精选平面向量压轴填空题
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27.设G是 的重心，且 ，则角B的大小为__________60°
解析：由重心性质知 ，下面用余弦定理即可求解
28.平面内两个非零向量 ，满足 ，且 与 的夹角为 ，则 的取值范围是_________
解析：数形结合。 利用正弦定理得， ，
29.在 中， ， 为 外接圆的圆心，则 ____
解析：
30.△ABC内接于以O为圆心的圆，且 ．则 ．135
解析： ，因 ，故 ， ，或者用消元的方法
，当 时取等号，故
；同时 ，当 时 ，故 ，
另法：本题可以得出P的轨迹是椭圆，得出椭圆方程然后设P坐标来解决
15.已知 且 ， 是钝角，若 的最小值为 ，则 的最小值是
解析： 共线，用几何图形解） 的最小值为 根据几何意义即为A到OB的距离，易得 ，要使 最小，则 ，利用面积法可求得
解析：
(其中 )
=
= ，则
5.已知 为 所在平面内一点，满足
，则点 是 的心垂心
解析：
，可知 ，其余同理
6.设点O是△ABC的外心，AB＝ ，AC＝ ， 则 · 的取值
范围
解析：
7.在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，
，若 ，则 与 的夹角的余弦值等于_____
解析：（2007全国联赛类似38.39题）因为 ，所以 ，即 。因为 ，
43.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若 ，则 的取值范围是（-1,0）
解析：设
，由于ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ共线
44.如图， ，点 在阴影区域内（不含边界），则
满足的条件是___________ ，
解析：设 与 交与点 ，
，
45.在△ABC中， ，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且 ，则 等于
1.在△ABC中，已知AB＝4，AC＝3，P是边BC的垂直平分线上的一点，则 ＝_____________
【答案】
解析：
2.已知 ，点 在 内， .
设 ，则 等于
【答案】3
[解析]：法一：建立坐标系，设 则由 得
而 故
法二： 两边同乘 或 得
两式相除得
3.在△ABC中，若 ，则边 的长等于
解析：
4.已知点G是 的重心，点P是 内一点，若 的取值范围是___________
解析：
31.在△ABC中，AB＝8，BC＝7，AC=3，以A为圆心，r=2为半径作一个圆，设PQ为圆A
的任意一条直径，记T＝ ,则T的最大值为．22
解析： 设 的夹角为 ，注意到由余弦定理知 ，故
32.如图，在ΔABC中， ， ， ，则 =____________
33.已知点O为△ABC内一点，且 ＋2 ＋3 ＝ ，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于_______________3:2:1
若 ，则 与 的夹角的余弦值等于_．
解析：39题类似， ，下面求
( =
= ，解方程得
39.如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，CA=CB=2，若 ，则 与 的夹角等于；
解析： 解题思路：在已知等式中，将不知模长的向量作替换转化。
与 的夹角 与 的夹角∵ ，
∴
而在等腰△ABC中，作底边的高CD，则在Rt△ACD中由已知边长可得 ，设 与 的夹角为 。
法2：对于某个固定的 ,到 的最大值显然可以趋向 ， 最小值呢？实际上就是当 为 外心时，此时 的最小值，因为当 不是外心时， 至少有一个会变大，这样 就变大.解得外心坐标为 ,要使得 最小，则圆与坐标轴相切，此时
26.已知 中， 为内心， ，则 的值为_________. ,
解析：延长 交 于点 ,则
解析：
19.等腰直角三角形 中， ， ， 是 边上的高， 为 的中点，点 分别为 边和 边上的点，且 关于直线 对称，当 时， ______3
解析：
20.如图在三角形ABC中，E为斜边AB的中点，CD⊥AB，AB＝1,
则 的最大值是
解析：
21.已知A，B，C是平面上不共线上三点，动点P满足 ,则P的轨迹一定通过 的______________重心
