一些特殊矩阵的秩等式

一些特殊矩阵的秩等式

引言

矩阵的秩可以利用矩阵的非零子式的阶数定义，也可以利用矩阵的行向量组或列向量组的秩来定义，即：

定义1 设A 是数域F 上的m n ⨯矩阵，称矩阵A 不为零的最高阶数为矩阵A 的秩. 定义2设A 是数域F 上的m n ⨯矩阵，12,,,m βββ 是其行向量组，12,,,n ααα 是其列向量组，称向量组12,,,m βββ 的秩为A 的行秩，向量组12,,,n ααα 的秩为A 的列秩. 可以证明，对矩阵A ，行秩等于列秩.称矩阵A 的行秩(列秩)为矩阵A 的秩. 记作()rank A .

矩阵的秩是矩阵的一种重要特征，利用矩阵的秩特征，可以讨论矩阵的一些性质.很多特殊矩阵的特征都可以利用秩关系来刻画.

本文将在已有关于矩阵秩关系的基础上，在第一部分主要讨论诸如幂等矩阵、对合矩阵等特殊矩阵的秩等式关系，第二部分则主要讨论矩阵运算下的秩关系. A 是矩阵，T A 为A 的转置矩阵，I 为单位矩阵，A *为A 的伴随矩阵. n I 为n n ⨯的

单位矩阵，n V 为n 维线性空间.如果矩阵A ,B ∈n n C ⨯,满足2A =A ,2n B I =,则分别称A 、B 为幂等矩阵、对和矩阵.

1 幂等矩阵的秩恒等式

定理1.1[1] n 阶矩阵A 满足2A =A ，则()rank A +()rank I A -=n .

证明 （证法一） 设()rank A =r ，由2A =A 可得()A A I -=0，

则()A I -的每一个列向量都是以A 为系数的方阵的齐次线性方程组的解向量. (i)当r =n 时，由于齐次线性方程组只有零解，故此时A I -=0，

即此时 ()rank A =n ，()rank A I -=0，()rank A +()rank A I -=n ，

结论成立.

(ii)当r

所以有 ()rank A +()rank A I -≤n .

另一方面，由于()rank A I -=()rank I A -，

故有 n =()rank I =()rank A I A +-

≤()rank A +()rank I A -

=()rank A +()rank A I -

从而 ()rank A +()rank A I -=n .

（证法二）充分性：因为A 是幂等矩阵，所以2A =A ，于是()A A I -=0，

则有 ()rank I A -+()rank A ≥[]()rank I A A -+=()rank I =n .

且有 ()rank I A -+()rank A ≤n

综上得证.

必要性：由于()rank I A -+()rank A =n .可设1()I A X -=0的解空间为1V ,

20AX =的解空间为2V ,则有12,n V V V ⊕=

对任意X ∈n V ,有 212121()()(),A X X A AX AX A X +=+=

得证

2 对合矩阵的秩恒等式

定理2.1[1] n 级矩阵A 满足2A =I ,则()rank I A ++()rank I A -=n

证明（证法一）设A I -=12(,,,),n b b b 由2A =I 得

()()A I A I +-=0, ()0i A I b +=,1,2,,.i n =

所以A I -的每一列均为()A I +x =0的解.

()rank A I -≤n -()rank A I +

即 ()rank A I -+()rank A I +≤n

（2.1） 而由2A =I 可知，||A =1或-1，所以||A ≠0，()rank A =n .所以

()rank A I -+()rank A I +

≥()rank A I A I ++-

=(2)rank A =n （2.2）

由（2.1）（2.2）式结合得 ()rank I A ++()rank I A -=n

（证法二）充分性 因为A 是对合矩阵，所以2A =I ，

于是 ()()A I A I +-=0，

则 ()rank A I -+()rank A I +≥[]()()rank A I A I -++=(2)rank I =n

且有 ()rank I A ++()rank A I -≤n

综上得证.

必要性：由于()(),rank I A rank I A n -++=可设1()0I A X -=的解空间为12,()0V A I X +=的解空间为2V ，则有12n V V V ⊕=.

对任意n X V ∈，

有 212()A X X +12()A AX AX =+12()A X X =-12AX AX =-12X X =+12()I X X =+ 得证.

3矩阵的满秩分解

定义 3.1：设A 是秩为(0)r >的m n ⨯矩阵，若存在m r ⨯列满秩矩阵F 和r n ⨯行满秩矩阵G ，使得 A FG = (3.1) 则称（3.1）式为矩阵A 的满秩分解.

定理3.1 设A 的秩为r ，且1122A FG F G ==为矩阵

A 的两个满秩分解，则 （1）存在r 阶的满秩方阵

B ,使得 11212,;F F B G B G -== （3.2）

（2）证明 11111111()()T T T T G G G F F F --=11222222()()T T T T G G G F F F -- （3.3）

证明 （1）因为A 有满秩分解112FG F G =所以

11221111122

T T T T F G G F G G F F G F F G ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 又 111111()(),

()(),T T rank G G rank G r rank F F rank F r ====

故11T G G 与11T F F 皆为r 阶满秩方阵，故由知

11221112()

,T T F F G G GG F B -== （3.4） 其中12111(),T T B G G G G -=且1111222().T T G F F F F G CG -== （3.5） 分别将（3.4）、(3.5)式代入1122,A FG F G ==

得 2222,F BCG F G =