高三基本不等式复习教学内容
基本不等式专题完整版(非常全面)教学内容
基本不等式专题辅导2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若 a,b R ,则 a b 2 ab3、基本不等式的两个重要变形 （1）若 a,b R *，则■ ab22 2 2a b c ab bc ca总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当a b 时取“=”a b特别说明：以上不等式中，当且仅当 a b 时取“=”6、柯西不等式 (1)若 a, b,c, d R ，则(a 2 b 2)(c 2 d 2) (ac bd)2(2) 若 a 1, a 2, a 3, bi, b 2, b 3 R ，则有：2 2 2 2 2 22(a 1 a 2a 3 )(柑b ?b 3 ) (aQ a ?b 2 a s b s )(3) 设a 1,a 2, ,a n 与db, ,b 是两组实数，则有a')®2 b 22 b/) (a^a 2b 2a nb n )2一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式(1)若 a, b R ，则 a 2 b 2 2ab (2)右 a, b R ，则 ab1、设a 'b 均为正数，证明不等式"b 门a b2、已知a,b,c 为两两不相等的实数，求证：(2)若 a, b R ,则 ab4、求最值的条件：“一正， 二定，三相等”5、常用结论1(1)若 x 0，则 x —2 （当且仅当 x 1时取“=”)x1 (2)若 x 0,则 X -2 （当且仅当 x1时取“=”)X(3)若 ab 0，则--2 （当且仅当ab 时取“=”)b a2 2(4)若 a, b R ，则 ab（旦 b)2 a b2 2(5)若 a, b R ，贝U1. a ab b a 2b 2v ------1 1 223、已知a b c 1，求证:4、已知 a,b,c R(1 a )(1 b)(1 c) 8abc5、已知 a,b,c R且a b c 1，求证：6、（2013年新课标H卷数学（理）选修4—5 :不等式选讲设a,b,c均为正数,且a b c 1,证明：(i) ab bc ca 13；（2 , 2 2a b c , n) 1.b c a7、（2013年江苏卷（数学）选修4— 5 :不等式选u讲已知a b 0,求证：2a3 b3 2ab2 a2b 题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域(1)y 3x 22x(2) y x(4 x)1(3) y x (x 0)x (4) y1x —(x 0)x题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）1、已知x 2，求函数y2x42x 4的最小值; 变式1 :已知x 2，求函数y2x42x 4的最小值; 变式2：已知x 2，求函数y2x42x 4的最大值;题型四：利用不等式求最值(二)(凑系数)1、当LI ，…一时，求y x(82x)的最大值;3、求函数y 2x 15 2x(- x -)的最大值;2 2(提示：平方，利用基本不等式)变式：求函数y . 4x 311 4x(3 x W)的最大值;4 43变式2：设0 x ，求函数y 4x(32x)的最大值。
第四节基本不等式课件高三数学一轮复习
基本不等式再理解:变形公式
ab a b (a 0,b 0) 2
和定积最大
积定和最小
2.利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当_x__＝__y__时，x＋y 有
_最___小___值是__2__p___．(简记：积定和最小)
(2)如果和 x ＋y 是定值 p，那么当且仅当_x_＝___y__时，xy 有
答案 (1)C (2)5＋2 6
某厂家拟定在 2018 年举行促销活动，经调查测算，该产 品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 m(m≥0)万 元满足 x＝3－m＋k 1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产 品的年销量只能是 1 万件．已知 2018 年生产该产品的固定投 入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家 将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍． (1)将 2018 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元 的函数；(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金) (2)厂家 2018 年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大？
制 50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小
时耗油
2＋ x2 360
升，司机的工资是每小时
14
元.
(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；
(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.
(1)y＝m(kx2＋9)＝m x
x＋9x
，x∈[1，10].
值，则 a＝________． (2)不等式 x2＋x<a＋b对任意 a，b∈(0，＋∞)恒成立，
高中数学《不等式》教案
高中数学《不等式》教案教学内容：不等式
教学目标：
1. 理解不等式的概念和性质。
2. 掌握不等式的解法和解集表示法。
3. 能够根据不等式的性质解决实际问题。
教学重点：
1. 掌握不等式的基本概念和性质。
2. 能够利用不等式解决实际问题。
教学难点：
1. 熟练掌握各种不等式的解法。
2. 能够根据实际问题建立并解决不等式。
教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入不等式的概念，并和等式做比较，引发学生思考。
二、讲解不等式的性质和解法（15分钟）
1. 讲解不等式的符号表示及性质。
2. 讲解不等式的解法，包括加减法、乘法、除法等。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 练习不等式的基本运算和解法。
2. 让学生在小组讨论中解决不等式问题。
四、实际问题应用（10分钟）
1. 列举一些实际问题，让学生通过建立不等式解决。
五、总结与展望（5分钟）
1. 总结不等式的性质和解法。
2. 展望下节课内容，讲解高级不等式的解法。
六、作业布置（5分钟）
1. 布置练习题，巩固不等式的知识。
教学板书：
不等式
1. 定义：比较两个数的大小关系的代数式。
2. 符号表示：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）。
3. 特性：加减法、乘除法性质。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对不等式的概念和性质有了初步了解，并能够熟练解决基本的不等式问题。
下一步可以引入更复杂的不等式，挑战学生的解题能力。
《高三数学总复习------基本不等式》教学设计
《高三数学总复习------基本不等式》教学设计一、教材的地位与作用本节课内容是在复习了不等关系与不等式性质基础上展开的，起着承上启下的作用，是解决函数最值问题和实际生活问题的一个重要工具。
二、 学情分析学生已经复习了不等式的一些知识以及平面解析几何的基本知识，因此，复习、巩固本节课内容不是很难，但是，学生在使用基本不等式解决最值问题时，往往会忽略了基本不等式使用的条件------一正、二定、三取等号，务必在教学中要重点解决。
三、 教学重难点1、 重点：基本不等式使用的条件。
2、 难点：利用基本不等式解决实际问题。
四、教学过程：（一）知识点回顾1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：___________. (2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号． 2．常用的几个重要不等式 (1)a 2＋b 2≥_____(a ，b ∈R)； (2)ab ____(a ＋b 2)2(a ，b ∈R)； (3)a 2＋b 22 _____(a ＋b 2)2(a ，b ∈R)； (4)b a ＋a b ≥____(a ，b 同号且不为零)．3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为______，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当______时，x ＋y 有______值是______.(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当______时，xy 有________（二）课前热身设计意图：回顾旧知，激发学生的学习兴趣。
（三）考点突破考点1 利用基本不等式求最值例1、跟踪训练1．(教材习题改编)函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( ) A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．已知x ，y ＞0，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为( ) A.14 B.18 C.12 D.116 3．(2011·高考上海卷)若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2＞2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b ＞2ab D.b a ＋a b ≥2 4．已知a ，b ∈(0，＋∞)，若ab ＝1，则a ＋b 的最小值为_______；若a ＋b ＝1，则ab 的最大值为________． 5．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，最大的一个矩形的面积为________．(1)已知x ＞1，求f (x )＝x ＋1x －1的最小 值； (2)已知0＜x ＜25，求y ＝2x －5x 2的最大值； (3)已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，求8x ＋2y 的最小值． 1．(1)已知x <0，则f (x )＝2＋4x＋x 的最大值为__________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2＋1的最大值为__________； (3)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值为考点2利用基本不等式解决实际问题例2、跟踪训练设计意图：通过基本不等式在例题中的应用，让学生进一步掌握基本不等式的内涵与外延，并通过跟踪训练，让学生熟练应用知识点解决最值问题和实际问题。