16.如图，在正方形 中， 为 的中点， 为以 为圆心、 为半径的圆弧上的任意一点，设向量 ，则 的最小值为
解析：坐标法解，
由 得 ，
，令 ， ，故 最小值为 ， 最小值为
17.已知 为边长为1的等边 所在平面内一点，且满足 ，则
=________3
解析：如图 ， =
18.已知向量M={ =(1,2)+(3,4)R}，N={ =(-2,2)+(4,5)R }，则MN=________
解析：设高为 ，则 显然成立
25.已知 为坐标原点， ， ， ， ，记 、 、 中的最大值为M，当 取遍一切实数时，M的取值范围是_____
解析：不妨设 ，即 ，此时 ,当 取遍一切实数时，点 在 轴上滑动，而到点 的距离等于到 轴距离的点的轨迹是以 为焦点， 轴为准线的抛物线，其方程为 ,它交直线 于点 ，显然此时 ，而 为 的垂足时 最小，即最小是
法一：延长OB,OC至B’,C’，使得 , ，则 为 重心，然后由面积计算；法二：建立坐标系，设A(0,0),C(c,0),B(a,b),O(x,y)，
34.已知A.B.C是△ABC的三个顶点， 为_________________三角形.直角三角形
解：注意到 ,故
35.平面上的向量 满足 ，且 ,若向量
解析：本题和8完全相同。数形结合，具体参见8
10.设 是夹角为 的两个单位向量，已知 ， ，若 是以 为直角顶点的直角三角形，则实数 取值的集合为_____________{1}
解析：画图解即可
11.如图放置的边长为1的正方形 的顶点 分别在 轴， 轴上正半轴上滑动，则 的最大值为________2
解析：建系，利用坐标法是可以得到 最准确的满足条件，如
，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，故满足
13.在平行四边形 已知 ，点 的中点，点 在 上运动（包括端点），则 的取值范围是
解析：分两种情形，结合图形分析。（1）当P在BC上时， ，则 ；同理，当P在CD上时，
14.在周长为16的 中， ，则 的取值范围是
解析：设重心为 ，
，故 三点共线
22.已知点O为 的外心，且 ,则 6
解析：
23.设 是 边 延长线上一点，记 ，若关于 的方程
在 上恰有两解，则实数 的取值范围是____
或
解析：令 则 在 上恰有一解，数形结合知 或 ，或者
又
所以 或
24. 是锐角 ABC所在平面内的一定点,动点P满足:
, ,则动点P的轨迹一定通过 ABC的______心内心
， ，所以 ，即 。设 与 的夹角为θ，则有 ，即3cosθ=2，所以
8.已知向量 , , 满足 , , .若对每一确定的 , 的最大值和最小值分别为 ,则对任意 , 的最小值是
解析：数形结合. , , ,
，点 在以 为直径的圆上运动， 就是 ，而 （ 共线时取等号）和9题相同.
9.已知向量a，b，c满足|a|=1，|a-b|=|b|，(a-c) (b-c)=0，若对每一个确定的b，|c|的最大值和最小值分别为m，n，则对于任意的向量b，m+n的最小值为_________．
，则 的最大值为___________
解析：两边平方后知 ，即 重合时.
36.已知在平面直角坐标系中， 满足0 的最大值为
解析：即已知 求 最大值问题，线性规划问题.
37、在△ 中，已知 ， ， ， 于 ， 为
的中点，若 ，则 .
解析： ，两边同数乘 得 ；两边同数乘 得
解方程组得
38.如图，在 和 中， 是 的中点， ， ，
解析：
12.给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为 。如图所示，点 在以 为圆心的圆弧 上变动，若 ，其中 ，则 的最大值是___2
解析：
【研究】如果要得到 满足的准确条件，则建系， 则
，则满足 ，且
【变题】给定两个长度为1且互相垂直的平面向量 和 ，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若 ，其中x、y R，则 的最大值为2
解析：
说明AD是BC边中垂线，得AB=AC
46.在 中， ， 是 内切圆圆心，设 是⊙ 外的三角形 区域内的动点，若 ，则点 所在区域的面积为
∴ ，
从而 ，又 ，∴ 。
40.如图，已知 的一条直角边 与等腰 的斜边 重合，若 ， ， ，
则 ＝.-1
解析： 两边分别同乘 分别得到
41.在 中，若 是其内一点，满足 ，求证： 为内心
证明：
，注意到 是单位向量，则 在角平分线上，同理可得 是内心.
