高考数学历年函数试题及答案

1.

设（x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1

对称，对任意x 1,x 2∈[0，2

1]都有).()()(2121

x f x f x x f ⋅=+

（Ⅰ）设);4

1(),2

1(,2)1(f f f 求=

（Ⅱ）证明)(x f 是周期函数。

2. 设函数.,1|2|)(2

R x x x

x f ∈--+=

（Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性； （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.

3． 已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值；

（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数()y f x =在区

间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

上的图象

x

4．（本小题满分12分）求函数x

x

x x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大

值和最小值.

5．（本小题满分12分）已知13)(2

3

+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围.

6.△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，求当A 为何值时，2

cos 2cos C

B A ++取得最大值，并求出这个最大值

7.设a 为实数，函数x a ax x x f )1()(22

3

-+-=在)0,(-∞和),1(+∞都是增函数， 求 a 的取值范围.

8. 设函数f (x )=2x 3+3ax 2+3bx+8c 在x =1及x =2时取得极值. (Ⅰ)求a 、b 的值;

(Ⅱ)若对于任意的x ,3,0〕〔∈

都有f (x )＜c 2成立，求c 的取值范围.

9.已知函数3

2

()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）设函数()f x 在区间2

133⎛⎫-- ⎪⎝⎭

，

内是减函数，求a 的取值范围．

10.在ABC ∆中，内角A 、b 、c 的对边长分别为a 、b 、c.已知2

2

2a c b -=，且

sin 4cos sin B A C =，求b.

11. 已知函数42

()36f x x x =-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）设点P 在曲线()y f x =上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点，求l 的方程

12. 设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8

=x

（Ⅰ）求ϕ；

（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间； （Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像

-1-32

32112-12

π

7π8

3π4

5π8π23π8π4π8o

y

x

13. 已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(

（Ⅰ）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （Ⅱ）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围

解答：

2. 解：（Ⅰ）.7)2(,3)2(=-=f f 由于),2()2(),2()2(f f f f -≠-≠-

故)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数.

（Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=.

2,1,

2,3)(22

x x x x x x x f

由于),2[)(+∞在x f 上的最小值为)2,(,3)2(-∞=在f 内的最小值为.4

3)2

1(=f

故函数),()(+∞-∞在x f 内的最小值为

.4

3

3. 解x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2

+-=+= )4

2sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21π

ππ

-+=-⋅+=x x x

所以函数)(x f 的最小正周期为π，最大值为21+.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

x

8

3π-

8π-

8

π 83π 8

5π y

1

21-

1

21+

1

故函数)(x f y =在区 间]2

,2[π

π-上的图象是

4. 解：x

x x

x x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=

.2

12sin 41)cos sin 1(21

)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=

x x x x x x x

所以函数)(x f 的最小正周期是π，最大值是

,43最小值是.4

1

5. 解：函数f (x )的导数：.163)(2

-+='x ax x f （Ⅰ）当0)(<'x f （R x ∈）时，)(x f 是减函数.

)(01632R x x ax ∈<-+ .30

12360-<⇔<+=∆<⇔a a a 且

所以，当))((,0)(,3R x x f x f a ∈<'-<知由时是减函数；

（II ）当3-=a 时，133)(2

3

+-+-=x x x x f =,9

8)31(33

+

--x 由函数3

x y =在R 上的单调性，可知 当3-=a 时，R x x f ∈)((）是减函数；

（Ⅲ）当3->a 时，在R 上存在一个区间，其上有,0)(>'x f

所以，当3->a 时，函数))((R x x f ∈不是减函数. 综上，所求a 的取值范围是 6. 解： 由,2

22,A C B C B A -=+=++ππ得

所以有 .2

sin 2cos

A

C B =+ 2

sin 2cos 2cos 2cos A

A C

B A +=++

2

sin 22sin 212A A +-=

.2

3)212(sin 22+--=A