高考基本不等式求最值教案
高考基本不等式求最值教案一、教学目标1.理解基本不等式的定义和性质。
2.熟练掌握常见的基本不等式及其证明方法。
3.学会灵活运用基本不等式求解最值的方法。
二、教学内容1.基本不等式的概念和性质。
2.常见的基本不等式及其证明方法。
3.利用基本不等式求解最值问题。
三、教学步骤第一步：导入新知1.通过举例子或是提问的方式，引发学生对不等式最值问题的思考。
2.提出问题：如何通过基础不等式求解最值问题？第二步：学习基本不等式的定义和性质1.讲解基本不等式的定义和性质。
2.写出常见的基本不等式的形式，并讲解其证明方法。
第三步：实例分析1.分析并讲解一些常见的基础不等式的实例。
2.引导学生思考如何通过基础不等式求解最值问题。
第四步：练习和巩固1.教师出示一些基础不等式的练习题，可以分组抢答或是个人作答。
2.针对不同的题型，提供不同的解题思路和方法。
第五步：拓展1.提供一些拓展题目，要求学生通过灵活运用基础不等式来求解最值问题。
2.鼓励学生多思考、多尝试，加强解题的技巧和策略。
第六步：总结与归纳1.和学生一起总结基本不等式的性质和求最值的方法。
2.强调对基础不等式的熟练掌握和灵活运用的重要性。
四、教学重难点1.教学重点：基本不等式的定义和性质。
2.教学难点：灵活运用基本不等式求解最值问题。
五、教学方法1.演示法：通过例子的演示，引导学生掌握基本不等式的性质和求解最值的方法。
2.提问法：通过提问的方式，激发学生的思考和解题的兴趣。
六、教学工具1.教学PPT。
2.黑板、粉笔。
七、教学评价1.教师可以通过观察学生的课堂表现和解题情况来进行评价。
2.学生可以通过课堂练习和作业完成情况来进行自我评价。
通过以上教学设计，学生可以在课堂上系统地学习和巩固基本不等式的概念、性质和求解最值的方法。
在教学过程中，充分发挥学生的主体性，通过提问和解题活动，激发学生的思考和兴趣，确保学生能够真正理解和掌握基本不等式的相关知识，并能够熟练运用解题技巧解决最值问题。
高三一轮复习基本不等式及其应用的教学设计
高三数学一轮复习——基本不等式一、教学背景分析1.高考考纲要求：①理解基本不等式及成立条件②能应用基本不等式判断大小和求最值③应用基本不等式解决实际问题和综合问题二．教学目标1.知识与技能（1）通过本节课的学习，能掌握基本不等式并能理解等号成立的条件及几何意义（2）通过基本不等式的复习，能灵活比较大小、求有关最值等应用2.过程与方法（1）通过本节课的学习，能体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等（2）通过本节课的学习，能体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程（3）能体会例题的变式改变过程，达到灵活应用的能力3.情感态度与价值观（1）通过变式教学，逐步培养学生的探索研究精神（2）通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯（3）通过高考试题与教材例题对比教学，培养学生重视基础，勿好高骛远的习惯三．教学重难点:1．重点：正确应用基本不等式进行判断和计算。
2．难点：基本不等式的变形应用。
四、教学方法:以启发引导，探索发现为主导，讲解练习为主线，用一题多解，一题多变突出重点、突破难点，以综合应用提高分析解决问题的能力，培养创新能力。
五、教学过程（二）基本不等式的应用 (,0)a x b y a b x y 、已知=(,1),=(,-1)且⊥> 的最小值为__ 的最小值为__ 2y 的最小值为__ 的最小值为___ 12129,23,______.e e e y e 例3(月基础测试卷已知两单位向量的夹角为的取值范围是+=六、课后备注本堂课是在高三第一轮复习中关于“基本不等式”的一节复习课。
通过递进式的问题设置，让学生对基本不等式的掌握能达到灵活应用的程度。
第2节 基本不等式--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第二节基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2.(1)基本不等式成立的条件：01a >0，b >0．(2)等号成立的条件：当且仅当02a ＝b 时，等号成立．(3)其中03a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，04ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 205≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋ab 06≥2(a ，b同号)．(3)(a ，b ∈R )．(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为09a ＝b ．3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当10x ＝y 时，和x ＋y 有最小值112P ．(简记：积定和最小)(2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当12x ＝y 时，积xy 有最大值1314S 2．(简记：和定积最大)注意：(1)利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”，其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．(2)形如y ＝x ＋ax (a >0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．1．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件要一致．2．若a >0，b >0，则21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．常见求最值的模型模型一：mx ＋nx≥2mn (m >0，n >0，x >0)，当且仅当x ＝nm时，等号成立；模型二：mx ＋n x －a ＝m (x －a )＋nx －a ＋ma ≥2mn ＋ma (m >0，n >0，x >a )，当且仅当x －a ＝n m时，等号成立；模型三：xax 2＋bx ＋c ＝1ax ＋b ＋c x ≤12ac ＋b(a >0，c >0，x >0)，当且仅当x ＝ca时，等号成立；模型四：x (n －mx )＝mx (n －mx )m ≤1m ·>0，n >0，0<x 当且仅当x ＝n 2m时，等号成立．4．三个正数的均值不等式：若a ，b ，c >0，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝x ＋1x 的最小值是2.()(2)|b a ＋a b |≥2.()(3)已知0<x <12，则x (1－2x )的最大值为18.()(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．小题热身(1)设a ＞0，则9a ＋1a 的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．7答案C 解析9a ＋1a≥29a ·1a ＝6，当且仅当9a ＝1a ，即a ＝13时，等号成立．(2)矩形两边长分别为a ，b ，且a ＋2b ＝6，则矩形面积的最大值是()A ．4 B.92C.322D ．2答案B解析依题意，可得a ＞0，b ＞0，则6＝a ＋2b ≥2a ·2b ＝22·ab ，当且仅当a ＝2b 时取等号，所以ab ≤628＝92，即矩形面积的最大值为92.故选B.(3)(2024·河南郑州高三模拟)已知实数a >0，b >0，a ＋b ＝2，则1a ＋ab 的最小值为________．答案12＋2解析1a ＋a b ＝12×a ＋b a ＋a b ＝12＋b 2a ＋a b ≥12＋2b 2a ·a b ＝12＋2，当且仅当b 2a ＝ab，即a ＝22－2，b ＝4－22时，等号成立．(4)(人教A 必修第一册习题2.2T1(2)改编)函数y ＝x (3－2x )(0≤x ≤1)的最大值是________．答案98解析因为0≤x ≤1，所以3－2x ＞0，所以y ＝12·2x ·(3－2x )≤122x ＋(3－2x )22＝98，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号．(5)(人教A 必修第一册复习参考题2T5改编)已知a ，b >0，且ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________．答案[9，＋∞)解析因为a，b>0，所以ab－3＝a＋b≥2ab，于是ab－2ab－3≥0，解得ab≤－1(舍去)或ab≥3，所以ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的取值范围是[9，＋∞)．考点探究——提素养考点一利用基本不等式求最值(多考向探究)考向1配凑法求最值例1(1)(2024·福建福州四校高三期中联考)已知0<x<2，则y＝x4－x2的最大值为() A．2B．4C．5D．6答案A解析因为0<x<2，所以y＝x4－x2＝x2(4－x2)≤x2＋(4－x2)2＝2，当且仅当x2＝4－x2，即x＝2时，等号成立，即y＝x4－x2的最大值为2.故选A.(2)函数y＝x2＋3x＋3x＋1(x<－1)的最大值为()A．3B．2C．1D．－1答案D解析y＝x2＋3x＋3x＋1＝(x＋1)2＋(x＋1)＋1x＋1＝－－(x＋1)＋1－(x＋1)＋1≤－1＝－1，当且仅当x＋1＝1x＋1＝－1，即x＝－2时，等号成立．故选D.【通性通法】配凑法求最值的关键点【巩固迁移】1．函数y ＝3x ()A ．8B ．7C ．6D ．5答案D解析因为x >13，所以3x －1>0，所以y ＝3x ＋43x －1＝(3x －1)＋43x －1＋1≥2(3x －1)·43x －1＋1＝5，当且仅当3x －1＝43x －1，即x ＝1时，等号成立，故函数y ＝3x 值为5.故选D.2．(2023·浙江杭州高三教学质量检测)已知a >1，b >1，且log 2a ＝log b 4，则ab 的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．32答案C解析∵log 2a ＝log b 4，∴12log 2a ＝log b 4，即log 2a ＝2log 24log 2b ，∴log 2a ·log 2b ＝4.∵a >1，b >1，∴log 2a >0，log 2b >0，∴log 2(ab )＝log 2a ＋log 2b ≥2log 2a ·log 2b ＝4，当且仅当log 2a ＝log 2b ＝2，即a ＝b ＝4时取等号，所以ab ≥24＝16，当且仅当a ＝b ＝4时取等号，故ab 的最小值为16.