42.已知向量 满足条件： ，且 =2，点P是 ABC内一动点，则 18.
解析：由重心性质知 ，下面用余弦定理即可求解
28.平面内两个非零向量 ，满足 ，且 与 的夹角为 ，则 的取值范围是_________
解析：数形结合。 利用正弦定理得， ，
29.在 中， ， 为 外接圆的圆心，则 ____
解析：
30.△ABC内接于以O为圆心的圆，且 ．则 ．135
解析： ，因 ，故 ， ，或者用消元的方法
，当 时取等号，故
；同时 ，当 时 ，故 ，
另法：本题可以得出P的轨迹是椭圆，得出椭圆方程然后设P坐标来解决
15.已知 且 ， 是钝角，若 的最小值为 ，则 的最小值是
解析： 共线，用几何图形解） 的最小值为 根据几何意义即为A到OB的距离，易得 ，要使 最小，则 ，利用面积法可求得
解析：
(其中 )
=
= ，则
5.已知 为 所在平面内一点，满足
，则点 是 的心垂心
解析：
，可知 ，其余同理
6.设点O是△ABC的外心，AB＝ ，AC＝ ， 则 · 的取值
范围
解析：
7.在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，
，若 ，则 与 的夹角的余弦值等于_____
解析：（2007全国联赛类似38.39题）因为 ，所以 ，即 。因为 ，
43.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若 ，则 的取值范围是（-1,0）
解析：设
，由于ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ共线
44.如图， ，点 在阴影区域内（不含边界），则
满足的条件是___________ ，
解析：设 与 交与点 ，
，
45.在△ABC中， ，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且 ，则 等于
1.在△ABC中，已知AB＝4，AC＝3，P是边BC的垂直平分线上的一点，则 ＝_____________
【答案】
解析：
2.已知 ，点 在 内， .
设 ，则 等于
【答案】3
[解析]：法一：建立坐标系，设 则由 得
而 故
法二： 两边同乘 或 得
两式相除得
3.在△ABC中，若 ，则边 的长等于
解析：
4.已知点G是 的重心，点P是 内一点，若 的取值范围是___________
解析：
31.在△ABC中，AB＝8，BC＝7，AC=3，以A为圆心，r=2为半径作一个圆，设PQ为圆A
的任意一条直径，记T＝ ,则T的最大值为．22
解析： 设 的夹角为 ，注意到由余弦定理知 ，故
32.如图，在ΔABC中， ， ， ，则 =____________
33.已知点O为△ABC内一点，且 ＋2 ＋3 ＝ ，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于_______________3:2:1
若 ，则 与 的夹角的余弦值等于_．
解析：39题类似， ，下面求
( =
= ，解方程得
39.如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，CA=CB=2，若 ，则 与 的夹角等于；
解析： 解题思路：在已知等式中，将不知模长的向量作替换转化。
与 的夹角 与 的夹角∵ ，
∴
而在等腰△ABC中，作底边的高CD，则在Rt△ACD中由已知边长可得 ，设 与 的夹角为 。
法2：对于某个固定的 ,到 的最大值显然可以趋向 ， 最小值呢？实际上就是当 为 外心时，此时 的最小值，因为当 不是外心时， 至少有一个会变大，这样 就变大.解得外心坐标为 ,要使得 最小，则圆与坐标轴相切，此时
26.已知 中， 为内心， ，则 的值为_________. ,
解析：延长 交 于点 ,则
解析：
19.等腰直角三角形 中， ， ， 是 边上的高， 为 的中点，点 分别为 边和 边上的点，且 关于直线 对称，当 时， ______3
解析：
20.如图在三角形ABC中，E为斜边AB的中点，CD⊥AB，AB＝1,
则 的最大值是
解析：
21.已知A，B，C是平面上不共线上三点，动点P满足 ,则P的轨迹一定通过 的______________重心
16.如图，在正方形 中， 为 的中点， 为以 为圆心、 为半径的圆弧上的任意一点，设向量 ，则 的最小值为
解析：坐标法解，
由 得 ，
