高考数学历年函数试题及答案

1.
设（x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1
对称，对任意x 1,x 2∈[0，2
1]都有).()()(2121
x f x f x x f ⋅=+
（Ⅰ）设);4
1(),2
1(,2)1(f f f 求=
（Ⅱ）证明)(x f 是周期函数。

2. 设函数.,1|2|)(2
R x x x
x f ∈--+=
（Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性； （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.
3． 已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数()y f x =在区
间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的图象
x
4．（本小题满分12分）求函数x
x
x x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大
值和最小值.
5．（本小题满分12分）已知13)(2
3
+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围.
6.△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，求当A 为何值时，2
cos 2cos C
B A ++取得最大值，并求出这个最大值
7.设a 为实数，函数x a ax x x f )1()(22
3
-+-=在)0,(-∞和),1(+∞都是增函数， 求 a 的取值范围.
8. 设函数f (x )=2x 3+3ax 2+3bx+8c 在x =1及x =2时取得极值. (Ⅰ)求a 、b 的值;
(Ⅱ)若对于任意的x ,3,0〕〔∈
都有f (x )＜c 2成立，求c 的取值范围.
9.已知函数3
2
()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设函数()f x 在区间2
133⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，
内是减函数，求a 的取值范围．
10.在ABC ∆中，内角A 、b 、c 的对边长分别为a 、b 、c.已知2
2
2a c b -=，且
sin 4cos sin B A C =，求b.
11. 已知函数42
()36f x x x =-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）设点P 在曲线()y f x =上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点，求l 的方程
12. 设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8
=x
（Ⅰ）求ϕ；
（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间； （Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像
-1-32
32112-12
π
7π8
3π4
5π8π23π8π4π8o
y
x
13. 已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(
（Ⅰ）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （Ⅱ）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围
解答：
2. 解：（Ⅰ）.7)2(,3)2(=-=f f 由于),2()2(),2()2(f f f f -≠-≠-
故)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数.
（Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=.
2,1,
2,3)(22
x x x x x x x f
由于),2[)(+∞在x f 上的最小值为)2,(,3)2(-∞=在f 内的最小值为.4
3)2
1(=f
故函数),()(+∞-∞在x f 内的最小值为
.4
3
3. 解x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2
+-=+= )4
2sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21π
ππ
-+=-⋅+=x x x
所以函数)(x f 的最小正周期为π，最大值为21+.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
x
8
3π-
8π-
8
π 83π 8
5π y
1
21-
1
21+
1
故函数)(x f y =在区 间]2
,2[π
π-上的图象是
4. 解：x
x x
x x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=
.2
12sin 41)cos sin 1(21
)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=
x x x x x x x
所以函数)(x f 的最小正周期是π，最大值是
,43最小值是.4
1
5. 解：函数f (x )的导数：.163)(2
-+='x ax x f （Ⅰ）当0)(<'x f （R x ∈）时，)(x f 是减函数.
)(01632R x x ax ∈<-+ .30
12360-<⇔<+=∆<⇔a a a 且
所以，当))((,0)(,3R x x f x f a ∈<'-<知由时是减函数；
（II ）当3-=a 时，133)(2
3
+-+-=x x x x f =,9
8)31(33
+
--x 由函数3
x y =在R 上的单调性，可知 当3-=a 时，R x x f ∈)((）是减函数；
（Ⅲ）当3->a 时，在R 上存在一个区间，其上有,0)(>'x f
所以，当3->a 时，函数))((R x x f ∈不是减函数. 综上，所求a 的取值范围是 6. 解： 由,2
22,A C B C B A -=+=++ππ得
所以有 .2
sin 2cos
A
C B =+ 2
sin 2cos 2cos 2cos A
A C
B A +=++
2
sin 22sin 212A A +-=
.2
3)212(sin 22+--=A
当.2
32cos 2cos ,3,212sin
取得最大值时即C B A A A ++==π 7. 解：
),1(23)('2
2-+-=a ax x x f
其判别试.812121242
2
2
a a a -=+-=∆ （ⅰ）若,2
6
,08122±
==-=∆a a 即 当.),()(,0)(',),3
()32,(为增函数在时或+∞-∞>+∞∈-∞∈x f x f a x x
所以.2
6±
=a (ⅱ) 若,08122
<-=∆a .),()(,0)('为增函数在恒有+∞-∞>x f x f 所以 ,2
32
>
a 即 ).,2
6()26,(+∞-
-∞∈ a （ⅲ）若,08122
>-=∆a 即,0)(',2
6
26=<<-
x f a 令 解得 .3
23,3232
221a a x a a x -+=--=
当;)(,0)(',)(),(21为增函数时或x f x f x x x x >∞+∈-∞∈ 当.)(,0)(',),(21为减函数时x f x f x x x <∈ 依题意1x ≥0得2x ≤1. 由1x ≥0得a ≥,232a - 解得 1≤.2
6<
a
由2x ≤1得,232a -≤3,a - 解得 .2626<<-
a 从而 .)2
6,
1[∈a 综上，a 的取值范围为),2
6,1[),26[]26, +∞-
∞- 即 ∈a ).,1[]2
6
,(+∞-
-∞ 9. 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2
()321f x x ax '=++
当2
3a
≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增；
当2
3a >，由()0f x '=
求得两根为3
a x -=
即()f x
在3a ⎛---∞ ⎪⎝⎭，
递增，33a a ⎛--+ ⎪⎝⎭，递减，
⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
递增； （2）（法一）∵函数()f x 在区间2133⎛⎫
-- ⎪⎝⎭，
内是减函数，⎝⎭
递
减，∴
2
331
33
a a ⎧--⎪⎪
⎨
-+⎪-⎪⎩
≤，且2
3a
>，解得：2a ≥。