故选C.考向2常数代换法求最值例2(1)已知0<x <1，则9x ＋161－x 的最小值为()A ．50B ．49C ．25D ．7答案B解析因为0<x <1，所以9x ＋161－x ＝(x ＋1－x )25＋9(1－x )x＋16x 1－x ≥25＋29(1－x )x ·16x 1－x ＝49，当且仅当9(1－x )x＝16x 1－x ，即x ＝37时，等号成立，所以9x ＋161－x 的最小值为49.故选B.(2)已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则1a ＋1b 的最小值为()A.223B.233C ．1＋223D ．1＋233答案C解析因为a ＋2b ＝3，所以13a ＋23b ＝1，＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b 3a≥1＋2a 3b ·2b3a＝1＋223，当且仅当a 3b ＝2b3a ，即a ＝3(2－1)，b ＝3(2－2)2时，等号成立．故选C.【通性通法】常数代换法求最值的基本步骤【巩固迁移】3．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＝9，则－1x －4y 的最大值是()A.6＋429B ．－6＋429C ．6＋42D ．－6－42答案B解析因为1x ＋4y ＝19x ＋y )＋y x ＋8x y＋6＋429，当且仅当y x ＝8xy ，即x ＝9(2－1)2，y ＝9(2－2)时，等号成立，所以－1x －4y ≤－6＋429.故选B.4．(2024·湖北荆门三校高三联考)已知实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝lg (a ＋2b )，则2a ＋b 的最小值是()A ．5B ．9C ．13D ．18答案B解析由lg a ＋lg b ＝lg (a ＋2b )，可得lg (ab )＝lg (a ＋2b )，所以ab ＝a ＋2b ，即2a ＋1b ＝1，且a >0，b >0，则2a ＋b ＝(2a ＋b 5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ·2a b ＝9，当且仅当2b a ＝2ab，即a ＝b ＝3时，等号成立，所以2a ＋b 的最小值为9.故选B.考向3消元法、换元法求最值例3(1)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是()A.14B.45C.255D ．2答案B解析因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以x 2＝1－y 45y 2，又x 2≥0，所以y 2∈(0，1]，所以x 2＋y 2＝y 2＋1－y 45y2＝4y 4＋15y 2＝y 2≥15×24y 2·1y 2＝45，当且仅当4y 2＝1y 2，即y 2＝12，x 2＝310时取等号，所以x 2＋y 2的最小值是45.故选B.(2)(2024·浙江嘉兴第一中学高三期中)若x >0，y >0，且1x ＋1＋1x ＋2y＝1，则2x ＋y 的最小值为()A ．2B ．23C.12＋3D ．4＋23答案C解析设x ＋1＝a ，x ＋2y ＝b ，则x ＝a －1，y ＝b －a ＋12，且a >0，b >0，则1a ＋1b ＝1，2x ＋y＝2(a －1)＋b －a ＋12＝3a ＋b 2－32，而3a ＋b ＝(3a ＋b 4＋3a b ＋ba ≥4＋23a b ·ba＝4＋23，当且仅当3a b ＝ba ，即a ＝3＋33，b ＝3＋1时，等号成立，则2x ＋y ≥4＋232－32＝12＋ 3.故选C.【通性通法】当所求最值的代数式中变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值．【巩固迁移】5．(2023·江苏南京高三调研)设a ≥0，b ≥0，且2a ＋b ＝1，则ab 的最小值为__________．答案解析因为2a ＋b ＝1，所以a ＝(b －1)24，所以a b ＝(b －1)24b＝b 4＋14b －12≥2b 4·14b－12＝0，当且仅当a ＝0，b ＝1时取等号．6．(2024·湖北襄阳五中高三质量检测)若正数a ，b 满足2a ＋b ＝1，则a 2－2a ＋b2－b的最小值是________．答案223－12解析设u ＝2－2a ，v ＝2－b ，则a ＝2－u 2，b ＝2－v ，则u ＋v ＝3(u >0，v >0)，所以a 2－2a ＋b2－b＝1－12u u＋2－v v ＝1u ＋2v －32＝13(u ＋v 32＋v u ＋－32＋321＋223－32＝223－12，当且仅当v ＝6－32，u ＝32－3时，等号成立，所以a 2－2a ＋b 2－b 的最小值为223－12.考向4“和”“积”互化求最值例4(多选)设a >1，b >1，且ab －(a ＋b )＝1，那么()A ．a ＋b 有最小值22＋2B ．a ＋b 有最大值22－2C ．ab 有最大值3－22D ．ab 有最小值3＋22答案AD解析∵a >1，b >1，∴ab －1＝a ＋b ≥2ab ，当a ＝b 时取等号，即ab －2ab －1≥0，解得ab ≥2＋1，∴ab ≥(2＋1)2＝3＋22，∴ab 有最小值3＋2 2.又ab ，当a ＝b 时取等号，∴1＝ab －(a ＋b )－(a ＋b )，即(a ＋b )2－4(a ＋b )≥4，则[(a ＋b )－2]2≥8，解得a ＋b －2≥22，即a ＋b ≥22＋2，∴a ＋b 有最小值22＋2.故选AD.【通性通法】“和”“积”互化求最值的方法(1)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值．(2)如果条件中含有两个变量的和与积的形式，可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解，或者通过构造一元二次方程，利用根的分布解决问题．【巩固迁移】7．正实数x ，y 满足4x 2＋y 2＋xy ＝1，则xy 的最大值为________，2x ＋y 的最大值为________．答案152105解析∵1－xy ＝4x 2＋y 2≥4xy ，∴5xy ≤1，∴xy ≤15，当且仅当y ＝2x ，即x ＝1010，y ＝105时取等号．∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，∴(2x ＋y )2－1＝3xy ＝32·2x ·y，即(2x ＋y )2－1≤38(2x ＋y )2，∴(2x ＋y )2≤85，∴2x ＋y ≤2105，当且仅当2x ＝y ，即x ＝1010，y＝105时取等号．考点二基本不等式的综合应用例5(2024·河南濮阳外国语学校模拟)若对任意正数x ，不等式2x 2＋4≤2a ＋1x恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．[0，＋∞) B.－14，＋∞C.14，＋∞ D.12，＋∞答案B解析依题意得，当x >0时，2a ＋1≥2x x 2＋4＝2x ＋4x恒成立，又x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号，所以2x ＋4x 的最大值为12，所以2a ＋1≥12，解得实数a 的取值范围为－14，＋故选B.【通性通法】1．利用基本不等式求参数的值或范围时，要观察题目的特点，先确定是恒成立问题还是有解问题，再利用基本不等式确定等号成立的条件，最后通过解不等式(组)得到参数的值或范围．2．当基本不等式与其他知识相结合时，往往是为其他知识提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．【巩固迁移】8．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则△ABC 面积的最大值是()A ．6B ．12C ．18D ．24答案A解析设AB ＝AC ＝2m ，BC ＝2n ，因为∠ADB ＝π－∠CDB ，所以m 2＋9－4m 26m ＝－m 2＋9－4n 26m，整理得m 2＝9－2n 2.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12BC ＝12×2n ×4m 2－n 2＝3n 4－n 2＝3n 2(4－n 2)≤3×n 2＋4－n 22＝6，当且仅当n ＝2时，等号成立．故选A.考点三基本不等式的实际应用例6网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x (万件)与投入实体店体验安装的费用t (万元)之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元．答案37.5解析由题意知t ＝23－x－1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－16(3－x )＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元．【通性通法】利用基本不等式解决实际应用问题的技巧【巩固迁移】9．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．若顾客实际购得的黄金为m g ，则()A ．m >10B ．m ＝10C ．m <10D ．以上都有可能答案A解析由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a ，右臂长为b ，则a ≠b ，设先称得黄金为xg ，后称得黄金为y g ，则bx ＝5a ，ay ＝5b ，∴x ＝5a b ，y ＝5b a ，∴x ＋y ＝5a b ＋5ba＝5×2a b ·b a ＝10，当且仅当a b ＝ba，即a ＝b 时，等号成立，但a ≠b ，等号不成立，即x ＋y >10.因此顾客实际购得的黄金克数m >10.故选A.课时作业一、单项选择题1．当x ＜0时，函数y ＝x ＋4x ()A ．有最大值－4B ．有最小值－4C ．有最大值4D ．有最小值4答案A解析y ＝x ＋4x＝－(－x )－4，当且仅当x ＝－2时，等号成立．故选A.2．(2023·陕西咸阳高三模拟)已知x >0，y >0，若2x ＋y ＝8xy ，则xy 的最小值是()A.18B.14C.24D.22答案A解析因为2x ＋y ≥22xy ，所以8xy ≥22xy ，解得xy ≥18，当且仅当2x ＝y ，即x ＝14，y ＝12时，等号成立．故选A.3．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为()A ．13B ．12C ．9D ．6答案C解析由椭圆的定义可知，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝6.由基本不等式可得|MF 1|·|MF 2|＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时，等号成立．故选C.4．