1.1两个基本计数原理 88

分类计数原理(加法原理)中，“完成一件
事，有n类方式”，即每种方式都可以独立地
完成这件事。进行分类时，要求各类方式彼此 之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一 种方法，都能独立完成这件事。只有满足这个 条件，才能直接用加法原理，否则不可以。
分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件
事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足
1.1 两个基本计数原理 1
问题一：从甲地到乙地，可以乘火车， 也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车 有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从 甲地到乙地共有多少种不同的走法？
解：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2 种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所 以共有 3＋2＝5 种不同的走法。
分类计数原理 完成一件事，有n类方 式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在 第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第 n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这 件事共有：
种不同的方法。
分类计数原理又称为加法原理。
问题二：从甲地到乙地，要从甲地选乘火 车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一 天中，火车有3班，汽车有2班。那么两天中， 从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
这个问题与前一个问题有什么区别？ 在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的 任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这 个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个 步骤，才能从甲地到乙地．
置的信箱中，
（1）
密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一
个数字，这样的密码共有多少个？（2）密码
为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个，
或是从A到Z这26个英文字母中的1个。这样的
密码共有多少个？
（3）密码
为4到6位，每位均为0到9这10个数字中的一
个。这样的密码共有多少个？
例4、（1）4名同学选报跑步、跳高、跳 远三个项目，每人报一项，共有多少种报名 方法？
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
教学程序
Fra Baidu bibliotek
巩固练习
3.从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走
法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地
到丙地的不同的走法共有
种.
4.甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准
备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学
生代表大会，共有
种不同的推选方法.
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
教学程序
综合应用
问题3.1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第 2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.
①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同 的取法？
③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同 的取法？
解：因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法， 所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地， 共有 3×2＝6 种不同的走法。
分步计数原理 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步 有m2 种不同的方法，…，做第n步时有mn种不 同的方法。那么完成这件事共有
种不同的方法。
分步计数原理又称为乘法原理。
从该班选出学生代表参加校学代会。
（1)若学校分配给该班1名代表，有多少种
不同的选法？
（2）
若学校分配给该班2名代表，且男女生代表
各1名，有多少种不同的选法？
例2、在下面两个图中，使电路接通的 不同方法各有多少种？
A
B （1）
A
B
（2）
例3、为了确保电子信箱的安全，在注册
时，通常要设置电子信箱密码。在某网站设
（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三 个项目的冠军，共有多少种可能的结果？
例5、某中学的一幢5层教学楼共有3处楼 梯，问从1楼到5楼共有多少种不同的走法？
例6、有n个元素的集合的子集共有多少 个？
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
教学程序
理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点
①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题
这件工作，不同选法的种数是
.
②从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条
，从A村经B村去C村，不同的路线有
条.
2. 现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名 ，高中三年级的学生4名.
①从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的 选法？
②从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，
以完成这件事。如果完成一件事需要分成几个 步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有 步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立， 即相对于前一步的每一种方法，下一步有m种不 同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直 接用乘法原理。
应用这两个原理的关键是看完成这件 事情是“分类”还是“分步”。
例1、某班共有男生28名、女生20名，
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
教学程序
综合应用
问题3.2 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅， 分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少 种不同的挂法？
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
教学程序
巩固练习
1.填空：
①一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方法
完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成
②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问 题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独 立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中 的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完 成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题， 完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完 成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个 步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.