，，,0fx()f(),,,,,5132,,
,C,?ABCABC，，abc，，c,236.在中，内角对边的边长分别是，已知，( 3
?ABCab，?ABC(?)若的面积等于，求;(?)若，求的面积
( 3sinsin()2sin2CBAA，,,。