(2024·浙江绍兴第一中学高三期中)已知直线ax ＋by －1＝0(ab >0)过圆(x －1)2＋(y －2)2＝2024的圆心，则1a ＋1b 的最小值为()A ．3＋22B ．3－22C ．6D ．9答案A解析由圆的方程知，圆心为(1，2)．∵直线ax ＋by －1＝0(ab >0)过圆的圆心，∴a ＋2b ＝1(ab >0)，∴1a ＋1b ＝(a ＋2b )＝3＋a b ＋2ba≥3＋2a b ·2b a＝3＋当且仅当a b ＝2ba，即a ＝2b ，∴1a ＋1b的最小值为3＋2 2.故选A.5．(2023·湖南五市十校联考)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是()A ．第一种方案更划算B ．第二种方案更划算C ．两种方案一样D ．无法确定答案B解析设小李这两次加油的油价分别为x 元/升、y 元/升(x ≠y )，则第一种方案：两次加油的平均价格为40x ＋40y 80＝x ＋y 2>xy ，第二种方案：两次加油的平均价格为400200x ＋200y ＝2xyx ＋y <xy ，故无论油价如何起伏，第二种方案都比第一种方案更划算．故选B.6．(2023·浙江杭州调研)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为()A ．4 B.92C.2D ．22答案D 解析由m 2－amn ＋2n 2≥0得m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn＝m n ＋2n m 恒成立，因为m n ＋2nm≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2nm，即m ＝2n 时取等号，所以a ≤22，故实数a 的最大值为2 2.故选D.7．(2024·浙江名校协作体高三模拟)设x ，y 为正实数，若2x ＋y ＋2xy ＝54，则2x ＋y 的最小值是()A ．4B ．3C ．2D ．1答案D解析因为x ，y 为正实数，且54＝2x ＋y ＋2xy ＝(2x ＋1)(y ＋1)－1，令m ＝2x ＋1，n ＝y ＋1，则mn ＝94，所以2x ＋y ＝m ＋n －2≥2mn －2＝1，当且仅当m ＝n ，即y ＝12，x ＝14时取等号．故选D.8．(2024·湖北襄阳第四中学高三适应性考试)若a ，b ，c 均为正数，且满足a 2＋2ab ＋3ac ＋6bc ＝1，则2a ＋2b ＋3c 的最小值是()A ．2B ．1C.2D ．22答案A解析因为a 2＋2ab ＋3ac ＋6bc ＝1，所以a (a ＋2b )＋3c (a ＋2b )＝(a ＋2b )(a ＋3c )＝1，又a ，b ，c 均为正数，(a ＋2b )(a ＋3c )＝(2a ＋2b ＋3c )24，当且仅当a ＋2b ＝a ＋3c ＝1时取等号，所以(2a＋2b＋3c)24≥1，即2a＋2b＋3c≥2.故选A.二、多项选择题9．下列四个函数中，最小值为2的是()A．y＝sin xxB．y＝ln x＋1ln x(x＞0，x≠1)C．y＝x2＋6 x2＋5D．y＝4x＋4－x 答案AD解析对于A，因为0＜x≤π2，所以0＜sin x≤1，则y＝sin x＋1sin x≥2，当且仅当sin x＝1sin x，即sin x＝1时取等号，故y＝sin x x2，符合题意；对于B，当0＜x＜1时，ln x＜0，此时y＝ln x＋1ln x为负值，无最小值，不符合题意；对于C，y＝x2＋6x2＋5＝x2＋5＋1x2＋5，设t＝x2＋5，则t≥5，则y≥5＋15＝655，其最小值不是2，不符合题意；对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋14x≥24x·14x＝2，当且仅当x＝0时取等号，故y＝4x＋4－x的最小值为2，符合题意．故选AD.10．(2024·湖北部分名校高三适应性考试)已知正实数a，b满足ab＋a＋b＝8，下列说法正确的是()A．ab的最大值为2B．a＋b的最小值为4C．a＋2b的最小值为62－3D.1a(b＋1)＋1b的最小值为12答案BCD解析对于A，因为ab＋a＋b＝8≥ab＋2ab，即(ab)2＋2ab－8≤0，解得0<ab≤2，则ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故A错误；对于B，ab＋a＋b＝8≤(a＋b)24＋(a＋b)，即(a＋b)2＋4(a＋b)－32≥0，解得a＋b≤－8(舍去)，a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故B正确；对于C，由题意可得b(a＋1)＝8－a，所以b＝8－aa＋1>0，解得0<a<8，a＋2b＝a＋2·8－a a ＋1＝a ＋18a ＋1－2＝a ＋1＋18a ＋1－3≥2(a ＋1)·18a ＋1－3＝62－3，当且仅当a ＋1＝18a ＋1，即a ＝32－1时取等号，故C 正确；对于D ，因为1a (b ＋1)＋1b ＝181a (b ＋1)＋1b [a (b ＋1)＋b ]＝182＋b a (b ＋1)＋a (b ＋1)b ≥18＋2)＝12，当且仅当b a (b ＋1)＝a (b ＋1)b ，即b ＝4，a ＝45时取等号，故D 正确，故选BCD.11．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则()A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D.a ＋b ≤2答案ABD解析对于A ，a 2＋b 2＝a 2＋(1－a )2＝2a 2－2a ＋1＝＋12≥12，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a －b ＝2a －1>－1，所以2a －b >2－1＝12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log＝log 214＝－2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为(a ＋b )2＝1＋2ab ≤1＋a ＋b ＝2，所以a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故D 正确．故选ABD.三、填空题12．(2023·山东滨州三校联考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________．答案3解析当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.13．(2024·河北衡水中学高三第三次综合素养评价)已知实数a >b >1，满足a ＋1a －1≥b ＋1b －1，则a ＋4b 的最小值是________．答案9解析由已知条件，得a －b ≥1b －1－1a －1＝(a －1)－(b －1)(b －1)(a －1)＝a －b (b －1)(a －1)，∵a －b >0，∴1≥1(b －1)(a －1)，又a －1>0，b －1>0，∴(b －1)(a －1)≥1，∴a ＋4b ＝(a －1)＋4(b －1)＋5≥2(a －1)·4(b －1)＋5＝9，－1＝4(b －1)，－1)(a －1)＝1，＝3，＝32时，等号成立．14．(2023·湖北荆宜三校高三模拟)已知正数a ，b 满足a ＋3b ＋3a ＋4b ＝18，则a ＋3b 的最大值是________．答案9＋36解析设t ＝a ＋3b ，则3a ＋4b ＝18－t ，所以t (18－t )＝(a ＋3b 15＋9b a ＋4ab≥15＋29b a ·4ab＝27，当且仅当2a ＝3b 时取等号．所以t 2－18t ＋27≤0，解得9－36≤t ≤9＋36，即a ＋3b 的最大值是9＋36，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝3＋6，b ＝2＋263时取等号．15．(2024·浙江名校联盟高三上学期第一次联考)已知正实数x ，y 满足1x ＋4y ＋4＝x ＋y ，则x＋y 的最小值为()A.13－2B ．2C ．2＋13D ．2＋14答案C解析因为正实数x ，y 满足1x ＋4y＋4＝x ＋y ，等式两边同乘以x ＋y ，可得(x ＋y )2＝4(x ＋y )＋5＋y x ＋4xy≥4(x ＋y )＋5＋2y x ·4xy ＝4(x ＋y )＋9，所以(x ＋y )2－4(x ＋y )－9≥0，因为x ＋y >0，所以x ＋y ≥2＋13，当且仅当y ＝2x 时，等号成立．因此x ＋y 的最小值为2＋13.故选C.16．已知点E 是△ABC 的中线BD 上的一点(不包括端点)，若AE →＝xAB →＋yAC →，则2x ＋1y 的最小值为()A ．4B ．6C ．8D ．9答案C解析设BE →＝λBD →(0<λ<1)，∵AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBD →＝AB →＋λ(AD →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →，∴x ＝1－λ，y ＝λ2(x >0，y >0)，∴2x ＋1y ＝21－λ＋2λ＝－λ)＋λ]＝4＋2λ1－λ＋2(1－λ)λ≥4＋22λ1－λ·2(1－λ)λ＝8，当且仅当2λ1－λ＝2(1－λ)λ，即λ＝12时取等号，故2x ＋1y 的最小值为8.故选C.17．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A ．x ＋y ≤1B ．x ＋y ≥－2C ．x 2＋y 2≤2D ．x 2＋y 2≥1答案BC解析由x 2＋y 2－xy ＝1得(x ＋y )2－1＝3xy ≤，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当且仅当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确；由x 2＋y 2－xy ＝1得x 2＋y 2－1＝xy ，又x 2＋y 2≥2x 2·y2＝2|xy |，所以|x 2＋y 2－1|≤x2＋y 22即－x 2＋y 22≤x 2＋y 2－1≤x 2＋y 22，所以23≤x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时，x 2＋y 2＝2，当x ＝33，y ＝－33或x ＝－33，y ＝33时，x 2＋y 2＝23，所以C 正确，D 错误．故选BC.18．(多选)(2024·湖北襄阳第五中学高三月考)若a >b >0，且a ＋b ＝1，则()A ．2a ＋2b ≥22B ．2a ＋ab ≥2＋22C ．(a 2＋1)(b 2＋1)<32D ．a 2a ＋2＋b 2b ＋1≥14答案BD解析因为a >b >0，且a ＋b ＝1，所以0<b <12，12<a <1.