，令 ， ，故 最小值为 ， 最小值为
17.已知 为边长为1的等边 所在平面内一点，且满足 ，则
=________3
解析：如图 ， =
18.已知向量M={ =(1,2)+(3,4)R}，N={ =(-2,2)+(4,5)R }，则MN=________
解析：设高为 ，则 显然成立
25.已知 为坐标原点， ， ， ， ，记 、 、 中的最大值为M，当 取遍一切实数时，M的取值范围是_____
解析：不妨设 ，即 ，此时 ,当 取遍一切实数时，点 在 轴上滑动，而到点 的距离等于到 轴距离的点的轨迹是以 为焦点， 轴为准线的抛物线，其方程为 ,它交直线 于点 ，显然此时 ，而 为 的垂足时 最小，即最小是
法一：延长OB,OC至B’,C’，使得 , ，则 为 重心，然后由面积计算；法二：建立坐标系，设A(0,0),C(c,0),B(a,b),O(x,y)，
34.已知A.B.C是△ABC的三个顶点， 为_________________三角形.直角三角形
解：注意到 ,故
35.平面上的向量 满足 ，且 ,若向量
解析：本题和8完全相同。数形结合，具体参见8
10.设 是夹角为 的两个单位向量，已知 ， ，若 是以 为直角顶点的直角三角形，则实数 取值的集合为_____________{1}
解析：画图解即可
11.如图放置的边长为1的正方形 的顶点 分别在 轴， 轴上正半轴上滑动，则 的最大值为________2
解析：建系，利用坐标法是可以得到 最准确的满足条件，如
，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，故满足
13.在平行四边形 已知 ，点 的中点，点 在 上运动（包括端点），则 的取值范围是
解析：分两种情形，结合图形分析。（1）当P在BC上时， ，则 ；同理，当P在CD上时，
14.在周长为16的 中， ，则 的取值范围是
解析：设重心为 ，
，故 三点共线
22.已知点O为 的外心，且 ,则 6
解析：
23.设 是 边 延长线上一点，记 ，若关于 的方程
在 上恰有两解，则实数 的取值范围是____
或
解析：令 则 在 上恰有一解，数形结合知 或 ，或者
又
所以 或
24. 是锐角 ABC所在平面内的一定点,动点P满足:
, ,则动点P的轨迹一定通过 ABC的______心内心
， ，所以 ，即 。设 与 的夹角为θ，则有 ，即3cosθ=2，所以
8.已知向量 , , 满足 , , .若对每一确定的 , 的最大值和最小值分别为 ,则对任意 , 的最小值是
解析：数形结合. , , ,
，点 在以 为直径的圆上运动， 就是 ，而 （ 共线时取等号）和9题相同.
9.已知向量a，b，c满足|a|=1，|a-b|=|b|，(a-c) (b-c)=0，若对每一个确定的b，|c|的最大值和最小值分别为m，n，则对于任意的向量b，m+n的最小值为_________．
，则 的最大值为___________
解析：两边平方后知 ，即 重合时.
36.已知在平面直角坐标系中， 满足0 的最大值为
解析：即已知 求 最大值问题，线性规划问题.
37、在△ 中，已知 ， ， ， 于 ， 为
的中点，若 ，则 .
解析： ，两边同数乘 得 ；两边同数乘 得
解方程组得
38.如图，在 和 中， 是 的中点， ， ，
解析：
12.给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为 。如图所示，点 在以 为圆心的圆弧 上变动，若 ，其中 ，则 的最大值是___2
解析：
【研究】如果要得到 满足的准确条件，则建系， 则
，则满足 ，且
【变题】给定两个长度为1且互相垂直的平面向量 和 ，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若 ，其中x、y R，则 的最大值为2
解析：
说明AD是BC边中垂线，得AB=AC
46.在 中， ， 是 内切圆圆心，设 是⊙ 外的三角形 区域内的动点，若 ，则点 所在区域的面积为
∴ ，
从而 ，又 ，∴ 。
40.如图，已知 的一条直角边 与等腰 的斜边 重合，若 ， ， ，
则 ＝.-1
解析： 两边分别同乘 分别得到
41.在 中，若 是其内一点，满足 ，求证： 为内心
证明：
，注意到 是单位向量，则 在角平分线上，同理可得 是内心.
42.已知向量 满足条件： ，且 =2，点P是 ABC内一动点，则 18.