2221
3x +2ax+10(,33
g(x)=3x +2ax+1,2427g()32a +10a 393
a 24111a 2g()=32a +10393a [2,+)
≤⎧
≤⨯⨯≤⎧⎪≥⎪⎪≥⎨
⎨⎪⎪≥⨯⨯≤⎩⎪⎩
∞（法二）只需在区间－－）恒成立即可。

令∴只需：
－－∴∴－－∴的取值范围为
10. 解：由余弦定理得A bc b c a cos 22
22-=-， ∵0,22
2
≠=-b b c a ，
∴b A bc b 2cos 22=-，即2cos 2+=A c b 。

由正弦定理及sin 4cos sin B A C =得
c
b
C B A 2sin 2sin cos 2=
=
， ∴22
+=
b
b ，即4=b 。

11. 解：（Ⅰ）)2
6
)(26(464)`(3
-+
=-=x x x x x x f 令0)`(>x f 得026<<-
x 或2
6
>x ； 令0)`(<x f 得26-
<x 或2
6
0<<x 因此，()x f 在区间)0,26(-和),26(+∞为增函数；在区间)26,(--∞和)2
6
,0(为减函数。

（Ⅱ）设点))(,(00x f x P ，由l 过原点知，l 的方程为x x f y )`(0=，
因此x x f x f )`()(00=，即0)64(6303
002040=--+-x x x x x ，整理得
0)2)(1(2020=-+x x ，解得20-=x 或20=x 。

所以的方程为x y 2-=或x y 2=
12. 解：（Ⅰ）)(8
x f y x ==
是函数π
的图像的对称轴，,1)8
2sin(±=+⨯
∴ϕπ
.,2
4
Z k k ∈+
=+∴
π
πππ
.4
3,0π
ϕϕπ-
=<<- （Ⅱ）由（Ⅰ）知).4
32sin(,43ππϕ-=-=x y 因此 由题意得
.,2
243222Z k k x k ∈+≤-
≤-
π
πππ
π
所以函数.],8
5,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=π
ππππ的单调增区间为
（Ⅲ）由知)
32sin(π-
=x y 故函数上图像是在区间],0[)(πx f y =
13. 解：（Ⅰ）).3,1(02)(的解集为>+x x f 因而且.0),3)(1(2)(<--=+a x x a x x f
.3)42(2)3)(1()(2a x a ax x x x a x f ++-=---=①
由方程.09)42(06)(2
=++-=+a x a ax a x f 得 ②
因为方程②有两个相等的根，所以094)]42([2=⋅-+-=∆a a a ， 即 .5
11.
01452-===--a a a a 或解得 由于5
1.1,0-==<a a a 将舍去代入①得)(x f 的解析式 .535651)(2---=x x x f （Ⅱ）由a a a a a x a a x a ax x f 14)21(3)21(2)(222
++-+-=++-= 及.14)(,02a
a a x f a ++-<的最大值为可得
由⎪⎩
⎪⎨⎧<>++-,0,0142a a a a 解得 .03232<<+---<a a 或 故当)(x f 的最大值为正数时，实数a 的取值范围是).0,32()32,(+----∞。