对于A ，因为2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b＝22，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，但a >b >0，所以等号取不到，故A 错误；对于B ，因为b a >0，a b >0，由基本不等式，得2a ＋a b ＝2a ＋2b a ＋a b ＝2＋2b a ＋a b ≥2＋22b a ·ab＝2＋22，当且仅当2b a ＝a b ，即a ＝2－2，b ＝2－1时，等号成立，所以2a ＋ab≥2＋22，故B 正确；对于C ，因为a ＋b ＝1，所以(a 2＋1)(b 2＋1)＝a 2b 2＋a 2＋b 2＋1＝a 2b 2＋(a ＋b )2－2ab ＋1＝a 2b 2－2ab ＋2＝(ab －1)2＋1，其中ab ≤(a ＋b )24＝14，当且仅当a ＝b 时取等号，但a >b >0，所以等号取不到，所以0<ab <14，(a 2＋1)(b 2＋1)＝(ab －1)2＋1故C 错误；对于D ，a 2a ＋2＋b 2b ＋1＝[(a ＋2)－2]2a ＋2＋[(b ＋1)－1]2b ＋1＝(a ＋2)＋4a ＋2－4＋(b ＋1)＋1b ＋1－2＝4a ＋2＋1b ＋1－2，因为a ＋b＝1，所以a ＋2＋b ＋1＝4，故a ＋24＋b ＋14＝1，所以4a ＋2＋1b ＋1＝＝1＋14＋b ＋1a ＋2＋a ＋24(b ＋1)≥54＋2b ＋1a ＋2·a ＋24(b ＋1)＝94，当且仅当b ＋1a ＋2＝a ＋24(b ＋1)，即a ＝23，b ＝13时，等号成立，所以a 2a ＋2＋b 2b ＋1＝4a ＋2＋1b ＋1－2≥94－2＝14，故D 正确．故选BD.19．(2024·湖北百校高三联考)已知正数x ，y 满足3x ＋4y ＝4，则y是________．答案1解析因为x ，y 是正数，所以＝y xy ＋3＋y 2xy ＋1＝1x ＋3y ＋12x ＋1y，且x ＋3y ＋2x ＋1y ＝3x ＋4y ＝4，所以y＝14＋3y ＋2x·＝＋2x ＋1y x ＋3y ＋≥14×(2＋2)＝1，当且仅当2x ＋1y x ＋3y ＝x ＋3y 2x ＋1y，即x ＝45，y ＝52，等号成立，所以y 1.20．(2023·广东深圳高三二模)足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的底线宽AB ＝72码，球门宽EF ＝8码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P ，使得∠EPF 最大，这时候点P 就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O 处(OA ＝AB ，OA ⊥AB )时，根据场上形势判断，有OA →，OB →两条进攻线路可供选择．若选择线路OA →，则甲带球________码时，到达最佳射门位置；若选择线路OB →，则甲带球________码时，到达最佳射门位置．答案72－165722－165解析若选择线路OA →，设AP ＝t ，其中0<t ≤72，AE ＝32，AF ＝32＋8＝40，则tan ∠APE ＝AEAP＝32t ，tan ∠APF ＝AF AP ＝40t ，所以tan ∠EPF ＝tan(∠APF －∠APE )＝tan ∠APF －tan ∠APE 1＋tan ∠APF tan ∠APE＝40t －32t 1＋1280t 2＝8t 1＋1280t2＝8t ＋1280t ≤82t ·1280t ＝520，当且仅当t ＝1280t ，即t ＝165时，等号成立，此时OP ＝OA －AP ＝72－165，所以若选择线路OA →，则甲带球72－165码时，到达最佳射门位置；若选择线路OB →，以线段EF 的中点N 为坐标原点，BA →，AO →的方向分别为x ，y 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B (－36，0)，O (36，72)，F (－4，0)，E (4，0)，k OB ＝7236＋36＝1，直线OB 的方程为y ＝x ＋36，设点P (x ，x ＋36)，其中－36<x ≤36，tan ∠AFP ＝k PF ＝x ＋36x ＋4，tan ∠AEP ＝k PE ＝x ＋36x －4，所以tan ∠EPF ＝tan(∠AEP －∠AFP )＝tan ∠AEP －tan ∠AFP1＋tan ∠AEP tan ∠AFP＝x ＋36x －4－x ＋36x ＋41＋x ＋36x －4·x ＋36x ＋4＝8(x ＋36)x 2－161＋(x ＋36)2x 2－16＝8(x ＋36)＋x 2－16x ＋36，令m ＝x ＋36∈(0，72]，则x ＝m －36，所以x ＋36＋x 2－16x ＋36＝m ＋(m －36)2－16m ＝2m ＋1280m －72≥22m ·1280m72＝3210－72，当且仅当2m ＝1280m，即m ＝810，即x ＝810－36时，等号成立，所以tan ∠EPF ＝82m＋1280m－72≤83210－72＝1410－9，当且仅当x＝810－36时，等号成立，此时|OP|＝2·|36－(810－36)|＝722－165，所以若选择线路OB→，则甲带球722－165码时，到达最佳射门位置．。
高三数学总复习 不等式基本性质教案
第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
总第（2）课时课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
高三数学总复习 不等式基本性质教案
湖南师范大学附属中学高三数学总复习教案：不等式基本性质教材：不等式基本性质（续完）目的：继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。
过程： 一、复习：不等式的基本概念，充要条件，基本性质1、2二、1．性质3：如果b a >，那么c b c a +>+ （加法单调性）反之亦然 证：∵0)()(>-=+-+b a c b c a ∴c b c a +>+从而可得移项法则：b c a b c b b a c b a ->⇒-+>-++⇒>+)()(推论：如果b a >且d c >，那么d b c a +>+ （相加法则）证：d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒> 推论：如果b a >且d c <，那么d b c a ->- （相减法则）证：∵d c < ∴d c ->- d b c a dc b a ->-⇒⎩⎨⎧->->或证：)()()()(d c b a d b c a ---=---d c ba <> ⇒⎭⎬⎫<-∴>-∴00d c b a 上式>0 ……… 2．性质4：如果b a >且0>c , 那么bc ac >；如果b a >且0<c 那么bc ac < （乘法单调性）证：c b a bc ac )(-=- ∵b a > ∴0>-b a根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：0>c 时0)(>-c b a 即：bc ac >0<c 时0)(<-c b a 即：bc ac <推论1 如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >（相乘法则）证：bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0, 推论1’（补充）如果0>>b a 且d c <<0，那么d b c a >（相除法则） 证：∵0>>c d ∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>>>0011b a d c d b c a >推论2 如果0>>b a , 那么n n b a > )1(>∈n N n 且3．性质5：如果0>>b a ，那么n n b a > )1(>∈n N n 且 证：（反证法）假设n n b a ≤ 则：若b a b a b a b a n n n n=⇒=<⇒<这都与b a >矛盾 ∴nn b a >三、小结：五个性质及其推论口答P8 练习1、2 习题6.1 4四、作业 P8 练习3 习题6.1 5、6五、供选用的例题（或作业）1．已知0>>b a ，0<<d c ，0<e ，求证：d b ec a e->- 证：⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-<-⇒>-<-⇒⎭⎬⎫<<>>011000e d b c a d b c a d c b a db ec a e ->-2．若R b a ∈,，求不等式b a b a 11,>>同时成立的条件 解：00011<⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-⇒>>-=-ab a b b a ab ab b a3．设R c b a ∈,,，0,0<=++abc c b a 求证0111>++c b a证：∵0=++c b a ∴222c b a ++0222=+++bc ac ab 又∵0≠abc ∴222c b a ++>0 ∴0<++bc ac ab ∵abc cabc ab c b a ++=++1110<abc ∴0<++bc ac ab ∴0111>++c b a4．||||,0b a ab >> 比较a 1与b 1的大小 解：a 1b 1ab ab -= 当0,0>>b a 时∵||||b a >即b a > 0<-a b 0>ab ∴0<-ab ab ∴a 1<b 1当0,0<<b a 时∵||||b a >即b a <0>-a b 0>ab ∴0>-ab a b ∴a 1>b 1 5．若0,>b a 求证：a b a b >⇔>1 解：01>-=-aa b a b ∵0>a ∴0>-a b ∴b a < 0>-⇒>a b a b ∵0>a ∴01>-=-a b a a b ∴1>ab 6．若0,0<<>>dc b a 求证：db c a ->-ππααsin sin log log 证：∵1sin 0<<α >1 ∴0log sin <πα又∵0,0>->->>d c b a ∴d b c a ->- ∴d b c a -<-11 ∴原式成立。
基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习
解析：选B.任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油
+
+
价为元/升，第一种方案的均价：
=
≥ ；第二种方案的
均价： =
≤ .所以无论油价如何变化，第二种都更划算.故
+
+
��
选B.
2.设等差数列{ }的公差为,其前项和是 ,若 = =
+
− +
+
+
= + ，即 =
=
+
+
，
−
+
<<
，
+ − ≥ − = ，当
= 时，取等号，故 + 的最小值为2.
方法三：因为 + + = ，所以 + + = ，所以
+ 取得最小值
⑧_____.
记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小.
1.
+ ≥ （,同号）.
+
2. ≤
+
3.
4.
≥
+
, ∈ .
+
≥
+
≥
, ∈ .
> , > .
1.函数 =
+
+ + ，
+ + − ≥ ，即
+ + + − ≥ ，解得 + ≥ ，
基本不等式复习课
基本不等式（复习课）吴红考纲要求：1、了解基本不等式的证明过程2、会用基本不等式解决简单的最值问题考情分析：1、从内容上看本节，本节重点考查基本不等式的常规问题，即求最值问题。
2、从考查形式上看，单纯对基本不等式的命题，主要表现在选择题和填空题中，在解答题中参与函数、三角结合，难度适中。
3、从能力要求上看，要求学生具备较高的转化能力，具备将特殊问题转化为常规问题的能力。
教学目标与知识目标：1、了解基本不等式的证明过程。
2、会用基本不等式解决简单的最值问题。
重点：利用基本不等式求最值问题。
难点：配凑后用不等式的条件，一正二定三相等。
教学过程：一．基础知识 一、基本不等式2b a ab +≤ 1、基本不等成立的条件：a>0,b>02、等号成立的条件：当且仅当a=b 时取等式。
二、几个重要不等式 ()1ab b a 222≥+（a ∈R,b ∈R)(2)ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a )(a ∈R,b ∈R (3)()02>≥+ab b a a b (4)22222b a b a +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+(a ∈R,b ∈R) 三、算术平均数与几何平均数设a>0,b>0,则a 、b 的算术平均为2b a +，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算述平均数不小于它们的几何平均数四、利用基本不等式求最值问题已知x>0、y>0，则：（1）如果积xy 是定值P ，那么，当且仅当x=y 时，x+y 有最小值2p （简记积定和最小）（2）如果和x+y 是定值P ，那么，当且仅当x=y 时，xy 有最大值42p （简记和定积最大）注意：一正二定三相等基础练习1、求下列各题的最值（1）f(x)=x+x 1的值域[变式：限制定义域x ∈[)+∞,2或x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 （2）x<3求f(x)=34-x +x 最大值 （3）求f(x)=sin 2x+1+1sin 52+x 的最小值 （4）已知x>0,y>0,且191=+yx ，求x+y 的最小值 （5）若0<x<1，求f(x)=x(4-3x)最大值典型例题例1，已知x>45，求函数y=54128162-+-x x x 的最小值 [分析：此为形如y=x C Bx Ax ++2或y=CBx Ax x ++2的一类求 值域的变形，此 题通过换元转化为]Ax+C xB +的形式 变形（1），将例1的条件改为x ≤54求y 的最小值 变形（2），将例1的条件改为x ≠45，求y 的值域. 变形（3），若将例1的条件改为0<x<45，求y 的最大值例2，已知a>0,b>0，且ab=a+b+3,求a+b 的最小值[分析一]化二元函数为一元函数[分析二]将ab=a+b+3与联立消去ab,可建立关于a+b的不等式，求出a+b 的取值范围备用例题围垦一个面积为360㎡的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上需留一个宽度为2m 的进出口（如图所示），已知旧墙的长度为x（单位：米）修建此矩形围墙的总费用为y（单位：元）。
2025届高考一轮复习资料：第4讲基本不等式(学生版)
第4讲基本不等式1.基本不等式：√ab≤a＋b2（1）基本不等式成立的条件：①a＞0，b＞0.（2）等号成立的条件：当且仅当②a＝b时取等号.（3）其中，③a＋b2叫做a，b的算术平均数，④√ab叫做a，b的几何平均数.基本不等式表明：正数a，b的算术平均数不小于它们的几何平均数.注意若a＜0，b＜0，应先转化为－a＞0，－b＞0，再运用基本不等式求解.2.几个重要不等式（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号）.（2）a＋b≥2√ab（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）.（3）2aba＋b ≤√ab≤a＋b2≤√a2＋b22（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）.3.利用基本不等式求最值已知x＞0，y＞0.（1）如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y取得最小值⑤2√P（简记：积定和最小）；（2）如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy取得最大值⑥S 24（简记：和定积最大）.注意应用基本不等式求最值应满足三个条件“一正”“二定”“三相等”.1.下列说法正确的是（）A.函数y＝x＋1x的最小值是2B.函数f（x）＝cos x＋4cosx ，x∈（0，π2）的最小值为4C.“x＞0且y＞0”是“xy ＋yx≥2”的充分不必要条件D.不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥√ab有相同的成立条件2.矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是（）A.4B.92C.3√22D.23.已知a，b为正数，则下列不等式中不成立的是（）A.ab≤a2＋b22B.ab≤（a＋b2）2 C.√a2＋b22≥a＋b2D.2aba＋b≥√ab4.[教材改编]已知x＞2，则4x－2＋x的最小值是.命题点1利用基本不等式求最值角度1配凑法例1 （1）[2024四川省南充第一中学模拟]已知a＞b＞0，则2a＋9a＋b ＋4a－b的最小值为（）A.4B.6C.3D.10（2）[2024宁夏银川模拟]已知0＜x＜4，则√x（4－x）的最大值为.角度2常数代换法例2 （1）[2023江西省南昌一中模拟]已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为（）A.54B.56C.72D.81（2）[山东高考]若直线xa ＋yb＝1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a＋b的最小值为.角度3消元法例3 （1）[2024河南名校调研]若正数x，y满足xy－2x－y＝0，则x＋y2的最小值是（）A.2 B.2√2 C.4 D.4√2（2）[江苏高考]已知5x2y2＋y4＝1（x，y∈R），则x2＋y2的最小值是.训练1 （1）[2024辽宁省阜新市高级中学模拟]两个正实数x，y满足1x ＋4y＝1，若关于m的不等式x＋y4＜m2＋3m有解，则实数m的取值范围是（）A.（－1，4）B.（－4，1）C.（－∞，－4）∪（1，＋∞）D.（－∞，－3）∪（0，＋∞）（2）[2021天津高考]若a＞0，b＞0，则1a ＋ab2＋b的最小值为.（3）[2024上海市松江二中高三上学期阶段测]设正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则xyz的最大值为.命题点2基本不等式的综合问题角度1基本不等式的综合应用例4 （1）[2021浙江高考]已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sin αcos β，sin βcos γ，sinγcos α三个值中，大于12的个数的最大值是（）A.0B.1C.2D.3（2）[多选/2022新高考卷Ⅱ]若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则（）A.x＋y≤1B.x＋y≥－2C.x2＋y2≤2D.x2＋y2≥1角度2利用基本不等式解决实际问题例5 [江苏高考]某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是.例6 某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台，每生产x台，需另投入成本G（x）万元，且G（x）＝{x2+120x，0<x≤50，201x＋4 900x－2 100，50<x≤100，每台该产品的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.（1）写出年利润W（x）（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式（利润＝销售收入－成本）.（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？训练2 （1）[2024陕西省商洛市部分学校阶段测试]在△ABC 中，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，E 是线段AD 上的动点（与端点不重合），设CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋y CB ⃗⃗⃗⃗⃗ （x ，y ∈R ），则8x+3y 3xy的最小值是（ ） A.6B.7C.8D.9（2）[2023湖南省部分学校联考]某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1 800平方米的矩形ABCD ，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的最大面积是（ ） A.1 208平方米 B.1 448平方米 C.1 568平方米D.1 698平方米基本不等式链与柯西不等式的应用角度1 求最值例7 已知x ，y 均为正实数，且1x+2＋1y+2＝16，则x ＋y 的最小值为 .角度2 判断关于不等式的命题的真假例8 [2024四川成都联考]已知正实数m ，n 满足m ＋n ＝1，则下列不等式中错误的是（ ） A.mn ≤14B.2m 2＋2n 2≥1C.m （n ＋1）＜1D.√m ＋√n ≤1方法技巧1.柯西不等式：（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）≥（ac ＋bd ）2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立.2.无论是均值不等式还是柯西不等式，在使用的时候都要注意“配凑”技巧，还要注意验证等号成立的条件.训练3 （1）已知正实数x ，y 满足1x+3y ＋12x ＋y＝1，则x ＋y 的最小值是 .（2）[多选/2024云南省大理模拟]若12a ＝3，12b ＝4，则下列结论正确的是（ ）A.ba＞1B.ab ＞14C.a 2＋b 2＞12D.2a －b ＞121.[2024河北保定模拟]设x ，y 均为正数，且x ＋y ＝4，则xy 的最大值为（ ） A.1B.2C.4D.162.[2024江苏常州模拟]已知a ＞1，b ＞12，且2a ＋b ＝4，则1a －1＋12b －1的最小值是（ ） A.1B.43C.2D.33.当x ＞0时，函数y ＝3+x ＋x 21+x 的最小值为（ ）A.2√3B.2√3－1C.2√3＋1D.44.[2023山西忻州第二次联考]已知0＜a ＜2，则1a ＋92－a的最小值是（ ） A.4B.6C.8D.165.[多选]小王从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b （a ＜b ），其全程的平均速度为v ，则下列选项中正确的是（ ） A.a ＜v ＜√ab B.v ＝√abC.√ab ＜v ＜a ＋b 2D.v ＝2ab a ＋b6.[多选/2023重庆市三检]已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＋xy －3＝0，则下列结论正确的是（ ）A.xy 的取值范围是（0，9]B.x ＋y 的取值范围是[2，3）C.x ＋2y 的最小值是4√2－3D.x ＋4y 的最小值是37.[2024广西河池联考]若x ＞0，y ＞0，且1x ＋2y ＝4，则yx 的最大值为 . 8.[2023济南市模拟]已知正数x ，y 满足4x ＋2y ＝xy ，则x ＋2y 的最小值为 .9.某电商自营店，其主打商品每年需要6 000件，每年进n 次货，每次购买x 件，每次购买商品需手续费300元，已购进未卖出的商品要付库存费，可认为年平均库存量为x2件，每件商品库存费是每年10元，则要使总费用（手续费＋库存费）最低，则每年进货次数为 .10.[2024山东烟台模拟]如图，在半径为4（单位：cm ）的半圆形（O 为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD ，其顶点A ，B 在直径上，顶点C ，D 在圆周上，则矩形ABCD 面积的最大值为 （单位：cm 2）.11.[2021全国卷乙]下列函数中最小值为4的是 （ ）A.y ＝x 2＋2x ＋4B.y ＝｜sin x ｜＋4｜sinx ｜C.y ＝2x ＋22－xD.y ＝ln x ＋4lnx12.[2024江西南昌模拟]正数m ，n 满足m ＋n ＝5，则√m +1＋√n +3的最大值为（ ） A.2√5B.3√2C.6D.313.[多选/新高考卷Ⅰ]已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则下列选项中正确的是（ ） A.a 2＋b 2≥12B.2a －b ＞12C.log 2a ＋log 2b ≥－2D.√a ＋√b ≤√214.[天津高考]若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4+4b 4+1ab的最小值为 .15.[角度创新/2024河北石家庄模拟]李老师在黑板上写下一个等式1（ ）＋4（ ）＝1，请同学们在两个括号内各填写一个正数，使得等号成立，哪个同学所填的两个数之和最小，则该同学获得“优胜奖”.小郭同学要想确保获得“优胜奖”，他应该在前一个括号内填上数字 .。
高中基本不等式教案
高中基本不等式教案【教案】高中基本不等式目标：学习高中基本不等式的基本概念、性质和解题方法。
一、基本概念1. 不等式：含有一个或多个未知数的不等关系的等式。
2. 不等关系：大于、大于等于、小于、小于等于中的一种。
3. 基本不等式：指的是不等式中只有一个未知数，并且只包含常数和未知数的数学不等式，如：ax + b > 0。
二、性质1. 相等性：如果将不等式的两边加上（或减去）同一个非负数，不等式的关系仍然保持不变。
2. 乘法性质：如果将不等式的两边乘以（或除以）同一个正数，不等式的关系仍然保持不变；如果将不等式的两边乘以（或除以）同一个负数，不等式的关系发生改变。
三、解题方法1. 将不等式化简为基本不等式：通过对不等式进行各种变形、移项和化简等操作，将不等式化简为基本不等式进行讨论。
2. 解决基本不等式：根据基本不等式的形式和给定条件，在数轴上寻找满足不等式的解集。
3. 解决复杂不等式：利用基本不等式的性质和解题方法，将复杂不等式化简为基本不等式，然后求解。
练习题：1. 解不等式3x + 2 > 5，并画出其解集在数轴上的表示。
2. 解不等式2(4x - 1) ≤ 6 - x，并画出其解集在数轴上的表示。
3. 解不等式2x - 3 > -x + 5，并画出其解集在数轴上的表示。
4. 解不等式的组合问题：已知不等式2x + 3 > 0和3x - 5 < 0，求不等式2x + 3 > 3x - 5的解集。
以上就是高中基本不等式的教案内容，通过学习基本概念、性质和解题方法，以及进行练习题的训练，能够掌握基本不等式的求解技巧和数轴表示，为后续不等式的学习打下良好的基础。
2025版高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第2节基本不等式教学案文含解析北师大版
其次节 基本不等式[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简洁的最大(小)值问题．1．基本不等式a ＋b2≥ab(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)； (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号且不为零)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)． 3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)假如xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)假如x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．[常用结论] 重要不等式链 若a ≥b ＞0，则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b≥b . [基础自测]1．(思索辨析)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2．( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4．( ) (3)x >0，y >0是x y ＋y x ≥2的充要条件． ( ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a ．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82C [xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．故选C ．]3．若a ，b ∈R，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C ．1a ＋1b>2abD ．b a ＋ab≥2D [∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误． 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2.] 4．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________． 5 [x ＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋1≥2x －1×4x －1＋1＝5，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．] 5．若实数x ，y 满意xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 2 2 [由xy ＝1得x 2＋2y 2≥22x 2y 2＝2 2. 当且仅当x 2＝2y 2时等号成立．]利用基本不等式求最值【例1】 (1)(2024·天津高考)已知a ，b ∈R，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．(2)已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(1)14 (2)1 [(1)由题知a －3b ＝－6，因为2a ＞0,8b ＞0，所以2a＋18b ≥2×2a×18b ＝2×2a －3b＝14，当且仅当2a＝18b ，即a ＝－3b ，a ＝－3，b ＝1时取等号． (2)因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－25－4x ·15－4x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.]►考法2 常数代换法求最值【例2】 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值为________．4 [因为a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝2＋2＝4. 当且仅当a ＝b 时，等号成立．][拓展探究] (1)若本例条件不变，求⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值；(2)若将本例条件改为a ＋2b ＝3，如何求解1a ＋1b的最小值．[解] (1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝⎛⎭⎪⎫2＋a b＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．(2)因为a ＋2b ＝3，所以13a ＋23b ＝1.所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b3a ≥1＋2a 3b ·2b 3a ＝1＋223. 当且仅当a ＝2b 时，等号成立．[规律方法] 利用基本不等式求最值的三种思路利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)利用基本不等式干脆求解．(2)对条件运用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．(3)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．(1)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3D ．4(2)(2024·平顶山模拟)若对于随意的x ＞0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≥15B ．a ＞15C ．a ＜15D ．a ≤15(3)已知正实数x ，y 满意2x ＋y ＝2，则2x ＋1y的最小值为________．(1)C (2)A (3)92 [(1)当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2x －2×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，即a ＝3，选C ．(2)由x ＞0，得x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15，当且仅当x ＝1时，等号成立．则a ≥15，故选A ．(3)∵正实数x ，y 满意2x ＋y ＝2， 则2x ＋1y ＝12(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2y x ＋2x y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2×2y x·2x y＝92，当且仅当x ＝y ＝23时取等号． ∴2x ＋1y 的最小值为92.]基本不等式的实际应用【例3】 某厂家拟定在2024年实行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满意x ＝3－km ＋1(k 为常数)．假如不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2024年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品须要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2024年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ [解] (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， 所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－2m ＋1， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，所以2024年的利润y ＝1.5x ×8＋16x x－8－16x －m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋1＋29(m ≥0)．(2)因为m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， 所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元． [规律方法] 利用基本不等式解决实际问题的3个留意点 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)依据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，肯定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满意f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满意g (t )＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值．[解] (1)W (t )＝f (t )g (t )＝⎝⎛⎭⎪⎫4＋1t (120－|t －20|)＝⎩⎪⎨⎪⎧401＋4t ＋100t，1≤t ≤20，559＋140t－4t ，20<t ≤30.(2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值)．当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减，所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，所以t ∈[1,30]时，W (t )的最小值为441万元．。
高三数学一轮复习 《基本不等式》教案 大纲
〔2〕设),0(,∝+∈y x ，且1)(=+-y x xy ，那么〔〕A.)12(2+≥+y xB.12+≤xyC.2)12(+≤+y xD.)12(2+≥xy规律总结：练习：1.y x ,为正实数，且,12=+y x 求yx 11+的最小值.2.〔20217〕x>0，y>0,x+2y+2xy=8，那么x+2y 的最小值是.A.3B.4C.29D.1122.根本不等式的实际应用【例3】如图动物园要围成一样的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.〔1〕现有可围36 m 长钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？〔2〕假设使每间虎笼面积为24 m2，那么每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长度最小？达标练习1.函数()43f x x x=++在(],2-∞-上. A.无最大值，有最小值7B.无最大值，有最小值-1 C.有最大值7，有最小值-1D.有最大值-1，无最小值-1 2.〔202111〕设0a ＞b ＞，那么()211a ab a a b ++-的最小值是. 〔A 〕1〔B 〕2〔C 〕3〔D 〕43.(2021)设0,>b a ，假设3是ba 33与的等比中项，那么ba 11+的最小值为. 4.假设a 、b 、c 为正实数，且a(a+b+c)+bc=4-23,那么2a+b+c 的最小值为.5.函数1(01)xy a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，假设点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，那么11m n+的最小值为． 6.设正数y x ,满足1222=+y x ，那么21y x +的最大值为.课堂小结 〔1〕 〔2〕 作业 1、正数a,b,x,y 满足a+b=10,ybx a +=1，x+y 的最小值为18，求a,b 的值. 2、〔2021〕围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙〔利用旧墙需维修〕，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如下列图，旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。
基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习
+
则
所以
<
+
<
−
−
< <
<
+
−
−
<+ Nhomakorabea红旗中学2025届高三一轮复习课件
<
+
基本不等式应用
和定积大，积定和小。
技巧一：凑定和
( − ) 的最大值
( − ) 的最大值
取等号条件？
红旗中学2025届高三一轮复习课件
重要结论
柯西不等式：
+ + ≥ +
当且仅当 = 时，等号成立.
变式.设, 均为正数，且 + + + = ， 则 + + 的最大值为
平方和
解：令 = , , =
红旗中学2025届高三一轮复习课件
基本不等式应用
技巧三：凑形式
例5：已知, 为正实数，且 + + = ，求函数 + 的最小值.
例6.已知, 为正实数，且 + + = ，求函数
① 消元法
② 数形结合法
的最小值.
③ 基本不等式法
例7.已知正实数, 满足 + + = ，求 + 的最大值.
变式3.已知 > , > ，且 + =
+
，求
高中数学教案《基本不等式》
教学计划：《基本不等式》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握算术平均数与几何平均数之间的关系，理解并掌握基本不等式（如均值不等式、平方和不等式等）的概念、性质及证明方法，能够熟练运用基本不等式解决简单问题。
2.过程与方法：通过观察、比较、归纳等数学活动，引导学生发现基本不等式的规律，培养学生的探究能力和逻辑推理能力；通过例题讲解和练习，提高学生应用基本不等式解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学审美意识和严谨的科学态度，让学生认识到数学在解决实际问题中的重要作用。
二、教学重点和难点●教学重点：基本不等式的概念、性质及证明方法；算术平均数与几何平均数之间的关系。
●教学难点：理解基本不等式的本质，掌握其证明过程，并能灵活运用基本不等式解决实际问题。
三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●生活实例引入：通过生活中常见的分配问题（如分苹果、分蛋糕等），引导学生思考如何公平分配，从而引出算术平均数与几何平均数的概念，为学习基本不等式做好铺垫。
●提出问题：设问“算术平均数总是大于或等于几何平均数吗？”引发学生思考，激发学生探索的兴趣。
●明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握基本不等式的概念、性质及证明方法，并能运用其解决实际问题。
2. 讲授新知（约15分钟）●概念讲解：详细讲解算术平均数与几何平均数的定义，通过具体例子说明两者的区别与联系。
●不等式呈现：给出基本不等式的数学表达式，结合实例解释其含义，让学生初步感受不等式的性质。
●证明过程：通过代数方法或几何直观证明基本不等式，注重证明过程的逻辑性和条理性，让学生理解不等式的来源和依据。
3. 深入探究（约10分钟）●性质探讨：引导学生探讨基本不等式的性质，如对称性、传递性等，加深对不等式的理解。
●案例分析：选取典型例题，分析如何运用基本不等式解决问题，强调解题思路和步骤。
●学生讨论：组织学生进行小组讨论，分享自己对基本不等式的理解和应用心得，促进思维的碰撞和融合。
高三高考数学复习课件7-4基本不等式及其应用
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.(
)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)函数
f(x)＝cos
x＋co4s
π
x，x∈0，
2
的最小值等于
4.(
)
(3)“x>0 且 y>0”是“yx＋yx≥2”的充要条件．(
)
(4) 不 等 式
a2 ＋ b2 ≥ 2ab
与
a＋b 2
≥
ab 有 相 同 的 成 立 条
件．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×
1．(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值
为( )
A．80
B．77
C．81
D．82
【解析】 ∵x>0，y>0，∴x＋2 y≥ xy， 即 xy≤x＋2 y2＝81， 当且仅当 x＝y＝9 时，(xy)max＝81. 【答案】 C
【答案】 D
4．(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形 场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
【解析】 设矩形的一边为 x m， 则另一边为21×(20－2x)＝(10－x)m， ∴y＝x(10－x)≤x＋（120－x）2＝25， 当且仅当 x＝10－x，即 x＝5 时，ymax＝25.
＝2 400－5（40－x）＋4400－0x＋40， 当且仅当 40－x＝4400－0x，即 x＝20∈(0，30]时，y 取得最大 值 2 000, 所以当 DN＝20 m 时，得到的市民健身广场面积最大， 最大面积为 2 000 m2.
【思维升华】 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值 的变量定义为函数．
高中数学第六章不等式教案
高中数学第六章不等式教案教学目标：学习并掌握不等式的基本概念，学会解决一元一次不等式和一元二次不等式；通过练习和应用，提高学生解题的能力和思维逻辑。
教学内容：1. 不等式的基本概念2. 一元一次不等式的解法3. 一元二次不等式的解法4. 不等式的综合运用教学重点和难点：一元一次不等式和一元二次不等式的解法，以及不等式的综合运用。
教学方法：讲授相结合，引导学生主动思考和解题练习。
教学过程：一、导入（5分钟）教师引导学生回顾上节课所学的不等式相关知识，激发学生对不等式的兴趣和好奇心。
二、讲解不等式的基本概念（10分钟）1. 引导学生理解不等式的定义和符号表示。
2. 介绍不等式的性质和基本性质。
三、讲解一元一次不等式的解法（15分钟）1. 讲解一元一次不等式的基本求解方法。
2. 通过例题解析，让学生掌握解题技巧和步骤。
四、讲解一元二次不等式的解法（15分钟）1. 引导学生理解一元二次不等式的定义和性质。
2. 通过例题讲解，让学生掌握一元二次不等式的解法方法。
五、综合训练（15分钟）1. 给学生提供一些练习题，让他们通过练习加深对不等式的理解。
2. 引导学生探讨不等式在生活和实际问题中的应用。
六、作业布置（5分钟）布置相应的作业，加强学生对不等式知识的巩固和提高。
七、课堂小结（5分钟）教师对今天的教学内容进行总结，并鼓励学生多多练习，提高解题的能力和思维逻辑。
教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握不等式的基本概念和解法方法，培养其解题思维和逻辑推理能力，进一步提高数学学习的兴趣和能力。
高三数学一轮复习基本不等式说课稿（基本不等式及应用）
高三数学一轮复习基本不等式说课稿（基本不等式及应用）二、教学目标分析(一)教学目标:1.理解利用基本不等式求最值的原理2.掌握利用基本不等式求最值的条件3.会用基本不等式解决简单的最值问题4.能综合运用函数关系，基本不等式解决一些实际问题(二)解析:(1)就是指从形式上理解如何才能构建出用均值不等式的结构（2）就是指能从形式上配凑出用均值不等式的结构，并把握住三大条件：“一正；二定；三相等教学目标：进一步通过探究几何图形，给出基本不等式的几何解释，加强学生数形结合的意识。
通过应用问题的解决，明确解决应用题的一般过程。
这是一个过程性目标。
借助例1，引导学生尝试用基本不等式解决简单的最值问题，体会和与积的相互转化，进一步通过例2，引导学生领会运用基本不等式2b a ab +≤的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，并用几何画板展示函数图形，进一步深化数形结合的思想。
结合变式训练完善对基本不等式结构的理解，提升解决问题的能力，体会方法与策略。
三、教学重难点分析在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式2b a ab +≤使用的前提条件0,>b a ，同时又要注意区别基本不等式ab b a 222≥+的使用条件为R b a ∈,。
因此，在教学过程中，借助例题落实学生领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用。
而对于“一正二定三相等”的进一步强化和应用，将放于下一个课时的内容。
在具体的题目中，“正数条件往往易从题设中获得解决”，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧．常经过配凑、裂项、分离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情境．因此，“定值”条件决定着均值不等式应用的可行性，这是解题成败的关键.四、说教学过程教学过程的设计从实际的问题情境出发，以基本不等式的几何背景为着手点，以探究活动为主线，探求基本不等式的结构形式，并进一步给出几何解释，深化对基本不等式的理解。
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2b
当且仅当
a
a b
即
a 2b 1
a 2 1
b
2
2
2
时取等号.
所以，它的最小值为 32 2
例 3．某单位用 2160 万元购得一块空地，计划在该地块上 建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房．经测算， 如果将楼房建为 x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费 用为 560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均 综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费 用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝ 购地总费用 建筑总面积)
变式探究:已知 a0,b0. a2b1求
11 ab
的
最小值。某位同学的解法如下，请问他的解法对
吗？若不对，请说明理由。
解： 1a2b22ab
ab 1 8
112 14 2 a b ab
所以它的最小值为 4 2
正解： ∵ a0,b0.a2b1
11(11)a (2b)2ba3 32 2
ab ab
ab
高三基本不等式复习
【考情分析】
基本不等式是高考中的一个常考内容， 命题经常出现在选择题，填空题中，突出 “小而巧”。大题一般不单独命题，但常 与函数、实际问题相联系，注重考察学生 的运算能力和逻辑推理能力。
运用基本不等式求最值
【双基检测】
1.下列结论正确的是（ C ）
A.
x 1 2 x
B.
sixn 44(0x)
x0，
x a
x2 3x1
恒成立，则
a
的
5
【课后作业】
三维设计P120、121题组自测习题
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
解：每平方米的平均购地费用为
2160104 10800
2000x
x
∴每平方米的平均综合费用为
y56048x1080（0x10)
x
5604（ 8x22)5 x
560482 x22 52000 x
当且仅当 x 225 即 x15时取等号
x
答：该楼房建15层时，每平方米的综合费用最少.
变式练习
某商场中秋前30天月饼销售总量 f (t)与时间 t(0t30)
【典例精讲】
例1：已知 x 0 ,y 0 且 3 x x y y 1 ,
求 xy 的最小值
变式练习：若条件不变求 xy的最小值.
例 2．（2010 四川）设 a＞b＞0，则 a2＋a1b＋aa1－b的最小
值是
(D )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：a2＋a1b＋aa1－b＝a2＋ba1－b≥a2＋a42≥4，当且仅 当 b＝a－b 且 a2＝a42，即 a＝ 2，b＝ 22时“＝”都成立， 故原式最小值为 4.
3.注意利用基本不等式求最值的三个条件即： 一正，二定0,b0.，ab2则
A. 7
B.4
C .9
D. 5
y
1 a
4 的最小值是
b（ C ）
2
2
2.（2010重庆）已知 t >0,则函数 yt2 4t 1的最小值为 -2 . t
3取．值（范2围01是0山a东）1若对任.意
sixn
C. exex2
D.若a, b
异号，则
a b 2 ba
2.已知函数
y 1 x(x3)，当
x3
x
4
时， 有
最小值为 5 .
3.已知 0 x 3，则函数 yx(32x)的最大值
9
2
3
为 8 ，此时 的值为 4 .
【要点总结】
1.基本不等式
ab 2
ab成立的条件是
a>0，b>0
当且仅当 a＝b 时取等号。
的关系大致满足 f(t)t21t01，6则该商场前 t天平
均售出（如前10天的平均售出为 f (10) ）的月饼最少为
（A ）
10
A.18 B. 27 C. 20 D .16
【课堂小结】
1.基本不等式具有将“和式”转化为“积 式”，和将“积式”转化为“和式”的“放缩 功能”.
2.创设应用基本不等式的条件，合理拆分项 或配凑因式是常用的解题技巧.
2.利用基本不等式求最值时必须同时具备三
个条件即 一正； 二定； 三相等 3.已知 x>0，y>0，
①如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy时，x＋y 有
最 小 值是2 p.(简记：积定和最小)
②如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当 xy时，xy s2
有最大 值是 4 .(简记：和定积最大)